Xxivjft raupp

529 visualizações

Publicada em

0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
529
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
2
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
5
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Xxivjft raupp

  1. 1. XXIV Jornada de Física Teórica MINI-CURSO:Tópicos Especiais de Dinâmica da Atmosfera Professor: Carlos Frederico Mendonça Raupp (IFT-UNESP) E-mail: raupp@ift.unesp.br
  2. 2. Introdução Atmosfera: constitui um invólucro fluido em torno do planeta que estáem incessante movimento devido, em última instância, ao aquecimentodiferenciado pelo sol sobre a Terra; Escoamento atmosférico: caracterizado por movimentos queestendem-se desde escalas milimétricas até às escalas comparáveis como próprio tamanho do planeta ⇒ movimentos de escala planetária; Fluidos geofísicos: escoamento é significativamente afetado pelarotação do planeta; Movimentos na atmosfera: devem ser descritos por um conjuntoacoplado de equações que representam as leis da hidrodinâmica e datermodinâmica; ⇒ Hipótese do Contínuo
  3. 3. Perfil vertical idealizado de temperatura de acordo com a atmosfera padrão. Fonte: Wallace eHobbs (1977).
  4. 4. MODELO DE ÁGUA-RASA COM ROTAÇÃO Para os movimentos de grande-escala na atmosfera tem-se que L >>H, sendo L a escala típica de comprimento horizontal dos movimentos eH a escala de altura típica da troposfera; Para esses movimentos, em primeira aproximação, a equação da continuidade pode ser escrita como div( v ) = 0 , enquanto a equação domovimento vertical pode ser aproximada pelo balanço hidrostático; Dessa forma, vários “ingredientes dinâmicos” desses movimentospodem ser descritos por um modelo de uma camada de fluidohomogêneo e hidrostático ⇒ modelo de água-rasa;
  5. 5. Equações de Navier-Stokes para uma camada de fluido homogêneo(densidade constante), hidrostático e sobre a Terra em rotação:∂u ∂u ∂u ∂u 1 ∂p (1a) +u +v +w − fv = −∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂x∂v ∂v ∂v ∂v 1 ∂p (1b) +u +v +w + fu = −∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂y∂p = ρ −g (1c)∂z∂u ∂v ∂w (1d) + + =0∂x ∂y ∂zOnde V = (u, v, w)T ⇒ vetor velocidade p ⇒ pressão hidrostática; ρ ⇒ densidade (constante) g ⇒ aceleração efetiva da gravidade e f ⇒ parâmetro de Coriolis
  6. 6. Fig. 1: Representação esquemática do modelo de água rasa aplicado àatmosfera. (Fonte: Matsuno, 1966)
  7. 7. Se ρ = const (fluido homogêneo, tomando a derivada em x ou em yda equação hidrostática, tem-se que: ∂∂ p ∂ ∂p =0 =0 (1.2) ∂ ∂ z x ∂ ∂ z y Logo, u e v também não dependem de z.H +h H +h ∂w  ∂u ∂v   ∂u ∂v  ∫ 0 ∂z dz = − ∫ 0   + dz ⇒ w( x, y, z = H + h, t ) − w( x, y,0, t ) = −  ∂x ∂y    ∂x + ∂y ( H + h)    (1.3)Condições de fronteira: (i) w(x,y,0,t) = 0 (sem topografia) dh ∂ h ∂ h ∂h (ii) w( z = h +H ) = dt = ∂ +u ∂ +v ∂ t x y∂h ∂h ∂h  ∂u ∂v   ∂u ∂v  +u +v +H  ∂x + ∂y  + h ∂x + ∂y  = 0    (1.4)∂t ∂x ∂y    
