Slide caderno 6_PNAIC

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Conceitos de Geometria básicos

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  1. 1. GEOMETRIA CADERNO 5 PNAIC - UFC
  2. 2. http://www.youtube.com/watch?v=Kiok0T2WHf4
  3. 3. ORIGEM DA GEOMETRIA? Um pouco de história
  4. 4. O que significa Geometria? Resulta de dois termos gregos: GEO- terra METRIA- medir
  5. 5. GEOMETRIA- é o ramo da matemática relacionado com as propriedades do espaço, normalmente em termos de figuras do plano (bidimensional) e sólidas(tridimensional). Divide-se em geometria pura, que se dedica ao plano e à geometria dos sólidos, tratada na obra de Euclides (ELEMENTOS) e geometria analítica ou de coordenadas e ainda uma terceira a geometria não-euclidiana.
  6. 6. LABORATÓRIO DE PESQUIA MULTIMEIOS/ DISCIPLINA ENSINO DE O historiador grego Heródoto (500 a.C.) atribuiu aos egípcios o início da geometria, mas outras civilizações antigas (babilônios, hindus, chineses) também possuíam muitas informações geométricas. Os conceitos de Geometria surgem na Grécia. Para entrar na escola de Platão era preciso ter conhecimentos geométricos, nesse contexto sobressaem Tales de Mileto (um dos sete sábios da Grécia), Pitágoras ( famoso pelo seu teorema), Euclides ( que criou a geometria euclidiana). Sendo eles os primeiros geómetras. A partir do século XIX, surgem várias geometrias não-euclidianas, inventadas por Gauss, Bolyai e Lobachevski.
  7. 7. Geometria plana A geometria plana, também chamada geometria elementar ou Euclidiana, teve início na Grécia antiga. Esse estudo analisava as diferentes formas de objetos, e baseia-se em três conceitos básicos: ponto, reta e plano.
  8. 8. O termo axioma é originado da palavra grega αξιωμα (axioma), que significa algo que é considerado ajustado ou adequado, ou que tem um significado evidente. Entre os filósofos dos gregos antigos, um axioma era uma reivindicação que podia ser vista para ser verdade sem nenhuma necessidade de prova. Axioma
  9. 9. Geometria espacial Ramo da geometria que estuda a medida do espaço ocupado por um sólido. Cálculo dos volumes de um cubo, prisma, pirâmide, cone, cilindro, esfera e de um paralelepípedo.
  10. 10. Geometria Escolar Geometria Euclidiana, recebe este nome por que Euclides (300 a. C.) foi o primeiro a sistematizá-la de forma organizada.
  11. 11. Problematizações Por que ensinamos primeiro a geometria plana na escola?
  12. 12. Geometria na vida
  13. 13. E a Geometria do Pescador, da Costureira etc? GEOMETRIAS...
  14. 14. Triângulo • O que significa ser uma figura rígida? • Vamos comprovar! • Construir a representação de um triângulo e de um de quadrilátero com canudinhos, sem cortar. • O que vocês observam quando movimentam os lados dessas formas geométricas?
  15. 15. Refletindo... Em todo triângulo a soma de dois lados tem que ser maior que o terceiro.
  16. 16. Conhecimento Espacial Criança topológico projetista euclidiano
  17. 17. ELEMENTOS DE UM SÓLIDO GEOMÉTRICO Vértice Face Aresta
  18. 18. LABORATÓRIO DE PESQUIA MULTIMEIOS/ DISCIPLINA ENSINO DE CLASSIFICAÇÃO DOS SÓLIDOS 1 2 3 4 5 6 7
  19. 19. LABORATÓRIO DE PESQUIA MULTIMEIOS/ DISCIPLINA ENSINO DE CLASSIFICAÇÃO DOS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS 1. POLIEDROS 2. CORPOS REDONDOS
  20. 20. LABORATÓRIO DE PESQUIA MULTIMEIOS/ DISCIPLINA ENSINO DE •O QUE SÃO POLIEDROS? Sólidos geométricos que têm todas as faces planas. POLI - muitas EDRO- faces
  21. 21. LABORATÓRIO DE PESQUIA MULTIMEIOS/ DISCIPLINA ENSINO DE CLASSIFICAÇÃO DOS POLIEDROS •PRISMAS- grupo dos poliedros caracterizado por ter na maioria das faces (e às vezes em todas) polígonos de quatro lados. As faces opostas são iguais.
