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Função Distribuição de Probabilidade (FDP) 
Modelagem Analítica 
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Modelagem Analítica 
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06 variavel-aleatoria

  1. 1. Departamento DDDDDDDeeeeeeepppppppaaaaaaarrrrrrrtttttttaaaaaaammmmmmmeeeeeeennnnnnntttttttooooooo ddddddddeeeeeeee IIIIIIIInnnnnnnnffffffffoooooooorrrrrrrrmmmmmmmmááááááááttttttttiiiiiiiiccccccccaaaaaaaa DDDDDDDDiiiiiiiisssssssscccccccciiiiiiiipppppppplllllllliiiiiiiinnnnnnnnaaaaaaaa:::::::: MMMMooooddddeeeellllaaaaggggeeeemmmm AAAAnnnnaaaallllííííttttiiiiccccaaaa ddddoooo DDDDeeeesssseeeemmmmppppeeeennnnhhhhoooo ddddeeee SSSSiiiisssstttteeeemmmmaaaassss ddddeeee CCCCoooommmmppppuuuuttttaaaaççççããããoooo Variável Aleatória Prof. Sérgio Colcher colcher@inf.puc-rio.br 1 CCCCooooppppyyyyrrrriiiigggghhhhtttt 1111999999999999-2222000000007777 bbbbyyyy TTTTeeeelllleeeeMMMMííííddddiiiiaaaa LLLLaaaabbbb.... Variável Aleatória Real Modelagem Analítica O espaço de amostras W foi definido como o conjunto de todos os possíveis resultados de uma experiência • Os elementos de W não são necessariamente numéricos –Mas é quase sempre interessante que W tenha uma respresentação numérica – Pode-se associar a cada ponto w Î W um número real x(w) – Uma função x que mapeia os pontos de W em R é denominada uma variável aleatória (v.a) real. 2 Variável Aleatória Real Modelagem Analítica Medida de Probabilidade 3 Fenômeno Experiência w W A B A A B R 0 1 R Variável Aleatória Variável Aleatória Real Modelagem Analítica w w = ÎW £ Î Î i) os conjuntos { : ( ) } isto é, são eventos válidos para qualquer número real A X w w ÎW = ¥ = ii) P ({ : x ( ) }) 0 w w ÎW = −¥ = 4 Definição • Uma v.a. real x é uma função tal que : R R W ® w ® x ({ : ( ) }) 0 P x A x X ; X x x A R
  2. 2. Variável Aleatória Real Modelagem Analítica Medida de Probabilidade 5 Fenômeno Experiência w W A B A A B R 0 1 R Variável Aleatória ? Variável Aleatória Real Modelagem Analítica Como é um evento, é possível atribuir uma probabilidade ao subconjunto : dos Reais da seguinte maneira • Isto garante que qualquer intervalo I de R está também associado a uma probabilidade 6 { } { } P {x x X} P({:x() X}) x x X :x() X £ = £ £ £ ( : ) Variável Aleatória Real Modelagem Analítica Medida de Probabilidade 7 Fenômeno Experiência w W A B A A B R 0 1 R I Modelagem Analítica Tipos de V.A.s 8 V.A. Discreta V.A. Contínua V.A. Mista
  3. 3. Modelagem Analítica V.A. Discreta Diz-se que uma v.a. é discreta quando o seu contradomínio Wx é um conjunto de pontos isolados (finito ou infinito, porém numerável). Isto significa que { , ,…} 1 2 X X x W = • A partir dessa definição é possível verificar a existência de eventos cujo conjunto contém apenas um elemento: Xi • Como a cada valor da v.a. associa-se uma medida de probabilidade, pode-se ({ }) w ÎW : (w) = = ; = 1,2,… P x X p i com a condição 9 escrever que = i i i i p 1 • O conjunto {p1, p2, ...} é a distribuição de probabilidade da v.a discreta. – Não confundir com a ““Função Distribuição de Probabilidade (FDP)”” que será apresentada mais adiante. Modelagem Analítica V.A. Contínua Uma v.a. x cujo contradomínio Wx é contínuo, é uma v.a. contínua. • Wx é agora um conjunto não numerável e se a probabilidade associada a cada X Î Wx for maior que zero, será violada a condição axiomática de que P(W)=1 – Neste caso, é mais apropriado definir uma medida de probabilidade associada a intervalos, de tal forma que a função px, definida em Wx, é tal que, para qualquer intervalo I Ì R Î = x P(x I ) p (X )dX 10 I Modelagem Analítica V.A. Contínua Uma v.a. contínua satisfaz a condição P(x = X ) = 0 • É importante ressaltar a diferença entre evento vazio e evento com probabilidade zero – Por exemplo, para uma v.a. contínua, o evento {x = X} tem probabilidade zero mas não é vazio pois contém o ponto X. 11 Modelagem Analítica V.A. Mista Uma v.a. x, cujo contradomínio Wx é não numerável, mas que contém um subconjunto (finito ou infinito numerável) no qual cada um de seus pontos tem probabilidade maior que zero é denominado de v.a. mista. 12
