Autor: Sergio Alfredo Macore / Helldriver Rapper

1. 2
ÍNDICE
INTRODUÇÃO .............................................................................................................................. 3
RENDAS IMEDIATAS.................................................................................................................. 4
Calculando a taxa............................................................................................................................ 7
Interpolação linear........................................................................................................................... 8
Exemplos......................................................................................................................................... 9
Fórmula de transformação ............................................................................................................ 10
Classificação das rendas................................................................................................................ 12
Conclusão...................................................................................................................................... 13
Bibliografia ................................................................................................................................... 14

2. 3
INTRODUÇÃO
O presente trabalho aborda sobre Rendas Imediatas. Na verdade, ao realizarmos um investimento
temos a expectativa de que esse dinheiro depositado obtenha bons rendimentos. As formas de
aplicar um dinheiro são a mais variadas, atendendo as necessidades de cada pessoa. Uma boa
alternativa de aplicação simples e segura é a caderneta de poupança, porém as taxas de juros
utilizadas na poupança são baixas. Caso queira investir quantias mensais por um determinado
tempo, a melhor opção a ser utilizada é a capitalização composta. Nessa modalidade, a pessoa
investe um valor fixo mensal que é aplicado a uma taxa de juros especificada no ato da adesão.
Ao final do prazo estipulado a pessoa retira todo o dinheiro investido acrescido dos juros.
Grande parte das pessoas não conhece os tipos de investimento existentes, mas o principal é
conhecer o processo de capitalização mensal do dinheiro, as instituições fornecem somente o
montante total. Vamos construir uma tabela que nos permitirá a análise periódica da
capitalização do dinheiro aplicado. A situação exibida abordará uma capitalização de renda
imediata, isto é, o vencimento do primeiro termo se dá no fim do primeiro período a contar da
data de assinatura do contrato.

3. 4
RENDAS IMEDIATAS
Renda, também conhecida como anuidade, é todo valor utilizado sucessivamente para compor
um capital ou pagar uma dívida. As rendas são um dos principais conceitos que baseiam os
financiamentos ou empréstimos. Nessas rendas são realizadas uma série de pagamentos (parcelas
ou termos) para arrecadar um fundo de poupança, pagar dívidas, financiar imóveis, etc.
No caso da poupança, para acumularmos determinado valor, realizamos vários pagamentos que
geram um montante ao final, chamado de montante equivalente da renda.
Já no pagamento de uma dívida, os débitos são feitos posteriormente, ou seja, as prestações são
pagas ao credor com períodos e parcelas determinadas. Um exemplo, é o pagamento de uma
aluguel. Esse pagamento de dívidas é chamado de amortização. Existem diversos tipos de
sistemas de amortização, são eles: Sistema de Amortização Francês, Sistema de Amortização
Constante (SAC), Sistema de Amortização Alemão, etc., sendo que cada um têm sua
particularidade.
Anuidades, rendas, anuidades ou séries de pagamentos  Conjunto de pagamentos periódicos,
destinados a amortizar uma dívida ou constituir um capital.
Valor Actual Montante
A n‫ך‬ i S n‫ך‬ i
Podem ser classificadas em:
Constantes  quando os pagamentos são iguais.
Periódicas  quando os intervalos de tempo são iguais.
IMEDIATA ou POSTECIPADA – Quando os pagamentos ocorrem no fim de cada período.

4. 5
1- ANTECIPADA - Quando os pagamentos ocorrem no início de cada período. ( 1+ n )
2- DIFERIDA – Equivale a uma renda Imediata que tem um período de carência entre o
valor atual e o início dos pagamentos.
NOMENCLATURA:
A n‫ך‬ i = Valor Atual S n‫ך‬ i = Montante
T = Valor das prestações ou depósitos i = taxa
n = quantidade de prestações ou depósitos m = carência
A conversão é feita de acordo com as prestações ou depósitos.
1- RENDA IMEDIATA OU POSTECIPADA: Valor Atual → equivale ao valor de uma
dívida, empréstimo, valor a vista de uma mercadoria, que será amortizada em pagamentos
periódicos.
An‫ך‬ i= T . a n ‫ך‬ i

