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CORRELAÇÃO LINEAR
Prof. Carlos
Henrique

Prof. Carlos Henrique
As correlações podem ser:
a) direta – ocorre com dois experimentos que variam no
mesmo sentido. Se aumentarmos
ou diminuirmos um deles, o outro também aumentará ou
diminuirá;
b) inversa – ocorre com dois fenômenos que variam em
sentido contrário. Se
aumentarmos ou diminuirmos um deles, acontecerá o
inverso com o outro, ou seja, diminuirá ou
aumentará;

c) Correlação nula – quando não existe correlação, ou
seja, as variáveis são independentes
e) Correlação não linear – há uma correlação, porém ela
não ela não é linear

Correlação DIRETA

Correlação Inversa

Correlação Nula

Correlação Não-Linear

REGRESSÃO LINEAR SIMPLES
Prof. Carlos
Henrique

FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU

Regressão Linear Simples

O termo 𝛼 + 𝛽𝑋𝑖 é o componente de 𝑌𝑖 que varia
linearmente, de acordo com 𝑋𝑖 . Por sua vez, 𝜀𝑖 é o
componente aleatório de 𝑌𝑖 que descreve os erros (ou
desvios) cometidos quando tentamos aproximar uma
série de observações 𝑋𝑖 por meio de uma reta 𝑌𝑖.
Nesse modelo, 𝑌𝑖 é a variável cujo comportamento
desejamos prever ou explicar, sendo chamada de variável
dependente ou resposta. Por outro lado, a variável 𝑋𝑖 é
utilizada para explicar o comportamento de 𝑌𝑖 , sendo
conhecida como independente, regressora, explanatória
ou explicativa.

O modelo de regressão linear requer que sejam atendidos
alguns pressupostos básicos quanto à variável aleatória 𝜀𝑖 (erro
ou desvio):
i) 𝑬(𝜺𝒊) = 𝟎. A média dos erros é igual a zero. Ou seja, os desvios
"para cima da reta" igualam o valor dos desvios "para baixo
da reta" na média.

MÉTODO DOS MÍNIMOS
QUADRADOS

Covariância
Covariância é a média do produtos dos desvios em relação à
média aritmética
Ou
Covariância é a média dos produtos menos o produto das
médias.

COEFICIENTE ANGULAR

COEFICIENTE LINEAR

Se a estimativa do coeficiente angular da reta obtida por meio
do método dos mínimos quadrados foi de 1,8, calcule a
previsão do faturamento em um determinado ano, uma vez
que a empresa gastou com propaganda neste ano 2 milhões de
reais

Atenção: Para responder à questão considere um estudo
com o objetivo de obter a relação entre duas variáveis X e Y
por meio do modelo Yi = α + βXi + ∈i, em que i corresponde
à i-ésima observação de X e Y. Os parâmetros α e β são
desconhecidos e ∈i é o erro aleatório com as respectivas
hipóteses consideradas para a regressão linear simples. Com
base em 20 pares de observações (Xi , Yi), i = 1, 2, ..., 20 e
utilizando o método dos mínimos quadrados foram obtidas
as estimativas para α e β.

Considerando a equação da reta obtida pelo método
dos mínimos quadrados, tem-se que o valor para X
tal que Y = 15 é
(A) 6,0.
(B) 10,5.
(C) 9,0.
(D) 7,5.
(E) 12,0.

Uma empresa fabricante de produtos farmacêuticos, empregando alta tecnologia,
realizou um levantamento do custo total de um de seus produtos (Y), expresso em mil
reais, em função do número total de comprimidos produzidos (X), expresso em
unidades, durante 25 meses, com o objetivo de montar uma regressão linear simples
entre essas variáveis. Observe os seguintes resultados:

Calcule a reta que melhor se ajusta a esses dados no sentido de minimizar o
quadrado da diferença entre os valores observados e os estimados.

Coeﬁciente de Correlação Linear de
Pearson

COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO
LINEAR DE PEARSON

Coeﬁciente de Determinação

Intervalo do coeﬁciente de Correlação
Linear de Pearson e do coeﬁciente de
determinação

Correlação Linear

Correlação Linear
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias e
Julgue os itens seguintes
Var(X) = E(X2
) + [E(X)]2
E(XY) = Cov(X,Y) + E(X) · E(Y)
E(2X + 3) = 2E(X)
Se Cov(X,Y) = 0 então X e Y são independentes.

