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Gabarito
1) (1,0 pt.) Um comerciante aumentou o preço de uma mercadoria em %8 . Contudo, a
procura por essa mercadoria continuou grande. Então ele fez um novo aumento de %4 .
Como o preço ficou alto, a mercadoria encalhou e, além disso, o prazo de validade estava
vencendo. Finalmente fez um desconto para que o preço passasse a ser %90 do valor
inicial. De quanto foi esse desconto?
Solução:
Seja x o preço da mercadoria. Após primeiro aumento, o preço da mercadoria passou a ser
dado por x08,1 . Como o segundo aumento é cumulativo então, após este aumento o preço da
mercadoria passou a ser dado por ( ) xx 1232,104,108,1 =× .
Após esses aumentos, o lojista deseja dar um desconto de modo que o preço da mercadoria
passe a ser %90 do valor inicial. Logo, após este desconto o preço da mercadoria será dado
por x90,0 e este valor corresponde a um porcentual em relação ao preço após os aumentos
dado por x
x
x
80,0
1232,1
90,0
≅ . Ou seja, para alcançar o preço desejado, o comerciante deve dar
um desconto de 20 % sobre o preço após os aumentos.
Resposta: 20 %
2) (0,8 pt.) Uma empresa comprou um produto pagando %30 de imposto sobre o preço de
custo e %10 de despesa com transporte sobre o preço da mercadoria com o imposto.
Sabendo-se que na venda desse produto a empresa obteve um lucro de 143,00R$ ,
correspondente a %20 sobre o preço de aquisição mais despesas (imposto e transporte),
determine o preço de venda do produto.
Solução:
Seja x o preço de aquisição do produto. Sobre ele incide %30 de imposto, passando a gerar
um custo de x30,1 . Sobre esse custo, a empresa paga %10 de despesa de transporte,
2
portanto, para a empresa o custo final da mercadoria passa a ser dado por ( ) xx 43,13,11,1 =× .
A empresa vendeu o produto com um lucro %20 sobre este custo, portanto, o preço de
venda da mercadoria será dado por ( ) xx 716,143,12,1 =× , ou seja, o lucro corresponde a um
total dado por xxx 286,0143,1716,1 =− , e como este lucro foi de 143,00, temos então que
00,500
286,0
00,143
00,143286,0 =⇒=⇒= xxx . Portanto, este é o preço de custo do produto
sem o imposto e o transporte.
O preço de venda do produto será dado por 00,85800,00,500716,1 =× .
Resposta: R$ 858,00
3) (1,0 pt.) Um comerciante sabe que para não ter prejuízo, o preço de venda de seus produtos
deve ser no mínimo %26 superior ao preço de custo. Como ele sabe que o cliente gosta
de um desconto no momento da compra, então ele prepara a tabela dos preços de venda
acrescentando %40 ao preço de custo. Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao
cliente sobre o preço da tabela, de modo a não ter prejuízo?
Solução:
Seja x o preço de custo da mercadoria.
Para não ter prejuízo, o lojista precisa vender a mercadoria com %26 de aumento sobre este
preço logo, o preço mínimo da mercadoria será dado por x26,1 .
Mas ele prepara a tabela de preços de venda de seus produtos com %40 de aumento sobre o
preço de custo. Portanto, o valor da mercadoria na tabela de preços será dado por .40,1 x
Ou seja, para não ter prejuízo o lojista deve dar desconto de no máximo xxx 14,026,140,1 =−
que em relação ao valor da mercadoria na tabela de preços, corresponde a um porcentual dado
por 10,0
40,1
14,0
≅
x
x
, isto é, o desconto máximo que o lojista deve dar para que não tenha
prejuízo é de %10 .
Resposta: 10 %
4) (1,6 pts.) Um investidor aplicou %40 de suas economias durante seis anos no regime de
juros simples a uma taxa de anoao%18 . O restante foi aplicado no regime de juros
compostos, pelo mesmo prazo utilizando a mesma taxa, porem capitalizada
trimestralmente. Determine o valor das economias desse investidor, sabendo que o
rendimento das aplicações no final da operação totalizou 13.891,30R$ .
