Regressão - aula 01/04

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Regressão - aula 01/04

  1. 1. Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de SáNatureza da Análise de Regressão:regressãoConceitos da Introduçãoregressão(população)Conceitos daregressão Rodrigo de Sá(amostra)EstimaçãoHipóteses Fundação de Economia e Estatística, 2011
  2. 2. Livro texto Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de SáNatureza daregressãoConceitos da Damodar Gujaratiregressão(população) Econometria BásicaConceitos da 3ª ed. 2005.regressão(amostra)EstimaçãoHipóteses
  3. 3. Interpretação da regressão Análise de Regressão: Introdução Variável DEPENDENTE: a variável que se quer explicar. Rodrigo de Sá Arrecadação.Natureza daregressão Variáveis EXPLICATIVAS: as variáveis utilizadas paraConceitos da explicar a variável dependente.regressão(população) Renda, consumo, taxa de juros, etc.Conceitos daregressão OBJETIVO: estimar/prever o VALOR MÉDIO da(amostra) dependente em termos dos valores conhecidos das variáveisEstimaçãoHipóteses explicativas. O resultado é a ESPERANÇA CONDICIONAL da variável DEPENDENTE dada as (realizações) das variáveis EXPLICATIVAS.
  4. 4. Exemplo 1 - Alturas Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Para cada país, região, etc., pode-se calcular uma Sá ALTURA MÉDIA.Natureza daregressão Também pode-se comparar a altura média de dois paísesConceitos da (A é maior do que B ou não se pode armar que sãoregressão(população) estatisticamente diferentes?) usando um teste de diferençaConceitos da de médias.regressão(amostra)EstimaçãoHipóteses
  5. 5. Exemplo 1 - Alturas Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Para cada país, região, etc., pode-se calcular uma Sá ALTURA MÉDIA.Natureza daregressão Também pode-se comparar a altura média de dois paísesConceitos da (A é maior do que B ou não se pode armar que sãoregressão(população) estatisticamente diferentes?) usando um teste de diferençaConceitos da de médias.regressão(amostra)Estimação Mas pode-se ir além: Pode-se calcular a ALTURA MÉDIAHipóteses de um determinado grupo da população de um pais, por exemplo, qual é a altura média dos lhos de país que medem 1,83cm?
  6. 6. Exemplo 1 - Alturas Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de SáNatureza daregressãoConceitos daregressão(população)Conceitos daregressão(amostra)EstimaçãoHipóteses Figura: Altura dos lhos correspondentes a dadas alturas dos pais
  7. 7. Exemplo 2 - Inação versus desemprego Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de SáNatureza daregressãoConceitos daregressão(população)Conceitos daregressão(amostra)EstimaçãoHipóteses Figura: Curva de Phillips hipotética
  8. 8. Relações estatísticas versus deterministas Análise de Regressão: Introdução Nas RELAÇÕES ESTATÍSTICAS lidamos com variáveis Rodrigo de ALEATÓRIAS (ou ESTOCÁSTICAS), ou seja, aquelas que Sá têm distribuição de probabilidade.Natureza daregressão Mesmo se conhecermos a renda, taxa de impostos, etc. deConceitos da um consumidor, podemos apenas ESTIMAR qual será oregressão seu gasto, E (C |W , τ ) = f (W , τ ).(população)Conceitos da Nas RELAÇÕES DETERMINISTAS (ou FUNCIONAIS)regressão(amostra) podemos calcular exatamente o valor da variávelEstimação dependente.Hipóteses Conhecendo a massa de dois corpos e a distância entre eles, podemos calcular a força de atração entre elas, F = k mdm2 . 1 2 Mas mesmo na Física existem áreas onde as relações não são determinísticas, como a Física Quântica!
