Cadeias de MarkovCadeias de Markov
• Carlos Diego Nascimento Damasceno - 08088001701
• Felipe Leite da Silva - 08088001001...
Índice
• Definições Teóricas;
• Processo Estocásticos;
• Processo Marcoviano;
• Cadeia de Markov;
• Obtenção de Soluções;
...
Definições TeóricasDefinições Teóricas
Processos estocásticos:
• Conjunto de variáveis aleatórias (estados) indexadas por um
parâmetro que, geralmente, represent...
Processos Markovianos:
•Um tipo de processo estocástico;
• Obedecem a condição:
P{Xn+1=j / X0=i0, X1=i1,..., Xn-1=in-1, Xn...
Processos Markovianos:
•Um tipo de processo estocástico;
• Obedecem a condição:
P{Xn+1=j / X0=i0, X1=i1,..., Xn-1=in-1, Xn...
Cadeia de Markov:
• Um caso de processo estocástico de estado discreto em que
novos estados serão obtidos apenas considera...
Abstração:
Xa Xat Xs
influência
Não influenciam
•Xa – conjunto de estados anteriores
•Xat – estado atual
•Xs – estado segu...
Abstração:
Xa Xat Xs
influência
Não influenciam
•Xa – conjunto de estados anteriores
•Xat – estado atual
•Xs – estado segu...
• π = πP
•
Σ
i=1
M
Πi = 1
Obtenção de soluções:
O espaço composto pelas variáveis aleatórias, é representado por
uma matri...
• π = πP
•
Σ
i=1
M
Πi = 1
Obtenção de soluções:
O espaço composto pelas variáveis aleatórias, é representado por
uma matri...
• π = πP
•
Σ
i=1
M
Πi = 1
Obtenção de soluções:
O espaço composto pelas variáveis aleatórias, é representado por
uma matri...
• π = πP
•
Σ
i=1
M
Πi = 1
Obtenção de soluções:
O espaço composto pelas variáveis aleatórias, é representado por
uma matri...
Exemplo Literal:
[ ]p11 p12 p13
p21 p22 p23
P31 p32 p33
[ ]π1 π2 π3
= [ ]π'1 π'2 π'3
π'1 = π1p11 + π2p21 + π3p311
π'2 = π1...
AplicaçõesAplicações
• Cadeias de Markov possuem uma ampla abrangência na
modelagem em aplicações;
• Determinam, normalmente, uma previsão sobr...
Modelagem para problemas meteorológicos
•Deseja- se saber o estado climático de uma cidade após um dia;
•Estados sujeito a...
Modelagem para problemas meteorológicos
•Deseja- se saber o estado climático de uma cidade após um dia;
•Estados sujeito a...
Modelagem para problemas meteorológicos
•Deseja- se saber o estado climático de uma cidade após um dia;
•Estados sujeito a...
Modelagem para problemas meteorológicos
•Deseja- se saber o estado climático de uma cidade após um dia;
•Estados sujeito a...
[ ].3 .2 .5 [ ].5 .4 .1
.3 .4 .3
.2 .5 .3
= [ ].3 .3 .4
• Verificando que as duas condições para obtermos as soluções
Estã...
• Esta solução nos mostra a variação considerando um único dia;
• Para obtermos para n dias, basta elevar a matriz P a pot...
• Esta solução nos mostra a variação considerando um único dia;
• Para obtermos para n dias, basta elevar a matriz P a pot...
Modelagem para problemas agrícolas
•Tratamos o problema agrícola de maneira análoga ao problema
meteorológico ;
• Deve- se...
Modelagem para problemas agrícolas
•Tratamos o problema agrícola de maneira análoga ao problema
meteorológico ;
• Deve- se...
Modelagem para problemas agrícolas
•Tratamos o problema agrícola de maneira análoga ao problema
meteorológico ;
• Deve- se...
PageRank
PageRank
• Como criar um rank de páginas mais
referenciadas?