Solução:
3
Seja C o capital a ser aplicado pelo investidor. %40 desse capital, ou seja, C40,0 , foi
aplicado durante seis anos no regime de juros simples a uma taxa de anoao%18 , logo o
rendimento, isto é, juro 1J gerado por esta operação será dado por
CJCJ 432,01618,040,01 =⇒××= .
O restante, ou seja, C60,0 foi aplicado no regime de juros composto, pelo mesmo prazo,
utilizando a mesma taxa, porém capitalizada trimestralmente. Portanto, nesse caso esta taxa é
nominal, pois seu período que é anual é diferente do período de capitalização que é trimestral;
logo, considerando a relação entre as unidades de tempo dessas taxas, a taxa efetiva trimestral
da operação é proporcional a taxa dada, ou seja, como estrimestr4ano1 = , então a taxa
efetiva trimestral i será dada por etrimestrao%4,5
4
18
==i . Como 6 anos = 24 trimestres,
então o montante M gerado por esta operação será dado por
( ) CMCM 725608,124045,0160,0 =⇒+×= . Portanto, o juro 2J produzido por esta
operação, será dado por CJCCJ 125608,1260,0725608,12 =⇒−= .
Como 30,891.1321 =+ JJ , então ⇒=+ 30,891.13125608,1432,0 CC
35,918.8
557608,1
30,891.13
30,891.13557608,1 ≅⇒=⇒= CCC .
Resposta: R$ 8.918,35
5) (0,8 pt.) Considere a taxa de anoao%24 , capitalizada mensalmente. Determine a taxa
nominal anual correspondente à taxa efetiva bimestral equivalente à taxa dada.
Solução:
A taxa dada de anoao%24 é nominal, pois seu período é diferente do período de
capitalização que é mensal. Logo, considerando a relação entre as unidades de tempos dessas
taxas, a taxa efetiva mensal , é proporcional à taxa dada, ou seja, como meses12ano1 = ,
então a taxa efetiva será dada por mêsao%2
12
24
= .
Seja i a taxa bimestral equivalente à esta taxa. Portanto, como meses2bimestre1 = , então
( ) ( ) bimestreao0404,00404,11
2
02,01
1
1 =⇒=+⇒+=+ iii ou bimestreao%04,4=i .
Portanto, a taxa nominal anual correspondente a esta taxa é proporcional à ela, e como
bimestres6ano1 = , então esta taxa será dada por anoao%24,2404,46 =×
Resposta: 24,24 % ao ano.
4
6) (1,8 pt.) Um capital foi aplicado durante dois anos à uma taxa de anoao%12 ,
capitalizada mensalmente e rendeu 20,809R$ de juros. Considerando uma inflação
anual de anoao%12 , determine o valor do capital aplicado, as taxa anuais de
rentabilidade aparente e real da aplicação.
Solução:
Seja C o capital aplicado pelo investidor.
Este capital foi aplicado durante dois anos a uma taxa de rendimento aparente de
anoao%12 , capitalizada mensalmente, portanto, esta taxa é nominal, pois seu período é
diferente do período de capitalização que é mensal. Logo, considerando a relação entre as
unidades de tempos dessas taxas, a taxa efetiva mensal da operação , é proporcional à taxa
dada, ou seja, como meses12ano1 = , então a taxa efetiva será dada por
mêsao%0,1
12
12
= . Portanto, como meses24anos2 = então em dois anos esta operação
gera um montante M dado por ( ) CMCM 269735,1
24
01,01 =⇒+×= e portanto o juro J
dessa operação é dada por CJCCJ 269735,0269735,1 =⇒−= . Como o rendimento da
operação foi de 20,809 , temos então que
00,000.3
269735,0
20,809
20,809269735,0 ≅⇒=⇒= CCC .
Sabe-se que a relação entre as taxas unitárias de rendimento aparente i , real r e de inflação
θ em um mesmo período é dada por
θ+
+
=+
1
1
1
i
r .
