Hipérbole
Aula - 12
Definição
Hipérbole
1 2( , ) ( , ) 2d P F d P F a 
P(x,y)
F2F1
0
c
a a
x
Elementos
Hipérbole
semi-eixo real: a
semi-eixo imaginário: b
F1 A1
B1
O  A2 F2
B2
b
c c
y
x
Eixo real: , contém os focos.
Elementos
Hipérbole
Semidistância focal: c
Distância focal: 2c
1 2 2A A a
Eixo imaginário: ...
Equações
Hipérbole
P(x,y)
F2F1
0
c
a a
x
Equações
Hipérbole
Focos:    1 2, 0 , , 0F c F c
1 2( , ) ( , ) 2d P F d P F a  
   
2 22 2
2x c y x c y a  ...
Equações
F2
A2
A1
F1
c
a
2 2
2 2
1
y x
a b
 
Hipérbole equilátera
F1
0
c
F2
b a
a b
Retas assíntotas
Hipérbole
F1 F2
aa
b b
a a
b
y
x
Retas assíntotas
Hipérbole
Eixo horizontal:
b
m
a
 
b
y x
a
  
Eixo vertical:
a
m
b
 
a
y x
b
  
F1 F2
aa
b b
a ...
Exemplo
Determinar a equação da hipérbole de focos
e e vértices e .
 1 5,0F
 2 5,0F   1 3,0V  2 3,0V 
Solução
e 1 5,0F  2 5,0F  5c 
2 2
2 2
1
x y
a b
 
 1 3,0V  2 3,0V e 3a 
Solução
2 2 2
c a b= + 2 2 2
5 3 bÞ = + 2
25 9bÞ = -
2
16 4b b= Þ =
2 2
2 2
1
x y
a b
- =
2 2
1
9 16
x y
Þ - =
Exemplo
Determinar a equação da hipérbole de focos ,
e sabendo-se que o
comprimento do eixo real é 6 unidades.
( )1 0, 4F ...
Solução
e( )1 0, 4F ( )2 0, 4F - 4c 
2 2
2 2
1
y x
a b
- = 2 6a = 3a 
2 2 2
c a b= + 2 2 2
4 3 +b  2
   16 – 9b = 2
...
Exemplo
Determinar o centro, as medidas do eixo real e
do eixo imaginário, a excentricidade e os focos
da hipérbole 2 2
– ...
Solução
2 2
–    16  :16x y =
2 2
1
16 16
x y
- =  C 0, 0
Eixo real: 1 2 2A A a= 2= 2 4= × 8=
Eixo imaginário: 1 2: 2B ...
Solução
4a b= = Hipérbole equilátera
Excentricidade:
c
e
a
=
2 2 2
c a b= + 2 2 2
4 4c   32c  4 2=
4 2
4
e  2
Solução
Focos ( )1 0 0,F x c y- e ( )2 0 0,F x c y+
( )1 4 2,0F = - ( )2 4 2,0F =e
Exemplo
Determinar a excentricidade e a equação das
assíntotas da hipérbole de equação 2 2
4 –    16.x y =
Solução
2 2
4 16x y- =
2 2
4 16
16 16 16
x y
  