  9. 9. Regressão versus causação Análise de Regressão: Introdução Um agrônomo pode estar interessado em estudar a Rodrigo de Sá dependência do rendimento da colheita de trigo em relaçãoNatureza da à temperatura, chuva e quantidade de fertilizantes.regressão Porém, sem uma teoria, a regressão sozinha não dá razãoConceitos daregressão estatística para supor que a precipitação de chuva não(população) dependa do rendimento da colheita.Conceitos daregressão(amostra) Sabemos, pelo bom senso, que a altura dos lhos dependeEstimação da altura dos país, e não o contrário! Os lhos nascemHipóteses depois dos pais.
  10. 10. Regressão versus causação Análise de Regressão: Introdução Um agrônomo pode estar interessado em estudar a Rodrigo de Sá dependência do rendimento da colheita de trigo em relaçãoNatureza da à temperatura, chuva e quantidade de fertilizantes.regressão Porém, sem uma teoria, a regressão sozinha não dá razãoConceitos daregressão estatística para supor que a precipitação de chuva não(população) dependa do rendimento da colheita.Conceitos daregressão(amostra) Sabemos, pelo bom senso, que a altura dos lhos dependeEstimação da altura dos país, e não o contrário! Os lhos nascemHipóteses depois dos pais. Mas e a inação e o desemprego? Qual variável determina qual?
  11. 11. Regressão versus correlação Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de São relacionadas, porém apresentam diferenças. Sá Na análise de CORRELAÇÃO estamos interessados noNatureza da grau de associação entre duas variáveis.regressãoConceitos da Na análise de REGRESSÃO estamos interessados emregressão(população) prever ou estimar o valor médio de uma variável (emConceitos da função das outras variáveis do modelo).regressão(amostra) Na análise de CORRELAÇÃO tratamos as duas variáveisEstimação simetricamenteHipóteses Na análise de REGRESSÃO tratamos a variável DEPENDENTE como ESTOCÁSTICA e as variáveis EXPLICATIVAS como DETERMINADAS.
  12. 12. A natureza dos dados Análise de Regressão: DADOS DE SÉRIE TEMPORAL: um conjunto de Introdução observações dos valores que uma variável assume em Rodrigo de diferentes momentos do tempo. Sá Exemplo: arrecadação anual do RS nos anosNatureza daregressão {t = 1980, 1981, ..., 2010}.Conceitos da DADOS DE CORTE (CROSS-SECTION): dados de umaregressão(população) mesma variável coletados para vários indivíduos em umConceitos da determinado ponto do tempo.regressão(amostra) Exemplo: arrecadação anual em 2010 dos municípiosEstimação gaúchos {i = 1, 2, ..., 496}.Hipóteses DADOS COMBINADOS (DADOS DE PAINEL): observações de vários indivíduos em vários instantes do tempo. Exemplo: arrecadação anual de cada um dos municípios gaúchos de 1980 a 2010, {i = 1, ..., 496, t = 1980, ..., 2010}.
  13. 13. Exemplo 3 - Consumo X Renda Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de SáNatureza daregressãoConceitos daregressão(população)Conceitos daregressão(amostra)EstimaçãoHipóteses Figura: Consumo e renda familiar semanal (18)(37)
  14. 14. Exemplo 3 - Consumo X Renda Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de SáNatureza daregressãoConceitos daregressão(população)Conceitos daregressão(amostra)EstimaçãoHipóteses Figura: Dispersão do consumo em função da renda
  15. 15. Exemplo 3 - Consumo X Renda Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de SáNatureza daregressãoConceitos daregressão(população)Conceitos daregressão(amostra)EstimaçãoHipóteses Figura: Probabilidades condicionais do consumo
  16. 16. Exemplo 3 - Consumo X Renda Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de SáNatureza daregressãoConceitos daregressão(população)Conceitos daregressão(amostra)EstimaçãoHipóteses Figura: Reta de regressão da população
  17. 17. Função de regressão populacional (FRP) Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Pelo exemplo vemos que a média condicional de gastos de Sá cada família E (Y |X ) é uma função de X . i i Assim,Natureza daregressãoConceitos daregressão E (Y |X ) = f (X ) i i(população) E (Y |X ) = β0 + β1 X . i iConceitos daregressão(amostra)Estimação β0 e β1 são coecientes desconhecidos, porém xos,Hipóteses chamados de COEFICIENTES DE REGRESSÃO. São eles que queremos estimar. FUNÇÃO DE REGRESSÃO LINEAR DA POPULAÇÃO.