Correlação Linear
E(X + Y) = E(X) + E(Y) somente no caso de X e Y serem
independentes.
E(2X + 5) = 4E(X)
Var(X + 10) = Var(X) + 10
Cov(X,Y) = Var(X) · Var(Y)
E(3X + 2Y) = 9E(X) + 4E(Y)

Propriedades da Covariância

Propriedades do Coeﬁciente da
Correlação Linear

Sejam X, Y e Z três variáveis com correlações de Pearson
expressas pela matriz abaixo:

Correlação Linear
Julgue os itens seguintes:
X e Z são independentes.
a correlação entre X e Y é negativa.
a correlação entre V = a + bX e W = c + dZ, com
a ≠ 0, c ≠ 0, b > 0 e d < 0 é negativa.
a covariância entre X e Y é igual a 0,64.

Correlação Linear
Duas variáveis aleatórias x e y têm coeficiente de correlação linear
igual a 0,8. Se w e z são tais que w = 2x – 3 e z = 4 – 2y então o
coeficiente de correlação entre w e z será igual a:
(A) –0,8.
(C) 0,36.
(B) –0,64.
(D) 0,64.
(E) 0,8.

VARIÂNCIA DA SOMA OU DA
DIFERENÇA DE DUAS VARIÁVEIS

Banca: CESPE
Órgão: ABIN
Prova: Oficial Técnico de Inteligência - Área 7
Julgue o item que se segue, relativo a análise multivariada.
Se X e Y forem variáveis independentes e tiverem distribuição
normal com médias μx
e μy
, respectivamente, e variâncias σ2
x
e σ2
y
, respectivamente, então a soma X + Y terá média μx
+ μy
e
variância σ2
x
+ σ2
y
.

José da Silva, um diligente servidor público, realizou uma
pesquisa entre a relação do número de faltas ao serviço (x) e o
número de jogos do Flamengo em um campeonato qualquer (y).
José da Silva descobriu que o coeficiente de correlação linear de
Pearson das duas variáveis é 0,8, enquanto que os desvios padrões
das variáveis x e y são, respectivamente, 4 e 5.
Julgue o item seguinte
O desvio padrão da diferença entre as variáveis x e y é 3

Correlação Linear
Duas variáveis aleatórias x (número de casas) e y (quantidade de
carros) têm coeficiente de correlação linear igual a 0,8. Se w e z
são tais que w = 2x – 3 e z = 4 + 2y, calcule o coeficiente de
correlação entre w e z.

Julgue o item que se segue, relativo a análise multivariada.
Se X e Y forem variáveis independentes e tiverem distribuição
normal com médias μx
e μy
, respectivamente, e variâncias σ2
x
e σ2
y
, respectivamente, então a soma X + Y terá média μx
+ μy
e
variância σ2
x
+ σ2
y
.

ANÁLISE DE VARIÂNCIA DA REGRESSÃO
Prof. Carlos
Henrique

Análise de Variância da Regressão
A estratégia que adotamos para verificar se compensa ou não
utilizar um modelo de regressão linear, 𝑌𝑖 = 𝛼 + 𝛽𝑋𝑖 + 𝜀𝑖, é
observar a redução no resíduo (desvio) quando comparado com
um modelo aproximadamente uniforme 𝑌𝑖 = 𝜇 + 𝜀𝑖.
Se a redução é muito pequena, significa dizer que os dois modelos
são praticamente equivalentes. Isso ocorre quando a inclinação 𝛽
for zero ou um valor muito pequeno, não compensando usar um
modelo mais complexo.

Assim, estamos interessados em testar a hipótese:

Se a hipótese nula é aceita, concluímos que não existe relação
linear significativa entre as variáveis 𝑋 e 𝑌.

O resultado da análise de variância da regressão é uma tabela
que resume várias medidas usadas no teste de hipóteses
anterior. Para montar a tabela de análise de variância
(ANOVA), precisamos conhecer: os graus de liberdade, as
somas dos quadrados e os quadrados médios do modelo, dos
resíduos (erros ou desvios) e total.

