Teorema de Pitágoras e resolução de problemas

Diretoria de Ensino de BauruDiretoria de Ensino de Bauru
MatemáticaMatemática

Palavras – chave do conteúdoPalavras – chave do conteúdo
1) Matemática;
2) Teorema de Pitágoras;
3) Narrativas;
4) Competência leitora e escritora.

Objetivos pretendidos - habilidadesObjetivos pretendidos - habilidades
Ao término das atividades espera-se que
os alunos tenham assimilado o conteúdo e
compreendido a importância do Teorema
de Pitágoras no dia-a-dia e suas aplica-
ções com as seguintes habilidades:
Calcular área de polígonos (H31-Grupo I);
Resolver problemas em diferentes contex-
tos que envolvam a relação métrica de
Pitágoras. (H36–Grupo II).

Conteúdo de aprendizagem do:Conteúdo de aprendizagem do:
a) Aluno: Teorema de Pitágoras aliado a
leitura e escrita de fatos históricos e
resolução de problemas.
b) Professor: Devolutiva do aluno em rela-
ção ao trabalho realizado e o que mais
houver para melhorar o desempenho de
ambos.
c) Gestor: Avaliar e entender a relação
professor/aluno e suas necessidades
para tomar as devidas providências.

MetodologiaMetodologia
Etapa1: Problematização/Contextualização;
Etapa 2: Levantamento dos conhecimentos
prévios;
Etapa 3: Desenvolvimento metodológico;
Etapa 4: Recuperação e Avaliação.

JustificativaJustificativa
 Buscar uma uniformidade do conteúdo
básico que envolve a aplicação do Teore-
ma de Pitágoras;
 Resgatar alguns conceitos relevantes
ao entendimento do conteúdo;
Despertar o interesse dos conteúdos abor-
dados através de narrativas históricas
e/ou contextualizadas;
Incentivar a leitura e escrita dentro dos
conteúdos.

Avaliação e RecuperaçãoAvaliação e Recuperação
1) Solicitar aos alunos que redijam o que foi
mais significativo para eles;
2) Solicitar uma nova lista de exercícios
complementares aumentando ou dimi-
nuindo o grau de complexidade;
3) Utilizar nas avaliações questões objetivas
e, principalmente, questões abertas para
dissertar sobre estas.

Materiais utilizados visando asMateriais utilizados visando as
competências leitora e escritoracompetências leitora e escritora
 Texto;
 Papel;
 Transferidor;
Leitura de texto, individual e/ou coletiva, sobre
a história do Teorema de Pitágoras e suas aplicações
na geometria com a finalidade de contextualizar,
analisar, interpretar e explorá-lo conforme interesses
e motivar o aluno para elaborar o seu próprio texto.
Além disso, utilizar materiais concretos para
manipulação e entendimento dos conteúdos, sendo
estes:
 Esquadros;
 Folha quadriculada;
 Multimídia.

O Teorema que tem hoje o nome de Pitágoras
vem, muito provavelmente, dos babilônios, cerca de
1.500 a.c, mas pensa-se que foram os pitagóricos
que pela primeira vez apresentaram a sua
demonstração e é bem provável que tenha sido
Pitágoras. Dois ou três mil anos a.C usava-se a
corda para medições em terrenos. Esta utilização se
verificava de diversas maneiras, uma das mais
notáveis aplicações desta corda era na construção
de duas retas perpendiculares. Pega-se uma corda
que tenha 12 unidades de comprimento (na
Antiguidade não se conhecia o metro como unidade
de comprimento), com “nós” que a dividam em
partes de comprimento 3, 4 e 5 respectivamen-
te. Assim um homem segurava as duas pontas da
corda, outro homem segurava o 4º nó e o outro o 8º
nó. Dessa forma, os arquitetos egípcios obtinham
facilmente o esquadro - um triângulo com um ângulo
reto, ou de 90 graus.
Teorema de
Pitágoras

Tema: Geometria e medidas
Conteúdo: Teorema de Pitágoras
 Habilidades: H31 – Grupo I – Calcular área de
polígonos.
H36 – Grupo II – Resolver problemas
em diferentes contextos que envol-
vam a relação métrica de Pitágoras.
 Tempo previsto: 4 aulas
 Recursos: papel, transferidor, esquadros, folha
quadriculada.
 O que se espera: Ao término das atividades
espera-se que os alunos tenham assimilado o
conteúdo e compreendido a importância do Teorema
de Pitágoras no dia-a-dia e suas aplicações.