• Algoritmo PageRank
• Criado por Larry Page e Sergei Brin
• ...
Dados
• Temos três páginas web:
– pag1 pag2 e pag3
• Probabilidade de ir de uma página x para y:
–
• p1, p2 e p3 são as pr...
Dados
p1
 p1
 p2
 p3
p2
 p1
 p2
p3
 p2
 p3
• Páginas e suas referências
Matriz de Hyperlink
p1 p2 p3
p1
p2
p3[
1/3 1/2 0
1/3 1/2 1/2
1/3 0 1/2]
Vetor de Estados
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Cadeia de Markov
p=Qp
sendo p= p1 , p2 , p3  pn
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Resolução do Problema
 Matriz dehyperlink Q
Vetor de estados p
 Relação p=Qp
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Resolução do Problema
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Cadeias de Markov

  1. 1. Cadeias de MarkovCadeias de Markov • Carlos Diego Nascimento Damasceno - 08088001701 • Felipe Leite da Silva - 08088001001 • Téofilo Augusto Vieira Bordalo - 08088000201
  2. 2. Índice • Definições Teóricas; • Processo Estocásticos; • Processo Marcoviano; • Cadeia de Markov; • Obtenção de Soluções; • Aplicações;
  3. 3. Definições TeóricasDefinições Teóricas
  4. 4. Processos estocásticos: • Conjunto de variáveis aleatórias (estados) indexadas por um parâmetro que, geralmente, representa o tempo; X(t) • Podem ser discretos ou contínuos considerando- se Tempo e espaço;
  5. 5. Processos Markovianos: •Um tipo de processo estocástico; • Obedecem a condição: P{Xn+1=j / X0=i0, X1=i1,..., Xn-1=in-1, Xn=i} = P{Xn+1=j / Xn=i} para todos os pontos no tempo n e todos os estados i0,..., in-1, i, j.
  6. 6. Processos Markovianos: •Um tipo de processo estocástico; • Obedecem a condição: P{Xn+1=j / X0=i0, X1=i1,..., Xn-1=in-1, Xn=i} = P{Xn+1=j / Xn=i} para todos os pontos no tempo n e todos os estados i0,..., in-1, i, j. “Para se ter a predição de um estado novo basta ter conhecimento do estado atual”
  7. 7. Cadeia de Markov: • Um caso de processo estocástico de estado discreto em que novos estados serão obtidos apenas considerando o estado atual. • A análise de cadeias de Markov podem ser feitas mediantes o tempo discreto ou continuo. • Trabalharemos somente com Cadeias de Markov a tempo discreto.
  8. 8. Abstração: Xa Xat Xs influência Não influenciam •Xa – conjunto de estados anteriores •Xat – estado atual •Xs – estado seguinte
  9. 9. Abstração: Xa Xat Xs influência Não influenciam •Xa – conjunto de estados anteriores •Xat – estado atual •Xs – estado seguinte Processo de Markov
  10. 10. • π = πP • Σ i=1 M Πi = 1 Obtenção de soluções: O espaço composto pelas variáveis aleatórias, é representado por uma matriz denominada de Matriz de Transição. A distribuição inicial e final do sistema estão representadas nos vetores de estados.
  11. 11. • π = πP • Σ i=1 M Πi = 1 Obtenção de soluções: O espaço composto pelas variáveis aleatórias, é representado por uma matriz denominada de Matriz de Transição. A distribuição inicial e final do sistema estão representadas nos vetores de estados.
  12. 12. • π = πP • Σ i=1 M Πi = 1 Obtenção de soluções: O espaço composto pelas variáveis aleatórias, é representado por uma matriz denominada de Matriz de Transição. A distribuição inicial e final do sistema estão representadas nos vetores de estados. matriz singular; soma das linhas=1;
  13. 13. • π = πP • Σ i=1 M Πi = 1 Obtenção de soluções: O espaço composto pelas variáveis aleatórias, é representado por uma matriz denominada de Matriz de Transição. A distribuição inicial e final do sistema estão representadas nos vetores de estados.