GRAUS DE LIBERDADE

GRAUS DE LIBERDADE
O número total de graus de liberdade de uma amostra de
tamanho 𝑛 é:
𝐺𝐿𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
= 𝑛 − 1

GRAUS DE LIBERDADE
Como vimos anteriormente, a equação de regressão possui apenas
dois parâmetros (𝛼 𝑒 𝛽). Portanto, o número de graus de liberdade
do modelo é:
𝐺𝐿𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜
= 2 − 1 = 1

GRAUS DE LIBERDADE
Agora, temos que descobrir o número de graus de liberdade dos
resíduos. Para isso, utilizamos a seguinte relação:
𝐺𝐿𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
= 𝐺𝐿𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜
+ GLRESÍDUOS
Daí, concluímos que:
𝑛 − 1 = 1 + 𝐺𝐿𝑅𝑒𝑠í𝑑𝑢𝑜𝑠
𝐺𝐿𝑅𝑒𝑠í𝑑𝑢𝑜𝑠
= 𝑛 − 2

SOMA DOS QUADRADOS

SOMA DOS QUADRADOS TOTAIS

SOMA DOS QUADRADOS DO
MODELO DE REGRESSÃO

SOMA DOS QUADRADOS DOS
RESÍDUOS

COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO

COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO AJUSTADO

QUADRADOS MÉDIOS

QUADRADO MÉDIO DO MODELO

QUADRADO MÉDIO DOS RESÍDUOS

QUADRADO MÉDIO TOTAL

ESTATÍSTICA F (RAZÃO F)
Para testar 𝐻0
: 𝛽 = 0 contra 𝐻1
: 𝛽 ≠ 0, usamos a seguinte
estatística teste, denominada de estatística 𝐹 (ou razão F):

Dessa forma, para avaliar o teste de hipóteses, basta
compararmos o valor da estatística teste com o valor
crítico tabelado:
• Se 𝐹∗
> 𝐹𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜, podemos rejeitar a hipótese nula;
• Se 𝐹∗
< 𝐹𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜, não podemos rejeitar a hipótese nula.

TABELA ANOVA

(CESPE 2018/EBSERH) Determinado estudo considerou um modelo
de regressão linear simples na forma
𝒚𝒊 = 𝜷𝟎
+ 𝜷𝟏
𝒙𝒊
+ 𝜺𝒊
, em que 𝒚𝒊 representa o número de leitos por
habitante existente no município 𝒊; 𝒙𝒊
representa um indicador de qualidade de vida referente a esse
mesmo município 𝒊, para 𝒊 = 𝟏, ⋯ , 𝒏. A
componente 𝜺𝒊 representa um erro aleatório com média 𝟎 e
variância 𝝈𝟐
. A tabela a seguir mostra a tabela
ANOVA resultante do ajuste desse modelo pelo método dos
mínimos quadrados ordinários.

A partir das informações e da tabela apresentadas, julgue os itens subsequentes.
O referido estudo contemplou um conjunto de dados obtidos de
𝑛 = 11 municípios.
A correlação linear entre o número de leitos hospitalares por
habitante (y) e o indicador de qualidade de vida (x) foi igual a
0,9.

A razão F da tabela ANOVA refere-se ao teste de significância
estatística do intercepto 𝛽0
, em que se testa a hipótese nula
𝐻0
: 𝛽0
= 0 contra a hipótese alternativa 𝐻𝐴
: 𝛽0
≠ 0.
O desvio padrão amostral do número de leitos por habitante
foi superior a 10 leitos por habitante.

A estimativa de 𝜎2
foi igual a 10.
O 𝑅2
ajustado foi inferior a 0,9.

(AGENTE PF – 2018) Um pesquisador estudou a relação entre a
taxa de criminalidade (Y) e a taxa de desocupação da população
economicamente ativa (X) em determinada região do país.
Esse pesquisador aplicou um modelo de regressão linear simples
na forma Y = bX + a + ε, em que b representa o coeficiente
angular, a é o intercepto do modelo e ε denota o erro aleatório
com média zero e variância σ2
. A tabela a seguir representa a
análise de variância (ANOVA) proporcionada por esse modelo.

A respeito dessa situação hipotética, julgue os próximos itens,
sabendo que b > 0 e que o desvio padrão amostral da variável X é
igual a 2.
A correlação linear de Pearson entre a variável resposta Y e a
variável regressora X e igual a 0,75.
A estimativa da variância σ2
é superior a 0,5.
A estimativa do coeficiente angular b, pelo método de mínimos
quadrados ordinários, é igual a 0,25.

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