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O ESTUDO DAS PIRÂMIDES
INSTITUTO DE APLICAÇÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA (UERJ)
2ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO – PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ
A pirâmide é considerada um dos mais antigos sólidos geométricos
construídos pelo homem. Uma das mais famosas é a pirâmide de Quéops,
construída em 2.500 a.C., com 150 m de altura, aproximadamente - o que
pode ser comparado a um prédio de 50 andares.
Quando pensamos numa pirâmide, vem-nos à cabeça a imagem da
pirâmide egípcia, cuja base é um quadrado. Contudo, o conceito
geométrico de pirâmide é um pouco mais amplo: sua base pode ser
formada por qualquer polígono. As figuras abaixo representam pirâmides:
UMA DEFINIÇÃO SIMPLES:
Uma pirâmide é um sólido geométrico, cuja base é um polígono e cujas faces
laterais são triângulos que possuem um vértice comum.
Uma pirâmide diz-se reta, se o projeção do vértice da pirâmide coincide com o
centro da base. Uma pirâmide reta cuja base é um polígono regular diz-se uma
pirâmide regular. Quando a projeção do vértice não coincide com o centro do
polígono da base, diz-se que a pirâmide é oblíqua.
A altura da pirâmide é um segmento perpendicular à base e que passa por V
(vértice).
Uma pirâmide é regular se a base é um polígono regular e as faces laterais são
triângulos isósceles iguais. Com isso o pé da altura é o centro do polígono da
base, como mostram as figuras abaixo.
A altura de cada uma das faces laterais é denominada de apótema da
pirâmide. É evidente que, sendo a base um polígono regular, este também
tem um apótema, a que se chama apótema da base.
ÁREAS DA PIRÂMIDE
1) Pirâmide Irregular
É claro que se uma pirâmide for irregular, a sua área lateral será igual à soma
das áreas de todos os triângulos que são as suas faces laterais. Nesse caso a
área total será igual à soma da área lateral mais a área da base.
2) Pirâmide Regular
Para as pirâmides regulares, como todos os triângulos que formam as faces
laterais são isósceles e congruentes, podemos obter uma fórmula para o
cálculo da área lateral.
1) Área de uma das faces laterais:
2
m.a
A =
2) Área lateral: (lembre-se que são n faces iguais)
2
m.a
.nAl = m.pAl =
Na fórmula da área lateral, p representa o semi-perímetro da base e m é o
apótema da pirâmide regular.
2) Área Total:
A área total, como é a soma da área lateral com a área da base, será igual a:
Bm.pAt +=
O VOLUME DE UMA PIRÂMIDE
VOLUME DO PRISMA= B . H
VOLUME DA PIRÂMIDE = B . H
3
MAS SERÁ QUE TAL FÓRMULA SÓ VALE NAS PIRÂMIDES DE BASES
TRIANGULARES?
Note que o prisma de bases triangulares
pode ser subdividido em três pirâmides de
mesmo volume. Dessa forma, o volume de
cada uma delas é igual à 1/3 do volume do
prisma.
Podemos, por exemplo, imaginar um cubo (prisma) subdividido em 6 pirâmides
de base quadrada. Cada face do cubo é a base de uma dessas pirâmides. O
centro do cubo é o vértice de todas as pirâmides. Percebemos ainda que a
altura do cubo (sua própria aresta) é igual ao dobro da altura de uma das
pirâmides (h), ou seja H = a = 2 h.
Sabemos que o volume do cubo (a3
) pode ser também ser representado por
B . H, onde B representa a área de sua base e H representa a sua altura.
Notamos também que a base de uma das pirâmides é igual à base do cubo.
