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MATEMÁTICA II ProfProfProfProf.... GIANCARLOGIANCARLOGIANCARLOGIANCARLO –––– CURSINHOCURSINHOCURSINHOCURSINHO
SISTEMAS LINEARES APOSTILA
03
1.1.1.1. EQUAÇÃO LINEAREQUAÇÃO LINEAREQUAÇÃO LINEAREQUAÇÃO LINEAR
Toda equação do 1º grau que possui uma ou mais
incógnitas é uma equação linear.
Exemplo1
2 5 6 10 é um exemplo de equação linear, onde:
as letras , e são as incógnitas;
2, 5 e 6 são os coeficientes das respectivas incógnitas;
O número 10 é o termo independente.
2.2.2.2. SISTEMASISTEMASISTEMASISTEMA DE EQUAÇÕESDE EQUAÇÕESDE EQUAÇÕESDE EQUAÇÕES LINEARLINEARLINEARLINEARESESESES
É todo sistema formado por duas ou mais equações
lineares.
Exemplo 2
3 2
2 3 2 7
2 7
2 5
3 7
3.3.3.3. REGRA DE CRAMERREGRA DE CRAMERREGRA DE CRAMERREGRA DE CRAMER
A regra de Cramer é usada para a resolução de
sistemas lineares em que o número de equações é igual o
número de incógnitas.
Pela regra de Cramer, quando 0, a solução do
sistema é dada por
,
4.4.4.4. CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEARCLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEARCLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEARCLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
Sistema Possível e determinado (SPD):
apresenta solução única ( 0 .
Sistema Possível e indeterminado (SPI):
apresenta infinitas soluções (
0 .
Sistema Impossível (SI): não admite solução
( 0 0 0 0 .
5.5.5.5. SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEOSISTEMA LINEAR HOMOGÊNEOSISTEMA LINEAR HOMOGÊNEOSISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO
É todo sistema onde os termos independentes são
nulos. O sistema homogêneo é sempre possível, pois
apresenta no mínimo a solução trivial.
Questão 1 (Unifesp – SP)
Numa determinada livraria, a soma dos preços de dois lápis
e um estojo é R$ 10,00. O estojo é R$ 5,00 mais barato que
três lápis. A soma dos preços de um estojo e um lápis é:
(A) R$ 3,00
(B) R$ 4,00
(C) R$ 6,00
(D) R$ 7,00
(E) R$ 12,00
Questão 2
Em uma eleição para diretor de certo clube, o dobro de
votos obtidos pelo candidato Alberto, adicionado à
quantidade dos votos obtidos pela candidata Célia, é igual
a 914. Sabendo que a diferença entre o triplo de votos
obtidos por Alberto e o dobro dos obtidos por Célia é igual
a 146, calcule quantos votos cada candidato obteve.
Questão 3 (UFRN – RN)
A sorveteria Sabor da Fruta vende o sorvete simples por R$
2,00 e o sorvete com cobertura por R$ 2,40. No dia das
crianças, foram vendidos 720 sorvetes. Se o valor
arrecadado foi de R$ 1640,00, determine a quantidade de
sorvetes, de cada tipo, nesse dia.
Questão 4 (Unesp – SP)
Em uma sala, havia certo número de jovens. Quando Paulo
chegou, o número de rapazes presentes na sala ficou o
triplo do número de garotas. Se, em vez de Paulo, Alice
tivesse entrado na sala, o número de garotas ficaria a
metade do de rapazes. O número de jovens que estavam
inicialmente na sala (antes de Paulo chegar) era:
(A) 11
(B) 9
(C) 8
(D) 6
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Questão 5
Certa prova de Matemática era composta por 20 questões.
Para cada questão respondida corretamente, eram
atribuídos 5 pontos. Para cada questão respondida
incorretamente (ou não respondida), eram descontados 3
pontos. Quantas questões foram respondidas corretamente
por um aluno que obteve 68 pontos?
Questão 6 (UFC – CE)
Se um comerciante mistura 2 kg de café do tipo I com 3 kg
de café do tipo II, obterá um tipo de café cujo preço é R$
4,80 o quilograma. Mas. Se misturar 3 kg do tipo I com 2 kg
de café do tipo II, a nova mistura custará R$ 5,20 o
quilograma. Os preços do quilograma do café do tipo I e do
tipo II são, respectivamente:
(A) R$ 5,00 e R$ 3,00
(B) R$ 6,40 e R$ 4,30
(C) R$ 5,50 e R$ 4,00
(D) R$ 5,30 e R$ 4,50
(E) R$ 6,00 e R$ 4,00
Questão 7
Resolva por escalonamento os sistemas abaixo.