  14. 14. Exemplo Literal: [ ]p11 p12 p13 p21 p22 p23 P31 p32 p33 [ ]π1 π2 π3 = [ ]π'1 π'2 π'3 π'1 = π1p11 + π2p21 + π3p311 π'2 = π1p12 + π2p22 + π3p332 π'3 = π1p13 + π2p23 + π3p333
  15. 15. AplicaçõesAplicações
  16. 16. • Cadeias de Markov possuem uma ampla abrangência na modelagem em aplicações; • Determinam, normalmente, uma previsão sobre como algo se apresentará após um determinado tempo; • Neste trabalho serão abordadas as modelagens para problemas meteorológicos e agrícolas e o Algoritmo PageRank.
  17. 17. Modelagem para problemas meteorológicos •Deseja- se saber o estado climático de uma cidade após um dia; •Estados sujeito a mudanças Ensolarado, Chovendo, Nublado • Tabela de probabilidade de Transição [ ].3 .2 .5 [ ].5 .4 .1 .3 .4 .3 .2 .5 .3
  18. 18. Modelagem para problemas meteorológicos •Deseja- se saber o estado climático de uma cidade após um dia; •Estados sujeito a mudanças Ensolarado, Chovendo, Nublado • Tabela de probabilidade de Transição [ ].3 .2 .5 [ ].5 .4 .1 .3 .4 .3 .2 .5 .3 Π1 = ensolarado; π2 = Chovendo; Π3 = nublado;
  19. 19. Modelagem para problemas meteorológicos •Deseja- se saber o estado climático de uma cidade após um dia; •Estados sujeito a mudanças Ensolarado, Chovendo, Nublado • Tabela de probabilidade de Transição [ ].3 .2 .5 [ ].5 .4 .1 .3 .4 .3 .2 .5 .3 Esta ensolarado Continuará ensolarado
  20. 20. Modelagem para problemas meteorológicos •Deseja- se saber o estado climático de uma cidade após um dia; •Estados sujeito a mudanças Ensolarado, Chovendo, Nublado • Tabela de probabilidade de Transição [ ].3 .2 .5 [ ].5 .4 .1 .3 .4 .3 .2 .5 .3 Esta ensolarado será chuvoso
  21. 21. [ ].3 .2 .5 [ ].5 .4 .1 .3 .4 .3 .2 .5 .3 = [ ].3 .3 .4 • Verificando que as duas condições para obtermos as soluções Estão satisfeitas; • Obtemos a solução: Π1’ = ensolarado; Π2’ = Chovendo; Π3’ = nublado;
  22. 22. • Esta solução nos mostra a variação considerando um único dia; • Para obtermos para n dias, basta elevar a matriz P a potência n (Pn ); π n = πPn • Outra solução também pode ser obtida resolvendo: π = πP, considerando o vetor inicial de estados como o vetor anterior ao que se deseja calcular; π 2 = π 1 P Vetor de estados calculado para 1 dia.
  23. 23. • Esta solução nos mostra a variação considerando um único dia; • Para obtermos para n dias, basta elevar a matriz P a potência n (Pn ); π n = πPn • Outra solução também pode ser obtida resolvendo: π = πP, considerando o vetor inicial de estados como o vetor anterior ao que se deseja calcular; π 2 = π 1 P Vetor de estados calculado para 2 dias.
  24. 24. Modelagem para problemas agrícolas •Tratamos o problema agrícola de maneira análoga ao problema meteorológico ; • Deve- se determinar se a condição de um solo mediante o uso de 2 tipo de adubo [ ].3 .6 .1 [ ].2 .5 .3 .1 .2 .7 .05 .35 .6 = [ ].1 .4 .5 Probabilidades baseadas no uso do adubo I .
