Este documento contém duas provas de Cálculo IV. A primeira prova contém 3 questões que envolvem o cálculo de integrais duplas, o teorema de Green e integrais de linha. A segunda prova contém 3 questões que envolvem o cálculo de integrais de linha, o teorema de Stokes e o teorema de Gauss. Ambas as provas avaliam conceitos avançados de cálculo vetorial.

1. 1
Prova Substitutiva de MAT-0228-Cálculo IV
13.12.2007
IME
Q N
Nome :
1
Nro. USP :
2
Professor : Humberto Carrion
3
Turma :
Total
1. .
(a) Seja R a região do plano limitada pelas curvas y = cos x, y = cos x, x 2 [ =2; 3 =2].
Calcule Z
y x
2 + y2
dx + 2 dy
@R x x + y2
p
(b) Seja a curva C dada em coordenadas polares por r = cos 2 . Encontre o dominio de .
É a curva simétrica respecto ao eixo Y ? ao eixo X?. Esboce o grá…co. Use o teorema de
Green para calcular a área da região R cuja fronteira é C.
R
2. Calcule a integral de linha @S F d do campo F = ( x; y; z), se S é a parte do cone
p
z = x2 + y 2 1 limitada pela esfera x2 + y 2 + z 2 = 4. De duas formas diferentes:
(a) Por cálculo direto
(b) Usando o teorema de Stokes
R
3. Calcular V div (F ) dV do campo F = ( x; y; 2z + 2) sobre o solido V R3 limitado pelas
super…cies z = 0, x2 + y 2 = 9 e z = x2 + y 2 , de duas formas diferentes:
(a) Por cálculo direto
(b) Usando o teorema de Gauss
Prova de Recuperação de MAT-0228
Cálculo IV para licenciatura
24.01.2008
IME
Q N
Nome :
1
Nro. USP :
2
Professor : Humberto Carrion
3
Turma :
Total

2. 2
y
1. Seja F (x; y) = ; x
x2 +y 2 x2 +y 2
e C a curva dada pela equação
x2 2x 3 + y2 x2 + y 2 2y 2 =0
R
Calcule C
Fd .
p R
2. Seja C a interseção do cone z = x2 + y 2 e o plano z = 1 + y. Calcule C
(x; y; 0) d de duas
formas diferentes:
(a) Por cálculo direto
(b) Usando o teorema de Stokes.
Seja S o bordo do sólido limitado pelo paraboloide z = x2 + y 2 e o plano z = 1 + x. Encontre
3. R
~
(x2 ; y 2 ; z) dS de duas formas diferentes:
(a) Por cálculo direto
(b) Usando o teorema de Gauss.