3 2
2 3 2 7
2 7
2 3 5
3 2 2 2
6 11 7
Atividades
02PROEBE – Tv. São Francisco, nº 1190, fone: (91) 81448701 facebook/e-mail: proebe@hotmail.com
MATEMÁTICA II ProfProfProfProf.... GIANCARLOGIANCARLOGIANCARLOGIANCARLO –––– CURSINHOCURSINHOCURSINHOCURSINHO
SISTEMAS LINEARES APOSTILA
03
Questão 8
Resolva pela regra de Cramer os sistemas abaixo.
3 2 3
2 2 2
4 5 2 4
3 2 3
2 12
4 3 5 6
Questão 9 (UEPA – PA)
Um empresário do ramo da informática comprou para sua
loja 40 memórias dos tipos: DDR2/2GB/800MHz/PC e
DDR2/1GB/667MHz/ PC. Sabendo-se que as memórias
custaram, cada uma, respectivamente, R$80,00 e R$50,00,
e que o valor total gasto com elas foi de R$2.750,00, a
quantidade de memórias do tipo DDR2/2GB/800MHz/PC é
igual a:
(A) 10
(B) 12
(C) 18
(D) 20
(E) 25
Questão 10 (UFPA – PA)
Um paraense quer fazer uma refeição de açaí e farinha de
mandioca com 1200 kilocalorias. Sabendo que 100g de
farinha de mandioca tem 330 kcal e 100 gramas de açaí
250 quantidade de açaí na mistura em gramas ser
(A) 120
(B) 150
(C) 200
(D) 220
(E) 250
Questão 11 (UEPA – PA)
A rápida degradação dos habitats naturais, com o
desmatamento e as ocupações irregulares nas áreas de
mananciais, está ameaçando várias espécies de aves. Um
ambientalista preocupado com as espécies resolveu fazer
um levantamento do número de aves Araponga e Pavão-
do-mato numa determinada região. O número existente
entre Arapongas e Pavãos-do-mato foi de 30. O
ambientalista observou que havia 4 Arapongas a mais que
Pavãos-do-mato na região. Nesse sentido, afirma-se que:
(A) o número de Pavãos-do-mato é igual a 17.
(B) o número de Pavãos-do-mato é a quarta parte do
número de Arapongas.
(C) o número de Pavãos-do-mato é a metade do número
de Arapongas.
(D) o número de Arapongas é um número par.
(E) o número de Arapongas é um número primo.
Questão 12 (UEPA – PA)
Em uma empresa na qual foi implantada um projeto de
coleta seletiva será necessário comprar coletores para
pilhas e lâmpadas. Ao se fazer o orçamento desses
coletores foram recebidas propostas de duas lojas que
apresentaram o mesmo preço para cada coletor, conforme
indicado na tabela abaixo. Se a decisão for de comprar 3
coletores de pilhas e 2 coletores de lâmpadas, será gasto
o valor de:
Coletor de
lâmpadas
Coletor
de pilhas
Total
Loja 1 2 unidades 2 unidades R$ 1.060,00
Loja 2 3 unidades 1 unidade R$ 1.130,00
(A) 1.005,00
(B) 1.236,00
(C) 1.290,00
(D) 2.233,00
(E) 2.370,00
Questão 13 (Facceba – BA)
Se o par 2, é uma solução do sistema
!
