Termodinâmica Capítulo 6 Entropia

Termodinâmica I-cap. 6
____________________________________________________________________
119
CAPÍTULO VI
ENTROPIA
Introdução – O primeiro princípio da termodinâmica ocupa-se do estudo da energia
e da sua conservação. O segundo princípio vai levar-nos à definição de uma nova
propriedade chamada entropia. Ao contrário do que acontece com a energia, a
entropia não se conserva num sistema isolado, como à frente se verá. Na
termodinâmica clássica (ou macroscópica) a entropia é definida à custa de uma
operação matemática e, por isso, o seu significado físico é difícil de apreender à
primeira vista. No entanto, começará a entender-se melhor o que é a entropia se
estudarmos as suas aplicações aos processos mais vulgarmente utilizados em
engenharia. É o que irá ser feito no decurso deste capítulo. Com o intuito de
esclarecer um pouco melhor o significado físico da entropia iremos, também, fazer
uma breve referência à definição estatística da entropia e ao terceiro princípio da
termodinâmica.
6.1 – Desigualdade de Clausius
Consideremos um dispositivo, como o que
se representa na figura 6.1, constituido por
uma fonte quente à temperatura absoluta
TF que fornece a quantidade infinitésimal
de energia d’QF, sob a forma de calor, a
uma máquina térmica reversível. Durante
um ciclo esta máquina realiza o trabalho
d’Wrev e rejeita, para um sistema que se
encontra momentaneamente à temperatura
T, a quantidade de calor d’Q. Entretanto o
sistema realiza o trabalho d’Wsis.
Como o ciclo da máquina térmica é
reversível, tendo em consideração a
equação 5.12 que define a escala
termodinâmica de temperatura, podemos
escrever:
T
Q'd
T
Q'd
F
F
= (6.1)
Sabendo-se que o rendimento desta máquina reversível é η=1-T/TF o trabalho por
ela realizado durante um ciclo é:
d’Wrev = (1 - T/TF) d’QF
Substituindo nesta expressão o valor de d’QF tirado da eq. 6.1 (d’QF = d’Q TF/T):
d’Wrev = d’Q TF/T – d’Q
Aplicando o primeiro princípio da termodinâmica à transformação que, entretanto, o
sistema realiza, o trabalho por ele produzido durante um ciclo da máquina reversível
é:
Fig. 6.1 – O dispositivo usado para
demonstrar a desigualdade de Clausius
Fonte quente
TF
Sistema d’Wsis
T
d’Q
d’WrevMáq. térmica
reversível
d’QF
Sistema composto pelo
Sistema inicial + máq. térmica

____________________________________________________________________
120
d’Wsis = d’Q – dEsis
Considerando um sistema composto que engloba a máquina térmica e o sistema
inicial (no interior do rectângulo da figura 6.1) o trabalho que fornece ao exterior
enquanto a máquina reversível realiza um ciclo é dado por:
d'W = d’Wrev + d’Wsis
ou, substituindo nesta expressão d’Wrev e d’Wsis pelos valores dados atrás:
d’W = d’Q
T
TF
- dEsis
Suponhamos, agora, que o sistema inicial vai passar por um ciclo de
transformações, entretanto a máquina reversível realizará vários ciclos para cada um
dos quais a temperatura T do sistema (fonte fria da máquina) vai tendo valores
diferentes. O trabalho realizado nesse ciclo pela associação máquina térmica +
sistema inical, será:
W = ∫ ∫− sisF dE
T
Q'd
T
Por ser TF (temperatura da fonte) constante e ∫ sisdE =0 vem:
W= TF ∫ T
Qd'
O sistema composto pela máquina térmica e pelo sistema inicial não pode fornecer
trabalho ao exterior (no decurso de um ciclo completo do sistema inicial e de um
número inteiro de ciclos da máquina), pois, se produzisse trabalho teríamos um
dispositivo que violava o enunciado de Kelvin-Planck do segundo pricípio que
afirma: nenhum dispositivo pode produzir trabalho enquanto realiza um ciclo,
trocando calor com uma única fonte. Então, na equação anterior W≤0 o que, visto
ser sempre TF>0, conduz a:
∫ ≤ 0
'
T
Qd
(6.2)
Isto é, o integral cíclico de d’Q/T é sempre menor ou igual a zero.
A equação/inequação 6.2 é conhecida pelo nome de desigualdade de Clausius e é
válida para todos os ciclos termodinâmicos, reversíveis ou irreversíveis, incluindo
os ciclos das máquinas frigoríficas.
Admitamos agora que as transformações atrás consideradas são internamente
reversíveis e que , também, o ∫ < 0
T
Q'd
. Se não ocorrerem irreversibilidades, tanto
no interior do sistema inicial como na máquina térmica reversível, podem inverter-
-se os sentidos das transformações que aí ocorrem, por serem internamente
reversíveis. Ao assim proceder-se todas as quantidades de energia (calor e trabalho),
trocadas nestas transformações, terão os mesmos valores absolutos mas sinais

____________________________________________________________________
121
contrários. Portanto, se inicialmente ∫ < 0
'
T
Qd
, ao inverterem-se os sentidos das
transformações obteríamos ∫ > 0
'
T
Qd
, o que não é possível.
Conclui-se que, se o sistema realiza um ciclo de transformações internamente
reversíveis, terá que se verificar:
∫ =





0
T
Q'd
rev
(6.3)
Logo o sinal = na desigualdade de Clausius (eq. 6.2) é válido para os ciclos
reversíveis (internamente ou totalmente).
6.2 – Entropia
A partir da desigualdade de Clausius, mais concretamente da igualdade expressa na
equação 6.3, vamos definir uma nova propriedade termodinâmica designada
entropia.
A equação 6.3 revela que existe uma quantidade (d’Q/T)rev cujo integral cíclico é
zero. Pensemos que espécie de grandezas têm esta característica. Por, exemplo,
sabemos que o ∫ Wd' ≠0 (doutro modo não haveria máquinas térmicas). O mesmo
acontece com o integral cíclico de d’Q. Como vimos no 3º capítulo, estas grandezas
(W e Q) dependem do “percurso” seguido numa transformação. Consideremos
agora o volume ocupado por um gás num dispositivo cilindro-êmbolo. Quando o
êmbolo volta à posição inicial o volume do gás também retoma o valor inicial. Por
isso a variação de volume durante um ciclo é zero:
∫dV = 0
Isto é, o integral cíclico das variações de volume, ou das variações de quaisquer
outras propriedades, é sempre zero. Reciprocamente, uma quantidade infinitésimal
cujo integral cíclico é zero representa um incremento de uma grandeza que depende
exclusivamente do estado em que o sistema se encontra e não do “percurso”
seguido numa transformação. Portanto essa grandeza é uma propriedade, ou
função de estado, do sistema. Por isso, a quantidade (d’Q/T)rev representa uma
variação infinitamente pequena duma propriedade, isto é, a diferencial duma
propriedade.
Para confirmar o que se disse consideremos
um ciclo constituido por duas
transformações reversíveis A e B, como se
representa na figura 6.2. Aplicando a
equação 6.3 a este ciclo obtemos:
∫ ∫∫ =





+





=





1
2
2
1
0
'''
BArev T
Qd
T
Qd
T
Qd
Fig.6.2 – Um ciclo reversível formado por
duas transformações reversíveis A e B

____________________________________________________________________
122
Mas, como se sabe,
∫∫ 





−=





2
1
1
2
''
BB T
Qd
T
Qd
e, portanto:
∫∫ 





=





2
1
2
1
´´
BA
T
Qd
T
Qd
Como A e B são duas transformações reversíveis quaisquer que se consideraram
entre os estados 1 e 2 o valor do integral depende exclusivamente dos estados inicial
e final da transformação e não do “percurso” seguido. Por isso, tem que representar
a variação de uma propriedade termodinâmica (ou função de estado).
Assim, Clausius constatou, em 1865, que tinha descoberto uma nova propriedade a
que deu o nome de entropia e que se representa por S.
Definição de entropia
Entropia S é uma propriedade cuja variação dS no decurso de uma
transformação elementar internamente reversível de um sistema fechado, se
obtém dividindo a quantidade de calor d’Q, que o sistema troca nessa
transformação, pela temperatura absoluta T a que o sistema se encontra nesse
momento. Isto é:
(6.4)
A entropia é uma propriedade extensiva e a sua unidade S.I. é o J.K-1
. A entropia da
unidade de massa é já uma propriedade intensiva – entropia específica s:
s = S/m (J.K-1
.kg-1
)
e a entropia de uma mole (ou kmol) é designada entropia específica molar s :
s = S/n (J.K-1
.kmol-1
)
Uma variação de entropia de um sistema
durante uma transformação reversível pode
determinar-se integrando a equação 6.4
entre os estados inicial e final da
transformação:
∆S = S2 – S1 = ∫ 





