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Aula 07 derivadas parciais. 3

arivaldo

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Prof. Msc. Arivaldo Carvalho. Página 1
AULA 07 – DERIVADAS PARCIAIS.
O cálculo de várias variáveis é semelhante ao cálculo de uma variável
aplicada a várias variáveis, uma de cada vez. Quando fixamos todas as
variáveis independentes de uma função – menos uma – e derivamos em
relação a essa variável, obtemos uma derivada “parcial”.
 Derivadas parciais de uma função de duas variáveis
Definimos a derivada parcial de f em relação à x no ponto ( ) como
a derivada ordinária de ( ) em relação à x no ponto . Para distinguir
as derivadas parciais das derivadas ordinárias, utilizamos o símbolo no lugar
da letra empregada anteriormente.
A derivada parcial em relação à x, o valor de y se mantém constante em
, portanto y não é uma variável. A derivada parcial ⁄ em ( ) fornece
a taxa de variação de f em relação à x quando y é mantido fixo no valor .
Definição: A derivada parcial de ( ) em relação a x no ponto ( ) é
|
( ) ( )
desde que o limite exista.
A definição da derivada parcial de ( ) com relação a y em um ponto
( ) é semelhante à definição da derivada parcial de f com relação a x.
Mantemos fixo no valor e tomamos a derivada ordinária de ( ) com
relação a y em .
Definição: A derivada parcial de ( ) em relação a y no ponto ( ) é
|
( ) ( )
desde que o limite exista.
 Notações utilizadas na derivada parcial
( ) ( ) | .
Prof. Msc. Arivaldo Carvalho. Página 2
As definições de ⁄⁄ fornecem duas maneiras diferentes de
derivar f em um ponto: em relação a x, da maneira usual, tratando y como
uma constante e, em relação a y, da maneira usual, tratando x como uma
constante.
Observação: As regras de derivação utilizadas nas derivadas ordinárias
são as mesmas nas derivadas parciais.
Exemplo: Encontre os valores ⁄⁄ no ponto ( ) se ( )
.
( ) ( )
( )
Exemplo: Encontre como se ( ) .
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
Exemplo: Encontre da equação .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Prof. Msc. Arivaldo Carvalho. Página 3
Exemplo: Se forem variáveis independentes e ( )
( ) Calcule .
[ ( )] [ ( )] ( ) ( )
 Derivadas parciais de segunda ordem.
As derivadas parciais de segunda ordem são produzidas quando
derivamos a função ( ) duas vezes. Elas são denotadas:
TEOREMA: Teorema das derivadas mistas.
Se ( ) e suas derivadas parciais forem definidas por toda
a região aberta contendo um ponto ( ) e todas forem contínuas em ( ),
então:
( ) ( )
Exemplo: Encontre as derivadas parciais de segunda ordem da função
( ) .
 Derivadas parciais de ordem superior
Apesar de lidarmos na maioria das vezes com derivadas parciais de
primeira e segunda ordem, por elas aparecerem com maior frequência em
aplicações, não significa que não podemos derivar em ordem superior. Assim,
Prof. Msc. Arivaldo Carvalho. Página 4
obtemos derivadas de terceira e quarta ordens, que denotamos por símbolos
como.
Exemplo: Encontre se ( ) .
PÓS-AULA
1) Encontre as derivadas parciais de primeira ordem.
a) ( )
b) ( )
c) ( ) √
d) ( ) ( )
e) ( ) ( )
f) ( ) ( )⁄
2) Encontre as derivadas parciais de segunda ordem.
a) ( )
b) ( )
c) ( ) ( )
d) ( ) ( )
3) Seja ( ) . Encontre o coeficiente angular da reta tangente
a essa superfície no ponto (2,-1) que está no: a)plano x=2 b) plano y=-1.
4) Determine as derivadas parciais indicadas:
a) ( ) .
b) ( ) ( )
5) Determine as derivadas parciais das funções nos pontos indicados:
a) ( ) ( ).
b) ( ) ( ).
c) ( ) √ ( ).