Etapa1: Problematização/Contextualização
Atividade 1, 2 e 3: Cabe ao professor explanar.
Atividade 1: Fazer uma abordagem do objetivo em estudar o Teore-
ma de Pitágoras e falar de algumas das contribuições
de Pitágoras para a Matemática.
Atividade 2: Enunciar o Teorema de Pitágoras e discorrer sobre a
importância e aplicações no cotidiano.
Atividade 3: Fazer uma narração utilizando a figura 1.
Figura 1

Etapa 2: Levantamento dos conhecimentos prévios
 Orientação espacial – figuras geométricas.
 Operações básicas – expressões algébricas e numéricas.
 Questionamentos feitos aos alunos com registro das respostas
relevantes na lousa conforme mapa de percurso.
Teorema de
Pitágoras
Sistema de
numeração
Conjunto
Numéricos
Operações
Fundamentais
Radiciação e
Potenciação
Uso de
letras
Expressões
Algébricas
Equações
Equações do
2ºGrau Sistema Métrico
Decimal
Medidas de
comprimento

Figura 2
Etapa 3: Desenvolvimento metodológico
Neste momento formaliza-se o teorema.
Utilizar o exercício da figura 2 para medição até chegar no
resultado satisfatório.
Atividade 4: A sala será dividida em grupos de 3 pessoas
para cada equipe realizar os cálculos e redigir, descre-
vendo passo a passo o que está sendo feito e por
quê. E fazer a apresentação dos grupos.
Reproduzir em uma
cartolina e calcular a
área da figura 2 para
reescrever a relação
de Pitágoras

Atividade 5: Resolver o exercício contextualizado, ainda em
grupo:
Enem 2006: Na figura abaixo, que representa o projeto de uma
escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do
corrimão é igual:
a)1,8m
b)1,9m
c)2,0m
d)2,1m
e)2,2m

Etapa 4: Recuperação e Avaliação
1)Solicitar aos alunos que redijam aquilo que foi mais significativo para
ele.
2)Solicitar uma nova lista de exercícios complementares aumentando o
grau de complexidade.
3)Finalizar com prova escrita com questões objetivas e discursivas.

Alunos em diferentes níveis de conheci-
mento em geometria.

 Determinar a razão de dois segmentos dados;
 Reconhecer segmentos proporcionais;
 Reconhecer um feixe de retas paralelas;
 Identificar uma transversal neste feixe;
 Aplicar o teorema em problemas propostos.

 Buscar uma uniformidade do conteúdo básico
que envolve a aplicação do Teorema de Tales.
 Resgatar e ampliar conceitos relevantes ao
entendimento do conteúdo.

 Leitura e interpretação
dos fatos históricos;
 Contextualização práti-
ca;
 Realização das ativida-
des prática;
 Resolução dos proble-
mas propostos.

A história de Tales de Mileto que
utilizou o Teorema para calcular a al-
tura da pirâmide e situações proble-
mas cotidianas sobre medidas de la-
dos de terrenos paralelos em ruas não
paralelas. http://youtu.be/4IIDCut4j9Y
e http://youtu.be/sNAEqGG4ec8

Levar o texto sobre a história de Tales para
uma leitura individual e coletiva e fazer as
representações do cálculo da altura da pirâmide
ou ainda descrever um método para calcular a
distância de um barco que se aproxima de uma
margem de um rio....

 Régua;
 Compasso;
 Esquadro;
 Transferidor;
 Multimidia .

Participação e interação nas atividades e
questões objetivas e dissertativas sobre o
conteúdo.

Construir junto com o aluno retas paralelas e
fazer as medições confrontando os resultados das
razões encontradas.

Conjuntos
numéricos
Operações
fundamentais
Potenciação
e radiciação
Equação do
2º grau
Uso de
letras
Expressões
algébricas
Equações do
1º grau

 Compreender a linguagem algébrica na repre-
sentação de situações e problemas geométricos;
 Expressar situações envolvendo equações do
2º grau na forma algébrica;
 Resolver equações do 2º grau por diferentes
métodos (cálculo mental, fatoração e aplicação da
fórmula de Bhaskara);
 Utilizar a linguagem algébrica para exprimir a
área e o perímetro de uma figura plana.
1 semana

Pretendemos que o aluno aprenda os
cálculos ligados à equação de 2° grau de forma
descontraída e em grupo através da Gincana
“Passa ou Repassa” de forma a resgatar alguns
conceitos importantes que visam facilitar o
entendimento do conteúdo.

 Ler e interpretar os fatos históricos contextuali-
zando-os através de situações problema práticas;
 Organizar a divisão dos grupos para a atividade
prática Gincana “Passa ou Repassa”;
 Resolução de situações problema propostas
envolvendo equação do 2º grau.

Surgimento da equação do 2º grau e suas
aplicações na geometria.

Ler o texto, com os alunos, sobre a história
da equação do 2º grau e suas aplicações na
geometria, e após uma leitura individual mostrar o
processo de completar os quadrados e resolver
situações problemas contextualizadas.