  25. 25. Modelagem para problemas agrícolas •Tratamos o problema agrícola de maneira análoga ao problema meteorológico ; • Deve- se determinar se a condição de um solo mediante o uso de 2 tipo de adubo; [ ].3 .6 .1 .5 .3 .2 .4 .3 .3 .4 .4 .2 = [ ].4 .6 .0 Probabilidades baseadas no uso do adubo II. [ ]
  26. 26. Modelagem para problemas agrícolas •Tratamos o problema agrícola de maneira análoga ao problema meteorológico ; • Deve- se determinar se a condição de um solo mediante o uso de 2 tipo de adubo • Assim através de uma cadeia de Markov podemos simular uma previsão de resultados e portanto como obter os melhores destes.
  27. 27. PageRank
  28. 28. PageRank • Como criar um rank de páginas mais referenciadas? • Algoritmo PageRank • Criado por Larry Page e Sergei Brin • Fundadores do Google • Classifica Páginas web com base no número de referências feitas à ela
  29. 29. Dados • Temos três páginas web: – pag1 pag2 e pag3 • Probabilidade de ir de uma página x para y: – • p1, p2 e p3 são as probabilidades de se alcançar a página 1 k ondek é aquantidade de páginasque x referencia
  30. 30. Dados p1  p1  p2  p3 p2  p1  p2 p3  p2  p3 • Páginas e suas referências
  31. 31. Matriz de Hyperlink p1 p2 p3 p1 p2 p3[ 1/3 1/2 0 1/3 1/2 1/2 1/3 0 1/2]
  32. 32. Vetor de Estados  p1 , p2 , p3
  33. 33. Cadeia de Markov p=Qp sendo p= p1 , p2 , p3  pn e p1p2p3pn=1
  34. 34. Resolução do Problema  Matriz dehyperlink Q Vetor de estados p  Relação p=Qp d1 d2 d3 [ 1 3 1 2 0 1 3 1 2 1 2 1 3 0 1 2 ]⋅ [ p1 p2 p3]
  35. 35. d1  d2  d3  1 3 ⋅p1 1 2 ⋅p2 0⋅p3 =p1 1 3 ⋅p1 1 2 ⋅p2 1 2 ⋅p3 =p2 1 3 ⋅p1 0⋅p2 1 2 ⋅p3 =p3 Resolução do Problema
  36. 36. Resolução do Problema Resolvendoalinhad1: 1 3 ⋅p1 1 2 ⋅p2=p1  multiplicamosambos osladosda função por 6 6 ⋅p1  2 6 ⋅p1 3 6 ⋅p2= 6 6 ⋅p1  subtraimos deambos oslados dafunção 2 6 ⋅p2  3 6 ⋅p2= 4 6 ⋅p1  comisso obtemos  p2= 4 3 ⋅p1
  37. 37. Resolução do Problema Resolvendoalinhad2 : 1 3 ⋅p1 1 2 ⋅p2 1 2 ⋅p3=p2  substituimos p2 pelovalor obtido naresoluçãodalinha d1  1 3 ⋅p1 1 2 ⋅ 4 3 ⋅p1 1 2 ⋅p3= 4 3 ⋅p1  multiplicando 1 2 ⋅ 4 3 teremos  1 3 ⋅p1 2 3 ⋅p1 1 2 ⋅p3= 4 3 ⋅p1  multiplicando afunção por 6 6 teremos  2 6 ⋅p1 4 6 ⋅p1 3 6 ⋅p3= 8 6 ⋅p1  simplificando a função  p3= 2 3 ⋅p1
  38. 38. Resolução do Problema Obtendoos valoresde p1 p2 e p3: p1 4 3 ⋅p1 2 3 ⋅p1=1 9 3 ⋅p1=1⇒ p1= 3 9 p2= 4 3 ⋅p1⇒ p2= 4 9 p3= 2 3 ⋅p1⇒ p3= 2 9
  39. 39. Resolução do Problema Comisso...  probpag1 , probpag2 , probpag3= 3 9 , 4 9 , 2 9  portanto... probpag2 probpag1 probpag3
  40. 40. Obrigado !

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