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  • 1. Prof. Msc. Arivaldo Carvalho. Página 1 AULA 07 – DERIVADAS PARCIAIS. O cálculo de várias variáveis é semelhante ao cálculo de uma variável aplicada a várias variáveis, uma de cada vez. Quando fixamos todas as variáveis independentes de uma função – menos uma – e derivamos em relação a essa variável, obtemos uma derivada “parcial”.  Derivadas parciais de uma função de duas variáveis Definimos a derivada parcial de f em relação à x no ponto ( ) como a derivada ordinária de ( ) em relação à x no ponto . Para distinguir as derivadas parciais das derivadas ordinárias, utilizamos o símbolo no lugar da letra empregada anteriormente. A derivada parcial em relação à x, o valor de y se mantém constante em , portanto y não é uma variável. A derivada parcial ⁄ em ( ) fornece a taxa de variação de f em relação à x quando y é mantido fixo no valor . Definição: A derivada parcial de ( ) em relação a x no ponto ( ) é | ( ) ( ) desde que o limite exista. A definição da derivada parcial de ( ) com relação a y em um ponto ( ) é semelhante à definição da derivada parcial de f com relação a x. Mantemos fixo no valor e tomamos a derivada ordinária de ( ) com relação a y em . Definição: A derivada parcial de ( ) em relação a y no ponto ( ) é | ( ) ( ) desde que o limite exista.  Notações utilizadas na derivada parcial ( ) ( ) | .
  • 2. Prof. Msc. Arivaldo Carvalho. Página 2 As definições de ⁄⁄ fornecem duas maneiras diferentes de derivar f em um ponto: em relação a x, da maneira usual, tratando y como uma constante e, em relação a y, da maneira usual, tratando x como uma constante. Observação: As regras de derivação utilizadas nas derivadas ordinárias são as mesmas nas derivadas parciais. Exemplo: Encontre os valores ⁄⁄ no ponto ( ) se ( ) . ( ) ( ) ( ) Exemplo: Encontre como se ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Exemplo: Encontre da equação . ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
  • 3. Prof. Msc. Arivaldo Carvalho. Página 3 Exemplo: Se forem variáveis independentes e ( ) ( ) Calcule . [ ( )] [ ( )] ( ) ( )  Derivadas parciais de segunda ordem. As derivadas parciais de segunda ordem são produzidas quando derivamos a função ( ) duas vezes. Elas são denotadas: TEOREMA: Teorema das derivadas mistas. Se ( ) e suas derivadas parciais forem definidas por toda a região aberta contendo um ponto ( ) e todas forem contínuas em ( ), então: ( ) ( ) Exemplo: Encontre as derivadas parciais de segunda ordem da função ( ) .  Derivadas parciais de ordem superior Apesar de lidarmos na maioria das vezes com derivadas parciais de primeira e segunda ordem, por elas aparecerem com maior frequência em aplicações, não significa que não podemos derivar em ordem superior. Assim,
  • 4. Prof. Msc. Arivaldo Carvalho. Página 4 obtemos derivadas de terceira e quarta ordens, que denotamos por símbolos como. Exemplo: Encontre se ( ) . PÓS-AULA 1) Encontre as derivadas parciais de primeira ordem. a) ( ) b) ( ) c) ( ) √ d) ( ) ( ) e) ( ) ( ) f) ( ) ( )⁄ 2) Encontre as derivadas parciais de segunda ordem. a) ( ) b) ( ) c) ( ) ( ) d) ( ) ( ) 3) Seja ( ) . Encontre o coeficiente angular da reta tangente a essa superfície no ponto (2,-1) que está no: a)plano x=2 b) plano y=-1. 4) Determine as derivadas parciais indicadas: a) ( ) . b) ( ) ( ) 5) Determine as derivadas parciais das funções nos pontos indicados: a) ( ) ( ). b) ( ) ( ). c) ( ) √ ( ).