2
1
'
revT
Qd
(6.5)
Note-se que a equação 6.5, na realidade,
apenas permite determinar variações de
entropia e não o valor absoluto da entropia
num dado estado, tal como acontecia com a
energia interna e com a entalpia.
revT
Qd
dS 





=
'
Fig. 6.3 – A variação de entropia entre
dois estados é a mesma quer o processo
seja reversível quer seja irreversível

____________________________________________________________________
123
Como a entropia é uma propriedade, tal como as outras propriedades, tem um valor
fixo num determinado estado em que o sistema se encontra. Por isso, a variação de
entropia ∆S entre dois dados estados é a mesma qualquer que tenha sido a
transformação, reversível ou irreversível, que o sistema sofreu durante essa
mudança de estado (figura 6.3). No entanto, o valor do integral de d’Q/T dá a
variação de entropia unicamente se a integração tiver sido efectuada ao longo de um
“percurso” internamente reversível. Isto é, o integral de d’Q/T tem valores
diferentes para “percursos” irreversíveis entre dois dados estados e portanto para
esses percursos não representa a variação duma propriedade.
Contudo, mesmo para os processos irreversíveis, a variação de entropia pode ser
calculada a partir do integral de d’Q/T se a integração fôr efectuada ao longo de
qualquer processo reversível imaginário que se considere entre os mesmos estados,
inicial e final, do processo irreversível.
6.3 – Princípio do aumento de entropia
Consideremos um ciclo, como o representado na figura 6.4, constituido por
duas transformações: transformação 1-2, que tanto pode ser reversível como
irreversível, e transformação 2-1 que é reversível.
Da desigualdade de Clausius
∫ ≤ 0
'
T
Qd
tira-se que:
0
''
1
2
2
1
≤





+ ∫∫ revT
Qd
T
Qd
Como o segundo integral na equação anterior representa a variação de entropia
S1–S2 vem:
0
'
21
2
1
≤−+∫ SS
T
Qd
∫≥−
2
1
12
´
T
Qd
SS
∫≥∆
2
1
'
T
Qd
S (6.6)
A equação 6.6 também pode ser expressa na forma diferencial:
T
Qd
dS
'
≥
Fig.6.4 –Um ciclo constituido por uma
transf. reversível e outra irreversível.

____________________________________________________________________
124
Nestas duas últimas equações o sinal = é válido para as transformações
internamente reversíveis e o sinal > para as transformações irreversíveis.
Assim, podemos concluir:
A variação de entropia de um sistema fechado durante uma transformação
irreversível é superior ao valor do integral de d’Q/T calculado ao longo dessa
transformação. No caso limite das transformações reversíveis estas duas
quantidades são iguais.
No ∫
2
1
'
T
Qd
a temperatura T é a temperatura absoluta e, por isso, é sempre positiva.
Então, a variação de entropia nas transformações reversíveis tem o mesmo sinal
que as quantidades de calor trocadas, isto é, a variação de entropia é positiva se o
sistema recebe energia sob a forma de calor, e é negativa se o sistema perde
energia sob a forma de calor (rejeita calor).
Nas transformações irreversíveis a variação de entropia é sempre superior ao valor
do integral de d’Q/T:
S∆ > ∫
2
1
'
T
Qd
(transf. irreversíveis)
A equação anterior pode escrever-se com a seguinte forma:
.
2
1
'
gerS
T
Qd
S +=∆ ∫ (transf. irreversíveis) (6.7)
A primeira parcela do segundo membro da equação anterior representa uma
variação de entropia que acompanha as trocas de calor (entropia transferida para o
sistema ou de o sistema para a vizinhança juntamente com as quantidades de calor).
A segunda parcela Sger representa a entropia gerada ou criada devida às
irreversibilidades.
Para um sistema isolado (isto é, um sistema fechado adiabático) as trocas de calor
são nulas e o mesmo acontece com o ∫
2
1
'
T
Qd
. Então, a equação 6.6 toma a forma:
(6.8)
A equação 6.8 traduz o seguinte princípio:
A entropia de um sistema isolado durante uma transformação aumenta sempre
ou, no caso limite das transformações reversíveis, permanece constante. –
Princípio do aumento de entropia.
A equação 6.8 é muito útil quando se pretende saber o sentido em que se pode dar
uma transformação e se uma dada transformação pode, ou não, ocorrer. No entanto,
o seu uso é limitado às transformações adiabáticas de sistemas fechados. Para
contornar esta restrição podemos considerar um outro sistema, que englobe o
sistema inicial e a sua vizinhança, pois é sempre possível aumentar a extensão da
∆Ssistema isolado ≥ 0

____________________________________________________________________
125
vizinhança do sistema e incluir ambos no interior de uma fronteira de dimensões
suficientemente grandes para admitirmos que através dela não se dão trocas de
calor, obtendo-se assim um sistema isolado. (fig. 6.5).
Isto é, o sistema inicial e a sua vizinhança
podem ser considerados dois sub-sistemas
de um sistema maior, isolado, e a variação
de entropia deste sistema isolado durante
uma transformação obtém-se somando as
variações de entropia dos dois sub-
sistemas: sistema inicial e a sua
vizinhança. Então o princípio do aumento
de entropia obriga a que seja:
∆Stotal = ∆Ssis+∆Sviz ≥0 (6.9)
Esta equação não impede que a entropia de
um dado sistema, ou a da sua vizinhança,
não possam diminuir; apenas impõe que a
soma das duas variações de entropia (do
sistema e da vizinhança) não seja negativa
(fig.6.6).
Pode-se resumir o princípio do aumento de
entropia da seguinte forma:










−<
−=
−>
∆
impossíveltransf
reversíveltransf
elirreversívtransf
Stotal
.0
.0
.0
Podemos assim determinar quando uma
dada transformação é reversível,
irreversível ou impossível. Uma vez que os
processos reais são todos irreversíveis
concluímos que, sempre que ocorre uma
transformação, a entropia do Universo (um
sistema isolado) aumenta. Isto é, a
entropia do Universo está sempre a
aumentar. Quanto mais irreversível fôr a
transformação maior a quantidade de
entropia gerada no Universo. O aumento
de entropia do Universo é uma
preocupação, não só para os engenheiros,
mas também para os filósofos e teólogos,
visto que, como à frente se verá, a entropia
é considerada uma medida da desordem.
Todas as relações deduzidas neste capítulo
para sistemas fechados também se aplicam
a uma dada massa fluindo através de um
volume de controlo (fig.6.7).
Fig. 6.5 – Um sistema e a sua
vizinhança formam um sistema
isolado.
Fig.6.6 – A variação de entropia de um
sistema pode ser negativa mas a soma
∆Ssis+∆Sviz não pode.
Fig. 6.7 – Todas as relações deduzidas para
sistemas fechados aplicam-se, também, a
uma dada massa fluindo através de um
sistema aberto