" # #
então o valor de b é igual a:
(A) 6
(B) 7/2
(C) 3
DDDD 1/2
(E) 2
Questão 14 (Univali – SC)
Um joalheiro tem em seu estoque de joias: anéis, pingentes
e pulseiras. Cada pingente pesa 3 g e custa 10 reais; cada
anel pesa 5 g e custa 20 reais; cada pulseira custa 50 reais
e pesa 9 g. no total, o estoque conta com 100 peças, num
total de 600 g e está avaliado em 2.800 reais. A quantidade
de anéis que o joalheiro tem em estoque é:
(A) 10
(B) 30
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(D) 55
(E) 60
Questão 15 (Estácio – RJ)
Uma copeira lavou os 800 copos usados em uma festa. Ela
recebeu R$ 0,05 por copo que lavou e teve de pagar R$
0,25 por copo que quebrou. Terminando o serviço, a
copeira recebeu R$ 35,80. O número de copos que ela
quebrou é igual a:
(A) 12
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Sistemas Lineares (AP 03)

  • 1. 01PROEBE – Tv. São Francisco, nº 1190, fone: (91) 81448701 facebook/e-mail: proebe@hotmail.com MATEMÁTICA II ProfProfProfProf.... GIANCARLOGIANCARLOGIANCARLOGIANCARLO –––– CURSINHOCURSINHOCURSINHOCURSINHO SISTEMAS LINEARES APOSTILA 03 1.1.1.1. EQUAÇÃO LINEAREQUAÇÃO LINEAREQUAÇÃO LINEAREQUAÇÃO LINEAR Toda equação do 1º grau que possui uma ou mais incógnitas é uma equação linear. Exemplo1 2 5 6 10 é um exemplo de equação linear, onde: as letras , e são as incógnitas; 2, 5 e 6 são os coeficientes das respectivas incógnitas; O número 10 é o termo independente. 2.2.2.2. SISTEMASISTEMASISTEMASISTEMA DE EQUAÇÕESDE EQUAÇÕESDE EQUAÇÕESDE EQUAÇÕES LINEARLINEARLINEARLINEARESESESES É todo sistema formado por duas ou mais equações lineares. Exemplo 2 3 2 2 3 2 7 2 7 2 5 3 7 3.3.3.3. REGRA DE CRAMERREGRA DE CRAMERREGRA DE CRAMERREGRA DE CRAMER A regra de Cramer é usada para a resolução de sistemas lineares em que o número de equações é igual o número de incógnitas. Pela regra de Cramer, quando 0, a solução do sistema é dada por , 4.4.4.4. CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEARCLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEARCLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEARCLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR Sistema Possível e determinado (SPD): apresenta solução única ( 0 . Sistema Possível e indeterminado (SPI): apresenta infinitas soluções ( 0 . Sistema Impossível (SI): não admite solução ( 0 0 0 0 . 5.5.5.5. SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEOSISTEMA LINEAR HOMOGÊNEOSISTEMA LINEAR HOMOGÊNEOSISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO É todo sistema onde os termos independentes são nulos. O sistema homogêneo é sempre possível, pois apresenta no mínimo a solução trivial. Questão 1 (Unifesp – SP) Numa determinada livraria, a soma dos preços de dois lápis e um estojo é R$ 10,00. O estojo é R$ 5,00 mais barato que três lápis. A soma dos preços de um estojo e um lápis é: (A) R$ 3,00 (B) R$ 4,00 (C) R$ 6,00 (D) R$ 7,00 (E) R$ 12,00 Questão 2 Em uma eleição para diretor de certo clube, o dobro de votos obtidos pelo candidato Alberto, adicionado à quantidade dos votos obtidos pela candidata Célia, é igual a 914. Sabendo que a diferença entre o triplo de votos obtidos por Alberto e o dobro dos obtidos por Célia é igual a 146, calcule quantos votos cada candidato obteve. Questão 3 (UFRN – RN) A sorveteria Sabor da Fruta vende o sorvete simples por R$ 2,00 e o sorvete com cobertura por R$ 2,40. No dia das crianças, foram vendidos 720 sorvetes. Se o valor arrecadado foi de R$ 1640,00, determine a quantidade de sorvetes, de cada tipo, nesse dia. Questão 4 (Unesp – SP) Em uma sala, havia certo número de jovens. Quando Paulo chegou, o número de rapazes presentes na sala ficou o triplo do número de garotas. Se, em vez de Paulo, Alice tivesse entrado na sala, o número de garotas ficaria a metade do de rapazes. O número de jovens que estavam inicialmente na sala (antes de Paulo chegar) era: (A) 11 (B) 9 (C) 8 (D) 6 (E) 5 Questão 5 Certa prova de Matemática era composta por 20 questões. Para cada questão respondida corretamente, eram atribuídos 