5. 6
Índice ou Tabela 1- (Valor atual) →
1-Fiz um empréstimo e vou pagá-lo em 6 prestações, mensais, iguais e sucessivas de 230,00.
Sabendo que a taxa deste financiamento foi de 4,5 % ao mês, determine o valor deste
empréstimo.
An‫ך‬ i = T . a n‫ך‬ i na tabela I
An‫ך‬ i = 230,00 . 5,157872 n = 6 m
An‫ך‬ i = 1 186,31 i= 4,5% a .m
2-Um empréstimo de 5 000,00 é concedido por uma instituição financeira para ser liquidado em
1 ano e meio, com prestações mensais e iguais. Sabendo que a taxa de juros é de 36% ao ano,
determine o valor de cada prestação.
An‫ך‬ i = 5 000,00
T = ?
n = 18
i = 36% ao ano : 12 = 3 % ao mês
T =
ina
iAn


3%
18 13,753513
753513,13
0005
T
a n
n
ii
i
in
)1(.
1)1(



5,157872

6. 7
T = 363,54
3-Um imóvel está à venda por 48 000,00 ou com 30% de entrada e o restante em prestações
mensais, durante um ano. Se a taxa de financiamento for de 3% ao mês, qual será o valor de
cada prestação?
Exercícios:
1- Calcule o valor de um empréstimo financiado durante 3 anos, à taxa de 42% ao ano , em
prestações mensais e iguais a 293,00.
2- Marco Antônio fez um ‘crédito pessoal’ no Banco Alfa, para ser liquidado em 10 prestações
bimestrais de 520,00. Sabendo que a taxa de financiamento desta linha de crédito é de 42%
ao ano, calcule o valor de seu ‘crédito pessoal’.
3- Um carro ‘0 KM’ está em promoção na ‘ Sport Car’ veículos. Se a taxa de financiamento é
de 36 % ao ano, qual será o valor das prestações?
4- Um DVD está a venda por 240,00 de entrada mais 10 prestações mensais de 84,00.
Sabendo que a taxa de crédito é de 5 % ao mês, determine o valor a vista deste DVD.
5- Um carro foi comprado por 8 000,00 de entrada mais 24 pagamentos mensais de
535,00. Se a taxa de financiamento é de 36% ao ano, calcule o valor a vista deste carro.
6- Um cliente deve pagar na compra de uma moto, uma entrada de 1 000,00 que representa
20% do valor a vista, e mais 36 prestações mensais iguais. Se a taxa de financiamento é de
36% ao ano, qual deve ser o valor das prestações?
Calculando a taxa
1-Fiz um empréstimo de 4 799,96 e devo pagá-lo em 6 prestações bimestrais de 900,80.
Determine a taxa deste empréstimo.
T
iAn
ina


29 500,00 a vista
ou 30% de entrada, e o restante em
24 prestações mensais!

7. 8
80,900
96,7994
ina
an¬i = 5,328552
Procurando este valor na tabela, na linha 6, encontrará a taxa de 3,5%. Portanto a taxa procurada
é 3,5% ao bimestre.
2-O preço a vista de uma televisão é de 730,00, mas pode ser adquirida no crediário em 18
prestações mensais de R$ 57,00. Determine a taxa utilizada neste crediário.
T
A
a in
in

 
00,57
00,730
ina
an¬i = 12,807018
Procurando este valor na linha 18, ele se encontrará ente as taxa 3,5 % e 4%
Interpolação linear
3,5% ---------------- 13,189682
0,5 X ----------------- 12,807018
4% ----------------- 12,659297
X-------0,382664
0,5 ------0,530385
0,530385. x = 0,191332
0,382664
0,530385