____________________________________________________________________
126
6.4 – O que faz variar a entropia
Analisando a equação 6.7 constata-se que a entropia de um sistema fechado pode
variar devido às trocas de calor e às irreversibilidades. Ao contrário do que acontece
com os sistemas fechados a fronteira de um sistema aberto pode ser atravessada por
matéria. E, tal como possui energia, a matéria também possui entropia. Por isso,
além das trocas de calor e das irreversibilidades existe um outro mecanismo para
fazer variar a entropia de um sistema aberto: a transferência de massa. Isto é, a
massa que entra e a que sai de um sistema aberto transporta consigo entropia.
Assim, há três mecanismos que fazem variar a entropia de um sistema: trocas de
calor, entrada e saída de massa para (ou de) o sistema e irreversibilidades.
Quando se fornece calor a um sistema aumenta-se a sua entropia, pelo contrário,
quando o sistema rejeita calor diminui a sua entropia. Quando entra massa para um
sistema aberto aumenta a sua entropia, quando sai massa diminui a entropia. As
irreversibilidades, tais como o atrito, uma expansão e uma compressão rápidas, uma
troca de calor através de uma diferença de temperaturas finita, fazem sempre
aumentar a entropia.
Se, durante uma transformação não houver trocas de calor (transf. adiabática) e não
houver irreversibilidades (transf. internamente reversível) a entropia de uma dada
massa permanece constante. Isto é, uma transformação adiabática internamente
reversível é isentrópica (S=const).
Uma transformação isentrópica é uma transformação ideal que, tal como as
transformações quase-estáticas que estudámos, serve de modelo de comparação para
as transformações reais.
6.5 – O que é a entropia
Já se viram algumas aplicações da propriedade entropia:
1 – Como se disse no início do 5º capítulo, as transformações só podem
ocorrer num determinado sentido e não em qualquer sentido. Este facto é justificado
pelo princípio do aumento de entropia : ∆Stotal≥0. Uma transformação que não esteja
de acordo com este princípio é impossível, isto é, pode utilizar-se este princípio, por
exemplo, para prevêr o sentido de uma reacção química ou para saber se uma dada
transformação pode, ou não, ocorrer.
2 – O desempenho dos dispositivos usados em engenharia degrada-se pela
presença das irreversibilidades e a entropia gerada num dado processo é uma
medida dessas irreversibilidades. Então a entropia pode ser utilizada para
estabelecer critérios de comparação do desempenho de diversos dispositivos
utilizados em engenharia. Isto é, a entropia é uma propriedade que pode ser usada
como uma ferramenta valiosa na análise do comportamento de dispositivos
utilizados em engenharia.
Tudo o que se disse acerca da entropia não é suficiente para compreender o
verdadeiro significado físico desta propriedade. Para tal temos que recorrer ao
método utilizado na termodinâmica estatística, que faz uso da natureza microscópica
da matéria para explicar as suas propriedades macroscópicas.
A entropia pode ser considerada como uma medida da desordem molecular ou
aleatoriedade molecular. À medida que um sistema se vai tornando mais
desorganizado a nível molecular, as posições das suas moléculas tornam-se menos

____________________________________________________________________
127
previsíveis e a sua entropia aumenta. Por isso, a entropia da fase sólida é mais baixa
do que a das outras fases pois, nos sólidos, as moléculas oscilam em torno de
posições de equilíbrio, não se podendo mover umas relativamente às outras e, em
qualquer momento, as suas posições são previsíveis com uma certa precisão. Na
fase gasosa as moléculas movem-se ao acaso, colidindo umas com as outras,
mudando de direcção, o que torna extremamente difícil prevêr, com alguma
precisão, o estado microscópico, ou configuração molecular de um gás. Associado
a este caos molecular está um elevado valor da entropia.
Quando um sistema isolado, que se encontra num dado estado de equilíbrio
termodinâmico, é analisado do ponto de vista microscópico (do ponto de vista da
termodinâmica estatística) constata-se que, apesar de estar em equilíbrio, pode
exibir um elevado grau de actividade a nível molecular, devido ao movimento
incessante das suas moléculas. Isto é, a cada estado de equilíbrio termodinâmico
(macroscópico) corresponde um grande número de possíveis estados microscópicos
(configurações moleculares), diferentes. Ao número de possíveis estados
microscópicos compatíveis com um dado estado de equilíbrio de um sistema dá-se o
nome de probabilidade termodinâmica Ω. A entropia está relacionada com a
probabilidade termodinâmica pela relação de Boltzmann:
S = k ln Ω
Nesta relação k=1,38. 10-23
J K-1
é a constante de Boltzmann, já conhecida.
Esta equação mostra que, do ponto de vista microscópico, a entropia aumenta
sempre que a incerteza ácerca do estado microscópico do sistema (ou aleatoriedade
molecular) aumenta. Assim, a entropia é uma medida da desordem molecular e a
desordem molecular de um sistema isolado aumenta sempre que ele passa por uma
transformação (princípio do aumento da entropia). Quanto maior fôr o número de
estados microscópicos (probabilidade termodinâmica) correspondentes a um dado
estado de equilíbrio, maior é a entropia e maior é, também, a probabilidade do
sistema se encontrar nesse estado. Por isso os sistemas isolados evoluem para
estados de maior entropia.
Como já foi dito, do ponto de vista da termodinâmica estatística, a entropia é uma
medida da aleatoriedade molecular, isto é, da incerteza acerca das posições das
moléculas, em qualquer momento. Mesmo na fase sólida as moléculas de uma
substância estão constantemente a oscilar criando uma incerteza acerca das suas
posições. No entanto, estas oscilações desvanecem à medida que a temperatura
diminui e as moléculas ficam completamente em repouso à temperatura do zero
absoluto (admite-se). Este estado é o estado de maior ordem molecular (e mínima
energia). Por isso, a entropia duma substância cristalina pura é zero à
temperatura do zero absoluto – terceiro princípio da termodinâmica. O terceiro
princípio fornece um estado de referência para a determinação da entropia dos
outros estados. A entropia determinada relativamente a este estado é chamada
entropia absoluta
Que implicações tem a desordem a nível molecular no comportamento dos
dispositivos utilizados em engenharia? Ao estudar-se a teoria cinética dos gases
vimos que as moléculas dos gases possuem uma considerável energia cinética. Mas,
como sabemos, por maior que seja essa energia, se mergulharmos num reservatório
cheio de um gás um eixo que pode rodar e ao qual estão presas umas pás, as
moléculas do gás, apesar de colidirem incessantemente com essas pás, não são
capazes de fazer rodar o eixo. Isto é uma consequência do movimento desordenado

____________________________________________________________________
128
das moléculas. Provavelmente o número de moléculas que tentam fazer rodar o eixo
num sentido é igual ao número de moléculas que tentam fazê-lo rodar em sentido
contrário.
Suponhamos agora que o mesmo eixo rotativo, mas sem pás, é utilizado para
levantar um peso (fig.6.8). Neste caso as
moléculas do eixo rodam todas no mesmo
sentido (têm um movimento altamente
organizado) e, por isso, podem produzir
trabalho levantando o peso. Além disso, se
não houver atrito, o trabalho fornecido ao
eixo pelo binário que lhe está aplicado foi
investido em aumentar a energia potencial
do peso. Se invertermos o sentido do
processo, baixando o peso, é possível
recuperar esse trabalho. Isto é, o processo
foi reversível e, por isso, não se gerou
entropia. Consideremos ainda que, o
mesmo eixo rotativo, mas agora munido de
pás, mergulha num reservatório cheio de
um fluido (fig.6.9). Ao fazer girar o eixo as
pás vão agitar fortemente o fluido que, por
isso, vai aquecer. Isto é, o trabalho
realizado pelo binário aplicado ao eixo
rotativo foi convertido em energia interna do
fluido, energia altamente desorganizada das
suas moléculas. É ímpossível inverter o
sentido deste processo, como atrás se disse,
ou seja o processo é irreversível e a entropia
aumenta. Acompanhando este aumento de
entropia há uma degradação de energia. A
energia altamente organizada das moléculas
do eixo e das pás que rodavam, é convertida
em energia cinética (energia térmica) das
moléculas, altamente desorganizada e, por
isso, de menor qualidade.
Sempre que numa dada transformação estão presentes irreversibilidades e se gera
entropia, a energia total permanece constante (1º princípio da termodinâmica), mas
diminui de qualidade (2º princípio da termodinâmica). Isto é, diminui a
possibilidade de se obter trabalho à custa dessa energia.
6.6 – Diagramas em que uma das coordenadas é a entropia
Nos capítulos anteriores utilizámos, com muita frequência, os diagramas P-v e T-v.
Quando se analisam as transformações à luz do segundo princípio da termodinâmica
é mais conveniente utilizarmos diagramas em que uma das coordenadas é a
entropia. Os mais usados são: diagrama T-s (temperatura–entropia); e diagrama h-s
(entalpia–entropia). No estudo das máquinas frigoríficas é, também, muito usado o
diagrama P-h (pressão–entalpia).
Fig.6.8 – Na ausência de atrito, levantar
um peso usando um eixo rotativo não cria
entropia, logo a energia não se degrada
Fig.6.9 – O trabalho das pás rotativas
aumenta o grau de desordem (entropia)
do fluido, por isso a energia degradou-se
durante o processo.

