O documento descreve uma aula sobre cálculo I. Nela, o professor revisa teoremas como o teorema do confronto e do anulamento e resolve exercícios, incluindo o estudo do limite quando x tende a 0 de funções como x4cos(2x) e √x2sen(π/x). Ele também discute a motivação para a definição formal de limite e visualiza elementos da definição no GeoGebra.
1. Cálculo I
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 5
13 de setembro de 2007
Aula 5 Cálculo I 1
3. Relembrando o teorema do confronto
Se f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) quando x está próximo de p (exceto
possivelmente em p) e
lim
x→p
f(x) = L = lim
x→p
h(x),
então
lim
x→p
g(x) = L.
Teorema
Este teorema também é conhecido como
o teorema do sanduíche.
Aula 5 Cálculo I 3
4. Relembrando o teorema do anulamento
Se y = f(x) é uma função limitada em torno de um ponto p e
limx→p g(x) = 0, então
lim
x→p
(f(x) · g(x)) = 0.
Teorema
Aula 5 Cálculo I 4
5. Exercício [35] da página 110 do livro do Stewart
Estude lim
x→0
x4
cos
2
x
.
Solução. Temos que para todo x = 0, −1 ≤ cos(2/x) ≤ +1. Logo, multipli-
cando estas desigualdades por x4 para x = 0, vemos que
−x4
≤ x4
cos
2
x
≤ +x4
.
Como limx→0(−x)4 = 0 = limx→0(+x4), segue-se pelo teorema do confronto
que
lim
x→0
x4
cos
2
x
= 0.
Aula 5 Cálculo I 5
6. Exercício [35] da página 110 do livro do Stewart
Estude lim
x→0
x4
cos
2
x
.
Solução. Temos que para todo x = 0, −1 ≤ cos(2/x) ≤ +1. Logo, multipli-
cando estas desigualdades por x4 para x = 0, vemos que
−x4
≤ x4
cos
2
x
≤ +x4
.
Como limx→0(−x)4 = 0 = limx→0(+x4), segue-se pelo teorema do confronto
que
lim
x→0
x4
cos
2
x
= 0.
Aula 5 Cálculo I 6
7. Exercício [35] da página 110 do livro do Stewart
Estude lim
x→0
x4
cos
2
x
.
Solução. Temos que para todo x = 0, −1 ≤ cos(2/x) ≤ +1. Logo, multipli-
cando estas desigualdades por x4 para x = 0, vemos que
−x4
≤ x4
cos
2
x
≤ +x4
.
Como limx→0(−x)4 = 0 = limx→0(+x4), segue-se pelo teorema do confronto
que
lim
x→0
x4
cos
2
x
= 0.
Aula 5 Cálculo I 7
8. Exercício [35] da página 110 do livro do Stewart
Estude lim
x→0
x4
cos
2
x
.
Solução. Temos que para todo x = 0, −1 ≤ cos(2/x) ≤ +1. Logo, multipli-
cando estas desigualdades por x4 para x = 0, vemos que
−x4
≤ x4
cos
2
x
≤ +x4
.
Como limx→0(−x)4 = 0 = limx→0(+x4), segue-se pelo teorema do confronto
que
lim
x→0
x4
cos
2
x
= 0.
Aula 5 Cálculo I 8
9. Exercício [35] da página 110 do livro do Stewart
Estude lim
x→0
x4
cos
2
x
.
Solução. Temos que para todo x = 0, −1 ≤ cos(2/x) ≤ +1. Logo, multipli-
cando estas desigualdades por x4 para x = 0, vemos que
−x4
≤ x4
cos
2
x
≤ +x4
.
Como limx→0(−x)4 = 0 = limx→0(+x4), segue-se pelo teorema do confronto
que
lim
x→0
x4
cos
2
x
= 0.
Aula 5 Cálculo I 9
10. Exercício [35] da página 110 do livro do Stewart
Estude lim
x→0
x4
cos
2
x
.
Solução. Temos que para todo x = 0, −1 ≤ cos(2/x) ≤ +1. Logo, multipli-
cando estas desigualdades por x4 para x = 0, vemos que
−x4
≤ x4
cos
2
x
≤ +x4
.
