Trabalho realizado por Vinicius Elias da Costa

1. Análise Dinâmica de uma Viga do tipo biapoiada utilizando o
Método dos Elementos Finitos (Software ANSYS11)
Vinicius Elias da Costa
professorviniciuselias@hotmail.com
Universidade de Brasília - UNB
Mestrado em Integridade de Materiais da Engenharia
Dezembro de 2011
Resumo
A dinâmica relaciona as forças que atuam num corpo com seu movimento. E este movimento pode ser obtido
através das equações de Lagrange. Um corpo rígido ou uma estutura nestas condições está sujeito à vibrações,
onde o sistema oscila a partir de uma posição de equilíbrio. Este trabalho tem como objetivo explorar estes
conceitos apresentando a formulação básica por elementos finitos e mostrar uma aplicação através do software
ANSYS. Trata-se da análise dinâmica de um viga biapoiada buscando com isto verificar seu comportamento
extraindo os modos de vibrar, frequências naturais e amplitude.
1 Introdução
A análise de estruturas é uma das aplicações mais comuns do método dos elementos finitos (MEF). O termo
”estrutura” não só diz respeito as estruturas de engenharia civil, mas também estruturas navais, aeronauticas,
mecânicas e etc.
Em geral, a análise de estruturas pode ser dividida em estática e dinâmica. E para realizar esta análise, faz-
se necessário na maioria das vezes o auxilio de ferramentas computacionais, onde neste caso, foi utilizado o
software ANSYS11. O ANSYS é software de elementos finitos que pode ser utilizado nas mais diversas classes
de problemas em engenharia. Este ainda apresenta sete tipos de análise de estruturas: Estática, modal, harmônica,
dinâmica transiente, espectral e dinâmica explicita.
2 Elementos Finitos em Dinâmica
Nesta seção apresentaremos a formulação para análise dinâmica em elementos finitos (EF) para o caso dinâmico
de uma estrutura. Este processo consiste basicamente na obtenção das equações de movimentos de Lagrange, onde
estas consitem apenas numa forma derivada dos principio dos trabalhos virtuais e o princípio de D’Alembert.
1

2. 2.1 Método Geral
Seja l o comprimento de um elemento, e considere u(ξ, t) com ξ : 0 ≤ ξ ≤ l, a função deslocamento, escolhida
satisfazendo a continuidade apropriada. Se u1 , u2 , . . . , uk representam os graus de liberdade para o elemento,
então
k
u(ξ, t) = φi (ξ)ui (t). (1)
i=1
onde φi (ξ) são chamadas funções de forma.
A energia potencial do elemento é calculada usando a equação (6) para o deslocamento e tem a seguinte forma:
1 T
V = u ku. (2)
2
onde u = [u1 , . . . , uk ]T e k é a matriz de rigidez local ou matriz de rigidez do elemento considerado.
A energia cinética para o elemento pode ser calculada também usando (6), e tem a seguinte forma
1 T
T = u mu.
˙ ˙ (3)
2
onde m é a matriz de massa local ou matriz de massa do elemento.
O número total de graus de liberdade no modelo de EF é n = αβ − η, onde α é o número de elementos, β é o
número de graus de liberdade por elemento e η é o número de condições de contorno geométricas.
Considere o vetor deslocamento global dado por U = [U1 , . . . , Un ]T onde U1 , . . . , Un representam os des-
locamentos a serem encontrados (ou não determinados). Desta forma, a energia potencial total do sistema tem a
forma:
1 T
V = U KU. (4)
2
onde K é a matriz de rigidez global, obtida pelo cálculo das matrizes de rigidez locais. A energia cinética total do
sistema tem a forma
1 ˙T ˙
T = U MU. (5)
2
onde M é a matriz de massa global, obtida pelo cálculo das matrizes locais.
2.2 Equações de Movimento - Dinâmica
Humar (2002) afirma que em dinâmica problemas envolvendo deslocamento, velocidade, deformação, tensão e
carregamento são todos dependentes do tempo. O procedimento consiste em obter equações de elementos finitos
para um problemas dinâmico, e que basicamente pode ser descrito pelos seguintes passos:
1. Idealize o corpo (objeto de estudo) num conjunto E de elementos finitos.
2. Considere o modelo de deslocamento de elemento e como:
 
 u(x, y, z, t) 
 

 

U (x, y, z, t) = v(x, y, z, t) = [N (x, y, z)]Q(e) (t). (6)

 


 w(x, y, z, t) 

onde U é o vetor de deslocamento [N ] é a matriz de funções de forma e Q(e) é o vetor de deslocamentos
nodais, que é assumido em função do tempo t.
2

3. 3. Determine as matrizes de rigidez e massa (propriedades).
De (6), a deformação pode ser expressa por:
= [B]Q(e) . (7)
E a tensão como:
σ = [D] = [D][B]Q(e) . (8)
Derivando (6) em respeito ao tempo, a velocidade pode ser obtida por
˙ ˙
U (x, y, z, t) = [N (x, y, z)]Q(e) (t), (9)
˙
onde Q(e) é o vetor de velocidade nodal.
Para deduzir as equações de movimento dinâmico de uma estrutura, podemos usar as equações de Lagrange
ou o princípio de Hamilton. Deste modo as equações de Lagrange são dadas por
d ∂L ∂L ∂R
− + = {0} (10)
dt ˙
∂Q ∂Q ˙
∂Q
Onde
L = T − πp (11)
é a função Lagrangiana, T é a energia cinética do sistema, πp é a energia potencial, R é a função de dissipa-
˙
ção, Q é o deslocamento nodal e Q a velocidade nodal.
4. Montar as matrizes e vetores do sistema, e obter as equações de movimento total do sistema. Deste modo
ainda podemos obter,
1 ˙T ˙
T = Q [M ]Q (12)
2
1 ˙T ˙ ˙
πp = Q [K]Q − QT P (13)
2
1 ˙T ˙
R = Q [C]Q (14)
2
onde
E
M = [M (e) ]
e=1
E
K = [K (e) ]
e=1
E
C = [C (e) ]
e=1
M matriz de massa global da estrutura, K matriz de matriz de rigidez global da estrutura, M matriz de
amortecimento global da estrutura, P (t) é o vetor de carga total.
Deste modo, a partir de (10),(13) e (14) podemos deduzir as equações de movimento da estrutura ou corpo
como:
¨ ˙ ˙
[M ]Q + [C]Q(t) + [K]Q(t) = P (t) (15)
¨
onde Q é o vetor de aceleração nodal no sistema global. Se o amortecimento for desconsiderado, temos
¨ ˙
[M ]Q + [K]Q(t) = P (t) (16)
3