8. 9
X =
530385,0
191332,0
X = 0,36
Logo a taxa procurada é 3,5% + 0,36 = 3,86 % ao mês
1- Um empréstimo de 2 800,00 poderá ser liquidado em 24 prestações mensais de 190,00.
Determine a taxa mensal deste empréstimo.
2- Determine a taxa de um financiamento de 10 000,00 que será liquidado em dois anos, com
prestações mensais de 641,20.
3- Que taxa mensal é cobrada num financiamento de 2 300,00 a ser liquidado em 24 prestações
mensais de 147,80, vencíveis no final de cada mês?
4- Comprei uma mercadoria por 180,00 de entrada mais 12 prestações mensais de 92,85.
Que taxa de juros paguei neste financiamento, sabendo que o preço a vista da mercadoria era de
950,00?
Exemplos
1-Um magazine da cidade só me forneceu o índice dos crediários feitos aos clientes. Você
será capaz de calcular a taxa se souber a quantidade de prestações. Então vamos lá: 7 prestações
mensais e o índice é 5,715746
2- O proprietário de um pequeno comércio quer oferecer a seus clientes a opção de compra em 4
vezes sem entrada, e não quer recorrer a nenhuma financeira. Para isso, precisa do índice para
que possa fazer os cálculo mais rápido. Ele irá cobrar uma taxa de 3,8 % ao mês. Determine este
índice para ele.
3- Em quantas prestações anuais de 20 000,00 poderei amortizar uma dívida de 48
711,40 à taxa de 30% ao ano?
2- RENDA ANTECIPADA : pagamentos ocorrem no início de cada período.
Valor atual  Ā n‫ך‬ i = T . ā n ‫ך‬ i Índice  1
)1(
1)1(



 n
n
in
ii
i
a

9. 10
* Este índice não é tabelado
Fórmula de transformação
ā n ‫ך‬ i = 1 + a n-1 ‫ך‬ i
Exemplos:
1- Uma geladeira foi vendida em 12 prestações mensais de R$ 149,90, sendo a primeira no ato
da compra. Se a taxa de crediário foi de 6 % ao mês, qual seria o preço a vista desta
geladeira?
2- O preço a vista de um televisor é R$ 830,00, mas pode ser adquirido em 18 prestações
mensais, sendo a primeira dada como entrada. Sabendo que a taxa de crediário é de 5,5% ao
mês, calcule o valor da prestação.
EXERCÍCIOS:
1- O Magazine Topa Tudo anuncia:
Se a taxa de crediário é de 5,5 % ao mês.
Determine o valor à vista desta mercadoria.
2-O preço a vista de um ‘telefone com Bina’ é de 150,00 ou em 10 prestações ( 1+9 ). A taxa de
crediário é de 6% ao mês, qual deve ser o valor de cada prestação?
3- Um televisor foi adquirido em parcelas mensais de356,00, durante dois anos. Sabendo que a
taxa de crediário é de 36% ao ano, por quanto teria conseguido comprá-lo à vista, se a primeira
parcela é dada como entrada?
4-Um apartamento está sendo oferecido por 120 000,00 ou em cinco anos com prestações
bimestrais. Sendo a taxa de 24% ao ano para o financiamento determine o valor destas
prestações, sabendo que a primeira é no ato da compra.
APROVEITEM!
Microondas Panasonic
1+12 parcelas mensais de
R$ 48,80

10. 11
CALCULANDO A TAXA
1-O preço a vista de uma lavadora é R$ 850,00 ou em 1+24 de R$ 62,00. Determine a taxa deste
crediário.
ā n‫ך‬ i =
T
A in
ā n‫ך‬ i =
00,62
00,850
ā n‫ך‬ i = 13,709677
Como este valor não é tabelado, é necessário passar pela fórmula de transformação:
ā n ‫ך‬ i = 1 + a n-1 ‫ך‬ i
13,709677 = 1 + a 25-1 ‫ך‬ i
13,709677 – 1 = a 24 ‫ך‬ i
a 24 ‫ך‬ i = 12,709677
Buscando na linha 24 da tabela de valor actual você encontra este valor entre as taxas 5,5% e 6%
, agora é só fazer a interpolação linear.
2- Um cliente muito esperto foi em busca das facilidades do crediário, mas estava mesmo era de
olho nas taxas aplicadas. O vendedor não sabia o valor da taxa praticada, por isso só lhe
forneceu o índice de 10,531279 para 18 prestações mensais, sendo a primeira dada como
entrada. Determine então, a taxa aplicada neste crediário para este cliente esperto.
3- O proprietário de um pequeno comércio quer oferecer a seus clientes a opção de compra em 5
vezes, sendo 1+4, e não quer recorrer a nenhuma financeira. Para isso, precisa do índice para que
possa fazer os cálculos mais rápido. Ele irá cobrar uma taxa de 3,7 % ao mês. Determine este
índice para ele.
3- RENDA DIFERIDA – Equivale a uma renda Imediata que tem um período de carência entre
o valor actual e o início dos pagamentos.
Exemplo: 3 meses de carência e 4 pagamentos