  8. 8. Integrando a equação hidrostática em uma coluna de altura ∆h, tem-se:∂p ∆p ∆ h lim ∆x → 0 ∂p ∂h = ρ −g ∆p = ρg∆h → ÷ ∆x = ρg   → = ρg∂z ∆x ∆x ∂x ∂x ∆p ∆h lim ∆y →0 ∂p ∂h ∆p = ρg∆h → ÷ ∆y = ρg  → = ρg ∆y ∆y ∂y ∂y (1.5a,b)Substituindo nas equações (1.a,b), obtém-se:∂u ∂ u ∂ u ∂φ +u +v − fv + =0 (1.6a)∂t ∂x ∂y ∂x∂v ∂v ∂v ∂φ (1.6b) +u +v + fu + =0∂t ∂x ∂y ∂y∂φ ∂φ ∂φ 2  ∂u ∂v   ∂u ∂v  + u + v + c  +  + φ +  = 0  ∂x ∂y   ∂x ∂y  (1.6c)∂t ∂x ∂y    φ = gh ⇒ perturbação do geopotencialc= gH Velocidade das ondas de gravidade puras
  9. 9. Simular o efeito da convecção térmica ⇒ inclusão de uma fonte demassa Fφ na equação da continuidade (1.6c) ⇒ pode também representaro efeito do aquecimento associado à liberação de calor latente naatmosfera:∂u ∂φ  ∂u ∂u ∂t − fv + ∂x  ∂x + v ∂y  −κu = −u  (1.7a)  ∂v ∂φ  ∂v ∂v ∂t + fu + ∂y  ∂x + v ∂y  −κv = −u  (1.7b)  ∂φ 2  ∂u ∂v   ∂φ ∂φ   ∂u ∂v  +c  + =  ∂x ∂y  −  u + v  − φ  +  + Fφ − κφ  ∂x (1.7c)∂t    ∂y   ∂x ∂y    onde κ é o coeficiente de dissipação do tipo “Rayleigh” e deresfriamento Newtoniano
  10. 10. Linearizando em relação a um estado básico em repouso: ∂u ∂ φ − fv + κ =− u (1.8a) ∂t ∂x ∂v ∂φ + fu + κ =− v (1.8b) ∂t ∂y∂φ ∂u ∂  v +c 2  ∂ +  =Fφ − φ  κ (1.8c)∂t  x ∂  yonde κ é o coeficiente de dissipação do tipo “Rayleigh” e deresfriamento Newtoniano
  11. 11. DERIVAÇÃO DO MODELO DE ÁGUA RASA VIA SOLUÇÃODO MODELO DE EQUAÇÕES PRIMITIVAS POR SEPARAÇÃO DE VARIÁVEISModelo de equações primitivas linearizado em relação a um estadobásico em repouso usando a pressão como coordenada vertical: ∂u −fv + ∂φ= ∂t ∂x 0 (1.9a) ∂v ∂ φ + fu + =0 (1.9b) ∂t ∂y ∂u ∂v ∂ω (1.9c) + + =0 ∂x ∂y ∂p ∂  ∂φ  R J  ∂p  + σω = − P C  (1.9d) ∂t    p
  12. 12. Onde: φ ⇒ geopotencial ω ⇒ velocidade vertical em coordenada-p J ⇒ termo de aquecimento/resfriamento diabático R ⇒ constante dos gases para o ar seco Cp ⇒ calor específico a pressão constante R  RT dT  σ=  −  ⇒ Parâmetro de estabilidade estática do estado p  pC p dp    básico T = T (p) ⇒ temperatura do estado básico
  13. 13. Fazendo 1/ σ ∂ / ∂p (1.9d), obtém-se:∂ ∂  1 ∂φ   ∂u ∂v  R ∂ J    σ ∂p  −  ∂x + ∂y  = − C ∂p  p       (1.10)∂t ∂p     p  Supor inicialmente o caso adiabático, i.e., J ≡ 0 (analisar os modosnormais do sistema):∂u ∂ φ − fv + =0 (1.11a)∂t ∂x∂v ∂ φ (1.11b) + fu + =0∂t ∂y φ∂ ∂  1 ∂  ∂ u ∂  v (1.11c)   − σ ∂   ∂ +  =0∂ ∂  t p p  x ∂  y