2 2
1
4 16
x y
  
2
4 2a a  
2
16 4b b  
2 2 2
c a b= + 2
4 16...
Solução
c
e
a
=
2 5
2
e  5e 
b
y x
a
=
4
2
y x  2y x 
b
y x
a
= -
4
2
y x   2y x  
Centro fora da origem
y
a
0
F1 A1 C A2 F2
hh-c h+c
x
P(x,y)
k
( ) ( )
2 2
2 2
1
x h y k
a b
- -
- =
( , )C h k
Centro fora da origem
y
k+c
k
k-c
o h x
P(x,y)
F2
A2
C
A1
F1
( , )C h k
( ) ( )
2 2
2 2
1
y k x h
a b
- -
- =
Exemplo
Determine a equação da hipérbole de vértices
1(1, 2)A - e sabendo que é um2 (5, 2)A - (6, 2)F -
Focos.
Solução
o
y
1 3 5 6
-2
A1 C A2
x
F
(3, 2)C -
1( , )a d C A= 2=
( , )c d C F= 3=
Solução
( ) ( )
2 2
2 2
1
x h y k
a b
- -
- = (3, 2)C - 2a =
2 2 2
c a b= + 2
9 4 b  
2
5b =
( ) ( )
2 2
3 2
1
4 5
x y-...
Solução
2 2 2
c a b= +
2
9 4 b= +
2
5b =
( ) ( )
2 2
3 2
1
4 5
x y- +
- =
Exemplo
Determine a equação da hipérbole de vértices
( 4,0)A  Passando por (8,2)P
Solução
5
0
-5
-2
A1
-4 2 4-10 -8 -6 6 8 10 12
P
A2
Solução
4a = 2
16a 
2 2
2 2
1
x y
a b
- =
2 2
2 2
8 2
1
4 b
- =
2
64 4
1
16 b
- =
2
4
4 1
b
- =
2 4
3
b =
2 2
1
416
3
x ...
Solução
2
23
1
16 4
x
y- =
2 2
12 16 0x y- - =
2 2
1
416
3
x y
- =
Solução
Determine a equação da hipérbole equilátera de
focos e1( 1, 5)F - - 2 (5, 5)F -
Solução
Hipérbole equilátera a b 
2 2 2
c a b= + 2 2
2c a 
2
2
2
c
a 
( , )C h k é o ponto médio entre os focos
5 ( ...
Solução
1( , )c d F C= 3=
2 9
2
a =
( ) ( )
2 2
2 5
1
9 9
2 2
x y- +
- =
( ) ( )
2 2 9
2 5
2
x y- - + =
Solução
2 2 9
4 4 ( 10 25)
2
x x y y- + - + + = ( 2)´
2 2
2 8 8 2 20 50 9 0x x y y- + - - - - =
2 2
2 2 8 20 51 0x y x y- ...
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Hipérbole