4. 5. Finalmente este passo consiste em resolver as equações de movimento, aplicando as condições iniciais e de
contorno.
Na análise dinâmica de uma estrutura além de obter as equações de movimento, efetua-se a análise modal
obtendo as frequências naturais e harmônica.
2.3 Análise de Vibrações Livres
Segundo Seto (1970), Vibração livre é um movimento periódico que se observa quando um sistema é deslocado da
sua posição de equilíbrio estático. Uma vez considerando o movimento harmônico como
Q = Qeiωt . (17)
A equação de vibrações livres será dada por
([K] − w2 [M ])Q = 0. (18)
onde Q representa a amplitude do deslocamento Q (Autovetor ou modo de vibração do sistema) e ω denotamos
por frequência natural de vibração (Autovalor). A frequência natural é a frequência do sistema que tem vibração
livre sem atrito.
Como Q por se tratar de um autovetor deve ser não-nulo, então segue que a solução para a equação (18) é dada
pelo determinante dos coeficientes da matriz ([K] − w2 [M ]), isto é,
([K] − w2 [M ]) = 0. (19)
3 Análise dinâmica via Software ANSYS
Considere uma viga bi-apoiada com as seguintes características: L = 1m, h = b = 5cm, A = 25cm2 , I =
5.21.10− 7, ρ = 7800kg/m3 , v = 0, 3, E = 21000N/m2 .
O modelo obtido no ANSYS pode ser visto na figura 1.
Figura 1: Modelo da Viga bi-apoiada no ANSYS
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5. 3.1 Análise Modal
Uma vez feito a modelagem e aplicando as condições de contorno, foi feito a análise modal e obtido os seguintes
resultados para as frequências naturais
Figura 2: Primeiro Modo de Vibrar.
Figura 3: Segundo Modo de Vibrar.
Figura 4: Terceiro Modo de Vibrar.
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6. Modo de Vibração Frequências Naturais (Hz)
1 0,3717
2 0,148238
3 0,331988
3.2 Análise Harmônica
Para esta análise consideramos uma carga de 10N aplicada no nó 7 da viga, assim como visto abaixo na figura 5.
Figura 5: Viga com a força peso de 10N aplicada no nó 7.
Nesta análise utilizou-se um domínio de 0 a 0,5HZ, tendo em vista as frequências obtidas pela análise anterior.
Após aplicado todas as condições iniciais foi obtido o gráfico de amplitude em função da frequência para o nó 7.
Figura 6: Gráfico de amplitude em função da frequência para o nó 7.
É importante observar que os picos mais altos ocorrem próximo às frequências naturais.
3.3 Análise Transiente
Este tipo de análise, fornece o comportamento da estrutura a partir de uma força aplicada, em função do tempo.
Deste modo, foi aplicado uma força em função do tempo próximo ao ponto central da viga. A análise foi consi-
derada dentro de um intervalo de 50s, tempo suficiente para a observação de um período de oscilação da estrutura.
6

7. Para tanto, aplicando um impulso com largura de 1s e magnitude 10N, ao qual foi definido como uma função.
Assim foi possível observar o comportamento da estrutura nestas condições, uma vez que o ANSYS efetua uma
animação no formato .avi, facilitando a compreensão desta análise.
Figura 7: Animação produzida pelo Ansys.
4 Conclusão
De acordo com os resultados obtidos observa-se que a análise dinâmica pelo método dos elementos finitos uti-
lizando uma ferramenta computacional que possibilite a obtenção de parâmetros como respostas com o tempo,
modo de vibrar da estrutura e suas frequências naturais de trabalho são de fundamental importância para obter um
projeto adequado. Verifica-se também em relação ao dados obtidos, que foram satisfatórios levando como parâ-
metro as referências consultadasm, mostrando a eficácia do MEF para este tipo de determinação. Em trabalhos
futuros, pretende-se fazer uma análise pelo MEF comparando a solução analítica com a obtida pela ferramenta
computacional.
5 Bibliografia
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Publications, 1987.
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RAO, S. S., The Finite Element Method in Engineering, Pergamon Press, Oxford, 1989.
SADD, Martin H. Elasticity: Theory, Applications, and Numerics. Academic Press, August 2004.
SETO, Willian W. Vibrações Mecânicas: Coleção Schaum, McGraw-Hill Int. Ed., 1970.
SORTELO Jr, José . Introdução às Vibrações Mecânicas, 1ed-São Paulo: Edgar Blucher,2006.
ZIENKIEWICZ, O.C., TAYLOR, R.L. The finite element method - Basic formulation and linear problems,
Vol. 1, 4th.ed., McGraw-Hill Int. Ed., 1989.
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