Como limx→0(−x)4 = 0 = limx→0(+x4), segue-se pelo teorema do confronto
que
lim
x→0
x4
cos
2
x
= 0.
Aula 5 Cálculo I 10
11. Exercício [36] da página 110 do livro do Stewart
Estude lim
x→0+
√
x 2sen(π/x)
.
Solução. Temos que para todo x = 0, −1 ≤ sen(π/x) ≤ +1. Logo, exponen-
ciando, vemos que
2−1
≤ 2sen(π/x)
≤ 2+1
.
Isto mostra que y = f(x) = 2sen(π/x) é uma função limitada. Agora, como
limx→0+
√
x = 0, segue-se pelo teorema do anulamento que
lim
x→0+
√
x 2sen(π/x)
= 0.
Aula 5 Cálculo I 11
12. Exercício [36] da página 110 do livro do Stewart
Estude lim
x→0+
√
x 2sen(π/x)
.
Solução. Temos que para todo x = 0, −1 ≤ sen(π/x) ≤ +1. Logo, exponen-
ciando, vemos que
2−1
≤ 2sen(π/x)
≤ 2+1
.
Isto mostra que y = f(x) = 2sen(π/x) é uma função limitada. Agora, como
limx→0+
√
x = 0, segue-se pelo teorema do anulamento que
lim
x→0+
√
x 2sen(π/x)
= 0.
Aula 5 Cálculo I 12
13. Exercício [36] da página 110 do livro do Stewart
Estude lim
x→0+
√
x 2sen(π/x)
.
Solução. Temos que para todo x = 0, −1 ≤ sen(π/x) ≤ +1. Logo, exponen-
ciando, vemos que
2−1
≤ 2sen(π/x)
≤ 2+1
.
Isto mostra que y = f(x) = 2sen(π/x) é uma função limitada. Agora, como
limx→0+
√
x = 0, segue-se pelo teorema do anulamento que
lim
x→0+
√
x 2sen(π/x)
= 0.
Aula 5 Cálculo I 13
14. Exercício [36] da página 110 do livro do Stewart
Estude lim
x→0+
√
x 2sen(π/x)
.
Solução. Temos que para todo x = 0, −1 ≤ sen(π/x) ≤ +1. Logo, exponen-
ciando, vemos que
2−1
≤ 2sen(π/x)
≤ 2+1
.
Isto mostra que y = f(x) = 2sen(π/x) é uma função limitada. Agora, como
limx→0+
√
x = 0, segue-se pelo teorema do anulamento que
lim
x→0+
√
x 2sen(π/x)
= 0.
Aula 5 Cálculo I 14
15. Exercício [36] da página 110 do livro do Stewart
Estude lim
x→0+
√
x 2sen(π/x)
.
Solução. Temos que para todo x = 0, −1 ≤ sen(π/x) ≤ +1. Logo, exponen-
ciando, vemos que
2−1
≤ 2sen(π/x)
≤ 2+1
.
Isto mostra que y = f(x) = 2sen(π/x) é uma função limitada. Agora, como
limx→0+
√
x = 0, segue-se pelo teorema do anulamento que
lim
x→0+
√
x 2sen(π/x)
= 0.
Aula 5 Cálculo I 15
16. Exercício [36] da página 110 do livro do Stewart
Estude lim
x→0+
√
x 2sen(π/x)
.
Solução. Temos que para todo x = 0, −1 ≤ sen(π/x) ≤ +1. Logo, exponen-
ciando, vemos que
2−1
≤ 2sen(π/x)
≤ 2+1
.
Isto mostra que y = f(x) = 2sen(π/x) é uma função limitada. Agora, como
limx→0+
√
x = 0, segue-se pelo teorema do anulamento que
lim
x→0+
√
x 2sen(π/x)
= 0.
Aula 5 Cálculo I 16
36. Definição formal de limite
Seja f uma função definida em um intervalo aberto que
contém o número p, exceto possivelmente o próprio número p.
Então dizemos que o limite de f(x) quando x tende a p é
o número real L se para todo número > 0, existe um
número δ > 0 tal que
se 0 < |x − p|
distância entre x e p
< δ, então |f(x) − L|
distância entre f(x) e L
< .
Neste caso escreveremos
lim
x→p
f(x) = L.