11. 12
Valor Atual  mAn‫ך‬ i = T . m/ an‫ך‬i Índice  m  an‫ך‬i = mn
n
ii
i



)1(
1)1(
* Este índice não é
tabelado
FÓRMULA DE TRANSFORMAÇÃO → m a n ‫ך‬i = a mn  ‫ך‬ i – a m ‫ך‬ i
Classificação das rendas
Como foi dito, as rendas são uma sucessão de pagamentos ou depósitos em determinado período
e tempo. Mas, ainda de acordo com cada tipo de elemento que estiver determinado no contrato,
elas podem ser classificadas de formas diferentes. Veja:
 Rendas Temporárias: quando os pagamentos possuem um prazo para acabar.
 Rendas Perpétuas: quando os pagamentos são infinitos.
 Rendas Fixas ou Uniformes: quando os pagamentos são iguais.
 Rendas Variáveis: quando os pagamentos mudam.
 Rendas Constantes: quando os termos são constantes. Ex.: Prestações.
 Rendas Variáveis: quando as rendas são variáveis. Ex.: Depósitos crescentes na
poupança.
 Rendas Imediatas: quando o primeiro pagamento é feito no primeiro período (mês) da
série.

12. 13
Conclusão
Chegando o fim deste trabalho, posso dizer que o conhecimento da Matemática Financeira
possui uma significativa importância em nossa vida; proporciona o fim de uma escuridão e nos
lança com maior clareza para o mundo em que vivemos diariamente, onde somos activos e
passivos a todo o momento, em termos de agente económico.
Esse conhecimento nos faz deixar de ser “vítimas” dos Agentes conhecedores e formadores de
preço, juros, e taxas, para sermos pessoas activas e questionadoras em relação à utilização do
nosso dinheiro. No mundo actual, os termos: juros, desconto, paridade de taxa, amortização de
dívidas eengenharia económica, entre tantos outros, fazem parte do nosso linguajar quotidiano e
o conhecimento correcto dos mesmos nos proporciona, sem nenhuma duvida, um ganhos
significativo e qualitativo nas nossas transacções económico-financeiras.

13. 14
Bibliografia
D’Ambrosio, Nicolau e Ubiratan, Matemática Comercial e Financeira, Companhia Editora
Nacional, 29ª edicao, Sao Paulo, 1983.
Lima, Elon Lages, et al, Temas e Problemas, Colecção do Professor de Matemática, SBM, Rio
de Janeiro, 2001.
Faria, Rogério G. de, Matemática Comercial e Financeira, Makron Books, 5ª edição, São Paulo,
2000.
Sobrinho, J. D. Vieira, Manual de Aplicações Financeiras – HP-12C, Atlas, 2ª edição, São Paulo,
1985.
Nome: Sérgio Alfredo Macore / 22.02.1992
Naturalidade: Cabo Delgado – Pemba – Moçambique
Contactos: +258 826677547 ou +258 846458829
Formado em: Gestão de Empresas / Gestão Financeira
E-mail: Sergio.macore@gmail.com / helldriverrapper@hotmail.com
Facebook: Helldriver Rapper Rapper, Sergio Alfredo Macore
Twitter: @HelldriverTLG
Instituição de ensino: Universidade Pedagogica Nampula – Faculdade = ESCOG.
Boa sorte para você…….

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