____________________________________________________________________
129
6.6.1 – Diagrama T-s
Considerando a equação 6.4, que define entropia, podemos escrever:
d'Qrev = T dS (6.10)
Como se vê na figura 6.10 d’Qrev é
representado por uma área infinitésimal no
diagrama T-S. A quantidade de calor trocada
numa transformação internamente reversível
é calculada por
Qrev = ∫
2
1
TdS (6.11)
que corresponde à área debaixo da curva que
representa o processo num diagrama T-S.
Portanto, a área debaixo da curva que
representa um processo internamente
reversível num diagrama T-S, é
proporcional à quantidade de calor trocada
durante este processo.
Se a temperatura permanece constante e igual a To durante uma transformação, isto
é, no caso das transformações isotérmicas reversíveis, a integração da equação 6.11
conduz a:
Qrev = To(S2-S1) = To ∆S
Nas relações anteriores T é a temperatura absoluta e, portanto, é sempre positiva.
Por isso, a quantidade de calor trocada por um sistema num processo reversível é
positiva se a entropia aumentar e negativa se a entropia diminuir. Uma
transformação adiabática reversível (isentrópica) é representada por uma recta
vertical neste diagrama. Num ciclo é ∫∫ = QdWd '' e, portanto, a área no interior da
curva que representa o ciclo dá, não apenas o somatório das quantidades de calor
trocadas no ciclo mas, também, o módulo do trabalho líquido do ciclo.
Pode-se, por isso, determinar
graficamente o rendimento térmico de
uma máquina a partir da representação
do ciclo respectivo no diagrama T-S,
achando o cociente entre as áreas que
representam o trabalho do ciclo e a
quantidade de calor fornecida ao ciclo.
Note-se que estes ciclos terão que ser
constituidos só por transformações
internamente reversíveis. Recomenda-
se, como exercício, a determinação do
rendimento térmico de uma máquina de
Carnot a partir da representação deste
ciclo no diagrama T-S (figura 6.11),
onde o trabalho do ciclo é dado pela
área do rectângulo [a-b-c-d] e o calor
fornecido pela área do rectângulo [e-a-
b-f] .
Fig.6.10 – Num diagrama T-S uma
área representa uma quantidade de
calor trocada numa transformação
reversível
Fig.6.11 – O ciclo de Carnot no diagrama T-S
Sa=Sd
T2
T1
a b
cd
T
S
W
Sb=Sc
e f

____________________________________________________________________
130
As características gerais do diagrama T-s para a água, nas regiões da fase líquida e
vapor, mostram-se na figura 6.12.
Fig.6.12 - O diagrama T-s para a água
Observa-se no diagrama da figura 6.12 que:
1 – Em qualquer ponto da região de uma só fase as curvas de volume
constante são mais inclinadas do que as curvas de pressão constante (isóbaras);
2 – Na região de saturação (mistura líq.+vapor) as isóbaras são paralelas às
linhas que representam as transformações isotérmicas, ou coincidentes com estas;
3 – Na região do líquido comprimido as isóbaras quase se sobrepõem com a
linha de líquido saturado.
6.6.2 – Diagrama h-s
Outro diagrama muito utilizado é o diagrama
h-s que é muito útil quando se estudam os
processos de escoamento estacionário, como
são os que se dão nas turbinas, nos
compressores, nas tubeiras, etc. Ao estudar,
por exemplo, o escoamento estacionário do
vapor de água através duma turbina
adiabática ∆h, distância vertical entre os
estados de entrada e saída, é uma medida do
trabalho fornecido pela turbina e a distância
horizontal entre estes mesmos estados, ∆s, é
uma medida das irreversibilidades associadas
ao processo (figura 6.13). O diagrama h-s
também é conhecido por diagrama de
Mollier (cientista alemão 1863-1935).
Fig. 6.13 - Para processos de
escoamento estacionário ∆h
representa o trabalho e ∆s as
irreversibilidades.
θ

____________________________________________________________________
131
No diagrama h-s para a água (figura 6.14) as linhas isotérmicas na região de
saturação são rectas inclinadas. Ao passarem para a região do vapor sobreaquecido
encurvam-se e, longe da linha de vapor saturado, tornam-se quase horizontais. O
aspecto destas linhas é explicado pelo facto de, nesta região, o vapor sobreaquecido
comportar-se, aproximadamente, como gás perfeito para o qual H=H(T).
Fig. 6.14 –
Esquema de um
diagrama h-s para a
água
6.6.3 – Diagrama P-h
Utiliza-se este diagrama quando se estudam os ciclos frigoríficos de compressão de
vapor. Como se pode observar na figura 6.15 as transformações no condensador e
no evaporador de uma máquina frigorífica são processos de escoamento
estacionário isobáricos e, por isso, as quantidades de calor trocadas são dadas por
∆h podendo determinar-se directamente da representação do ciclo no diagrama P-h.
A expansão na válvula é isentálpica (h=const.). Admite-se que a compressão é
isentrópica, representando-se como se mostra na figura 6.15.
6.15 – Um ciclo frigorífico representado no diagrama P-h.

____________________________________________________________________
132
6.7 – As equações Tds
No início do capítulo vimos que, para uma transformação elementar
internamente reversível é:
revT
Qd
dS 





=
'
A variação de entropia em qualquer transformação calcula-se integrando
revT
Qd





 '
ao
longo de algum “percurso” imaginário, internamente reversível, entre os estados
inicial e final da transformação, como já sabemos. Nas transformações isotérmicas
reversíveis esta integração é imediata pois T=const=T0 durante a transformação:
0
2
1
2
100
12 '
1'
T
Q
Qd
TT
Qd
SS rev
rev
rev
==





=− ∫ ∫
Se a transformação não fôr isotérmica é preciso encontrar uma relação entre d’Q e T
para levar a cabo esta integração. A seguir iremos ver como isso é possível.
A forma diferencial do primeiro princípio da termodinâmica para sistemas fechados
em repouso é (eq. 3.12):
d'Q – d’W = dU
Aplicando esta equação a uma transformação internamente reversível, e
considerando que, para estas transformações, o único trabalho é realizado pelas
forças aplicadas à fronteira móvel do sistema num processo quase-estático e sem
atrito (d’W=P dV), e que, também, d’Qrev = T dS, vem:
T dS – P dV = dU
ou
T dS = dU + P dV
que, para a unidade de massa fica:
(6.12)
A equação 6.12 é conhecida como primeira equação Tds.
Uma outra equação deste tipo obtém-se a partir da equação 6.12 e diferenciando a
relação que define entalpia (h=u+Pv):
dh = du + Pdv + vdP
isto é:
dh – v dP = du + P dv = T ds
Portanto (6.13)
T ds = du + P dv
T ds = dh – v dP

____________________________________________________________________
133
A equação 6.13 é designada segunda equação T.ds.
As equações Tds são muito importantes porque relacionam a variação da
propriedade entropia com variações de outras propriedades. Ao contrário do que
acontecia com a equação 6.4, que define entropia, estas relações, por serem relações
entre variações de propriedades, são independentes do tipo de transformação. Isto é,
as equações Tds foram deduzidas considerando uma transformação reversível mas
os resultados obtidos são válidos tanto para transformações reversíveis como para
transformações irreversíveis, uma vez que a entropia é uma função de estado
(propriedade) e a variação de uma função de estado entre dois dados estados é
independente do tipo de transformação
As equações 6.12 e 6.13 são relações entre propriedades da unidade de massa de um
sistema compressível simples quando sofre uma mudança de estado e aplicam-se
tanto a transformações que tenham ocorrido em sistemas fechados como em
sistemas abertos. (fig.6.16).
Destas equações tira-se que:
dv
T
P
T
du
ds += (6.14)
e
dP
T
v
T
dh
ds −= (6.15)
A variação de entropia numa transformação
pode obter-se integrando qualquer destas
equações.
6.8 – Variações de entropia de uma substância pura
As equações Tds aplicam-se a todas as substâncias puras em qualquer fase ou
mistura de fases. Contudo a utilização destas equações só é possível se forem
conhecidas as relações entre T e du, ou dh, e a equação de estado da substância (que
relaciona os valores de P, v e T). De uma maneira geral estas equações são muito
complicadas o que impede que se obtenham relações simples para o cálculo das
variações de entropia. Os valores da entropia s foram, por isso, determinados à custa
de dados das propriedades mensuráveis realizando-se os cálculos necessários e
constam de tabelas, tal como as outras propriedades v, u e h. Os valores que
aparecem nas tabelas não são os valores absolutos da entropia, pois apenas sabemos
calcular variações de entropia. Por isso, o que aparece nas tabelas são as diferenças
entre o valor da entropia num dado estado e o seu valor num estado arbitrariamente
escolhido para estado de referência, tal como acontecia com a energia interna u. Nas
tabelas do vapor de água o estado de referência é, como já se mencionou no
segundo capítulo, o estado de líquido saturado a 0,01ºC, à entropia do qual se
atribuiu o valor zero.
O valor da entropia para um determinado estado determina-se a partir das tabelas da
mesma maneira que as outras propriedades. Na região do líquido comprimido e
vapor sobreaquecido, directamente. Na região da mistura (líq.+vapor) a entropia é
determinada por:
s = sf + x sfg
Fig. 6.16- As equações Tds tanto se
aplicam a transf. reversíveis como
irreversíveis e tanto a sistemas
fechados como abertos