  18. 18. O signicado do termo linear Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá LINEAR NAS VARIÁVEISNatureza daregressão Exemplo: E (Y |Xi ) = β0 + β1 Xi .Conceitos daregressão LINEAR NOS PARÂMETROS(população)Conceitos da Exemplo:E (Y |Xi ) = β0 + β1 Xi2 .regressão(amostra) Exemplo: E (Y |Xi ) = β0 + β1 log Xi .Estimação NÃO LINEAR: Exemplo: E (Y |Xi ) = β0 + β1 Xi . 2Hipóteses
  19. 19. O signicado do termo linear Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de SáNatureza daregressãoConceitos daregressão(população)Conceitos daregressão(amostra)EstimaçãoHipóteses Figura: Funções lineares nos parâmetros
  20. 20. Especicação estocástica da FRP Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá Voltemos ao exemplo (11) e vejamos o consumo especícoNatureza daregressão de cada família (e não a sua média) em função da renda.Conceitos da Ele sempre aumenta?regressão(população)Conceitos daregressão(amostra)EstimaçãoHipóteses
  21. 21. Especicação estocástica da FRP Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá Voltemos ao exemplo (11) e vejamos o consumo especícoNatureza daregressão de cada família (e não a sua média) em função da renda.Conceitos da Ele sempre aumenta?regressão(população)Conceitos daregressão Podemos dizer que o consumo de uma família Y i especíca(amostra) situa-se ao redor do consumo médio de todas as famíliasEstimação com renda X = X , ou seja, em torno da sua expectativa iHipóteses condicional.
  22. 22. Especicação estocástica da FRP Análise de Regressão: Assim, podemos expressar o DESVIO de um indivíduo Y i Introdução em torno do seu valor esperado: Rodrigo de Sá u i = Y − E (Y |X ) i iNatureza daregressão Y i = E (Y |X ) + u i iConceitos da Y i = β0 + β1 X + u . i iregressão(população) Tomando o valor esperado condicional de ambos os lados:Conceitos da E (Y |X ) = E [E (Y |X ) |X ] + E (u |X )regressão(amostra) i i i i i iEstimação E (Y |X ) = E (Y |X ) + E (u |X ) i i i i iHipóteses E (u |X ) = 0. i i A hipótese de que a reta de regressão passa pela média condicional de Y implica que os valores médios condicionais do erro são zero. EM MÉDIA NÃO ERRAMOS!
  23. 23. O signicado do termo de pertubação estocástico Análise de Regressão: O DESVIO ou TERMO DE PERTURBAÇÃO Introdução ESTOCÁSTICO pode ser entendido como o componente Rodrigo de Sá assistemático substitui todas as variáveis que afetam Y que não estão no modelo. Por que não aumentar o númeroNatureza daregressão de variáveis?Conceitos da 1regressão Imprecisão da teoria.(população) 1 A Teoria Econômica pode não explicitar todas as variáveisConceitos daregressão que afetam uma outra.(amostra) 2 É certo que a renda afeta o consumo, mas quais outrasEstimação variáveis também o fazem?Hipóteses 2 Indisponibilidade de dados. 1 Mesmo que saibamos que variáveis afetam a nossa variável de interesse, pode ser que não tenhamos acesso a várias delas. 3 Variáveis essenciais versus variáveis periféricas. 1 Podemos decidir não usar algumas variáveis por
  24. 24. O signicado do termo de pertubação estocástico Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá 1 Casualidade intrínseca no comportamento humano.Natureza da 2 Variáveis proxy fracas.regressãoConceitos da 1 As variáveis utilizadas podem não ser medidas acuradas.regressão 2 Exemplo: renda permanente da função de consumo(população) proposta por Milton Friedman.Conceitos daregressão 3 Princípio da parcimônia.(amostra)Estimação 1 Seguindo a navalha de Ocan, gostaríamos de deixar oHipóteses nosso modelo de regressão tão simples quanto possível. 4 Forma funcional errada.