 Aparelho de som;
 Flip Chart;
 Canetão;
 Dado;
 EVA;
 Sulfite;
 Microfone;
 Brindes.

A avaliação será feita no decorrer da
atividade e será considerada a organização, o
trabalho em equipe, a colaboração, o cum-
primento das regras e o acerto das questões.

Será retomado o conteúdo resolvendo
situações problema práticas por diferentes
métodos (cálculo mental, fatoração e aplicação
da fórmula de Bhaskara).

A gincana será organizada com a divisão dos alunos
em duas equipes com 3 alunos cada. Os demais alunos da
turma ficarão na arquibancada também divididos em duas
equipes (torcida). A gincana terá 15 perguntas sobre o tema
Equação do 2° grau que valerão 1 ponto cada e micos para a
equipe que não acertar. A equipe a dar início à gincana será
aquela que jogar o dado e obtiver o maior número. A equipe
escolherá um número de 1 a 15 e o professor coordenador
entregará a questão correspondente para que resolvam
dentro do tempo determinado que está marcado na própria
questão.

Se a equipe responder recebe o ponto e se não souber
a resposta poderá passar para a equipe adversária. Se esta
responder, receberá o ponto, se não souber, poderá repassar
para a arquibancada. Se o aluno da arquibancada acertar, o
ponto será dado para a equipe que ele pertencer. Caso
ninguém responda a questão o mico será pago pela equipe
que havia escolhido a questão inicialmente. Tanto as equipes
como os alunos que estiverem na arquibancada, se não
responderem ou se não acertarem, terão que escolher um
número de mico para pagar o castigo e não receberão ponto
algum (para pagar o mico as equipes poderão escolher um
representante ou vários alunos da equipe para pagar o
castigo). Enquanto isso haverá um professor no flip chart
fazendo as anotações dos pontos de cada equipe. Ao final
ganhará a equipe que fizer o maior número de pontos. Para a
equipe ganhadora daremos um brinde para cada componente
e para a outra equipe, um prêmio consolação.

1) Calcule o valor de ∆ = 52
– 4.2.0 (1 MINUTO)
2) Calcule o valor de 8 x 8 ? (5 SEGUNDOS)
3) Se o valor de ∆ for negativo a equação do 2º grau terá
solução? (30 SEGUNDOS)
4) Quais os valores de x quando: (2 MINUTOS)
5) Se o valor de ∆ for positivo a equação do 2º grau terá
6) Qual o valor de x quando: (2 MINUTOS)
7) Se o valor de ∆ for igual a zero a equação do 2º grau terá

8) Qual o valor de 7x7? (5 SEGUNDOS)
9) Qual o valor de (- 4) x (- 4) ? (5 SEGUNDOS)
10) Qual o valor de - 4 . (- 2) . 0 (30 SEGUNDOS)
11) Todos jogam:
Leia a situação problema enunciada no flip chart e
resolva a equação do 2° grau x2
– 5x + 6 = 0.(3 minutos)
12) Quais os valores de a, b e c na equação do 2° grau:
3x + 5x2
= x – 1. (30 SEGUNDOS)
13) Coloque a equação 3x(x+2) = 3 na forma: ax2
+ bx + c=0.
(3 minutos)
14) Todos jogam:
Leia a situação problema enunciada no flip chart e
resolva a equação do 2° grau x2
+ 4x + 10 = 0.(3 minutos)
15) Qual o valor de: - 4 . 2 . 3? (30 SEGUNDOS)

1) pintar o rosto;
2) prender o cabelo com papel higiênico;
3) cantar, declamar poesia, contar piada;
4) dançar algum ritmo esquisito;
5) dançar com a vassoura;
6) cantar uma música que tenha determinada palavra.

Trigonometria no triângulo retângulo
A palavra Trigonometria vem do grego TRI - três, GONO - ângulo e
METRIEN - medida, significando Medida de Triângulos.
Trata-se, assim, do estudo das relações entre os lados e os ângulos de um
triângulo retângulo.
Os seus princípios baseiam-se nas proporções fixas dos lados de
determinado ângulo num triângulo retângulo. As mais simples são conhecidas como
seno, cosseno e tangente(denominadas razões trigonométricas).
A trigonometria começou como uma área da Matemática eminentemente
prática, para determinar distâncias que não podiam ser medidas diretamente,
surgindo inicialmente para resolver problemas de astronomia. Atualmente têm
importância prática na navegação, topografia e movimento harmônico simples em
física.

Trigonometria no triângulo retângulo
Existem dois tipos de trigonometria, a Plana e a Esférica, que abordam,
a resolução de triângulos no plano e na esfera, respectivamente. A trigonometria
plana lida com figuras geométricas pertencentes a um único plano, enquanto a
trigonometria esférica trata dos triângulos que são uma secção da superfície de
uma esfera.