  14. 14. Fazendo a seguinte separação de variáveis:  u   u ( x, y , t )  ˆ      v  =  v(x, y, t) G ( p ) ˆ (1.12) φ  φ( x, y , t )  ˆ     ∂  ˆ u ∂ˆ  φ (1.13a)  ∂ − fv + ∂  =0 ˆ G  t x ∂  ˆ v φ ∂ˆ  (1.13b) ∂ + fu + ˆ  =0 G  t ∂  y ∂ ˆ d  1 dG   ∂ˆ φ u ∂ˆ  v  σ dp  − ∂ + ∂ G = 0 (1.13c)   x ∂ dp  t   y
  15. 15. De (1.13c), segue que: ∂φˆ ∂t G = = −c 2 (1.14)  ∂u ∂v  ˆ ˆ d  1 dG    ∂x + ∂y  dp  σ dp        c ⇒ constante de separação (tem dimensão de velocidade) Logo, a estrutura horizontal é governada por: ∂uˆ −fv + ˆ ∂ φ= ˆ 0 (1.15a) ∂ t ∂ x ∂ˆ v +fu + ˆ ∂φ= ˆ 0 (1.15b) ∂t ∂y ˆ ∂φ 2  ∂ˆ u ∂v  ˆ +c  ∂x + ∂y  = 0  (1.15c) ∂t  
  16. 16. Equação da Estrutura VerticalDe (1.14) segue que a estrutura vertical é governada pela seguinteequação: d  1 dG  1   σ dp  + c 2 G = 0  (1.16) dp  Supondo como condições de fronteira para o sistema (1.9) ω = 0 em p =0 (topo)e em p = p0 (superfície), tais condições são escritas como: dG / dp = 0 em p = 0 (1.17a) dG / dp = 0 em p = p0 (1.17b) A eq. (1.16) com as condições de fronteira (1.17a,b) constitui umproblema de Sturm-Liouville.
  17. 17. Supondo ainda que σ é constante com a pressão, tem-se que (1.16) torna-se: d 2G σ 2 + 2 G=0 dp cEquação Característica: σ λ2 + 2 = 0 (1.18) c σ λ =± i (1.19) cSolução Geral: σ σ ip − ip G ( p ) =Ae c +Be c (1.20)
  18. 18. Aplicando a condição de fronteira (1.17a) em p = 0, tem-se que A = B.Aplicando a condição de fronteira (1.17b) em p = p0, tem-se: σ   i σ p0 −i σ p0   =0 i e c −e c c      σ  σ  sin p0  = 0 ou p 0 = mπ (1.21)   c  c m = 0, 1, 2, 3, ...Logo:cm = p0 σ (1.22) Autovalores mπ  σ G m ( p ) = cos c p  (1.23)  Autofunções  m 
  19. 19. Tabela .11: Autovalores cm da equação da estrutura vertical (1.16) comas condições de fronteira (1.17a,b) para p0 = 1000hPa e σ = 1,6 x 10-6 m4s2 Kg-2. m cm (ms-1) 0 ∞ 1 40,02 2 20,2 3 13,5 4 10,1
  20. 20. Soluções de Ondas Lineares das Equações da Água RasaVamos considerar caso do plano β-equatorial: f = βy (2.1)Onde β = 2Ω/a ⇒ Parâmetro de Rossby ∂u ∂ φ −β v + y =0 (2.2a) ∂t ∂x ∂v ∂φ +β + yu =0 (2.2b) ∂t ∂y ∂φ 2∂ u ∂v  +c   ∂x + ∂y  = 0  (2.2c) ∂t  
  21. 21. É conveniente transformar as equações para a forma adimensional,utilizando as escalas: 1 1 [L ] = c [T ] = 1  2 2       (2.3) β  cβ  Fig. 2.1: Número de unidades de tempo adimensionais por dia (escala daesquerda) ou escala de tempo [T] em dias (escala da direita) comofunção de c = (gH)1/2. (Fonte: Silva Dias e Schubert, 1979)
  22. 22. Fig. 2.2: Número de unidades de comprimento adimensionais por1000Km (escala da esquerda) ou escala de comprimento [L] emquilômetros (escala da direita) como função de c = (gH)1/2. (Fonte: SilvaDias e Schubert, 1979)