Definição
Aula 5 Cálculo I 36
37. Definição formal de limite
Seja f uma função definida em um intervalo aberto que
contém o número p, exceto possivelmente o próprio número p.
Então dizemos que o limite de f(x) quando x tende a p é
o número real L se para todo número > 0, existe um
número δ > 0 tal que
se 0 < |x − p|
distância entre x e p
< δ, então |f(x) − L|
distância entre f(x) e L
< .
Neste caso escreveremos
lim
x→p
f(x) = L.
Definição
Aula 5 Cálculo I 37
38. Definição formal de limite
Seja f uma função definida em um intervalo aberto que
contém o número p, exceto possivelmente o próprio número p.
Então dizemos que o limite de f(x) quando x tende a p é
o número real L se para todo número > 0, existe um
número δ > 0 tal que
se 0 < |x − p|
distância entre x e p
< δ, então |f(x) − L|
distância entre f(x) e L
< .
Neste caso escreveremos
lim
x→p
f(x) = L.
Definição
Aula 5 Cálculo I 38
39. Definição formal de limite
Seja f uma função definida em um intervalo aberto que
contém o número p, exceto possivelmente o próprio número p.
Então dizemos que o limite de f(x) quando x tende a p é
o número real L se para todo número > 0, existe um
número δ > 0 tal que
se 0 < |x − p|
distância entre x e p
< δ, então |f(x) − L|
distância entre f(x) e L
< .
Neste caso escreveremos
lim
x→p
f(x) = L.
Definição
Aula 5 Cálculo I 39
40. Definição formal de limite
Seja f uma função definida em um intervalo aberto que
contém o número p, exceto possivelmente o próprio número p.
Então dizemos que o limite de f(x) quando x tende a p é
o número real L se para todo número > 0, existe um
número δ > 0 tal que
se 0 < |x − p|
distância entre x e p
< δ, então |f(x) − L|
distância entre f(x) e L
< .
Neste caso escreveremos
lim
x→p
f(x) = L.
Definição
Aula 5 Cálculo I 40
41. Exemplo
Mostre que lim
x→3
2 x2 − 7 x + 3
x − 3
= 5.
Solução. Temos que f(x) = (2 x2 − 7 x + 3)/(x − 3) = 2 x − 1 para x = 3,
p = 3 e L = 5. Agora
|f(x) − L| = |(2 x − 1) − 5| = |2 x − 6| = |2 (x − 3)| = 2 |x − 3|.
Assim, dado > 0 qualquer, escolhendo δ = /2, vemos que
se 0 < |x − 3| < δ então |f(x) − 5| = 2 |x − 3| < 2 δ = 2 ( /2) = .
Isto mostra que
lim
x→3
2 x2 − 7 x + 3
x − 3
= 5.
Aula 5 Cálculo I 41
42. Exemplo
Mostre que lim
x→3
2 x2 − 7 x + 3
x − 3
= 5.
Solução. Temos que f(x) = (2 x2 − 7 x + 3)/(x − 3) = 2 x − 1 para x = 3,
p = 3 e L = 5. Agora
|f(x) − L| = |(2 x − 1) − 5| = |2 x − 6| = |2 (x − 3)| = 2 |x − 3|.
Assim, dado > 0 qualquer, escolhendo δ = /2, vemos que
se 0 < |x − 3| < δ então |f(x) − 5| = 2 |x − 3| < 2 δ = 2 ( /2) = .
Isto mostra que
lim
x→3
2 x2 − 7 x + 3
x − 3
= 5.
Aula 5 Cálculo I 42
43. Exemplo
Mostre que lim
x→3
2 x2 − 7 x + 3
x − 3
= 5.
Solução. Temos que f(x) = (2 x2 − 7 x + 3)/(x − 3) = 2 x − 1 para x = 3,
p = 3 e L = 5. Agora
|f(x) − L| = |(2 x − 1) − 5| = |2 x − 6| = |2 (x − 3)| = 2 |x − 3|.
Assim, dado > 0 qualquer, escolhendo δ = /2, vemos que
se 0 < |x − 3| < δ então |f(x) − 5| = 2 |x − 3| < 2 δ = 2 ( /2) = .
Isto mostra que
lim
x→3
2 x2 − 7 x + 3
x − 3
= 5.