____________________________________________________________________
134
onde x é o título, sf e sfg são, respectivamente, a entropia do líquido saturado e a
diferença entre a entropia do vapor saturado e a do líquido saturado, que se tiram
das tabelas.
Na ausência de dados para os estados de líquido comprimido usa-se a seguinte
aproximação:
s(P,T) ≅ sf(T)
6.9 – Variações de entropia dos gases perfeitos
Substituindo na equação 6.14
dv
T
P
T
du
ds +=
du=cvdT e também
v
rT
p = , visto tratar-se de um gás perfeito, vem:
dv
v
r
T
dT
cds v +=
Integrando os dois membros desta equação obtém-se:
∫ +=−
2
1 1
2
12 ln
)(
v
v
r
T
dTTc
ss v
(6.16)
Uma segunda equação para a variação de entropia de um gás perfeito obtém-se a
partir da equação 6.15
dp
T
v
T
dh
ds −=
substituindo nesta equação dh=cpdT e
P
r
T
v
= , dando:
P
dP
r
T
dT
cds p −=
Integrando os dois membros desta equação vem:
1
2
2
1
12 ln
)(
P
P
r
T
dTTc
ss
p
−=− ∫ (6.17)
Os calores específicos dos gases perfeitos, com excepção dos gases monoatómicos,
dependem da temperatura, como se viu no 3º capítulo. Portanto, tem que se
conhecer cv=cv(T) e cP=cP(T) para efectuar as integrações das equações 6.16 e 6.17.
Mesmo sendo conhecidas estas funções, efectuar as integrações mencionadas
sempre que se determina uma variação de entropia, não é prático. Então, só restam

____________________________________________________________________
135
duas soluções: realizar estas integrações considerando os calores específicos
constantes e iguais a um valor médio ou calcular os integrais uma única vez e
construir tabelas com os resultados obtidos.
1 - Considerando constantes os calores específicos (resultados
aproximados): Os cálculos simplificam-se muito mas perde-se alguma precisão. O
valor do erro introduzido depende das condições. Para os gases monoatómicos,
como por exemplo o hélio, os calores específicos são constantes e esta hipótese não
introduz nenhum erro. Para os outros gases, os calores específicos variam quase
linearmente com a temperatura e o erro é minimizado usando o calor específico
determinado para a temperatura média do intervalo. Os resultados obtidos desta
maneira são, normalmente, suficientemente precisos para a maioria dos gases
perfeitos, se o intervalo de temperaturas não fôr superior a algumas (poucas)
centenas de graus. Considerando, nas equações 6.16 e 6.17, os calores específicos
constantes e iguais ao seu valor médio no intervalo de temperaturas, a integração
dos segundos membros destas equações conduz a:
1
2
1
2
12 lnln
v
v
r
T
T
css vmédio +=− (6.18)
1
2
1
2
12 lnln
P
P
r
T
T
css pmédio −=− (6.19)
2 – Considerando os calores específicos variáveis (resultados exactos) -
Quando a variação de temperatura numa transformação fôr grande e os calores
específicos não variarem linearmente com a temperatura, a hipótese de considerar
os calores específicos constantes pode introduzir erros consideráveis no cálculo das
variações de entropia. Então, deve-se substituir nas equações 6.16 e 6.17 os valores
de cv e de cp pelas suas expressões em função da temperatura e efectuar o cálculo
dos respectivos integrais. Em vez de realizar estes cálculos sempre que se pretende
determinar uma variação de entropia será conveniente realizá-los uma só vez e
construir tabelas com os resultados obtidos. Com esse objectivo escolheu-se a
temperatura do zero absoluto como referência e definiu-se uma função s0
da
seguinte maneira:
T
dTTc
s P
T
)(
0
0
∫= (6.20)
De acordo com esta definição s0
é apenas função da temperatura e o seu valor é zero
à temperatura do zero absoluto. Os valores de s0
são calculados a várias
temperaturas, a partir da equação 6.20, e os resultados obtidos constam de tabelas
para vários tipos de gases cujo comportamento pode ser considerado ideal. Tendo
em conta esta definição, o valor do integral da equação 6.17 é dado por:
∫ −=
2
1
0
1
0
2
)(
ss
T
dTTcP

____________________________________________________________________
136
Então:
1
20
1
0
212 ln
P
P
rssss −−=− (6.21)
Repare-se que, ao contrário do que acontecia com a energia interna u e com a
entalpia h, a entropia não é só função da temperatura; depende também do volume e
da pressão. Por isso, a entropia não pode ser tabelada como função da temperatura.
Os valores de s0
das tabelas dão conta da variação de s com a temperatura. A
variação da entropia com a pressão é levada em conta no último termo da equação
6.21. Em apêndice apresentam-se tabelas para o ar.
6.10 - Processos isentrópicos dos gases perfeitos
Fazendo, nas equações apresentadas anteriormente, a variação de entropia de um
gás perfeito igual a zero obtém-se várias relações para as transformações
isentrópicas de um gás perfeito.
Calores específicos constantes (resultados aproximados)
Quando se consideram os calores específicos constantes e igualando a zero o
primeiro membro da equação 6.18 obtém-se:
1
2
1
2
lnln
v
v
c
r
T
T
v
−=
que pode ser escrita
vc
r
v
v
T
T






=
2
1
1
2
lnln
ou
1
2
1
.1
2
−
=






=





γ
v
v
T
T
consts
(6.22)
visto ser r=cp-cv e γ=cp/cv e, portanto, r/cv=γ−1.
Por um processo análogo e igualando a zero o primeiro membro da equação 6.19
obtém-se:
γγ /)1(
1
2
.1
2
−
=






=





P
P
T
T
consts
(6.23)
Fica ao cuidado do aluno provar esta relação.
Por fim, igualando os segundos membros das equações 6.22 e 6.23 e simplificando
vem:
γ






=





= 2
1
1
2
v
v
P
P
consts
(6.24)

____________________________________________________________________
137
Note que as equações 6.22, 6.23 e 6.24 já tinham sido obtidas no 3º capítulo, para as
transformações adiabáticas reversíveis de um gás perfeito admitindo-se constantes
os seus calores específicos.
Calores específicos variáveis (resultados exactos)
Quando não fôr aconselhável considerar a hipótese dos calores específicos
constantes, as relações 6.22 a 6.24 que deduzimos conduzem a resultados que não
são muito exactos. Nesses casos devemos substitui-las por relações obtidas duma
equação que tenha em consideração a variação dos calores específicos com a
temperatura, nomeadamente a equação 6.21. Igualando a zero o primeiro membro
desta equação obtemos
1
20
1
0
2 ln0
P
P
rss −−=
1
20
1
0
2 ln
P
P
rss += (6.25)
onde s2
0
é o valor de s0
no final da transformação isentrópica. Isto é, sabendo a
razão entre as pressões dos estados final e inicial (P2/P1) e a temperatura inicial é
possível determinar s1
0
e, a partir da equação dada acima, s2
0
. Entrando com este
valor na tabela, determina-se T2. Ou, vice-versa, se forem conhecidas as
temperaturas inicial e final e a pressão inicial podem determinar-se s2
0
e s1
0
e,
entrando com essses valores na equação dada acima, determinar P2.
A equação 6.25 fornece uma maneira precisa para determinar as variações das
propriedades de um gás perfeito num processo isentrópico porque tem em
consideração a variação dos calores específicos com a temperatura. Contudo, se fôr
conhecida a razão entre os volumes inicial e final do gás, em vez da razão entre as
pressões, tem que se calcular uma das outras propriedades (P ou T) do estado final
por tentativas, o que é muito demorado e pouco prático. Para remediar esta
deficiência definem-se novas quantidades, associadas com as transformações
isentrópicas, como se segue. Partindo da equação 6.25 que pode escrever-se com a
forma:
0
1
0
2
1
2
ln ss
P
P
r −=
r
ss
P
P 0
1
0
2
1
2
ln
−
=
r
ss
P
P 0
1
0
2
1
2
exp
−
=
obtém-se
)/exp(
)/exp(
0
1
0
2
1
2
rs
rs
P
P
=
À quantidade abstracta (sem dimensões) exp(s0
/r) chama-se pressão relativa Pr.
Com esta definição a relação anterior pode escrever-se:

____________________________________________________________________
138
1
2
1
2
r
r
consts
P
P
P
P
=





=
(6.26)
Note-se que a pressão relativa é uma grandeza, sem dimensões, que depende
exclusivamente da temperatura. Por isso, os valores de Pr podem ser tabelados
como função da temperatura. Na tabela para o ar, em apêndice, são dados os valores
destas pressões relativas. O uso dos valores de Pr está elucidado na figura 6.17.
Fig.6.17 – Uso das pressões relativas para determinar a temperatura no final de uma transf.
isentrópica
Quando é dada a razão entre os volumes específicos, em vez da razão das pressões,
define-se uma outra quantidade, relacionada com a razão entre os volumes
específicos no inicio e no final duma transformação isentrópica. Para tal, parte-se da
relação 2.11 (P1v1/T1=P2v2/T2) e da relação 6.26:
11
22
21
12
1
2
2
1
1
2
/
/
r
r
r
r
PT
PT
PT
PT
T
T
P
P
v
v
==×=
À quantidade T/Pr que é unicamente função da temperatura, dá-se o nome de
volume específico relativo vr. e os seus valores aparecem nas tabelas, como funções
da temperatura. Então:
1
2
1
2
r
r
consts
v
v
v
v
=





=
Para determinar a temperatura no final de uma transformação isentrópica utilizando
os volumes específicos relativos procede-se de maneira análoga à utilizada no caso
de ser conhecida a razão entre as pressões.
Transformação isentrópica
Dados: P1, T1 e P2
Achar: T2
T Pr
. .
. .
T1 → → Pr1
↓
T2 ← Pr2=(P2/P1) Pr1

____________________________________________________________________
139
6.11 – Representação das transformações reversíveis de um gás perfeito no
diagrama T-s
Como se viu na secção 6.6.1 o diagrama T-s é muito útil quando se estudam os
ciclos ideais das máquinas (térmicas e frigoríficas) porque nestes diagramas as áreas
representam as quantidades de calor trocadas, assim como o trabalho do ciclo.
Vamos agora mostrar a forma das curvas que representam neste diagrama as
transformações de um gás perfeito.
As transformações reversíveis, isotérmicas e adiabáticas, representam-se,
respectivamente, por rectas horizontais e verticais pois s=const. nas transformações
adiabáticas reversíveis. As linhas isóbaras (P=const.) e as linhas de volume
constante têm o aspecto que se mostra na figura 6.18, onde se observa que o declive
de uma linha de volume constante é superior ao declive de uma linha de pressão
constante. A justificação para este facto encontra-se determinando as derivadas
vs
T






∂
∂
e
Ps
T






∂
∂
que dão, respectivamente, os declives das linhas de volume
constante e das isóbaras no diagrama T-s. Fazendo na eq. 6.14 dv=0 vem:
T
du
ds =
Como, para um gás perfeito,
du=cvdT:
T
dT
cds v=
vc
T
ds
dT
= (qdo. v=const)
Mas
ds
dT
representa a derivada parcial
vs
T






∂
∂
. Portanto:
vs
T






∂
∂
=
vc
T
Partindo, agora, da equação 6.15, fazendo dP=0 nesta equação e como dh=cP dT
para um gás perfeito vem:
T
dTc
ds P
=
donde
Ps
T






∂
∂
=
Pc
T
Para um gás perfeito cp>cv, logo
vs
T






∂
∂
>
Ps
T






∂
∂
, como se pretendia demonstrar.
Fig.6.18- Diagrama T-s para um gás perfeito
γ

____________________________________________________________________
140
6.12 – Expressão do trabalho num processo de escoamento estacionário
reversível
Tanto o trabalho como as quantidades de calor dependem do “percurso” da
transformação assim como das propriedades dos estados inicial e final. No 3º
capítulo estudámos que o trabalho realizado por um sistema fechado num processo
reversível (quase-estático) era calculado por ∫=
2
1
PdVW .
Mencionámos nessa altura que este trabalho era máximo para as transformações em
que o sistema fornecia trabalho ao exterior e mínimo nas transformações em que o
sistema consumia trabalho. Seria desejável arranjar uma equação semelhante à
anterior que permitisse determinar o trabalho nas transformações em que um fluido
passa por um processo de escoamento estacionário reversível.
A equação que traduz a conservação de energia num processo de escoamento
estacionário internamente reversível pode escrever-se na forma diferencial como se
segue:
pcrevrev dededhwdqd ++=− ''
mas
vdPdhqd
vdPdhTds
Tdsqd
rev
rev
−=



−=
=
'
'
Substituindo na equação anterior, verifica-se que desaparecem os dh obtendo-se:
Pcrev dedevdPwd ++=− '
Integrando:
Pcrev eevdPw ∆−∆−−= ∫
2
1
(6.27)
Quando são desprezáveis as variações de
energia cinética e de energia potencial gravítica
esta equação simplifica-se dando:
∫−=
2
1
vdPwrev (6.28)
As equações 6.27 e 6.28 aplicam-se a
processos de escoamento estacionário
reversíveis e não se devem confundir com a
equação ∫=
2
1
PdVW que dá o trabalho
reversível de um sistema fechado (fig.6.19).
Figura 6.19 Expressão do trabalho para
processos de escoamento estacionário e
para sistemas fechados

____________________________________________________________________
141
Minimizar o trabalho de compressão
Atrás já se disse que o trabalho que era preciso fornecer a um sistema era mínimo
num processo reversível. Quando são desprezáveis as variações de energia cinética
e potencial, o trabalho que é preciso fornecer a um compressor, num processo de
escoamento estacionário reversível, é dado pela equação 6.28:
∫−=
2
1
vdPwrev
Obviamente uma maneira de minimizar o trabalho de compressão é aproximar o
processo real o mais possível de um processo internamente reversível, diminuindo
as irreversibilidades tais como o atrito, a turbulência, etc. e fazendo com que o
sistema não se afaste muito de estados de equilíbrio (processo quase-estático) Uma
outra maneira, mais prática, é manter o volume específico do gás o mais baixo
possível durante a compressão. Isto consegue-se mantendo a temperatura do gás o
mais baixa possível, uma vez que, para uma dada pressão, o volume de um gás é
proporcional à sua temperatura. Para compreeender melhor o efeito do
arrefecimento durante uma compressão vamos comparar os trabalhos necessários
para comprimir um gás através de três transformações de tipos diferentes:
transformação isentrópica, transformação politrópica e transformação isotérmica.
Considerando que as três transformações são
realizadas entre as mesmas pressões, inicial
P1 e final P2, representaram-se as três
transformações num mesmo diagrama P-v
(fig.6.20).
O valor absoluto do trabalho de compressão








∫
2
1
vdP é representado graficamente pela
área à esquerda da curva do processo no
plano P-v. Como se vê na figura 6.20 o
trabalho é mínimo na transformação
isotérmica, onde se mantém o gás sempre à
mesma temperatura, arrefecendo-o, e
máximo na transformação isentrópica
(adiabática), onde não se procedeu a nenhum
arrefecimento.
6.13 – Rendimentos isentrópicos de alguns dispositivos de escoamento
estacionário
Dissémos, por várias vezes, que as irreversibilidades inerentes a todas as
transformações reais têm sempre como consequência uma degradação do
desempenho dos dispositivos. Seria bom ter quaisquer parâmetros que nos
permitissem avaliar quantitativamente o grau de degradação da energia nos
dispositivos utilizados em engenharia. Isso foi avaliado, no 5º capítulo, para os
dispositivos que funcionam por ciclos, tais como máquinas térmicas e máquinas
frigoríficas, comparando os ciclos reais com os ciclos ideais, como o ciclo de
Carnot.
Fig. 6.20 – Transformações
isentrópica, politrópica e isotérmica
entre os mesmos limites de pressão