  23. 23. Usando c como escala para u e v e c2 = gH como escala de φ, tem-se: ∂ u −v + y ∂ =0 φ (2.4a) ∂ t ∂x ∂ v +yu + ∂φ=0 (2.4b) ∂t ∂y φ ∂ +v = ∂ + u ∂ 0 (2.4c) ∂t ∂x ∂ y u  u Condições de fronteira:      v ( x , y , t ) =  v ( x + L x , y , t ) (2.5a) φ  φ        u   lim v  x, y , t ) =0 (2.5b) ( y →∞   φ  
  24. 24. Buscando soluções na forma de ondas planas (Ansatz de ondas planas):    k  u u     ikx + k t iω  =v v  k  e (2.6) φ k       φ iω u k −yv k + φ =0 k ik k (2.7a) dφ iω k + k v yu k + k =0 (2.7b) dy dv k iω φ +iku k + k k =0 (2.7c) dy
  25. 25. Na forma vetorial: (iωkI + Ωk)ξk = 0 (2.8)k ⇒ número de onda zonalξk = [uk, vk, φk]T ⇒ autovetor ωk ⇒ freqüência temporal (autovalor)   0 −y ik    d  Ω =y 0 (2.9) k  dy   d  Operador linear (anti- ik 0  hermitiano)   dy  
  26. 26. É possível reduzir o sistema (2.7) a uma única equação diferencialordinária em vk, dada por d 2vk ˆ  2 k 2  +ω - k +  k 2 - y v k = 0 ˆ dy 2  ωk  vk → 0 quando |y| → ∞Solução: y2 − v k ( y) = e 2 H n ( y) Desde que seja satisfeita a relação de dispersão abaixo: k ω -k2 2 + = n+ 2 1 , n = 0, 1, 2, .... (2.10) k ωk
  27. 27. Fig. 2.3: Diagrama de dispersão de algumas ondas lineares permitidaspelo modelo (2.5). (Fonte: Silva Dias e Schubert, 1979).
  28. 28. Fig. 2.4: Diagrama da velocidade de grupo das ondas lineares permitidaspelo modelo (2.5). (Fonte: Silva Dias e Schubert, 1979).
  29. 29. As autofunções são dadas por:  i   − 2 (ω k,n,r − k)H n +1 (y) − in(ω k,n,r + k)H n −1 (y) y 2 ξ k,n,r (y) =  ( 2 ) ω k,n,r − k H n (y) 2  −2 e (2.11)  i   − 2 (ω k,n,r − k)H n +1 (y) + in(ω k,n,r + k)H n −1 (y)   Para n > 0 H 0 (y) y 2  0 e − 2 ξ k, − (y) =  (2.12) 1,3  H 0 (y)   Para n = -1 (Kelvin)Estas autofunções formam um conjunto ortogonal e completo no espaçodas funções de quadrado integrável em (-∞, +∞ ).
  30. 30. Fig. 2.5: Estrutura espacial dos campos do vento e do geopotencialassociada às ondas de Rossby para n = 1. (Adaptado de Raupp, 2002.)
  31. 31. Fig. 2.6: Estrutura espacial dos campos do vento e do geopotencialassociada às ondas de gravidade-inerciais para n = 1. (Adaptado deRaupp, 2002.)
  32. 32. Fig. 2.7: Estrutura espacial dos campos do vento e do geopotencialassociada às ondas mistas de Rossby-gravidade (n = 0). (Adaptado deRaupp, 2002.)
  33. 33. Fig. 2.8: Estrutura espacial dos campos do vento e do geopotencialassociada à onda de Kelvin (n = -1). (Adaptado de Raupp, 2002.)
  34. 34. Solução Geral das Equações da Água Rasa Através do Método EspectralModelo de equações primitivas forçado por um perfil de aquecimentodiabático dado por J(x,y,p,t). ∂u ∂ φ −β v + y κ =− u (3.1a) ∂t ∂x ∂v ∂φ +β u + y κ =− v (3.1b) ∂t ∂y ∂ ∂  1 ∂φ   ∂u ∂v  1 ∂  J  ∂  ∂φ   − +  = −  σ ∂p   ∂x ∂y    +κ  σp    (3.1c) ∂t ∂p     c p ∂p   ∂p  ∂p   κ ⇒ coeficiente de dissipação de momento e de resfriamentoNewtoniano.