  25. 25. Função de regressão amostral Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de SáNatureza daregressão Mas nós não conhecemos a população!Conceitos daregressão(população) Por isso precisamos estimar a função de regressão amostralConceitos da para fazermos inferência sobre a função de regressãoregressão(amostra) populacional.EstimaçãoHipóteses
  26. 26. Exemplo 4 - Consumo X Renda Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de SáNatureza daregressãoConceitos daregressão(população)Conceitos daregressão(amostra)EstimaçãoHipóteses Figura: Amostras aleatórias
  27. 27. Exemplo 4 - Consumo X Renda Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de SáNatureza daregressãoConceitos daregressão(população)Conceitos daregressão(amostra)EstimaçãoHipóteses Figura: Retas de regressão baseadas em duas amostras diferentes
  28. 28. Função de regressão amostral estimada Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de SáNatureza daregressão Y = β0 + β1 X ˆi ˆ ˆ iConceitos daregressão(população) Y ˆ i é o estimador de E (Y |X ).iConceitos da ˆ βi é o estimador de β i.regressão(amostra) Assim:EstimaçãoHipóteses Y = β0 + β1 X + u i ˆ ˆ ˆ i i
  29. 29. Retas de regressão Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de SáNatureza daregressãoConceitos daregressão(população)Conceitos daregressão(amostra)EstimaçãoHipóteses Figura: Regras de regressão da amostra e da população
  30. 30. Exercício 1 Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá Os modelos a seguir são lineares nos parâmetros, nas variáveis, em ambos ou em nenhum?Natureza daregressãoConceitos daregressão(população)Conceitos daregressão(amostra)EstimaçãoHipóteses
  31. 31. Exercício 2 Análise de A seguinte reta de regressão é FRP ou FRA? Por que? Como Regressão: Introdução você interpretaria os pontos dispersos em torno da reta de Rodrigo de regressão? Além do PIB que outros fatores, ou variáveis, Sá poderiam determinar a despesa de consumo pessoal?Natureza daregressãoConceitos daregressão(população)Conceitos daregressão(amostra)EstimaçãoHipóteses
  32. 32. O método dos mínimos quadrados ordinários (MQO) Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá Queremos estimar Y = β0 + β1 X + u i i i através deNatureza da Y = β0 + β1 X + u = Y + u . i ˆ ˆ ˆ i ˆ iˆ i iregressão Fazemos isso minimizandoConceitos daregressão(população) 2Conceitos da u2 = ˆ i Y −Y i ˆ iregressão(amostra) 2Estimação u2 = ˆ i Y − β0 + β1 X i ˆ ˆ i .Hipóteses Resolvendo...
  33. 33. Estimador de MQO Análise de Regressão: Introdução Estimador da inclinação Rodrigo de Sá ˆ X −X Y −Y i ¯ ¯ iNatureza da β1 =regressão X −X 2 i ¯Conceitos daregressão(população) ˆ X −X Y i ¯ i β1 =Conceitos da X 2 − nX 2 i ¯regressão(amostra) ˆ Y −Y X i ¯ i β1 =Estimação Xi 2 − nX 2 ¯Hipóteses Estimador do intercepto β0 = Y − β1 X ˆ ¯ ˆ ¯
  34. 34. Exemplo 5 - Consumo X Renda Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de SáNatureza daregressãoConceitos daregressão(população)Conceitos daregressão(amostra)EstimaçãoHipóteses Figura: Consumo e renda familiar
  35. 35. Exemplo 5 - Consumo X Renda Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de SáNatureza daregressãoConceitos daregressão(população)Conceitos daregressão(amostra)EstimaçãoHipóteses Figura: Calculando...