  4. 4. Função Distribuição de Probabilidade (FDP) Modelagem Analítica A Função Distribuição de Probabilidade (FDP) também conhecida como Função de Distribuição Cumulativa (FDC) associada a uma v.a. real x é a função definida por ( ) ( ) R ® R • Lembre que na definição de v.a. foi exigido que os subconjuntos {x £ X} fossem eventos 13 : x F X P x X F x x ® = £ Modelagem Analítica Exemplo Considere o experimento de lançar um dado com seis faces fi, i = 1, ……, 6, onde os resultados de todas as faces são equiprováveis Seja x, uma variável aleatória real, com o seguinte W® R ® = ( ) i i f x f i 14 mapeamento: Esboçar a FDP de x: Fx(X) Modelagem Analítica Exemplo Considere o experimento de lançar um dado com seis faces fi, i = 1, ……, 6, onde os resultados de todas as faces são equiprováveis Seja x, uma variável aleatória real, com o seguinte W® R 2 f i ® x ( f i ) = ( i − 3) 15 mapeamento: Esboçar a FDP de x: Fx(X) Modelagem Analítica Propriedades das FDPs 16
  5. 5. Modelagem Analítica Exemplo Uma v.a. tem FDC dada por 17 Desejamos obter i. Fy(0) ii. P(0y) iii. P(5y10) iv. P(y=0) Fy(Y) 1 - 5 5 10 15 20 Y Modelagem Analítica Forma Geral da FDP Toda Função Distribuição de Probabilidade Fx(X) pode ( ) ( ) ( ) x x x F X = C X + D X D X =P x = X u X − X 19 ser escrita como onde Cx é uma função contínua e Dx é um somatório de funções degrau ( ) ( ) ( ) x i i i Função Densidade de Probabilidade (f.d.p.) Modelagem Analítica Para uma v.a. x com F.D.P Fx, define-se como f.d.p. a função fx dada por ( ) dF X ( ) x x • Quando a v.a. é discreta, tem-se = − A função que descreve P(x = Xi) 20 f X dX = ( ) ( ) dF X P( ) ( ) x = = = = − ( ) P( ) ( ) x i i i x i i i f X dX d x X u X X dX f X x X d X X é denominada de função de massa de probabilidade (f.m.p.). Modelagem Analítica Propriedades da f.d.p. ( ) ( ) f Y dY F X ( ) ( ) −¥ F Y F X 21 X x x X x x −¥ = = i)
  6. 6. Modelagem Analítica Propriedades da f.d.p. ( ) 1 ( ) 1 0 1 22 x −¥ x f Y dY ¥ F Y ¥ −¥ = = − = ii) Modelagem Analítica Propriedades da f.d.p. 23 iii) ³ ( ) 0 f X ( ) é não decrescente x F X x Modelagem Analítica Propriedades da f.d.p. iv) f X dX = P xÎI ( ) ( ) x Por exemplo, para I = (a,b] Î = − P x a b F b F a −¥ −¥ −¥ 24 I ( ( , ]) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x b a b a b a f X dX f X dX f X dX f X dX f X dX −¥ = − = + = Modelagem Analítica Exemplo Uma v.a. tem FDC dada por Fy(Y) 1 i. Esboçar a fdp fy(Y) ii. A partir do gráfico de (i), calcular 25 a. Fy(0) b. P(y0) c. P(5y10) - 5 5 10 15 20 Y
  7. 7. Modelagem Analítica Exemplo de Distribuições 26 Contínuas • Uniforme • Exponencial • Gaussiana (ou Normal) Discretas • Bernoulli • Binomial • Geométrica • Poisson Exemplo: Distribuição Uniforme Modelagem Analítica Uma v.a. x é dita uniformemente distribuída no intervalo [a,b] quando sua f.d.p é dada por 27 1 ( ) 0 caso contrário x a X b b a f X £ £ − =
  8. 8. fx(X) X a b 1 b − a Fx(X) X a b 1 Distribuição Normal (Gaussiana) Modelagem Analítica 28 0 0 , 5 0 1 μ s = = μ s = = 3 2 μ s = = ( ) x f X 2 ( ) 1 2 2 ( ) 2 X x f X e μ s s p − − = Modelagem Analítica Distribuição Exponencial X , 0 X X ( ) ( ) F X f Y dY x y X e dY l l ( ) ( ) 1 , 0 29 1 ( ) 0 , 0 X x e X F X e u x X l l − − − ³ = − =
  9. 9. ( ) ( ) 0 , 0 X x e X f X e u X X l l l l − − ³ = =
  10. 10. 0 Y −¥ − = =
  11. 11. Modelagem Analítica 9 l = 8 ( ) - x e x f X l l × = × 8 7 5 4 3 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 30 1 x 6 Distribuição Exponencial Modelagem Analítica 31 x F X e −l ( ) =1− X 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 l = 8 x Distribuição Exponencial Modelagem Analítica Valor Esperado O valor esperado EE é um operador real, definido sobre o espaço YYYYYYYY das variáveis aleatórias reais, que associa a cada v.a. x o número real E[x] tal que ¥ Y [ ] ( ) x x x Xf X dX −¥ 32 ® ®E = O valor esperado é também chamado de média Exemplo: Valor Esperado de v.a. Uniforme Modelagem Analítica 33 1 ( ) 0 caso contrário x a X b b a f X £ £ − =
  12. 12. Exemplo: Valor Esperado de v.a. Gaussiana Modelagem Analítica 34 2 ( ) 1 2 2 ( ) 2 X x f X e μ s s p − − = Valor Esperado de v.a. Discreta Modelagem Analítica 35 Valor Esperado de v.a. Exponencial Modelagem Analítica 36 , 0 ( ) ( ) X 0 , 0 X x e X f X e u X X l l l l − − ³ = =
  13. 13. x 0 1.0 Variância e Desvio Padrão Modelagem Analítica 37

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