  35. 35. Dado que a equação da estrutura vertical (1.16), com C.F. (1.17a,b)constitui um problema de Sturm-Liouville: J Ju ( x, y, p, t ) = ∑ u j ( x, y, t )G j ( p) v( x, y , p, t ) = ∑v j ( x, y, t )G j ( p ) j =1 j =1 (3.2) ∂  J  J  pσ  = ∑q j ( x, y, t )G j ( p ) Jφ( x, y, p, t ) = ∑φ j ( x, y, t )G j ( p )   j =1 ∂p   j =1Onde os coeficientes de expansão são dados por: p0 p0u j ( x, y, t ) = ∫ u ( x, y, p, t )G ( p )dp v j ( x, y , t ) = ∫ v( x, y, p, t )G ( p)dp 0 0 (3.3) p0 p0 ∂ J φ j ( x, y, t ) = ∫ φ ( x, y, p, t )G ( p )dp q j ( x, y , t ) = ∫   pσ  ( p ) dp G 0 0 ∂  p 
  36. 36. Substituindo (3.2) em (3.1), multiplicando as equações resultantes porGm(p), usando a equação da estrutura vertical (1.16) para cada um dosmodos verticais, integrando as equações resultantes no intervalo [0,p0] eusando a ortogonalidade das autofunções Gj(p) obtém-se: ∂u j ∂φ j − βyv j + = −κu j (3.4a) ∂t ∂x ∂ j v φ ∂ j +β j + yu κ =− v j (3.4b) ∂t ∂y ∂φ j  ∂u j ∂v j  +c  2  ∂x j +  = c 2 ( q j − κφ j )  j (3.4c) ∂t  ∂y 
  37. 37. Escrevendo na forma adimensional, usando as mesmas escalas usadasanteriormente: ∂ξ +Ω = F −κ ξ ξ (3.5) ∂tOnde ξ = [u(x,y,t), v(x,y,t), φ(x,y,t)]T  ∂ 0 −y   ∂x  ∂ Ω=  y 0 (3.6)  ∂y  ∂ ∂   0  ∂x  ∂y  F = [0, 0, Fφ]T com Fφ = q (c5β)-1/2 (3.7)
  38. 38. Dado que as autofunções ξk,n,r(y) formam um conjunto ortogonal ecompleto em (-∞<y<∞)e que as funções trigonométricas complexas eikxformam um conjunto ortogonal e completo no intervalo [-Lx,Lx]: +∞ ∞ 3G ( x, y , t ) = ∑∑∑g k , n , r (t )ξk , n , r ( y )e ikx k =− n =− r = ∞ 1 1 / (3.8) gk,n,r(t) = < Gk(y,t) • ξk,n,r(y)> (3.9) , onde +∞G k ( y, t ) • ξ k ,n ,r ( y ) = ∫ (g −∞ 1k ) ( y, t )u k*,n,r ( y ) + g 2 k ( y, t ) v k ,n,r ( y ) + g1k ( y, t )u k*,n,r ( y ) + g 3k ( y, t )φ k*,n,r ( y ) dy (3.10) Lx 1 Gk ( y, t ) = Lx ∫ G ( x, y, t )e −ikx dx −L x (3.11)
  39. 39. Dessa forma, as variáveis de estado e a forçante podem ser expressas porsuas respectivas expansões em série: +∞ ∞ 3 ξ(x,y,t) = ∑ ∑ ∑ ck,n,r(t) ξk,n,r(y)eikx k =−∞n=−1r =1 (3.12) +∞ ∞ 3 F(x,y,t) = ∑ ∑ ∑ fk,n,r(t) ξk,n,r(y)eikx k =−∞ n=−1r =1 Substituindo a equação (3.12) em (3.5), multiplicando escalarmente porξ*s,m,l(y)e-isx , integrando a expressão obtida no domínio todo e usando arelação (2.8) e a ortogonalidade das autofunções ξk,n,r(y)eikx no domínio[-Lx,Lx] X (-∞<y<∞): dck ,n ,r (t ) − iωk ,n ,r ck ,n ,r (t ) = f k ,n ,r (t ) − κck ,n ,r (t ) (3.13) dt para cada k, n, r.