Aula 5 Cálculo I 43
44. Exemplo
Mostre que lim
x→3
2 x2 − 7 x + 3
x − 3
= 5.
Solução. Temos que f(x) = (2 x2 − 7 x + 3)/(x − 3) = 2 x − 1 para x = 3,
p = 3 e L = 5. Agora
|f(x) − L| = |(2 x − 1) − 5| = |2 x − 6| = |2 (x − 3)| = 2 |x − 3|.
Assim, dado > 0 qualquer, escolhendo δ = /2, vemos que
se 0 < |x − 3| < δ então |f(x) − 5| = 2 |x − 3| < 2 δ = 2 ( /2) = .
Isto mostra que
lim
x→3
2 x2 − 7 x + 3
x − 3
= 5.
Aula 5 Cálculo I 44
45. Exemplo
Mostre que lim
x→3
2 x2 − 7 x + 3
x − 3
= 5.
Solução. Temos que f(x) = (2 x2 − 7 x + 3)/(x − 3) = 2 x − 1 para x = 3,
p = 3 e L = 5. Agora
|f(x) − L| = |(2 x − 1) − 5| = |2 x − 6| = |2 (x − 3)| = 2 |x − 3|.
Assim, dado > 0 qualquer, escolhendo δ = /2, vemos que
se 0 < |x − 3| < δ então |f(x) − 5| = 2 |x − 3| < 2 δ = 2 ( /2) = .
Isto mostra que
lim
x→3
2 x2 − 7 x + 3
x − 3
= 5.
Aula 5 Cálculo I 45
46. Exemplo
Mostre que lim
x→3
2 x2 − 7 x + 3
x − 3
= 5.
Solução. Temos que f(x) = (2 x2 − 7 x + 3)/(x − 3) = 2 x − 1 para x = 3,
p = 3 e L = 5. Agora
|f(x) − L| = |(2 x − 1) − 5| = |2 x − 6| = |2 (x − 3)| = 2 |x − 3|.
Assim, dado > 0 qualquer, escolhendo δ = /2, vemos que
se 0 < |x − 3| < δ então |f(x) − 5| = 2 |x − 3| < 2 δ = 2 ( /2) = .
Isto mostra que
lim
x→3
2 x2 − 7 x + 3
x − 3
= 5.
Aula 5 Cálculo I 46
47. Exemplo
Mostre que lim
x→3
2 x2 − 7 x + 3
x − 3
= 5.
Solução. Temos que f(x) = (2 x2 − 7 x + 3)/(x − 3) = 2 x − 1 para x = 3,
p = 3 e L = 5. Agora
|f(x) − L| = |(2 x − 1) − 5| = |2 x − 6| = |2 (x − 3)| = 2 |x − 3|.
Assim, dado > 0 qualquer, escolhendo δ = /2, vemos que
se 0 < |x − 3| < δ então |f(x) − 5| = 2 |x − 3| < 2 δ = 2 ( /2) = .
Isto mostra que
lim
x→3
2 x2 − 7 x + 3
x − 3
= 5.
Aula 5 Cálculo I 47
48. Exemplo
Mostre que lim
x→3
2 x2 − 7 x + 3
x − 3
= 5.
Solução. Temos que f(x) = (2 x2 − 7 x + 3)/(x − 3) = 2 x − 1 para x = 3,
p = 3 e L = 5. Agora
|f(x) − L| = |(2 x − 1) − 5| = |2 x − 6| = |2 (x − 3)| = 2 |x − 3|.
Assim, dado > 0 qualquer, escolhendo δ = /2, vemos que
se 0 < |x − 3| < δ então |f(x) − 5| = 2 |x − 3| < 2 δ = 2 ( /2) = .
Isto mostra que
lim
x→3
2 x2 − 7 x + 3
x − 3
= 5.
Aula 5 Cálculo I 48
49. Exemplo
Mostre que lim
x→3
2 x2 − 7 x + 3
x − 3
= 5.
Solução. Temos que f(x) = (2 x2 − 7 x + 3)/(x − 3) = 2 x − 1 para x = 3,
p = 3 e L = 5. Agora
|f(x) − L| = |(2 x − 1) − 5| = |2 x − 6| = |2 (x − 3)| = 2 |x − 3|.
