V@R Histórico

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V@R Histórico

  1. 1. Simulação Histórica Análise de Risco (6) R.Vicente 1
  2. 2. Resumo Simulação Histórica Método BRW (Boudoukh-Richardson-Whitelaw) Volatilidade Ajustada (Método Hull-White) Bibliografia 2
  3. 3. Simulação HistóricaA versão naïve da simulação histórica consiste na utilização dohistórico de retornos para gerar cenários futuros para preços: 6,0% 4,0% 2,0% 0,0% -2,0% -4,0% -6,0% -8,0% 1 51 101 151 201 251 301 351 401 451 501 551 601 651 701 751 801 851 Rt , Rt−1 ,..., Rt−n ,..., Rt−N V (n) t +1 = V ( St e Rt−n ) 3
  4. 4. Frequency 150 200 250 300 350 400 450 0 50 100 -8,9534% -7,7357% -6,5181% ΔVt -5,3004% (n) -4,0827% -2,8651% = Vt -1,6474% A densidade resultante não é normal: (n) -0,4297% 0,7879% Simulação Histórica −Vt 2,0056% LN R et 3,2233% 4,4409% 5,6586% 6,8762% 8,0939% 9,3116% 10,5292%4
  5. 5. Simulação Histórica A função distribuição cumulativa empírica é dada por: N 1 ∑1 Massa de P ( x; t , N ) = {ΔVt ( j ) ≤ x} P&L até x N j =1 VaRα = inf (ΔV ∈ {ΔV (1) ,..., ΔV ( N ) }| P(ΔV ; t , N ) ≥ α ) inf VaRα = sup (ΔV ∈ {ΔV (1) ,..., ΔV ( N ) }| P(ΔV ; t , N ) ≤ α ) sup (VaRα + VaRα ) inf sup VaRα = 2 5
  6. 6. Simulação Histórica Historical Simulation8,0%6,0%4,0%2,0%0,0%-2,0%-4,0%-6,0%-8,0% 1 51 101 151 201 251 301 351 401 451 501 551 601 651 701 751 801 851 6
  7. 7. Prós e ContrasPrós Contras Não é necessário estimar Cenários têm mesmo peso (1/N). volatilidades ou correlações. Nenhuma hipótese prévia Cenários com volatilidades sobre a densidade dos diferentes são utilizados retornos é necessária. simultaneamente. 7
  8. 8. Método BRWBoudoukh,Rishardson,Whitelaw A função distribuição cumulativa empírica é dada por: N P( x; t , λ, N ) = ∑ wt− j 1{ΔV ( j ) ≤x} j =1 ⎛ 1− λ ⎞ j−1 N ⎟λ ⇒ ∑ w = 1 , w wt− j =⎜ ⎜ ⎟ ⎟ t − j−1 = λ wt − j ⎜1− λ N ⎠ ⎝ j =1 t− jVaRα = inf (ΔV ∈ {ΔV (1) ,..., ΔV ( N ) }| P(ΔV ; λ, t , N ) ≥ α ) infVaRα = sup (ΔV ∈ {ΔV (1) ,..., ΔV ( N ) }| P(ΔV ; λ, t , N ) ≤ α ) sup 8
  9. 9. Método BRW Rt−1 Rt−2 ... Rt−n ... Rt−N Probabilidade n− N− w wλ... wλ ...wλ 1 1 1 1 1 1 1,20% 1−λ 1,00% w= 1−λ 1 N 0,80% 0,60% 0,40% 0,20% 0,00% 1 51 101 151 201 251 301 351 401 451 9
  10. 10. Método BRW: ResultadosComprado em SP500 VaR a 99% 10
  11. 11. Método BRW: ResultadosVendido em SP500 VaR a 99% 11
  12. 12. Método BRW: ResultadosComprado em SP500 VaR a 95% 12
  13. 13. Método BRW: ResultadosVendido em SP500 VaR a 95% 13
  14. 14. Método BRW: ResultadosProposição 1: O VaR aumenta somente após pelo menos umaviolação, ou seja, a probabilidade de o VaR aumentar de um períodoao próximo é de 1- α R > VaR (t ) ⇒VaR (t + 1) ≥ VaR (t ) t α sup sup α α sup t-1 t 14
  15. 15. Método BRW: ResultadosProposição 2: Se os retornos são descritos por um processoGARCH(1,1) e a volatilidade estiver em seu nível médio σ , então: P {VaRα (t + 1) > VaRα (t )} = 31, 73%Demonstração: Seja o processo GARCH(1,1) definido por: Rt = σt εt σt2 = α0 + α1 Rt2 1 + β1σt2−1 − 15
  16. 16. Método BRW: ResultadosDemonstração: A volatilidade que é ponto fixo da dinâmica no longo prazo é: α0 σ = 2 1− α1 − β1 Quando σt = σ , σt +1 > σt se e somente se α0 + α1 Rt2 + β1σt2 > σt2 α0 + α1σt2ε 2 + β1σt2 > σt2 α0 + β1σ 2 − σ 2 > ε2 ⇒ ε2 > 1 α1σ 2 16
  17. 17. Método BRW: ResultadosDemonstração: α0 + α1 Rt2 + β1σt2 > σt2 α0 + α1σt2ε 2 + β1σt2 > σt2 α0 + β1σ 2 − σ 2 > ε2 ⇒ ε2 > 1 α1σ 2 P (ε 2 > 1) = P(ε > 1) + P(ε < −1) = 2Φ(−1) 0,3173 QED 17
  18. 18. Método BRW: ResultadosProposição 3: Se os retornos são representados por um processoGARCH(1,1), a probabilidade de um aumento de VaR em t+1 maiorque x% em relação a t não ser detectado pelo método BRW é: ⎧ ⎪ ΔVaRα ⎪ ⎫ ⎪ ⎧ ⎪2Φ( z ) − α, 0 < x < k (α1 , α ) P⎨ > x% , no detection⎪ ⎬ ⎪ ⎨ ⎪VaRα (t ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎩ Φ( z ), x ≥ k (α1 , α ) x2 + 2 x z = − 1+ α1 k (α1 , α ) = 1− α1 + α1 ⎡⎢⎣Φ−1 (α )⎤⎥⎦ 2 18
  19. 19. Método BRW: ResultadosProposição 3: Se os retornos são representados por um processo GARCH(1,1), aprobabilidade de um aumento de VaR em t+1 maior que x% em relação a t nãoser detectado pelo método BRW é: 19
  20. 20. Método BRW: Resultados 20
  21. 21. Método de Hull-WhiteSão realizadas estimativas GARCH ou EWMA de volatilidades eos retornos são normalizados. 5,0 3,0 1,0 -1,0 -3,0 -5,0 1 51 101 151 201 251 301 351 401 451 501 551 601 651 701 751 801 851 Rt Rt−1 Rt−n Rt−N , ,..., ,..., σt σt−1 σ t −n σt − N Rt−n σt +1 σt−n V (n) t +1 = V ( St e ) 21
  22. 22. Bibliografia• Jorion P., Value at Risk, Irwin, 1997.• RiskMetrics Technical Document (www.riskmetrics.com);•Pritsker M., The Hidden Dangers of Historical Simulation. Leituras ComplementaresHull, J. e White, A., Incorporating Volatility Updating into the HistoricalSimulation Method for Value at Risk 22

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