  36. 36. Exemplo 5 - Consumo X Renda Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de SáNatureza daregressãoConceitos daregressão(população)Conceitos daregressão(amostra)EstimaçãoHipóteses Figura: Reta de regressão estimada
  37. 37. Propriedades numéricas dos estimadores de MQO Análise de Regressão: Introdução 1 Os estimadores de MQO são expressos exclusivamente em Rodrigo de termo das quantidades observadas pela amostra ( Y e X ). Sá 2 Eles são ESTIMADORES DE PONTO, isto é, dada umaNatureza daregressão amostra, cada estimador fornecerá um único ponto doConceitos da parâmetro relevante da população.regressão(população) 3 Depois de obter as estimativas de MQO (β0 e β1 ), pode-seConceitos da obter facilmente a reta de regressão da amostra, queregressão(amostra) apresenta as seguintes propriedades:Estimação 1 Ela passa pelas médias de Y e X .Hipóteses 2 O valor médio do Y estimado é igual ao valor médio do Y real (observado na amostra). 3 O valor médio dos resíduos é zero. 4 Os resíduos não tem correlação com o Y previsto, 5 Os resíduos não tem correlação com o X .
  38. 38. Hipóteses subjacentes ao MQO Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá O objetivo é utilizar ˆ β0 e ˆ β1 para fazermos inferência sobreNatureza daregressão β0 e β1 e Y ˆ i para tentarmos saber algo sobre E (Y |X ). iConceitos da Para isso precisamos de hipóteses estatísticas sobre comoregressão(população) as variáveis são geradas (suas distribuições deConceitos da probabilidade).regressão(amostra) O MODELO CLÁSSICO (OU PADRÃO, OUEstimação GAUSSIANO) DE REGRESSÃO LINEAR (MCRL) têm 10Hipóteses hipóteses que vão garantir suas propriedades estatísticas.
  39. 39. 1. Linear nos parâmetros Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de SáNatureza daregressão Caso contrário, estaríamos estimando um modeloConceitos daregressão especicado de forma incorreta!(população)Conceitos da Lembrem-se que o modelo PODE ser não-linear nasregressão(amostra) variáveis.EstimaçãoHipóteses
  40. 40. 2. X xados Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de SáNatureza da Os valores das variáveis explicativas ( X ) são xados em iregressão amostragem repetida.Conceitos daregressão(população) As variáveis explicativas são não-estocásticas.Conceitos da Isso implica que a análise de regressão é condicional aosregressão(amostra) dados valores do regressor.Estimação Mais uma vez o exemplo do consumo! (11)Hipóteses
  41. 41. 3. O erro tem média zero Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá Dado o valor de X , o valor médio do termo de perturbação iNatureza da aleatória u i é zero,regressãoConceitos da E (u |X ) = 0. i iregressão(população) Isto implica que os fatores não incluídos explicitamente noConceitos daregressão(amostra) modelo (e, portanto, incluídos emu ) não afetam i sistematicamente o valor médio de Y .EstimaçãoHipóteses Assim, E (Y |X ) = β0 + β1 X . i i i
  42. 42. 3. O erro tem média zero Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de SáNatureza daregressãoConceitos daregressão(população)Conceitos daregressão(amostra)EstimaçãoHipóteses Figura: Distribuição condicional do erro
  43. 43. 4. Homoscedasticidade Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Os erros são HOMOCEDÁSTICOS, ou seja, sua Sá VARIÂNCIA É CONSTANTE PARA QUALQUER VALORNatureza daregressão DE X. iConceitos da u |X ) = E (u − E (u ) |X )2regressão(população) var ( i i i i i 2 var (u |X ) = E u |XConceitos daregressão i i i i(amostra) 2 var (u |X ) = σ . i iEstimaçãoHipóteses Se os erros fossem HETEROCEDÁSTICOS, poderíamos denotar a sua variância como var ( u |X ) = σ 2 . i i i
  44. 44. 4. Homoscedasticidade Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de SáNatureza daregressãoConceitos daregressão(população)Conceitos daregressão(amostra)EstimaçãoHipóteses Figura: Erros homocedásticos
  45. 45. 4. Homoscedasticidade Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de SáNatureza daregressãoConceitos daregressão(população)Conceitos daregressão(amostra)EstimaçãoHipóteses Figura: Erros heterocedásticos
  46. 46. 4. Homoscedasticidade Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá ExemplosNatureza da Homocedástica: o consumo aumenta com a renda, mas aregressão variabilidade é igual tanto para pessoas com maior ouConceitos da menor renda.regressão(população) Heterocedástica: o consumo aumenta com a renda, mas aConceitos da variabilidade também aumenta com a renda. Indivíduosregressão pobres, em geral, consomem toda a renda (pouca(amostra) variabilidade). Indivíduos mais ricos podem consumirEstimação grande parte da renda como também podem poupá-la.Hipóteses É importante que os erros tenham variância constante pois o modelo clássico considera todos os Y i importantes.