____________________________________________________________________
142
Vamos, agora, ver como se analisam os comportamentos de vários tipos de
dispositivos que obedecem às condições de escoamento estacionário, como turbinas,
compressores e tubeiras, quando trabalham isoladamente. Isto é, vamos analisar o
grau de degradação da energia nestes dispositivos resultante das irreversibilidades.
Mas, primeiro, temos que definir uma transformação ideal com a qual vamos
comparar as transformações reais.
Apesar de não se poder evitar algumas trocas de calor entre estes dispositivos e o
meio envolvente (vizinhança) durante o seu funcionamento, a maioria podem
considerar-se adiabáticos. Por isso, a transformação que vai servir de modelo a estes
processos deve ser adiabática. Além disso, na transformação modelo, não devem
ocorrer irreversibilidades, pois estas degradam sempre o desempenho dos
dispositivos usados em engenharia. Por isso o processo ideal que serve de modelo
adequado para a maioria dos dispositivos de escoamento estacionário é um processo
isentrópico.
Quanto mais se aproximar o processo real do processo ideal, isentrópico, melhor
será o desempenho do dispositivo. Então seria bom ter um parâmetro que exprima
quantitativamente quanto o dispositivo real se aproxima do modelo ideal. Este
parâmetro é o rendimento isentrópico ou adiabático, que é uma medida de quanto
os processos reais se desviam dos correspondentes processos ideais.
Os rendimentos isentrópicos são definidos de maneiras diferentes para os vários
dispositivos. Á frente vamos definir os rendimentos isentrópicos de turbinas,
compressores (ou bombas) e tubeiras, comparando os desempenhos reais destes
dispositivos com os seus desempenhos em processos isentrópicos, com o mesmo
estado de entrada no dispositivo (inicial) e a mesma pressão de saída (final).
6.13.1 – Rendimento isentrópico de turbinas
Para uma turbina a funcionar em regime estacionário, o estado de entrada do fluido
de trabalho e a pressão de saída são fixadas. Portanto, o processo ideal para uma
turbina adiabática é um processo isentrópico entre o estado de entrada e a pressão de
saída. O que se pretende da turbina é o trabalho que produz e o rendimento
isentrópico ou adiabático da turbina é definido como a razão entre o trabalho real
da turbina e o trabalho que seria conseguido se o processo entre o mesmo estado
à entrada e a mesma pressão de saída tivesse sido isentrópico:
s
T
w
w
oisentrópictrabalho
realtrabalho
==
.
.
η (6.29)
Geralmente as variações de energia cinética e de energia potencial associadas com o
escoamento de um fluido através de uma turbina são pequenas, quando comparadas
com a variação de entalpia, e podem desprezar-se. Então, o trabalho produzido por
uma turbina adiabática é apenas a queda de entalpia, como se viu no 4º capítulo, e a
relação anterior pode tomar a seguinte forma:
s
T
hh
hh
21
21
−
−
≅η (6.30)
onde h2 e h2s são os valores da entalpia para o estado real e ideal de saída da turbina.
Os processos, real e isentrópico, numa turbina estão representados na figura 6.21.

____________________________________________________________________
143
O valor de ηT depende da configuração das componentes individuais que constituem
a turbina. Uma turbina grande, bem projectada, pode ter rendimentos superiores a
90%. Para as turbinas pequenas, contudo, este rendimento pode cair até abaixo de
70%.
Fig.6.21-O diagrama h-s para os processos, real
e isentrópico, numa turbina adiabática.
6.13.2 – Rendimento isentrópico de compressores e de bombas
O rendimento isentrópico de um compressor é definido como a razão entre o
trabalho que seria preciso fornecer ao compressor para aumentar a pressão do
gás até um dado valor num processo isentrópico e o trabalho que é preciso
fornecer ao compressor no processo real:
w
w
realtrabalho
oisentrópictrabalho s
C ==
..
..
η (6.31)
Note-se que na definição de rendimento isentrópico do compressor aparece o
trabalho isentrópico no numerador da fracção em vez de aparecer no denominador.
Isto deve-se ao facto do trabalho isentrópico ws ser menor que o trabalho real w.
Repare-se, também, que as condições de entrada e a pressão de saída do gás são as
mesmas no processo isentrópico e no processo real.
Quando as variações das energias, cinética e potencial do gás que está a ser
comprimido, são desprezáveis o trabalho fornecido a um compressor adiabático fica
igual à variação de entalpia, e a equação 6.31 toma, neste caso, a forma:
12
12
hh
hh s
C
−
−
≅η (6.32)
onde h2 e h2s são os valores da entalpia no estado de saída para os processos de
compressão, real e isentrópico, respectivamente, como se mostra na figura 6.22.
Mais uma vez o valor de ηC depende da configuração do compressor. Compressores
bem projectados têm rendimentos isentrópicos compreendidos entre 75 e 85%.
A definição dada acima é, também, válida para bombas de líquidos
Quando não se faz nenhuma tentativa para arrefecer o gás durante a compressão o
processo real é praticamente adiabático e o processo isentrópico é o modelo
adequado. Mas, como atrás se viu, algumas vezes os compressores são arrefecidos

____________________________________________________________________
144
intencionalmente para diminuir o trabalho de compressão (fig.6.23). Neste caso o
processo isentrópico já não é o modelo adequado uma vez que o processo real não é
adiabático e o rendimento isentrópico do compressor deixa de ter significado. O
modelo que deve ser usado neste caso é um processo isotérmico reversível. Então
podemos definir um rendimento isotérmico comparando o processo real com o
processo isotérmico reversível:
w
wt
C =η
onde wt e w são os trabalhos nos processos isotérmico reversível e real,
respectivamente.
6.13.3 – Rendimento isentrópico de tubeiras
As tubeiras são dispositivos adiabáticos utilizados para acelerar um fluido. Então, o
processo isentrópico é o modelo adequado para as tubeiras. O rendimento
isentrópico de uma tubeira é definido como a razão entre a energia cinética do
fluido à saída da tubeira e o valor que teria a energia cinética para um processo
isentrópico na tubeira com o mesmo estado de entrada e a mesma pressão de
saída. Isto é:
2
2
2
2
...
..
s
real
C
C
Tb
C
C
saídaàaisentrópicE
saídaàrealE
==η (6.33)
Nas tubeiras não há trabalho e as variações de energia potencial do fluido são
desprezáveis. Se, ao mesmo tempo, a velocidade de entrada fôr pequena
relativamente à de saída, a equação de energia do escoamento estacionário reduz-se
a:
2
0
0
2
2
12
−
+−=
C
hh
Então o rendimento isentrópico da tubeira pode exprimir-se em função das
entalpias:
s
Tb
hh
hh
21
21
−
−
≅η (6.34)
Fig.6.22 – O diagrama h-s para os processos
real e isentrópico de um compressor adiabático
Fig.6.23- Os compressores são, às
vezes, arrefecidos para diminuir o
trabalho de compressão