  1. 1. Hipérbole Aula - 12
  2. 2. Definição Hipérbole 1 2( , ) ( , ) 2d P F d P F a  P(x,y) F2F1 0 c a a x
  3. 3. Elementos Hipérbole semi-eixo real: a semi-eixo imaginário: b F1 A1 B1 O  A2 F2 B2 b c c y x
  4. 4. Eixo real: , contém os focos. Elementos Hipérbole Semidistância focal: c Distância focal: 2c 1 2 2A A a Eixo imaginário: 1 2 2 ( 0)B B b b  2 2 2 a b c  Excentricidade c e a  1c a e  
  5. 5. Equações Hipérbole P(x,y) F2F1 0 c a a x
  6. 6. Equações Hipérbole Focos:    1 2, 0 , , 0F c F c 1 2( , ) ( , ) 2d P F d P F a       2 22 2 2x c y x c y a       2 2 2 2 1 x y a b   P(x,y) F2F1 0 c a a x
  7. 7. Equações F2 A2 A1 F1 c a 2 2 2 2 1 y x a b  
  8. 8. Hipérbole equilátera F1 0 c F2 b a a b
  9. 9. Retas assíntotas Hipérbole F1 F2 aa b b a a b y x
  10. 10. Retas assíntotas Hipérbole Eixo horizontal: b m a   b y x a    Eixo vertical: a m b   a y x b    F1 F2 aa b b a a b y x
  11. 11. Exemplo Determinar a equação da hipérbole de focos e e vértices e .  1 5,0F  2 5,0F   1 3,0V  2 3,0V 
  12. 12. Solução e 1 5,0F  2 5,0F  5c  2 2 2 2 1 x y a b    1 3,0V  2 3,0V e 3a 
  13. 13. Solução 2 2 2 c a b= + 2 2 2 5 3 bÞ = + 2 25 9bÞ = - 2 16 4b b= Þ = 2 2 2 2 1 x y a b - = 2 2 1 9 16 x y Þ - =
  14. 14. Exemplo Determinar a equação da hipérbole de focos , e sabendo-se que o comprimento do eixo real é 6 unidades. ( )1 0, 4F ( )2 0, 4F -
  15. 15. Solução e( )1 0, 4F ( )2 0, 4F - 4c  2 2 2 2 1 y x a b - = 2 6a = 3a  2 2 2 c a b= + 2 2 2 4 3 +b  2    16 – 9b = 2 7b = 2 2 1 9 7 y x - =
  16. 16. Exemplo Determinar o centro, as medidas do eixo real e do eixo imaginário, a excentricidade e os focos da hipérbole 2 2 –    16x y =
  17. 17. Solução 2 2 –    16  :16x y = 2 2 1 16 16 x y - =  C 0, 0 Eixo real: 1 2 2A A a= 2= 2 4= × 8= Eixo imaginário: 1 2: 2B B b= 2 4= × 8=
  18. 18. Solução 4a b= = Hipérbole equilátera Excentricidade: c e a = 2 2 2 c a b= + 2 2 2 4 4c   32c  4 2= 4 2 4 e  2
  19. 19. Solução Focos ( )1 0 0,F x c y- e ( )2 0 0,F x c y+ ( )1 4 2,0F = - ( )2 4 2,0F =e
  20. 20. Exemplo Determinar a excentricidade e a equação das assíntotas da hipérbole de equação 2 2 4 –    16.x y =
  21. 21. Solução 2 2 4 16x y- = 2 2 4 16 16 16 16 x y    2 2 1 4 16 x y    2 4 2a a   2 16 4b b   2 2 2 c a b= + 2 4 16c   2 20c  20c = 2 5c 
  22. 22. Solução c e a = 2 5 2 e  5e  b y x a = 4 2 y x  2y x  b y x a = - 4 2 y x   2y x  
  23. 23. Centro fora da origem y a 0 F1 A1 C A2 F2 hh-c h+c x P(x,y) k ( ) ( ) 2 2 2 2 1 x h y k a b - - - = ( , )C h k
  24. 24. Centro fora da origem y k+c k k-c o h x P(x,y) F2 A2 C A1 F1 ( , )C h k ( ) ( ) 2 2 2 2 1 y k x h a b - - - =
  25. 25. Exemplo Determine a equação da hipérbole de vértices 1(1, 2)A - e sabendo que é um2 (5, 2)A - (6, 2)F - Focos.
  26. 26. Solução o y 1 3 5 6 -2 A1 C A2 x F (3, 2)C - 1( , )a d C A= 2= ( , )c d C F= 3=
  27. 27. Solução ( ) ( ) 2 2 2 2 1 x h y k a b - - - = (3, 2)C - 2a = 2 2 2 c a b= + 2 9 4 b   2 5b = ( ) ( ) 2 2 3 2 1 4 5 x y- + - =
  28. 28. Solução 2 2 2 c a b= + 2 9 4 b= + 2 5b = ( ) ( ) 2 2 3 2 1 4 5 x y- + - =
  29. 29. Exemplo Determine a equação da hipérbole de vértices ( 4,0)A  Passando por (8,2)P
  30. 30. Solução 5 0 -5 -2 A1 -4 2 4-10 -8 -6 6 8 10 12 P A2
  31. 31. Solução 4a = 2 16a  2 2 2 2 1 x y a b - = 2 2 2 2 8 2 1 4 b - = 2 64 4 1 16 b - = 2 4 4 1 b - = 2 4 3 b = 2 2 1 416 3 x y - =
  32. 32. Solução 2 23 1 16 4 x y- = 2 2 12 16 0x y- - = 2 2 1 416 3 x y - =
  33. 33. Solução Determine a equação da hipérbole equilátera de focos e1( 1, 5)F - - 2 (5, 5)F -
  34. 34. Solução Hipérbole equilátera a b  2 2 2 c a b= + 2 2 2c a  2 2 2 c a  ( , )C h k é o ponto médio entre os focos 5 ( 1) 2 h + - = 2= ( 5) ( 5) 2 k - + - = 5= - 1( 1, 5)F - - 2 (5, 5)F -
  35. 35. Solução 1( , )c d F C= 3= 2 9 2 a = ( ) ( ) 2 2 2 5 1 9 9 2 2 x y- + - = ( ) ( ) 2 2 9 2 5 2 x y- - + =
  36. 36. Solução 2 2 9 4 4 ( 10 25) 2 x x y y- + - + + = ( 2)´ 2 2 2 8 8 2 20 50 9 0x x y y- + - - - - = 2 2 2 2 8 20 51 0x y x y- - - - = ( ) ( ) 2 2 9 2 5 2 x y- - + =
  37. 37. Obrigado!

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