Nesse caso a taxa de rendimento anual aparente da operação é a taxa anual equivalente à taxa
de mêsao%0,1 . Se denotarmos por i a taxa de rendimento aparente anual e como
meses12ano1 = , então temos que ( ) ( ) 126825,11
12
01,01
1
1 =+⇒+=+ ii
anoao%12,68ouanoao126825,0 ≅=⇒ ii .
Por outro lado, sabemos que taxa de inflação anual θ é de %12 , portanto a taxa de
anual de rendimento real r da operação será dada por ⇒
+
+
=+
12,01
126825,01
1 r
anoao%61,0ou006094,11
12,1
126825,1
1 ≅=+⇒=+ rrr .
Resposta: R$ 3.000,00; 12,68 % ao ano; 0,61 % ao ano.
5
7) (1,2 pt.) O desconto racional composto de uma nota promissória, cinco meses antes do seu
vencimento é de 890,36R$ a uma taxa de 4 % ao mês. Calcule o desconto comercial
simples correspondente, isto é, considerando o mesmo título, a mesma taxa e o mesmo
prazo.
Solução:
Temos que:






=
=
=
desconto)demês ( taxaaoi
tecipação)razo de anmeses ( pn
composto )racionalo( descont
r
d
%4
5
890,36
Sabemos que o valor atual racional rA no regime de juros composto pode ser obtido através
da relação ( )
( )n
i
N
rA
n
irAN
+
=⇔+×=
1
1 , onde i é taxa unitária de desconto no regime de
juros composto, n o prazo de antecipação e N é o valor nominal do título. Como
rAN
r
d −= , então
( ) ( ) 





+
−×=⇒
+
−= n
i
N
r
dn
i
N
N
r
d
1
1
1
1
.
Portanto, nesse caso temos que
( )
⇒=⇒








+
−×= 890,36178073,0
5
04,01
1
1890,36 NN
00,000.5
178073,0
890,36
=⇒= NN .
Sabemos que o desconto comercial simples pode ser determinado através da relação
inN
c
d ××= , onde i é taxa unitária de desconto no regime de juros simples, n o prazo de
antecipação e N é o valor nominal do título. Nesse caso então, temos que:
00,000.1504,000,000.5 =⇒××=
c
d
c
d .
Resposta: R$ 1.000,00
8) (1,8 pt.) Uma empresa dispõe de uma duplicata de 6.000,00R$ com vencimento para dez
meses. Ao procurar um banco e propor o desconto da duplicata, é informada que a taxa de
desconto comercial simples é de anoao%15 e que além disso cobra %1 sobre o valor
nominal do título como taxa de serviços bancários, pagos no ato do desconto. Determine,
o valor líquido liberado pelo banco e taxa linear anual de ganho efetivo do banco na
operação.
Solução:
6
Temos que:





=
=
=
simples)comercialdescontodetaxa(anoao%15
o)antecipaçãdeprazo(meses10
)títulodonominalvalor(6.000,00
i
n
N
Sabemos que no desconto comercial simples, a relação entre o valor nominal N e o desconto
cd é dada por niNcd ××= , onde i é a taxa unitária da operação e n o prazo de
antecipação. Nesse caso então, temos que 00,75010
12
15,0
00,000.6 =⇒××= cdcd . Logo,
nesse caso, o valor atual cA comercial será dado por ⇒= 750,00-6.000,00cA
00,250.5=cA .
O banco cobra uma taxa de %1 sobre o valor nominal da duplicata a título de despesas de
administração, ou seja, essa despesa será de 00,6000,000.601,0 =× ,. Portanto o valor líquido
recebido pela empresa será dado por 00,190.500,6000,250.5 =− .
Do ponto de vista do banco, essa foi uma operação de um empréstimo de 5.190,00R$ que
renderá a juros simples em dez meses um montante de 6.000,00R$ isto é, um juros dado
por 00,81000,190.500,000.6 =− .
Logo a taxa anual linear i dessa operação será obtida por:
anoao1873,0
00,325.4
00,810
00,81000,325.4
12
10
5.190,0000,810 ≅⇒=⇒=⇒××= iiii ou
anoao%73,18=i .