  40. 40. A solução geral é dada por: t + ∫ f k ,n ,r ( s)e ( i ω k , n , r −κ ) t − ( iω k , n , r −κ )( s − t ) c k ,n ,r (t ) = c k ,n ,r (0)e ds (3.14) 0 Previsão de tempo Previsão climáticaNo caso de uma forçante estacionária, a solução é dada por: ck ,n ,r (t ) = ck ,n ,r (0)e ( iωk ,n ,r −κ ) t + f k ,n,r [iω k ,n ,r −κ] [e ( iω k ,n , r − κ ) t −1] (3.15)
  41. 41. Para κ = 0, ocorre ressonância com os modos geostróficos zonalmentesimétricos (k = 0 e ω = 0): −iω k,n,1t f k,n,1 (1 − e ) c0,n ,1 (t ) = lim = tf 0,n ,1 (3.16a) ωk ,n ,1 →0 iω k,n,1 − iω k,-1,3 t f k,-1,3 (1 − e ) c0, −1,3 (t ) = lim = tf 0, −1,3 (3.16b) ω k , −1, 3 →0 iωk,-1,3 Um dos mecanismos que mantém a circulação média zonal da atmosfera
  42. 42. No caso de uma forçante explosiva, i.e., cresce inicialmente, atinge ummáximo e passa a decrescer com o tempo ˆ α 3 t 2 e −αt f k , n , r (t ) = f k , n , r (3.17)A solução é dada, na ausência de dissipação (κ=0), por: α3 ˆ e iω k , n , r 1 − 1 + (α + iω ) t + 1 (α + iω ) 2 t 2  e − ( α + iω k , n , r ) t c k ,n ,r (t ) = f k ,n,r    ( α + iω k , n , r )   k ,n,r 2 k ,n ,r    (3.18)
  43. 43. ReferênciasMAJDA, A. J. Introduction to PDEs and Waves for the Atmosphere and Ocean.Volume 9. American Mathematical Society, 2003. ISBN: 0-8218-2954-8.HOLTON, J. An introduction to dynamic meteorology. 4th Edition. Elsevier AcademicPress, 2004.A. E. GILL. Atmosphere-Ocean Dynamics. Volume 30. International Geophysics Series.Editora: Academic Press (1982). ISBN: 0-12-283520-4J. PEDLOSKY. Geophysical Fluid Dynamics – Second Edition. Editora: Springer. ISBN:0-387-96387-1. ISBN: 3-540-96387-1. LEMES, M. A. M.; A. D. MOURA. Fundamentos de dinâmica aplicados àMeteorologia e Oceanografia. 2ª Edição. Holos Editora Ltda-ME, 2002. ISBN: 85-86699-33-0.HALTINER, G. J.; R. T. WILLIAMS. Numerical prediction and dynamic meteorology.Second Edition, 1980. Editora: Wiley. ISBN: 0471059714, 477 pp.
  44. 44. SILVA DIAS, P.L.; W. H. SCHUBERT. The dynamics of equatorial mass-flowadjustment. Atmospheric Science Paper No. 312 (Department of Atmospheric ScienceColorado State University), Fort Collins, Colorado, USA, 1979. RAUPP, C. F. M. (2002). Efeitos de processos não lineares na influência inter-hemisférica de fontes de calor. São Paulo, 2002. p. [Dissertação de Mestrado. Instituto deAstronomia, Geofísica e Ciências Atmosféricas/Universidade de São Paulo]. MATSUNO, T. Quasi-geostrophic motions in the equatorial area. J. Meteor. Soc.Japan, 44, 25-43, 1966. John M. Wallace & Peter V. Hobbs. Atmospheric Science. First Edition: AnIntroductory Survey, Editora: Academic Press, 1a edição (1977)

×