5 pontos. Para cada questão respondida incorretamente (ou não respondida), eram descontados 3 pontos. Quantas questões foram respondidas corretamente por um aluno que obteve 68 pontos? Questão 6 (UFC – CE) Se um comerciante mistura 2 kg de café do tipo I com 3 kg de café do tipo II, obterá um tipo de café cujo preço é R$ 4,80 o quilograma. Mas. Se misturar 3 kg do tipo I com 2 kg de café do tipo II, a nova mistura custará R$ 5,20 o quilograma. Os preços do quilograma do café do tipo I e do tipo II são, respectivamente: (A) R$ 5,00 e R$ 3,00 (B) R$ 6,40 e R$ 4,30 (C) R$ 5,50 e R$ 4,00 (D) R$ 5,30 e R$ 4,50 (E) R$ 6,00 e R$ 4,00 Questão 7 Resolva por escalonamento os sistemas abaixo. 3 2 2 3 2 7 2 7 2 3 5 3 2 2 2 6 11 7 Atividades
  • 2. 02PROEBE – Tv. São Francisco, nº 1190, fone: (91) 81448701 facebook/e-mail: proebe@hotmail.com MATEMÁTICA II ProfProfProfProf.... GIANCARLOGIANCARLOGIANCARLOGIANCARLO –––– CURSINHOCURSINHOCURSINHOCURSINHO SISTEMAS LINEARES APOSTILA 03 Questão 8 Resolva pela regra de Cramer os sistemas abaixo. 3 2 3 2 2 2 4 5 2 4 3 2 3 2 12 4 3 5 6 Questão 9 (UEPA – PA) Um empresário do ramo da informática comprou para sua loja 40 memórias dos tipos: DDR2/2GB/800MHz/PC e DDR2/1GB/667MHz/ PC. Sabendo-se que as memórias custaram, cada uma, respectivamente, R$80,00 e R$50,00, e que o valor total gasto com elas foi de R$2.750,00, a quantidade de memórias do tipo DDR2/2GB/800MHz/PC é igual a: (A) 10 (B) 12 (C) 18 (D) 20 (E) 25 Questão 10 (UFPA – PA) Um paraense quer fazer uma refeição de açaí e farinha de mandioca com 1200 kilocalorias. Sabendo que 100g de farinha de mandioca tem 330 kcal e 100 gramas de açaí 250 quantidade de açaí na mistura em gramas ser (A) 120 (B) 150 (C) 200 (D) 220 (E) 250 Questão 11 (UEPA – PA) A rápida degradação dos habitats naturais, com o desmatamento e as ocupações irregulares nas áreas de mananciais, está ameaçando várias espécies de aves. Um ambientalista preocupado com as espécies resolveu fazer um levantamento do número de aves Araponga e Pavão- do-mato numa determinada região. O número existente entre Arapongas e Pavãos-do-mato foi de 30. O ambientalista observou que havia 4 Arapongas a mais que Pavãos-do-mato na região. Nesse sentido, afirma-se que: (A) o número de Pavãos-do-mato é igual a 17. (B) o número de Pavãos-do-mato é a quarta parte do número de Arapongas. (C) o número de Pavãos-do-mato é a metade do número de Arapongas. (D) o número de Arapongas é um número par. (E) o número de Arapongas é um número primo. Questão 12 (UEPA – PA) Em uma empresa na qual foi implantada um projeto de coleta seletiva será necessário comprar coletores para pilhas e lâmpadas. Ao se fazer o orçamento desses coletores foram recebidas propostas de duas lojas que apresentaram o mesmo preço para cada coletor, conforme indicado na tabela abaixo. Se a decisão for de comprar 3 coletores de pilhas e 2 coletores de lâmpadas, será gasto o valor de: Coletor de lâmpadas Coletor de pilhas Total Loja 1 2 unidades 2 unidades R$ 1.060,00 Loja 2 3 unidades 1 unidade R$ 1.130,00 (A) 1.005,00 (B) 1.236,00 (C) 1.290,00 (D) 2.233,00 (E) 2.370,00 Questão 13 (Facceba – BA) Se o par 2, é uma solução do sistema ! " # # então o valor de b é igual a: (A) 6 (B) 7/2 (C) 3 DDDD 1/2 (E) 2 Questão 14 (Univali – SC) Um joalheiro tem em seu estoque de joias: anéis, pingentes e pulseiras. Cada pingente pesa 3 g e custa 10 reais; cada anel pesa 5 g e custa 20 reais; cada pulseira custa 50 reais e pesa 9 g. no total, o estoque conta com 100 peças, num total de 600 g e está avaliado em 2.800 reais. A quantidade de anéis que o joalheiro tem em estoque é: (A) 10 (B) 30 (C) 45 (D) 55 (E) 60 Questão 15 (Estácio – RJ) Uma copeira lavou os 800 copos usados em uma festa. Ela recebeu R$ 0,05 por copo que lavou e teve de pagar R$ 0,25 por copo que quebrou. Terminando o serviço, a copeira recebeu R$ 35,80. O número de copos que ela quebrou é igual a: (A) 12 (B) 14 (C) 16 (D) 18 (E) 20 Para baixar este material e outros acesse a página: http://professorgiancarlo.blogspot.com