Resposta:



anoao%18,73b)
5.190,00R$a)

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CEDERJ - Centro de Educação a Distância do RJ

  • 1. Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 http://www.cederj.edu.br e-mail: cederj@cederj.rj.gov.br MF -AD 1 -2008/2 Gabarito 1) (1,0 pt.) Um comerciante aumentou o preço de uma mercadoria em %8 . Contudo, a procura por essa mercadoria continuou grande. Então ele fez um novo aumento de %4 . Como o preço ficou alto, a mercadoria encalhou e, além disso, o prazo de validade estava vencendo. Finalmente fez um desconto para que o preço passasse a ser %90 do valor inicial. De quanto foi esse desconto? Solução: Seja x o preço da mercadoria. Após primeiro aumento, o preço da mercadoria passou a ser dado por x08,1 . Como o segundo aumento é cumulativo então, após este aumento o preço da mercadoria passou a ser dado por ( ) xx 1232,104,108,1 =× . Após esses aumentos, o lojista deseja dar um desconto de modo que o preço da mercadoria passe a ser %90 do valor inicial. Logo, após este desconto o preço da mercadoria será dado por x90,0 e este valor corresponde a um porcentual em relação ao preço após os aumentos dado por x x x 80,0 1232,1 90,0 ≅ . Ou seja, para alcançar o preço desejado, o comerciante deve dar um desconto de 20 % sobre o preço após os aumentos. Resposta: 20 % 2) (0,8 pt.) Uma empresa comprou um produto pagando %30 de imposto sobre o preço de custo e %10 de despesa com transporte sobre o preço da mercadoria com o imposto. Sabendo-se que na venda desse produto a empresa obteve um lucro de 143,00R$ , correspondente a %20 sobre o preço de aquisição mais despesas (imposto e transporte), determine o preço de venda do produto. Solução: Seja x o preço de aquisição do produto. Sobre ele incide %30 de imposto, passando a gerar um custo de x30,1 . Sobre esse custo, a empresa paga %10 de despesa de transporte,
  • 2. 2 portanto, para a empresa o custo final da mercadoria passa a ser dado por ( ) xx 43,13,11,1 =× . A empresa vendeu o produto com um lucro %20 sobre este custo, portanto, o preço de venda da mercadoria será dado por ( ) xx 716,143,12,1 =× , ou seja, o lucro corresponde a um total dado por xxx 286,0143,1716,1 =− , e como este lucro foi de 143,00, temos então que 00,500 286,0 00,143 00,143286,0 =⇒=⇒= xxx . Portanto, este é o preço de custo do produto sem o imposto e o transporte. O preço de venda do produto será dado por 00,85800,00,500716,1 =× . Resposta: R$ 858,00 3) (1,0 pt.) Um comerciante sabe que para não ter prejuízo, o preço de venda de seus produtos deve ser no mínimo %26 superior ao preço de custo. Como ele sabe que o cliente gosta de um desconto no momento da compra, então ele prepara a tabela dos preços de venda acrescentando %40 ao preço de custo. Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao cliente sobre o preço da tabela, de modo a não ter prejuízo? Solução: Seja x o preço de custo da mercadoria. Para não ter prejuízo, o lojista precisa vender a mercadoria com %26 de aumento sobre este preço logo, o preço mínimo da mercadoria será dado por x26,1 . Mas ele prepara a tabela de preços de venda de seus produtos com %40 de aumento sobre o preço de custo. Portanto, o valor da mercadoria na tabela de preços será dado por .40,1 x Ou seja, para não ter prejuízo o lojista deve dar desconto de no máximo xxx 14,026,140,1 =− que em relação ao valor da mercadoria na tabela de preços, corresponde a um porcentual dado por 10,0 40,1 14,0 ≅ x x , isto é, o desconto máximo que o lojista deve dar para que não tenha prejuízo é de %10 . Resposta: 10 % 4) (1,6 pts.) Um investidor aplicou %40 de suas economias durante seis anos no regime de juros simples a uma taxa de anoao%18 . O restante foi aplicado no regime de juros compostos, pelo mesmo prazo utilizando a mesma taxa, porem capitalizada trimestralmente. Determine o valor das economias desse investidor, sabendo que o rendimento das aplicações no final da operação totalizou 13.891,30R$ . Solução:
  • 3. 3 Seja C o capital a ser aplicado pelo investidor. %40 desse capital, ou seja, C40,0 , foi aplicado durante seis anos no regime de juros simples a uma taxa de anoao%18 , logo o rendimento, isto é, juro 1J gerado por esta operação será dado por CJCJ 432,01618,040,01 =⇒××= . O restante, ou seja, C60,0 foi aplicado no regime de juros composto, pelo mesmo prazo, utilizando a mesma taxa, porém capitalizada trimestralmente. Portanto, nesse caso esta taxa é nominal, pois seu período que é anual é diferente do período de capitalização que é trimestral; logo, considerando a relação entre as unidades de tempo dessas taxas, a taxa efetiva trimestral da operação é proporcional a taxa dada, ou seja, como estrimestr4ano1 = , então a taxa efetiva trimestral i será dada por etrimestrao%4,5 4 18 ==i . Como 6 anos = 24 trimestres, então o montante M gerado por esta operação será dado por ( ) CMCM 725608,124045,0160,0 =⇒+×= . Portanto, o juro 2J produzido por esta operação, será dado por CJCCJ 125608,1260,0725608,12 =⇒−= . Como 30,891.1321 =+ JJ , então ⇒=+ 30,891.13125608,1432,0 CC 35,918.8 557608,1 30,891.13 30,891.13557608,1 ≅⇒=⇒= CCC . Resposta: R$ 8.918,35 5) (0,8 pt.) Considere a taxa de anoao%24 , capitalizada mensalmente. Determine a taxa nominal anual correspondente à taxa efetiva bimestral equivalente à taxa dada. Solução: A taxa dada de anoao%24 é nominal, pois seu período é diferente do período de capitalização que é mensal. Logo, considerando a relação entre as unidades de tempos dessas taxas, a taxa efetiva mensal , é proporcional à taxa dada, ou seja, como meses12ano1 = , então a taxa efetiva será dada por mêsao%2 12 24 = . Seja i a taxa bimestral equivalente à esta taxa. Portanto, como meses2bimestre1 = , então ( ) ( ) bimestreao0404,00404,11 2 02,01 1 1 =⇒=+⇒+=+ iii ou bimestreao%04,4=i . Portanto, a taxa nominal anual correspondente a esta taxa é proporcional à ela, e como bimestres6ano1 = , então esta taxa será dada por anoao%24,2404,46 =× Resposta: 24,24 % ao ano.
  • 4. 4 6) (1,8 pt.) Um capital foi aplicado durante dois anos à uma taxa de anoao%12 , capitalizada mensalmente e rendeu 20,809R$ de juros. Considerando uma inflação anual de anoao%12 , determine o valor do capital aplicado, as taxa anuais de rentabilidade aparente e real da aplicação. Solução: Seja C o capital aplicado pelo investidor. Este capital foi aplicado durante dois anos a uma taxa de rendimento aparente de anoao%12 , capitalizada mensalmente, portanto, esta taxa é nominal, pois seu período é diferente do período de capitalização que é mensal. Logo, considerando a relação entre as unidades de tempos dessas taxas, a taxa efetiva mensal da operação , é proporcional à taxa dada, ou seja, como meses12ano1 = , então a taxa efetiva será dada por mêsao%0,1 12 12 = . Portanto, como meses24anos2 = então em dois anos esta operação gera um montante M dado por ( ) CMCM 269735,1 24 01,01 =⇒+×= e portanto o juro J dessa operação é dada por CJCCJ 269735,0269735,1 =⇒−= . Como o rendimento da operação foi de 20,809 , temos então que 00,000.3 269735,0 20,809 20,809269735,0 ≅⇒=⇒= CCC . Sabe-se que a relação entre as taxas unitárias de rendimento aparente i , real r e de inflação θ em um mesmo período é dada por θ+ + =+ 1 1 1 i r . Nesse caso a taxa de rendimento anual aparente da operação é a taxa anual equivalente à taxa de mêsao%0,1 . Se denotarmos por i a taxa de rendimento aparente anual e como meses12ano1 = , então temos que ( ) ( ) 126825,11 12 01,01 1 1 =+⇒+=+ ii anoao%12,68ouanoao126825,0 ≅=⇒ ii . Por outro lado, sabemos que taxa de inflação anual θ é de %12 , portanto a taxa de anual de rendimento real r da operação será dada por ⇒ + + =+ 12,01 126825,01 1 r anoao%61,0ou006094,11 12,1 126825,1 1 ≅=+⇒=+ rrr . Resposta: R$ 3.000,00; 12,68 % ao ano; 0,61 % ao ano.