Assim, dado > 0 qualquer, escolhendo δ = /2, vemos que
se 0 < |x − 3| < δ então |f(x) − 5| = 2 |x − 3| < 2 δ = 2 ( /2) = .
Isto mostra que
lim
x→3
2 x2 − 7 x + 3
x − 3
= 5.
Aula 5 Cálculo I 49
50. Exemplo
Mostre que lim
x→3
2 x2 − 7 x + 3
x − 3
= 5.
Solução. Temos que f(x) = (2 x2 − 7 x + 3)/(x − 3) = 2 x − 1 para x = 3,
p = 3 e L = 5. Agora
|f(x) − L| = |(2 x − 1) − 5| = |2 x − 6| = |2 (x − 3)| = 2 |x − 3|.
Assim, dado > 0 qualquer, escolhendo δ = /2, vemos que
se 0 < |x − 3| < δ então |f(x) − 5| = 2 |x − 3| < 2 δ = 2 ( /2) = .
Isto mostra que
lim
x→3
2 x2 − 7 x + 3
x − 3
= 5.
Aula 5 Cálculo I 50
51. Exemplo
Mostre que lim
x→3
2 x2 − 7 x + 3
x − 3
= 5.
Solução. Temos que f(x) = (2 x2 − 7 x + 3)/(x − 3) = 2 x − 1 para x = 3,
p = 3 e L = 5. Agora
|f(x) − L| = |(2 x − 1) − 5| = |2 x − 6| = |2 (x − 3)| = 2 |x − 3|.
Assim, dado > 0 qualquer, escolhendo δ = /2, vemos que
se 0 < |x − 3| < δ então |f(x) − 5| = 2 |x − 3| < 2 δ = 2 ( /2) = .
Isto mostra que
lim
x→3
2 x2 − 7 x + 3
x − 3
= 5.
Aula 5 Cálculo I 51
52. Exemplo
Mostre que lim
x→3
2 x2 − 7 x + 3
x − 3
= 5.
Solução. Temos que f(x) = (2 x2 − 7 x + 3)/(x − 3) = 2 x − 1 para x = 3,
p = 3 e L = 5. Agora
|f(x) − L| = |(2 x − 1) − 5| = |2 x − 6| = |2 (x − 3)| = 2 |x − 3|.
Assim, dado > 0 qualquer, escolhendo δ = /2, vemos que
se 0 < |x − 3| < δ então |f(x) − 5| = 2 |x − 3| < 2 δ = 2 ( /2) = .
Isto mostra que
lim
x→3
2 x2 − 7 x + 3
x − 3
= 5.
Aula 5 Cálculo I 52
53. Exemplo
Mostre que lim
x→3
2 x2 − 7 x + 3
x − 3
= 5.
Solução. Temos que f(x) = (2 x2 − 7 x + 3)/(x − 3) = 2 x − 1 para x = 3,
p = 3 e L = 5. Agora
|f(x) − L| = |(2 x − 1) − 5| = |2 x − 6| = |2 (x − 3)| = 2 |x − 3|.
Assim, dado > 0 qualquer, escolhendo δ = /2, vemos que
se 0 < |x − 3| < δ então |f(x) − 5| = 2 |x − 3| < 2 δ = 2 ( /2) = .
Isto mostra que
lim
x→3
2 x2 − 7 x + 3
x − 3
= 5.
Aula 5 Cálculo I 53
54. Exemplo
Mostre que lim
x→3
2 x2 − 7 x + 3
x − 3
= 5.
Solução. Temos que f(x) = (2 x2 − 7 x + 3)/(x − 3) = 2 x − 1 para x = 3,
p = 3 e L = 5. Agora
|f(x) − L| = |(2 x − 1) − 5| = |2 x − 6| = |2 (x − 3)| = 2 |x − 3|.
Assim, dado > 0 qualquer, escolhendo δ = /2, vemos que
se 0 < |x − 3| < δ então |f(x) − 5| = 2 |x − 3| < 2 δ = 2 ( /2) = .
Isto mostra que
lim
x→3
2 x2 − 7 x + 3
x − 3
= 5.
