1. 1) Um cone reto, maciço e homogêneo cujo raio da base é R e altura
H, exerce força gravitacional sobre uma massa puntiforme m. Determine o
valor desta força, sabendo que a massa está posicionada sobre o vértice do
cone. Trabalhe em coordenadas cilíndricas e indique (através de uma figura)
os versores correspondentes às direções cartesianas, bem como a origem de
seu sistema de coordenadas.
1

2. 2) Prove a validade da 2a Lei de Kepler ( lei das áreas) para forças cen-
trais.
Fθ = −
∂V
∂θ
= 0 =
dP
dt
Pθ é constante
Pθ = ∂E
∂θ
= mr ˙θ = constante = l
E = m(r ˙θ2+ ˙r2)
2
2

3. 3) Prove a validade da 3a Lei de Kepler ( lei dos períodos) para forças cen-
trais.
Definindo:
e2
mk
= a(1 − e2
)
e = 1 +
2τe2
mk2
Assumindo:
k = GM
τ =
k
2a
Tem-se:
m ˙r2
2
= τ + k/r −
e2
2mr2
m ˙r2
= −
k
ma
+
2k
mr
−
e2
mr2
∆t =
m
2k
r
0
rdr
r − r2
2a
− a(1−e2)
2
substituindo r = a(1 − e cos φ)
∆t =
ma3
k
φ
0
(1 − e cos φ)dφ
Em especial, com φ = 2π
T = 2π
ma3
k
Logo:
T2
a3
=
4π2
GM
, constante.
3

4. 4

5. 5