Equações i

1. 77
1. Considera a equação: x2
– 4x + 3 = 0.
Qual das seguintes equações é equivalente à equação dada?
(A) 2(x – 1) (x – 3) = 0
(B) x(x – 4) – 3 = 0
(C) (x + 1) (x + 3) = 0
(D) (x – 2)2
= 3
2. Resolve cada uma das seguintes equações:
2.1.  
1
3 2 3 0
2
x x
 
 
 
  
2.2.
2
2
3 0
7
a
 
 
 
 
2.3. 2
1
3
4
t t
 
2.4. 2
63 7x

2.5. 2
6 5
x x
 
2.6.  
2 1
2 1
2
x  
3. A figura seguinte é formada por três quadrados.
3.1. Mostra que a área da figura é dada pela expressão:
A = 3x2
+ 6x + 5
3.2. Determina o perímetro da figura sabendo que a área é igual a 365 cm2
.
Apresenta os cálculos que efetuares.

2. 4. Considera a equação:
(x – 3)2
– (x – 3) (x + 2) = 0
Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
(A) É uma equação do segundo grau completa.
(B) – 1 é uma solução da equação.
(C) É uma equação do 1.º grau.
(D) É uma equação impossível.
5. Para cada valor de k a equação  
2
1 0
2
k
x k x
    é uma equação do 2.º grau.
5.1. Resolve a equação para k = 1.
5.2. Para que valor de k a equação tem duas soluções distintas, sendo uma delas a
solução nula?
5.3. Mostra que não existe nenhum valor de k de modo que a equação tenha uma única
solução.
6. Se ao lado de um quadrado retirarmos 5 cm a sua área diminui 75%.
Qual é a área do quadrado inicial?
7. Na quinta da Joana há um terreno retangular onde
fica presa uma ovelha para não comer as culturas
envolventes.
O retângulo tem 120 m2
de área e de perímetro 44.
Qual é a largura do retângulo?
Mostra como obtiveste a tua resposta.

3. Proposta de resolução:
1.    2 2 2
2 1 3 0 2 6 2 6 0 2 8 6 0 4 3 0
x x x x x x x x x
               
  2
4 3 0 4 3 0
x x x x
      
   2 2
1 3 0 3 3 0 4 3 0
x x x x x x x
           
 
2 2 2
2 3 4 4 3 0 4 1 0
x x x x x
          
Resposta: A opção correta é (A).
2.1.  
1
3 2 3 0
2
x x
 
  
 
 
1
2 3 0
2
x x
    
1 3
2 2
x x
    
3 1
;
2 2
S
 
 
 
 
2.2.
2
2
3 0
7
a
 
 
 
 
2
3 0
7
a
  
2
3
7
a
 
21
2
a
 
21
2
S
 
  
 
2.3. 2
1
3
4
t t
  2 1
3 0
4
t t
  
1
3 0
4
t t
 
  
 
 
1
0 3 0
4
t t
    
1
0 3
4
t t
    
12
1
0 



 t
t







 0
;
12
1
S
2.4. 2
63 7x
 2 63
7
x
  2
9
x
  9
x
   3 3
x x
    
 
3;3
S  
2.5. 2
6 5
x x
  2
6 5 0
x x
   
     
2
6 6 4 1 5
2
x
       
 
6 56
2
x

 
6 2 14
2
x

 
3 14 3 14
x x
       
3 14;3 14
S   
2.6.  
2 1
2 1
2
x    
2 1
1
4
x
  
1 1
1 1
2 2
x x
      
1 1
1 1
2 2
x x
      
1 3
2 2
x x
   
1 3
;
2 2
S
 
  
 
3.1.    
2 2 2
2 1
A x x x
     2 2 2
4 4 2 1
x x x x x
       2
3 6 5
x x
   c. q. m.
3.2. 












 0
120
2
0
360
6
3
365
5
6
3
365 2
2
2
x
x
x
x
x
x
A
 
1
2
120
1
4
2
2 2








 x
10
12
2
22
2
2
484
2












 x
x
x
x
4.     
2
3 3 2 0
x x x
     0
15
5
0
6
3
2
9
6 2
2











 x
x
x
x
x
x
Como x > 0, x = 10.
   
3 2 2 1 3 1 1 8 10
P x x x x
        
x = 10
P = 8 × 10 + 10 = 90
Resposta: O perímetro pedido é 90 cm. A opção correta é a (C).

4. 5.1. k = 1
 
2 2
1 1 1
1 1 0
2 2 2
x x x x
       












2
1
,
2
1
S
5.2. Para que uma das soluções seja 0, 0 0
2
k
k
  
Neste caso, teríamos:  
2
0 1 0 0 1
x x x x x x
        
Resposta: k = 0
5.3. A equação teria solução se:
 
2
0 1 4 1 0
2
k
k
 
         
 
 
2 2 2
2 1 2 0 1 0 1
k k k k k
         
Equação impossível.
Logo, a equação não pode ter uma única solução. c. q. m.
6.  
2 2
5 0,25
x x
   2
2
25
,
0
25
10 x
x
x 

  0
25
10
75
,
0 2


 x
x

   
2
10 10 4 0,75 25
2 0,75
x
      



10 25
1
,5
x



10 5 10 5
1,5 1,5
x x
 
   
5 15
1,5 1,5
x x
   
5
10
3
2
x x
  

10
10
3
x x
  
Como x > 0, x = 10.
A = 102
= 100
Resposta: A área do quadrado inicial é 100 cm2
.
7.
2
120
120m
2 2 44
44m
c L
A
c L
P
  
 

 
 
 

120
240
120 2 44
2 2 44
c
L
L
L L
L

       
 

 
 
 
 
 
   


2
240 2 44 0
L L
   2
22 120 0
L L
   
   
2
22 22 4 120
2
L
     
 
22 4
2
L

 
22 2
2
L

  10 12
L L
   
Se L = 10, 12
10
120


C .
Se L = 12, 10
12
120


C .
Resposta: O retângulo tem 10 metros de largura.