Tema: Grandezas e Medidas
- Conteúdo: Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo.
- Habilidades: H37 – Grupo II – Resolver problemas em diferentes
contextos, a partir da aplicação das razões trigonométricas dos
ângulos agudos.
- Série – 9° ano- Ensino Fundamental – ciclo II
- Período – 4° bimestre
- Tempo Previsto: 4 aulas
- Recursos: Softwares, data show, teodolito simplificado, Proposta
Curricular, Tabela Trigonométrica.
- O que se espera: Ao término das atividades espera-se que os alunos
tenham assimilado o conteúdo e compreendido a importância das
Razões trigonométricas no dia-a-dia e suas aplicações.

Etapa 1: Problematização/Contextualização
 A atividade proposta inicialmente será explanada pelo professor com o
significado palavra Trigonometria e sua história, ou seja, a narrativa do conteúdo.
 Através de um exercício de sensibilização, os alunos farão uma estimativa de
medidas de ângulos de elevação, visando introduzir a noção de razões
trigonométricas de um ângulo agudo, partindo de seus conhecimentos prévios.
 A contextualização será feita através de informações fornecidas pelo órgão que
regulamenta recomendações a respeito das inclinações máximas para estradas de
rodagens (DNIT – Departamento Nacional de Infraestrutura e Transporte),
conforme o exemplo:
Em uma estrada com inclinação 0,15 ou 15%, sobe-se 15m a cada 100m
de deslocamento horizontal. As inclinações máximas recomendadas pelo DNIT
dependem do tipo de estrada, mas variam de 5% nas estradas de maior volume
de tráfego; a 9% nas estradas com baixo volume de tráfego. Alguns trechos de
estradas podem, excepcionalmente atingir inclinações maiores do que as
recomendações, chegando a valores da ordem de 10%.

Etapa 2: Levantamento dos conhecimentos prévios
Levantar questões enumerando situações que observam no dia-a-dia ou na
natureza relacionados a: rampas/sombra/altura das árvores/prédios -
ângulos/largura de rios/telhado (oitão/tesouras) e registros das respostas relevantes
na lousa conforme o mapa de percurso abaixo:
Razões
Trigonométricas no
Triângulo Retângulo
Sistema de
numeração
Conjunto dos
Números Reais
Positivos
Operações: Adição,
Multiplicação e
Divisão
Medidas e Proporção
Frações e
Decimais
Uso de letras
Expressões
Algébricas
Equação do 1º
Grau
Elementos do
Triângulo Retângulo:
catetos/hipotenusa

Após o levantamento prévio dos alunos, propor uma situação problema
dos conceitos citados anteriormente.
Problema 1:
Em determinada rua, um pedestre caminha 50m e percebe que se
elevou 2m em relação ao ponto onde iniciou a caminhada. Qual é a inclinação
percentual dessa rua? E qual é a medida do ângulo de inclinação?
Neste momento formalizar as razões trigonométricas.
Partindo dessa discussão, definir razões seno, cosseno e tangente de um
ângulo agudo e relacionar os valores percentuais que obtiveram para as
inclinações da rua com a medida do ângulo correspondente, apresentado, para
tanto, uma tabela trigonométrica com os valores de 0 a 90°.

Utilizar o exercício a seguir para chegar ao resultado satisfatório dividindo
a classe em grupos de 3.
Para determinar a altura da árvore maior, dois garotos fizeram a
observação do seu topo, conforme está descrita na imagem abaixo. Considerando
que João Paulo e Daniel, tem uma altura até seus olhos de 1,50m. João Paulo
observa o topo da árvore maior, tendo como inclinação de 37º no seu campo de
visão no topo da árvore menor. Daniel observa o topo da árvore maior, tendo
como inclinação de 25º no seu campo de visão no topo da árvore menor.Dados:
tangente de 25º (aproximadamente 0,47) e de 37º (aproximadamente 0,75)
- Qual a altura da árvore maior que João Paulo e Daniel descobriram? Houve
divergência na altura da árvore maior que cada um encontrou?

Etapa 4: Recuperação e Avaliação
1) Solicitar aos alunos que redijam aquilo que foi mais significativo para ele.
2) Solicitar uma nova lista de exercícios complementares aumentando o grau de
complexidade.
3) Finalizar com prova escrita com questões objetivas e discursivas.
4) Avaliação procedimental e comportamental relativa à realização da tarefas
mínimas.
5) Aplicação de conhecimentos matemáticos adquiridos anteriormente
6) Uso de terminologia e simbologia adequada
7) Avaliação contínua e formativa.
8) Recuperação Contínua

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