1) O documento apresenta uma lista de exercícios de econometria sobre regressão linear simples e múltipla. 2) Os exercícios abordam tópicos como estimação de parâmetros, propriedades dos estimadores de MQO, testes de hipóteses e interpretação econômica. 3) A lista inclui 23 exercícios para serem resolvidos até 6 de setembro de 2018.

1. UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
CENTRO DE CIÊNCIAS JURÍDICAS E ECONÔMICAS
DEPARTAMENTO DE ECONOMIA
1
ECO 03719 – ECONOMETRIA I
Prof.º: Edson Zambon Monte; Período: 2018/2
edsonzambon@yahoo.com.br
Lista de exercícios nº 1 Data de entrega: até 06.09.2018
Observações:
i) Os exercícios do livro de Gujarati e Porter também são interessantes de serem feitos;
ii) Quando necessário trabalhe com duas casas decimais.
1) Considere “ a ” uma constante e X uma variável aleatória. Demonstre que,
)X(VARa)aX(VAR 2
 .
2) Considere que 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋 𝑛 denotem 𝑛 variáveis aleatórias independentes, todas elas possuem
função de distribuição de probabilidade com média 𝜇 e variância 𝜎2
. Seja 𝑋̅ =
∑ 𝑋 𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
, a média
amostral. Supondo que 𝑛 aumente indefinidamente, prove que 𝐸(𝑋̅) = 𝜇 e 𝑉𝐴𝑅(𝑋̅) =
𝜎2
𝑛
.
3) Demonstre que 𝑉𝐴𝑅(𝑋) = 𝐸(𝑋 − 𝜇)2
= 𝐸(𝑋2) − 𝜇2
.
4) Demonstre que 𝐶𝑂𝑉(𝑋, 𝑌) = 𝐸(𝑋 − 𝜇 𝑥)(𝑌 − 𝜇 𝑦) = 𝐸(𝑋, 𝑌) − 𝜇 𝑥 𝜇 𝑦.
5) Suponha que 𝑋 e 𝑌 sejam variáveis aleatórias independentes. Para este caso, prove que
𝐶𝑂𝑉(𝑋, 𝑌) = 0.
6) Se 𝐶𝑂𝑉(𝑋, 𝑌) = 0, as duas variáveis são independentes? Justifique.
7) Sendo X uma variável aleatória, prove, matematicamente, que   .XX
n
i
i 0
1

8) Suponha um estimador qualquer dado por 𝜃̂. Demonstre que 𝐸𝑄𝑀(𝜃̂) = 𝐸(𝜃̂ − 𝜃)2
=
𝑉𝐴𝑅(𝜃̂) + [𝑉𝐼É𝑆(𝜃̂)]2
; em que 𝐸𝑄𝑀 = 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑚é𝑑𝑖𝑜.
9) Cite e explique as etapas da análise econométrica.
10) Quais as hipóteses no Modelo de Regressão Linear Clássico (MRLC) quando considerada a
análise de regressão simples? Explique cada uma delas.
11) Dadas às hipóteses (ou premissas) do Modelo de Regressão Linear Clássico (MRLC), as
estimativas de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) possuem algumas propriedades ideais ou
ótimas. Quais são estas propriedades? Explique cada uma delas.
12) Considere o seguinte modelo: iii uXY  21  . Utilizando o método de MQO, derive os
estimadores de 1 e 2 .

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2
13) Os economistas estão sempre interessados em saber se, e em que grau, as ações dos governos,
seja Federal, Estadual ou Municipal, afetam a economia. Com isso em mente, um pesquisar
propôs o modelo teórico abaixo para estudar como o investimento público, dos governos
estaduais, afeta o PIB estadual.
iii uXY  21 
em que iY é o PIB medido em R$ bilhões; iX , investimento também medido em R$ bilhões; e, iu ,
termo de erro.
a) Qual a interpretação de 1 , 2 e iu ?
b) Suponha que os dados disponíveis compreendam uma amostra dos 27 estados apenas para o ano
de 2010. Mostre como os valores dos parâmetros populacionais desconhecidos 1 e 2 são
obtidos através do método de mínimos quadrados ordinários.
c) O que nos garante que o resultado encontra pelo método do item “b” é o melhor possível?
14) Tome o modelo: iii uXY  21  . Uma das propriedades do método de Mínimos Quadrados
Ordinários (MQO) é que seus estimadores são não viesados (ou não tendenciosos). Esta
propriedade é representada, de forma generalizada, por:  )ˆ(E . Prove, matematicamente,
que 11)ˆ(  E e 22 )ˆ(  E .
15) Suponha que seja ajustada a reta de regressão 𝑌̂𝑖 = 𝛽̂1 + 𝛽̂2 𝑋𝑖,2, porém a variável resposta é
afetada por uma segunda variável 𝑋𝑖,3, tal que o verdadeira modelo a ser estimado é 𝑌𝑖 = 𝛽1 +
𝛽2 𝑋𝑖,2 + 𝛽3 𝑋𝑖,3 + 𝑢𝑖. O estimador de mínimos quadrados de 𝛽2 (𝛽̂2) da regressão linear
simples é não-viciado? Se viciado, mostre o tamanho do viés de 2
ˆ .
16) Dado o modelo: iii uXY  21  , prove que 