Aula 5 Cálculo I 54
55. Exemplo
Mostre que lim
x→3
2 x2 − 7 x + 3
x − 3
= 5.
Solução. Temos que f(x) = (2 x2 − 7 x + 3)/(x − 3) = 2 x − 1 para x = 3,
p = 3 e L = 5. Agora
|f(x) − L| = |(2 x − 1) − 5| = |2 x − 6| = |2 (x − 3)| = 2 |x − 3|.
Assim, dado > 0 qualquer, escolhendo δ = /2, vemos que
se 0 < |x − 3| < δ então |f(x) − 5| = 2 |x − 3| < 2 δ = 2 ( /2) = .
Isto mostra que
lim
x→3
2 x2 − 7 x + 3
x − 3
= 5.
Aula 5 Cálculo I 55
56. Exemplo
Mostre que lim
x→3
2 x2 − 7 x + 3
x − 3
= 5.
Solução. Temos que f(x) = (2 x2 − 7 x + 3)/(x − 3) = 2 x − 1 para x = 3,
p = 3 e L = 5. Agora
|f(x) − L| = |(2 x − 1) − 5| = |2 x − 6| = |2 (x − 3)| = 2 |x − 3|.
Assim, dado > 0 qualquer, escolhendo δ = /2, vemos que
se 0 < |x − 3| < δ então |f(x) − 5| = 2 |x − 3| < 2 δ = 2 ( /2) = .
Isto mostra que
lim
x→3
2 x2 − 7 x + 3
x − 3
= 5.
Aula 5 Cálculo I 56
57. Exemplo
Mostre que lim
x→3
2 x2 − 7 x + 3
x − 3
= 5.
Solução. Temos que f(x) = (2 x2 − 7 x + 3)/(x − 3) = 2 x − 1 para x = 3,
p = 3 e L = 5. Agora
|f(x) − L| = |(2 x − 1) − 5| = |2 x − 6| = |2 (x − 3)| = 2 |x − 3|.
Assim, dado > 0 qualquer, escolhendo δ = /2, vemos que
se 0 < |x − 3| < δ então |f(x) − 5| = 2 |x − 3| < 2 δ = 2 ( /2) = .
Isto mostra que
lim
x→3
2 x2 − 7 x + 3
x − 3
= 5.
Aula 5 Cálculo I 57
59. Definição formal de limite lateral à esquerda
Dizemos que
lim
x→p+
= L
se para todo número > 0, existe um número δ > 0 tal que
se 0 < |x −p| < δ e x > p, então |f(x)−L| < .
Definição
Aula 5 Cálculo I 59
60. Definição formal de limite lateral à direita
Dizemos que
lim
x→p−
= L
se para todo número > 0, existe um número δ > 0 tal que
se 0 < |x −p| < δ e x < p, então |f(x)−L| < .
Definição
Aula 5 Cálculo I 60
73. Limite infinito (de um ponto de vista informal)
Seja f uma função definida em ambos os lados de p, exceto
possivelmente em p. Dizemos que
lim
x→p
f(x) = +∞
se podemos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente
grandes (tão grandes quanto quisermos) por meio de uma
escolha adequada de x nas proximidades de p, mas não igual
a p.
Definição
Aula 5 Cálculo I 73
75. Limite infinito (de um ponto de vista informal)
Seja f uma função definida em ambos os lados de p, exceto
possivelmente em p. Dizemos que
lim
x→p
f(x) = −∞
se podemos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente
grandes, porém negativos, escolhendo-se valores de x
próximos de p, porém diferentes do próprio p.
Definição
Aula 5 Cálculo I 75
76. Limites laterais infinitos
Definições análogas podem ser dadas no caso de limites laterais:
lim
x→p+
f(x) = +∞, lim
x→p+
f(x) = −∞,
lim
x→p−
f(x) = +∞, lim
x→p−
f(x) = −∞.
Aula 5 Cálculo I 76
78. Assíntota vertical
A reta x = p é uma assíntota vertical do gráfico de y = f(x) se
pelo menos uma das seguintes condições estiver satisfeita:
lim
x→p+
f(x) = +∞, lim
x→p+
f(x) = −∞,
lim
x→p−
f(x) = +∞, lim
x→p−
f(x) = −∞.
Definição
Aula 5 Cálculo I 78