____________________________________________________________________
145
Leituras recomendadas:
Çengel Yunus A., Boles Michael A. – Thermodynamics An
Engineering Aproach, cap. VI – 2nd
ed. – McGraw-Hill, Inc. - 1994
Moran Michael J. Shapiro Howard N., - Fundamentals of Engineering
Thermodynamics, cap. VI – 2nd
ed. S.I. version – John Wiley & Sons, Inc. –
1993.
ENUNCIADOS DE PROBLEMAS
Capítulo VI
6.1 – Durante uma transformação de um sistema fechado o trabalho fornecido ao
sistema foi 20 kJ e a quantidade de calor transferida do sistema para o meio exterior
foi 30 kJ.
a) Se a transformação fôr reversível a variação de entropia do sistema foi positiva,
negativa, nula, ou não se pode saber?
b) Se a transformação fôr irreversível o que se pode dizer acerca da variação de
entropia do sistema ? Justifique a resposta.
6.2 – Um sistema vai passar por uma transformação entre dois determinados
estados, primeiro duma maneira reversível e depois duma maneira irreversível. Para
que caso é maior a variação de entropia? Porquê?
6.3 – Vapor de água expande-se, reversível e adiabaticamente, numa tubeira desde 6
MPa e 360 ºC até 150 kPa. Clacule a velocidade de saída se a velocidade de entrada
fôr muito pequena.
R: 1185 m/s
6.4 – Vapor de água expande-se dentro dum dispositivo cilindro-êmbolo, numa
transformação isotérmica reversível, desde 700 kPa e 200ºC até 300 kPa. Calcule a
quantidade de calor fornecida à água e o trabalho realizado (por kg de vapor).R:
q=199 kJ.kg-1
; w=183 kJ.kg-1
6.5 – Vapor de água entra numa turbina a 8,0 MPa e 560ºC e deixa-a à pressão
atmosférica (1 bar). A expansão é reversível e adiabática. Calcule o caudal de vapor
(kg/s) necessário para a turbina produzir uma potência de 500 MW.
R: 499 kg/s
6.6 – Um bloco de alumínio de 20 kg, a 200ºC, é posto em contacto com um bloco
de ferro de 20 kg, a 100ºC. Isolam-se os blocos do meio exterior. Determine:
a) a temperatura quando os blocos atingem o equilíbrio térmico;
b) a variação de entropia neste processo.
DADOS: c(Al)=0,900 kJ.kg-1
.K-1
; c(Fe)=0,450 kJ.kg-1
.K-1
R: (a) 166,7ºC; (b) 0,166 kJ.K-1
6.7 – Um grupo de estudantes está a analisar o escoamento de ar através de uma
conduta horizontal, bem isolada. Uma parte do grupo determinou a pressão, a
temperatura e a velocidade do ar num local A da conduta e obteve os seguintes
resultados: 0,95 bar, 67ºC e 75 m/s. Outra parte do grupo determinou noutro local B
da conduta os valores: 0,8 bar, 22ºC e 310 m/s. Os estudantes esqueceram-se de
anotar o sentido do escoamento. Poderá dizer em que sentido se deu? Justifique a

____________________________________________________________________
146
resposta. Considere o ar um gás perfeito com calores específicos constantes e
r(ar)=287 J.kg-1
.K-1
e cp(ar)=1005 J.kg-1
.K-1
6.8 – No interior de um cilindro com um êmbolo móvel estão encerrados 1,2 kg de
azoto a 120 kPa e 27ºC. O gás comprime-se lentamente, num processo politrópico
reversível, durante o qual PV1,3
= const. O processo termina quando o volume se
reduz a metade. Determine a variação de entropia do azoto neste processo.
Considere o azoto um gás perfeito com calores específicos constantes sendo
cp=1,039 kJ.kg-1
.K-1
e M=28 kg.kmol-1
R: -0,0619 kJ/K
6.9 – Um dispositivo cilindro-êmbolo contem inicialmente 300 L de ar a 120kPa e
17ºC. O ar é então aquecido durante 15 min por uma resistência de 200 W colocada
dentro do cilindro. A pressão do ar mantem-se constante durante o processo.
Determine a variação de entropia do ar considerando:
a) os calores específicos constantes;
b) os calores específicos variáveis, usando as tabelas do ar.
R: (a) 385 J/K; (b) 386,8 J/K
6.10 –Comprime-se ar contido num dispositivo cilindro-êmbolo desde 100kPa e
17ºC até 800 kPa, num processo adiabático reversível. Determine a temperatura
final e o trabalho realizado neste processo, considerando:
a) constantes os calores específicos do ar;
b) os calores específicos do ar variáveis e utilizando as tabelas para o ar.
R: (a) 525,3 K; 171,1 kJ/kg; (b) 522,4 K; 169,3 kJ/kg
6.11 – Ar entra numa tubeira adiabática a 400kPa, 247ºC e 60m/s e sai a 80 kPa.
Considerando o ar como um gás perfeito com calores específicos variáveis e
desprezando quaisquer irreversibilidades determine a velocidade de saída do ar.
6.12 –Água líquida à pressão de 120 kPa entra numa bomba de 15 kW onde a sua
pressão é aumentada para 3 MPa. Se a diferença de alturas entre a entrada e a saída
da bomba fôr 10m determine o caudal máximo de água que esta bomba pode
comprimir. Despreze a variação de energia cinética da água e considere constante o
volume específico da água e igual a 0,001 m3
/kg.
6.13 –Comprime-se 0,2 m3
hélio, por segundo, desde 80 kPa e 20ºC até 600 kPa.
Determine a potência que é preciso fornecer ao compressor, considerando a
compressão: a) isentrópica; b)politrópica com n=1,2, c) isotérmica.
6.14 – Vapor de água entra numa turbina adiabática a 6 MPa, 600ºC e 80 m/s e
deixa--a a 50 kPa, 100ºC, e 140 m/s. Se a potência da turbina é 5 MW, determine :
a) o caudal mássico de vapor que atravessa a turbina e b) o rendimento isentrópico
da turbina. R: (a) 5,16 kg/s; (b) 83,7%
6.15 –Gases de combustão entram numa turbina adiabática a 1200 K, 800 kPa, e
deixam-na a 400 kPa a baixa velocidade. Considerando os gases de combustão
comportando-se como o ar, com calores específicos constantes e iguais aos valores
para 1000 K, e admitindo um rendimento isentrópico de 86%, determine o trabalho
fornecido pela turbina.
R: 188,9 kJ/kg

____________________________________________________________________
147
6.16 – Um compressor adiabático admite 1,2 m3
/s de ar a 100 kPa e 17ºC, que sai a
257ºC. O compressor tem um rendimento isentrópico de 84%. Desprezando
variações de energias cinética e potencial do ar determine:
(a) a pressão de saída ; (b) a potência fornecida ao compressor.
R: (a) 645 kPa; (b) –350,6 kW
6.17 – Comprime-se ar num compressor adiabático desde 95 kPa e 27ºC até 600 kPa
e 277ºC. Considerando variáveis os calores específicos do ar e desprezando as
variações de energia cinética e potencial determine: a) o rendimento isentrópico do
compressor; b) a temperatura de saída do ar se o processo tivesse sido reversível.
R: (a) 81,9%; (b) 505,5 K.
6.18 – Entra ar numa tubeira adiabática a 400 kPa e 547ºC a baixa velocidade e sai
com a velocidade de 290 m/s. Se o rendimento isentrópico da tubeira é 90%,
determine a temperatura de saída e a pressão do ar.
6.19 – Gases quentes de combustão entram numa tubeira de um motor de um avião
a jacto a 260 kPa, 747ºC e 80 m/s, e saiem à pressão de 85 kPa. Considerando um
rendimento isentrópico da tubeira igual a 92% e admitindo os gases de combustão
comportando-se como o ar, determine: a) a velocidade de saída do ar; b) a
temperatura de saída.
R: (a) 728,2 m/s: b) 786,3 K.
6.20 - Numa instalação de uma turbina de gás funcionando em regime estacionário,
o ar entra no compressor a 0,95 bar e 22ºC e sai a 5,7 bar. O ar passa a seguir
através de um permutador de calor antes de entrar na turbina a 1100 K, 5,7 bar.
Depois expande-se na turbina até 0,95 bar. O compressor e a turbina são adiabáticos
e são desprezáveis as variações de energia cinética e potencial do ar. Determine o
trabalho líquido fornecido por esta instalação, em kJ por kg, se:
a) o compressor e a turbina operam sem irreversibilidades;
b) se o compressor e a turbina têm rendimentos isentrópicos de 82 e 85%,
respectivamente.
6.21 – A figura mostra três dispositivos
que funcionam em regime estacionário:
uma bomba, uma caldeira e uma turbina.
A turbina fornece a potência necessária
ao funcionamento da bomba e também
fornece potência para outros dispositivos
no exterior. Supondo a bomba e a
turbina adiabáticas e ignorando possíveis
variações de energia cinética e potencial
determine, em kJ por kg de vapor :
a) o trabalho fornecido à bomba;
b) o trabalho líquido fornecido ao
exterior pela turbina;
c) a quantidade de calor fornecida na
caldeira.

Termodinâmica Capítulo 6 Entropia

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Destaque

Destaque (20)

Semelhante a Termodinâmica Capítulo 6 Entropia

Semelhante a Termodinâmica Capítulo 6 Entropia (20)

Último

Último (20)

Termodinâmica Capítulo 6 Entropia