XXS
X
n
VAR
2
2
1
1
)ˆ(  e que
XXS
VAR
2
2 )ˆ(

  ; onde  
2
1


n
i
iXX XXS . Também prove que
XXS
XCOV
2
21 )ˆ,ˆ(

  .
17) Baseando-se no modelo: iii uXY  21  . Prove que   0ˆ
1

n
i
i YY e que 0ˆ
1

n
i
iiuX .
18) Tem-se o modelo iii uXY  21  . Sendo o t estatístico (t calculado) para realização do teste
de significância do coeficiente 2 dado por
XX
RES
S
MSQep
t 2
2
2
0
ˆ
)ˆ(
ˆ 


 , prove que, para uma
regressão linear simples, 0
2
0 Ft  .

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3
19) Para o modelo iii uXY  21  . Demonstre que
)2/( 

nSQ
SQ
F
RES
EXP
cal é igual a
)2/()1( 2
2


nR
R
Fcal ; em que EXP = explicada (regressão) e RES = resíduos.
20) Como base em
XXS
VAR
2
2 )ˆ(

  , uma maior dispersão de iX em torno de sua média ( X ) será
melhor ou pior em termos de precisão da estimativa de 2
ˆ ? Explique.
21) Considerando o modelo: iii uXY  21  , prove que o valor médio de iY estimado ( iYˆ ) é
igual a valor médio do valor observado de iY , ou seja, ii YYˆ  .
22) Tem-se o seguinte modelo de regressão, 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋𝑖,2+ 𝑢𝑖, que em termos estimados é dado
por: 𝑌𝑖 = 𝛽̂1 + 𝛽̂2 𝑋𝑖,2+ 𝑢̂ 𝑖. Demonstre que esse último modelo pode ser expresso por: 𝑦𝑖 =
𝛽̂2 𝑥𝑖,2 + 𝑢̂ 𝑖, em que 𝑦𝑖 = 𝑌𝑖 − 𝑌̅ e 𝑥𝑖 = 𝑋𝑖 − 𝑋̅, ou seja, desvios em relação à média.
23) Considere o problema de estimar uma função de produção que expresse a relação entre a
produção de um bem )(Y e a quantidade de insumos )(X . A produção e a quantidade de
insumos são dadas em unidades. Os dados relativos à produção e a quantidade de insumos
encontram-se abaixo:
Produção )(Y Quantidade de insumos )(X
0,58 1
1,10 2
1,20 3
1,30 4
1,95 5
2,55 6
2,60 7
2,90 8
3,45 9
3,50 10
3,60 11
4,10 12
4,35 13
4,40 14
4,50 15
a) Suponha que os dados possam ser descritos por um modelo de regressão linear simples,
iii uXY  21  , e que todas as hipóteses do modelo de regressão linear clássico sejam
verificadas. Aplique o método dos mínimos quadrados ordinários (MQO) para estimar os
parâmetros 1 e 2 (não utilize software estatístico/econométrico).
b) Dê uma explicação econômica o parâmetro estimado de efeito marginal.
c) Com os resultados obtidos do item “a”, represente graficamente a função de produção estimada.
d) Qual o valor previsto para a produção )(Y quando a quantidade de insumos )(X é igual a 20?
e) Calcule a elasticidade de produção )(Y em relação à quantidade de insumos )(X , utilizando os
pontos médios de X )(X e de Y )(Y . Interprete o resultado.

