1. Última Tarefa
Da equação de Lagrange:
d
dt
∂L
∂ ˙q
= Qj n cons
Da definição de momento generalizado:
ps =
∂L
∂ ˙q
Logo:
∂H
∂q
= − ˙ps = −Qj n cons
Da definição da função de Hamilton:
H = Σpj ˙qj − L
Derivando com relação ao tempo:
dH
dt
= Σ( ˙qj
dpj
dt
−
∂L
∂qj
dqj
dt
) −
∂L
∂t
= Σ( ˙qj ˙pj −
∂L
∂qj
˙qj) −
∂L
∂t
mas ∂L
∂qj
= ˙pj Logo:
dH
dt
= −
∂L
∂t
1

2. Além disso:
dH
dt
= Σ(
∂H
∂qi
dqi
dt
+
∂H
∂qi
dpi
dt
) +
∂H
∂t
Consequentemente:
dH
dt
= −
∂L
∂t
=
∂H
∂t
V = −m1gx1 − m2gx2
T =
m1x2
1 + m2x2
2 + I ˙θ2
2
x1 + x2 = L
dx1
dt
= R
dθ
dt
= −
dx2
dt
= ˙x
∂V
∂x
= −(m1 − m2)g
∂T
∂ ˙x
= (m1 + m2 +
I
R2
) ˙x
Da equação de Lagrange, como não há forças não conservativas:
¨x =
m1 − m2
m1 + m2 + I
R2
g
2

3. Na formulação de Hamilton
H = p ˙x − L
p =
∂L
∂ ˙x
∂H
∂x
=
∂
∂x
∂L
∂ ˙x
˙x + p
∂ ˙x
∂x
−
∂L
∂x
=
d
dt
∂L
∂ ˙x
d
dt
∂L
∂ ˙x
= −
∂L
∂x
Logo:
¨x =
m1 − m2
m1 + m2 + I
R2
g
3