O documento discute o uso de polinômios simétricos para resolver um problema algébrico onde x+y+z=5 e xy+xz+yz=3. A solução mostra que z deve estar entre -1 e 13/3 para que a equação tenha raízes reais.

1. QUESTÕES PUC-RIO - POLINÔMIOS SIMÉTRICOS
Claudio Buffara – Rio de Janeiro

2. Mais uma dúvida enviada ao forum PUC-RIO que vale a pena compartilhar.
Veremos a seguir o uso de uma ferramenta bastante útil na resolução de
problemas algébricos: as funções polinomiais simétricas.

3. DÚVIDA
Se x+y+z= 5 e xy+xz+yz=3
Verifique que:
-1<=z<=13/3.
Alguém pode ajudar nessa questão?

4. SOLUÇÃO
x+y = 5-z
xy = 3 - z(x+y) = 3 - z(5-z) = z^2 - 5z +3
x e y são raízes reais de t^2 - (5-z)t + (z^2-5z+3) = 0 ==> b^2 - 4ac >= 0.
b^2-4ac = (5-z)^2 - 4(z^2-5z+3) = z^2-10z+25-4z^2+20z-12 = -3z^2+10z+13 >
= 0 ⇒ 3z^2 -10z - 13 <= 0 ==> -1 <= z <= 13/3
Confira a discussão completa em:
https://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg55524.html