  47. 47. 5. Os erros não são correlacionados entre si Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá Não existe nenhuma autocorrelação entre as perturbações.Natureza daregressão Dados dois valores X i e X j i = j ), a correlação quaisquer (Conceitos daregressão entre u i e u j é zero.(população)Conceitos da cov ( u , u |X , X ) = 0. i j i jregressão(amostra)Estimação Caso contrário, Y t dependeria também de u −1 , e não só tHipóteses das variáveis explicativas.
  48. 48. 5. Os erros não são correlacionados entre si Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de SáNatureza daregressãoConceitos daregressão(população)Conceitos daregressão(amostra)EstimaçãoHipóteses Figura: Padrões de correlação entre os erros.
  49. 49. 6. Os erros não são correlacionados com X Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá A perturbação u e a variável explanatória X não temNatureza da correlação.regressãoConceitos da cov ( u , X ) = 0. i iregressão(população)Conceitos da Essa hipótese é necessária porque precisamos separar osregressão(amostra) efeitos de X e u sobre o Y ; caso contrário, não saberíamosEstimação que parte do efeito atribuiríamos às variáveis e aos erros.Hipóteses Essa hipótese abre espaço para que o X também seja estocástico!
  50. 50. 7. Observações sucientes Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de SáNatureza da n deve ser maior do que oregressão O número de observaçõesConceitos daregressão número de parâmetros a serem estimados (número de(população) variáveis explicativas).Conceitos daregressão(amostra) Quantos pontos precisamos para traçarmos uma reta?EstimaçãoHipóteses
  51. 51. 8. Variabilidade de X Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de SáNatureza da Os valores X em uma dada amostra não podem ser todosregressão iguais.Conceitos daregressão Isto é, var (X ) 0.(população) O que aconteceria na fórmula do estimador caso contrário?Conceitos daregressão(amostra) O que aconteceria se regredirmos a arrecadação dosEstimação governos municipais gaúchos contra a unidade daHipóteses federação a qual pertencem?
  52. 52. 9. Especicação correta Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de SáNatureza daregressãoConceitos daregressão O modelo de regressão está corretamente especicado.(população) Isto é, não há nenhum viés de especicação.Conceitos daregressão(amostra)EstimaçãoHipóteses
  53. 53. 9. Especicação correta Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de SáNatureza daregressãoConceitos daregressão(população)Conceitos daregressão(amostra)EstimaçãoHipóteses Figura: Curvas de Phillips linear e não-linear.
  54. 54. 10. Ausência de multicolinearidade Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de SáNatureza daregressão Não há relação lineares perfeitas entre as variáveisConceitos daregressão explicativas.(população)Conceitos da Voltaremos a esse ponto quando tratarmos de regressãoregressão(amostra) múltipla.EstimaçãoHipóteses

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