O volume de uma dessas pirâmides é igual ao volume do cubo, dividido por 6,
logo:
3
h.B
V
aindaou
6
2h.B
V
ou
6
H.B
V
=
=
=
OBS: No caso de uma pirâmide de base qualquer, podemos imaginar a sua
base subdividida em n triângulos e a pirâmide, repartida em n pirâmides
triangulares. Logo, o volume da pirâmide será igual à soma dos volumes
dessas n pirâmides. Isso acarretará que o volume de QUALQUER pirâmide
possa ser calculado como:
3
h.B
V =

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  • 1. O ESTUDO DAS PIRÂMIDES INSTITUTO DE APLICAÇÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA (UERJ) 2ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO – PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ
  • 2. A pirâmide é considerada um dos mais antigos sólidos geométricos construídos pelo homem. Uma das mais famosas é a pirâmide de Quéops, construída em 2.500 a.C., com 150 m de altura, aproximadamente - o que pode ser comparado a um prédio de 50 andares. Quando pensamos numa pirâmide, vem-nos à cabeça a imagem da pirâmide egípcia, cuja base é um quadrado. Contudo, o conceito geométrico de pirâmide é um pouco mais amplo: sua base pode ser formada por qualquer polígono. As figuras abaixo representam pirâmides:
  • 3. UMA DEFINIÇÃO SIMPLES: Uma pirâmide é um sólido geométrico, cuja base é um polígono e cujas faces laterais são triângulos que possuem um vértice comum.
  • 4. Uma pirâmide diz-se reta, se o projeção do vértice da pirâmide coincide com o centro da base. Uma pirâmide reta cuja base é um polígono regular diz-se uma pirâmide regular. Quando a projeção do vértice não coincide com o centro do polígono da base, diz-se que a pirâmide é oblíqua.
  • 5. A altura da pirâmide é um segmento perpendicular à base e que passa por V (vértice). Uma pirâmide é regular se a base é um polígono regular e as faces laterais são triângulos isósceles iguais. Com isso o pé da altura é o centro do polígono da base, como mostram as figuras abaixo.
  • 6. A altura de cada uma das faces laterais é denominada de apótema da pirâmide. É evidente que, sendo a base um polígono regular, este também tem um apótema, a que se chama apótema da base.
  • 7. ÁREAS DA PIRÂMIDE 1) Pirâmide Irregular É claro que se uma pirâmide for irregular, a sua área lateral será igual à soma das áreas de todos os triângulos que são as suas faces laterais. Nesse caso a área total será igual à soma da área lateral mais a área da base. 2) Pirâmide Regular Para as pirâmides regulares, como todos os triângulos que formam as faces laterais são isósceles e congruentes, podemos obter uma fórmula para o cálculo da área lateral. 1) Área de uma das faces laterais: 2 m.a A = 2) Área lateral: (lembre-se que são n faces iguais) 2 m.a .nAl = m.pAl =
  • 8. Na fórmula da área lateral, p representa o semi-perímetro da base e m é o apótema da pirâmide regular. 2) Área Total: A área total, como é a soma da área lateral com a área da base, será igual a: Bm.pAt +=
  • 9. O VOLUME DE UMA PIRÂMIDE VOLUME DO PRISMA= B . H VOLUME DA PIRÂMIDE = B . H 3 MAS SERÁ QUE TAL FÓRMULA SÓ VALE NAS PIRÂMIDES DE BASES TRIANGULARES?
  • 10. Note que o prisma de bases triangulares pode ser subdividido em três pirâmides de mesmo volume. Dessa forma, o volume de cada uma delas é igual à 1/3 do volume do prisma.
  • 11. Podemos, por exemplo, imaginar um cubo (prisma) subdividido em 6 pirâmides de base quadrada. Cada face do cubo é a base de uma dessas pirâmides. O centro do cubo é o vértice de todas as pirâmides. Percebemos ainda que a altura do cubo (sua própria aresta) é igual ao dobro da altura de uma das pirâmides (h), ou seja H = a = 2 h. Sabemos que o volume do cubo (a3 ) pode ser também ser representado por B . H, onde B representa a área de sua base e H representa a sua altura. Notamos também que a base de uma das pirâmides é igual à base do cubo.
  • 12. O volume de uma dessas pirâmides é igual ao volume do cubo, dividido por 6, logo: 3 h.B V aindaou 6 2h.B V ou 6 H.B V = = = OBS: No caso de uma pirâmide de base qualquer, podemos imaginar a sua base subdividida em n triângulos e a pirâmide, repartida em n pirâmides triangulares. Logo, o volume da pirâmide será igual à soma dos volumes dessas n pirâmides. Isso acarretará que o volume de QUALQUER pirâmide possa ser calculado como: 3 h.B V =