  • 5. 5 7) (1,2 pt.) O desconto racional composto de uma nota promissória, cinco meses antes do seu vencimento é de 890,36R$ a uma taxa de 4 % ao mês. Calcule o desconto comercial simples correspondente, isto é, considerando o mesmo título, a mesma taxa e o mesmo prazo. Solução: Temos que:       = = = desconto)demês ( taxaaoi tecipação)razo de anmeses ( pn composto )racionalo( descont r d %4 5 890,36 Sabemos que o valor atual racional rA no regime de juros composto pode ser obtido através da relação ( ) ( )n i N rA n irAN + =⇔+×= 1 1 , onde i é taxa unitária de desconto no regime de juros composto, n o prazo de antecipação e N é o valor nominal do título. Como rAN r d −= , então ( ) ( )       + −×=⇒ + −= n i N r dn i N N r d 1 1 1 1 . Portanto, nesse caso temos que ( ) ⇒=⇒         + −×= 890,36178073,0 5 04,01 1 1890,36 NN 00,000.5 178073,0 890,36 =⇒= NN . Sabemos que o desconto comercial simples pode ser determinado através da relação inN c d ××= , onde i é taxa unitária de desconto no regime de juros simples, n o prazo de antecipação e N é o valor nominal do título. Nesse caso então, temos que: 00,000.1504,000,000.5 =⇒××= c d c d . Resposta: R$ 1.000,00 8) (1,8 pt.) Uma empresa dispõe de uma duplicata de 6.000,00R$ com vencimento para dez meses. Ao procurar um banco e propor o desconto da duplicata, é informada que a taxa de desconto comercial simples é de anoao%15 e que além disso cobra %1 sobre o valor nominal do título como taxa de serviços bancários, pagos no ato do desconto. Determine, o valor líquido liberado pelo banco e taxa linear anual de ganho efetivo do banco na operação. Solução:
  • 6. 6 Temos que:      = = = simples)comercialdescontodetaxa(anoao%15 o)antecipaçãdeprazo(meses10 )títulodonominalvalor(6.000,00 i n N Sabemos que no desconto comercial simples, a relação entre o valor nominal N e o desconto cd é dada por niNcd ××= , onde i é a taxa unitária da operação e n o prazo de antecipação. Nesse caso então, temos que 00,75010 12 15,0 00,000.6 =⇒××= cdcd . Logo, nesse caso, o valor atual cA comercial será dado por ⇒= 750,00-6.000,00cA 00,250.5=cA . O banco cobra uma taxa de %1 sobre o valor nominal da duplicata a título de despesas de administração, ou seja, essa despesa será de 00,6000,000.601,0 =× ,. Portanto o valor líquido recebido pela empresa será dado por 00,190.500,6000,250.5 =− . Do ponto de vista do banco, essa foi uma operação de um empréstimo de 5.190,00R$ que renderá a juros simples em dez meses um montante de 6.000,00R$ isto é, um juros dado por 00,81000,190.500,000.6 =− . Logo a taxa anual linear i dessa operação será obtida por: anoao1873,0 00,325.4 00,810 00,81000,325.4 12 10 5.190,0000,810 ≅⇒=⇒=⇒××= iiii ou anoao%73,18=i . Resposta:    anoao%18,73b) 5.190,00R$a)