  22. 22. LABORATÓRIO DE PESQUIA MULTIMEIOS/ DISCIPLINA ENSINO DE •PIRÂMIDES- São todos os poliedros cujas as faces laterais são triangulares e se encontram em um único ponto (o vértice da pirâmide) CLASSIFICAÇÃO DOS POLIEDROS
  23. 23. LABORATÓRIO DE PESQUIA MULTIMEIOS/ DISCIPLINA ENSINO DE CLASSIFICAÇÃO DOS POLIEDROS •OUTROS POLIEDROS- aqueles que não são prismas e nem pirâmides, são designados simplesmente pelo número de faces que possui Dodecaedro regular
  24. 24. LABORATÓRIO DE PESQUIA MULTIMEIOS/ DISCIPLINA ENSINO DE ELEMENTOS DE UM POLIEDRO Vértice Face Aresta
  25. 25. RELAÇÃO DE EULER V + F = A + 2 Vértice Face Aresta •Desafio
  26. 26. Exemplo 1 Determine o número de faces de um sólido que possui 10 arestas e 6 vértices. Resolução: V – A + F = 2 6 – 10 + F = 2 –4 + F = 2 F = 4 + 2 F = 6 Portanto, o sólido possui 6 faces.
  27. 27. São figuras fechadas formadas por segmentos de reta, sendo caracterizados pelos seguintes elementos: ângulos, vértices, diagonais e lados. De acordo com o número de lados a figura é nomeada. Polígonos
  28. 28. O TANGRAM Usando o tangram que receberam represente duas das figuras seguintes:
  29. 29. Visualizando as peças fica fácil, já quando vemos a figura sem visualizar as peças teremos um desafio. Agora, represente uma das figuras seguintes:
  30. 30. Para concluir a atividade discuta com seu grupo quais outras atividades podem ser realizadas com o Tangram. Explore as noções da Geometria Topológica.
  31. 31. Educação do Olhar • A Geometria procura enfatizar a importância do olhar e da visualização na aquisição do conhecimento em matemática. As reflexões, as atividades e as discussões propostas pretendem propiciar um modo de ver a imagem além do olhar.
  32. 32. MATEMÁTICA E ARTE • São duas disciplinas presentes no currículo escolar da Educação Básica que além de estimularem a sensibilidade, a percepção, a intuição, a imaginação, contribuem para a construção de conceitos como: simetria, razão, proporção, equilíbrio, repetição, regularidade, continuidade, entre outros.
  33. 33. Exemplo ... Você conhece a logomarca da Empresa automobilística Renault? Faça a representação da imagem.
  34. 34. Ver além do olhar...
  35. 35. Discussão • O que você vê? O que você lê? • Que leitura você faz a partir dessa imagem? • Que elementos matemáticos é possível explorar a partir dessa imagem?
  36. 36. Algumas observações... • Quando “olho” a imagem vejo o todo e posso dar uma resposta rápida a partir do meu referencial; • Se o aluno só conhece o “losango” ele não perceberá a tridimensionalidade da figura; • Educar o olhar exige adquirir conhecimentos (instigar o aluno a ver).
  37. 37. Construir a faixa de Möbius • Pegue uma tira de papel retangular; • Antes de colar as bodas, dê uma pequena torção na faixa 180º.
  38. 38. • A faixa de Moebius é um tipo especial de superfície onde não há lado de dentro ou de fora, ou seja, nela só há um lado e uma única borda que é uma curva fechada. A tal faixa foi descoberta pelo astrônomo e matemático alemão August Ferdinand Moebius (1790-1868).
  39. 39. • Em termos matemáticos a faixa de Möbius é definida como uma superfície não-orientável • Seu estudo deu origem a um ramo da Matemática que chamamos de Topologia. A Topologia estuda os espaços topológicos e é considerada uma extensão da geometria.
  40. 40. O Enigma de Kaspar Hauser Vídeo http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/d ebaser/singlefile.php?id=22258
  41. 41. A leitura tanto de textos como de imagens nas aulas de Matemática pode ser pensada como uma prática de ensino.
  42. 42. A leitura de uma imagem de acordo com Pillar (2006, p. 12), pode ser: a leitura de um texto, de uma trama, de algo tecido com formas, cores, texturas, volumes.
  43. 43. Leitura e visualização A importância da leitura e da visualização, especificamente no ensino da geometria, é fundamental, pois o indivíduo passa a ter controle sobre o conjunto das operações mentais básicas exigidas no trato da geometria ao praticar o exercício da visualização dos objetos geométricos (KALEFF, 2003).