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24) A partir de certos dados um pesquisador estimou um modelo e obteve seguinte resultado:
Variável dependente: PIB
Observações incluídas: 27
Variável Coeficiente Desvio Padrão Estatística t Prob.
C -27,23964 9,805189 -2,778084 0,0102
INVESTIMENTO 107,7422 9,581670 11,24462 0,0000
2
R 0,834920
a) Os coeficientes 1 e 2 apresentam o sinal esperado? Explique.
b) Interprete o resultado encontrado para o 2
R (coeficiente de determinação).
c) Qual a diferença entre o coeficiente de determinação e o coeficiente de correlação?
d) Comente e explique a seguinte afirmação: quando se inclui uma variável explicativa no modelo
de regressão, em geral, o coeficiente de determinação aumenta.
e) Se o investimento público se elevar em R$ 2 bilhões, qual será a variação no PIB, segundo o
modelo estimado?
f) Existem outros fatores que explicam o PIB? Esses fatores são captados pelo modelo acima? Se
esses fatores forem perfeitamente correlacionados com as variáveis explicativas qual a
consequência sobre os estimadores de mínimos quadrados?
25) Com base nos valores estimados para 1 e 2 no exercício 23, resolva os itens abaixo:
a) Construa o intervalo de confiança para 2 para o nível de significância de 5%. Qual a
interpretação do resultado encontrado?
b) Teste a hipótese 0: 20 H contra 0: 21 H , usando o teste t-student. Explique o significado
do resultado obtido. Utilize o nível de significância de 5%.
26) Com as informações sobre o consumo de café em xícaras, em função do preço em dólares, nos
Estados Unidos, para o período de 2000 a 2010, estime e interprete os resultados das seguintes
regressões (utilize software estatístico/econométrico):
Qtde )(Y 2,57 2,50 2,30 2,25 2,20 2,11 1,94 1,97 2,06 2,02 2,35
Preço )(X 0,77 0,74 0,73 0,76 0,75 1,08 1,81 1,39 1,20 1,17 0,72
a) Linear: iii uXY  21  ;
b) Lin-log: iii uXY  log2 , em que 1log   ;
c) Log-lin: iii uXY  2log  ;
c) Duplo logarítmica: iii uXY  loglog 2 , em que 1log   ;
d) Inversa: i
i
i u
X
Y 
1
21  ;
e) Calcule e interprete as elasticidades para cada função estimada. Quando necessário, utilize o
ponto médio dos dados )(Y e )(X ;
f) Prove que, para o modelo 2
1

 ii XY  , a elasticidade de substituição de Y por X é igual a 2 ;

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5
g) Prove que, para o modelo iii uXY  log2 , a elasticidade de substituição de Y por X é
igual a
iY
1
2 .
27) Suponha que você seja admitido para trabalhar em uma empresa que dispõe dos resultados
abaixo, que dizem respeito à estimação de uma função de custo total (em R$), em função da
quantidade produzida (em unidades) em uma das fábricas da empresa.
Dependent Variable: CUSTO TOTAL
Method: Least Squares
Variable Coefficient Std. Error Prob.
C 791,0120 225,7354 0,0365
QUANTIDADE 11,06105 2,160396 0,0069
R-squared 0,867609 Mean dependent var 2389,333
Adjusted R-squared 0,834511 S.D. dependent var 290,3678
S.E. of regression 118,1225 Akaike info criterion 12,64252
Sum squared resid 55811,69 Schwarz criterion 12,57311
Log likelihood -35,92757 F-statistic 26,21355
Durbin-Watson stat 3,071849 Prob(F-statistic) 0,006887
Pede-se:
a) Calcule a elasticidade custo da produção para o ponto médio da função, interpretando-a.
b) Faça o teste de hipótese para cada coeficiente estimado. Elaborar as hipóteses. Considere
05,0 e “t” tabelado igual a 2,776.
c) Poderia ser utilizada a estatística F para verificar a significância do coeficiente de efeito
marginal. Explique.
d) Construa e interprete um intervalo de confiança para a inclinação da função sabendo que o valor
de “t” tabelado, com 05,0 , é igual a 2,776.
e) Para fazer testes de hipóteses no Modelo de Regressão Linear Clássico (MRLC), considera-se
que os erros seguem distribuição normal. Um dos testes de normalidade é o Teste de Jarque-Bera
(JB). Um pesquisador realizou o teste encontrando o seguinte: 53,1JB e 54,22
tab . A que
conclusão o pesquisador chegou sobre a normalidade nos erros. Elaborar as hipóteses.
28) Responda as questões abaixo.
a) Estimou-se o logaritmo da variável custo total (em R$) da questão 22 em função do tempo, em
anos, encontrando-se o resultado abaixo. Já foi aplicado o antilog no parâmetro de intercepto.
Interprete os parâmetros estimados.
AnoCustoTotal 056,072,68)log(  9638,02
R
(0,023) (0,003)
b) Estimou-se o logaritmo da variável custo total (em R$) da questão 22 em função do logaritmo da
quantidade produzida (em unidades), encontrando-se a equação estimada abaixo. Encontre a
elasticidade custo da produção e interprete-a.
)log(246,0857,0)log( QuantidadeCustoTotal 