  44. 44. (CUNHA, 2009) Explorando a visualização e a representação de figuras no espaço Atividade 1 Quantas caixinhas sobram após encher completamente a caixa vazia?
  45. 45. Forma dentro da forma (perspectiva) http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/d ebaser/singlefile.php?id=9556
  46. 46. Livro Matemático - Vídeo http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/d ebaser/singlefile.php?id=9567
  47. 47. Sugestões de Vídeos 1) Forma que se Transforma http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/singl efile.php?id=9556 2) O Belo http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/singl efile.php?id=9557 3) Escada de Penrose http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/singl efile.php?id=12947
  48. 48. A passagem do bidimensional para o tridimensional • Tarefa 3 – 20 minutos • Com 6 quadrados, todos de mesmo tamanho, obtenham diferentes moldes para se construir um cubo. • Quantos moldes diferentes poderemos obter?
  49. 49. Mas atenção! Essas duas figuras representam o mesmo molde. Por quê?
  50. 50. Aqui estão três moldes possíveis do cubo.
  51. 51. Aqui estão mais três moldes.
  52. 52. Outros três...
  53. 53. Mais dois moldes, totalizando 11 soluções.
  54. 54. Simetria Para desenvolver a noção se simetria é importante que: • complete figuras (igreja, casinha, navio etc.) usando a simetria; • encontre o eixo de simetria de algumas figuras (o uso de espelhos é bastante recomendado).
  55. 55. O papel quadriculado é interessante para obter uma figura simétrica a uma dada por meio de reflexão em reta.
  56. 56. Essa reta pode ser vertical num primeiro momento.
  57. 57. Fazer a reflexão em reta inclinada é mais difícil...
  58. 58. Qual o nome desse polígono? Tem dois pares de lados paralelos. Seus quatro lados têm medidas iguais.
  59. 59. E desse? Tem dois pares de lados paralelos. Seus quatro ângulos são retos.
  60. 60. As diagonais do retângulo são eixos de simetria?
  61. 61. Enigma de Haberdasher Uma das criações mais famosas de Dudeney foi sua solução em 1902 para o Enigma de Haberdasher (cortar um triângulo equilátero e rearranjar as partes em forma de um quadrado) (haberdasher – loja de armarinhos)
  62. 62. Geometria – topológica - 5 anos Ex: dentro, fora, ao lado, vizinho de etc. Geometria - projetiva – 7 anos Ex: antes, depois, primeiro, segundo, à esquerda, à direita Aos 9 anos inicia a comparação das figuras geométricas, relações métricas, aberturas.
  63. 63. O desenvolvimento do pensamento geométrico - a teoria de Van Hiele Níveis de aprendizagem: 1: Visualização – Os alunos compreendem as figuras globalmente, isto é, as figuras são entendidas pela sua aparência; 2: Análise - Os alunos entendem as figuras como o conjunto das suas propriedades; 3: Ordenação - Os alunos ordenam logicamente as propriedades das figuras; 4: Dedução - Os alunos entendem a Geometria como um sistema dedutivo; 5: Rigor - Os alunos estudam diversos sistemas axiomáticos para a Geometria.
  64. 64. Poliedros Poliedros (poli = muitos; hedros = faces) são sólidos delimitados por regiões planas (polígonos) que constituem as denominadas faces. Os segmentos de reta que limitam as faces designam-se por arestas e os pontos de encontro destas por vértices e três dimensões, sendo elas largura, altura e comprimento..
  65. 65. Poliedros regulares São chamados de “sólidos platônicos”, em homenagem ao filósofo grego Platão (427-347 a.C) que os utilizava para explicar cientificamente os fenômenos naturais. É possível demonstrar que existem somente cinco poliedros regulares .
  66. 66. DEFINIÇÃO DE POLÍGONOS Figura plana limitada por segmentos de reta, chamados lados dos polígonos onde cada segmento de reta, intersecta exatamente dois outros extremos; se os lados forem todos iguais e os ângulos internos também, o polígono diz-se regular.
  67. 67. Exemplos de alguns polígonos
  68. 68. Tetraedro é uma forma espacial, um poliedro constituído por 4 lados triangulares. PLANIFICAÇÃO
  69. 69. Um hexaedro é um poliedro de 6 faces. No caso das 6 faces serem iguais e quadradas, o hexaedro é regular e chama-se cubo. PLANIFICAÇÃO
  70. 70. O octaedro é um poliedro de oito faces. PLANIFICAÇÃO
  71. 71. Um dodecaedro é um poliedro de 12 faces. PLANIFICAÇÃO
  72. 72. Um icosaedro é um poliedro de 20 faces. PLANIFICAÇÃO
  73. 73. Um icosaedro é um poliedro de 20 faces. PLANIFICAÇÃO
  74. 74. Oficina de poliedros de Platão http://tele.multimeios.ufc.br/~anaclaudia/ - "Tetraedro" 1 - Passe o cordão por três canudos e forme uma estrutura rígida (um triângulo) com um nó. 2 - Passe mais dois canudos pelo cordão e monte outra estrutura rígida amarrando no vértice adjacente do triângulo inicial. 3 - Volte o cordão por dentro do canudo a um vértice adjacente. 4 - Passe o último canudo e amarre no vértice livre do triângulo. Material Necessário: - 6 canudos de refrigerante de 12 a 13 cm de comprimento. - Cordão (ou linha de crochê) com 1.00 m de comprimento.
  75. 75. Oficina de poliedros de Platão Monte um Hexaedro! Material Necessário: - 12 canudos de refrigerante de 12 cm de comprimento para as arestas e 6 canudos de 20 para as diagonais. - Cordão (ou linha de crochê) com 4.30 m de comprimento. Como fazer? Siga a numeração! Para iniciar, passe o cordão por três canudos e forme uma estrutura rígida. Siga o esquema ao lado. http://tele.multimeios.ufc.br/~anaclaudia/
  76. 76. Oficina de poliedros de PlatãoOctaedro Como fazer? 1 - Passe o cordão por três canudos e forme uma estrutura rígida (um triângulo) com um nó. 2 - Passe mais três canudos pelo cordão e monte outra estrutura rígida amarrando no vértice do triângulo inicial. Obtenha uma estrutura com dois triângulos unidos (amarrados) pelo vértice. Construa outra estrura igual. 3 - Junte as estruturas pegando as bases do triângulo de uma unindo a um vértice da base em cada triângulo diferente da outra estrutura. Obtenha uma estrutura espacial com as duas estruturas unidas. Material Necessário: - 12 canudos de refrigerante de 12 a 13 cm de comprimento. - Cordão (ou linha de crochê) com 1.50 m de comprimento. http://tele.multimeios.ufc.br/~anaclaudia/
  77. 77. Oficina de poliedros de Platão Icosaedro Material Necessário: - 30 canudos de refrigerante de 12 a 13 cm de comprimento. - Cordão (ou linha de crochê) com 4.30 m de comprimento. Como fazer? Siga a numeração! Passe o cordão por três canudos e forme uma estrutura rígida. Para iniciar, faça a estrutura 1-2-3 de tal forma que as sobras do cordão fiquem uma grande e outra pequena. A pequena deve medir o tamanho de quatro canudos, e a grande será a sobra. Início 1-2-3-1-nó, 1-6-2-nó, 2-5-6-nó, 6-7-5-nó, 5-8-7- nó, 7-12-8-nó, 8-9-12-nó, 12-10-9-nó, 9-3-4-2-nó, volte a linha por 2-5, 5-4-9-nó, volte a linha por 9-8, 8-4-nó, volte a linha por 4-3, 3-10-nó, 11-12-nó, volte a linha por 12-7, 7-11-6-nó. Com a sobra pequena faça a estrutura 1-11-nó, volte a linha por 11-10, 10-1-nó http://tele.multimeios.ufc.br/~anaclaudia/
  78. 78. Dodecaedro Oficina de poliedros de Platão Oficina de poliedros de Platão Material Necessário: - 20 canudos de refrigerante de 12 a 13 cm de comprimento. - Cordão (ou linha de crochê) com 3.00 m de comprimento.
  79. 79.  FETISSOV, A. A (2001) demonstração em Geometria. Editora Ulmeiro, Lisboa.   FLORES, C. R. (2011). Cultura visual, visualidade, visualização matemática: balanço provisório, propostas cautelares. Revista ZETETIKÉ, Campinas: Unicamp – FE - CEMPEM, v.18.   ZAGO, H. S. (2010). Ensino, Geometria e arte: um olhar para as obras de Rodrigo de Haro. Florianópolis, SC. 112p. Dissertação defendida na Universidade Federal de Santa Catarina sob a orientação de Claudia Flores.   SOUSA, F. E. E. et al. (2013). Sequência Fedathi: uma Proposta Pedagógica para o Ensino de Matemática e Ciências. Fortaleza: UFC.

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