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6
29) Um pesquisador, estudando os impactos da oferta de crédito (CRED – R$) sobre o Produto
Interno Bruto (PIB – R$) dos municípios do Espírito Santo (78 municípios), estimou a seguinte
equação para o ano de 2008: iii CREDLOGPIBLOG   )()( 2 ; em que )log( 1  e i
é termo de erro aleatório. O modelo estimado foi:
Dependent Variable: LOG(PIB)
Method: Least Squares
Date: 01/24/13 Time: 12:05
Cross-sections included: 78
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 4,664838 0,702390 6,641380 0,0000
LOG(CRED) 0,727858 0,069224 10,51451 0,0000
R-squared 0,633353 Mean dependent var 11,98305
Adjusted R-squared 0,627624 S.D. dependent var 1,257397
S.E. of regression 0,767296 Akaike info criterion 2,337947
Sum squared resid 37,67959 Schwarz criterion 2,404300
Log likelihood -75,15225 Hannan-Quinn criter. 2,364166
F-statistic 110,5550 Durbin-Watson stat 0,000000
Prob(F-statistic) 0,000000
Pede-se:
a) Interprete os coeficientes estimados.
b) O modelo estimado está de acordo com a teoria econômica? Explique.
c) Teste se o coeficiente de efeito marginal é estatisticamente significante. Formular as hipóteses.
Não se esquecer da conclusão. Considere 05,0 e “t” tabelado igual a 1,96.
d) Construa e interprete um intervalo de confiança para o coeficiente de efeito marginal. Considere
05,0 e “t” tabelado igual a 1,96. Se necessário utilize: 2).ˆ(ˆ
 tepIC  .
e) Interprete o coeficiente de determinação encontrado. Dada a fórmula para o coeficiente de
determinação:
SQT
SQR
R 12
, explique se a inclusão de uma variável explicativa adicional no
modelo elevará ou reduzirá o coeficiente de determinação.
f) Um dos testes de normalidade dos resíduos é o Teste de Jarque-Bera (JB). Para a regressão
estimada encontrou-se os resultados abaixo para o teste JB. A que conclusão o pesquisador
chegou sobre a normalidade dos resíduos. Elaborar as hipóteses. Considere 05,0 e
64,12
tab .

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7
g) Elaborar o quadro de análise de variância. Faça o teste de significância estatística para o
coeficiente de inclinação da regressão, utilizando o teste F. Elaborar as hipóteses Considere
05,0 e 96,3tabF .
Variação Graus de liberdade Soma de quadrados Quadrado médio Fcal
Regressão
Resíduos
Total
h) Suponha que você estime o modelo inicial na forma linear: .25000.000.15ˆ
ii CREDBIP 
Calcule a elasticidade do PIB em relação à oferta de crédito, no ponto em que a oferta de crédito
é igual a R$ 1.000.000,00, e interprete-a.
30) Considere que uma empresa (firma) tem a seguinte função de produção Cobb-Douglas:

21 xAxY  ; em que Y é a produção; A , produtividade total dos fatores (uma constante); 1x e
2x , fatores de produção; e,  e  , coeficientes. Você poderia estimar esta relação por
mínimos quadrados ordinários (MQO)? Explique. Há alguma forma que lhe permita aplicar
MQO? Demonstre.
31) Suponha que a relação entre as exportações e a renda mundial não seja linear, mas, sim,
exponencial: t
eRMUNDEXPES tt

  2
1 ; (onde e é a constante matemática neperiana,
base do logaritmo neperiano). Você poderia estimar esta relação por mínimos quadrados
ordinários (MQO). Explique. Há alguma forma de aplicar MQO? Demonstre.
32) Usando a metodologia de Monte Carlo: gerar 1000 valores aleatórios usando a destruição
normal com média zero e variância 1. Calcular a média amostral desses valores. Agora,
replicar o passo anterior 1000 vezes e construir o histograma e a função de densidade para as
médias amostrais encontradas. O que você observa quando à normalidade, no caso da função
de densidade. Utilize, preferencialmente, o software estatístico R Project.
33) De maneira livre, busque algumas séries de dados (internet, revistas, etc.) e rode uma regressão
simples. Estas variáveis devem ter relação econômica entre si. Depois de rodar a regressão
interprete a mesma (parâmetros, coeficiente de determinação, testes de significância, etc.).
0
2
4
6
8
10
12
14
-2 -1 0 1
Series: Residuals
Sample1 78
Observations 78
Mean 2.09e-16
Median 0.186306
Maximum 1.413364
Minimum -2.405421
Std. Dev. 0.832477
Skewness -0.883473
Kurtosis 3.321874
Jarque-Bera 18.870682
Probability 0.040000