Apresentação sobre equações de segundo grau e sua resolução através da fórmula resolutiva.

1. Equações de 2ºGrau
Profº Rodrigo
4
256
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
3
729
1024

2. Equações
 As equações são expressões algébricas que ajudam a
resolver alguns tipos de problemas;
 Uma equação possui uma ou mais incógnitas (letras ou
símbolos que representam valores desconhecidos);
 Resolver uma equação é determinar qual é o valor (ou
valores) que devem assumir o lugar da(s) incógnita(s) para
que a expressão seja verdadeira;
 Vamos começar trabalhando com equações com apenas uma
incógnita (normalmente a letra x);
 Uma equação é de 1º grau se a incógnita (x) é de grau 1 (ex:
x+3 = 8), de 2º grau se a incógnita é de grau 2 (ex: x²-7x+9=3)
,de 3º grau se a incógnita é de grau 3 (ex: x³+9x²-12x-45=8) e
assim por diante.

3. Forma geral da
equação de 2º
grau com uma
incógnita
Uma equação de 2º grau possui três termos básicos: Um termo com a
incógnita em grau 2 (x²); um termo com a incógnita em grau 1 (x) e um termo
sem incógnita (ou também chamado grau 0). Assim, podemos estruturar uma
equação de 2º grau com uma incógnita (digamos x) da seguinte forma:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Onde as letras a, b, c são números reais e o número a deve ser
diferente de 0 (zero). Escrevemos assim:
𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 , 𝑎 ≠ 0
Convencionamos que o termo a sempre acompanha o x², o termo b
sempre acompanha o x e o termo c é o termo independente, isto é,
está sempre sem incógnita.

4. Identificando
os termos da
equação
Exemplos:
Nas equações abaixo temos:
5𝑥2 − 7𝑥 + 8 = 0
𝑎 = 5, 𝑏 = −7, 𝑐 = 8
13𝑥 − 2𝑥2
− 15 = 0
𝑎 = −2, 𝑏 = 13, 𝑐 = −15
12𝑥2
− 39 = 0
𝑎 = 12, 𝑏 = 0, 𝑐 = −39
−7𝑥2
+ 21𝑥 = 0
𝑎 = −7, 𝑏 = 21, 𝑐 = 0
𝑥2
− 9𝑥 + 135 = 0
𝑎 = 1, 𝑏 = −9, 𝑐 = 135
4𝑥2 = 0
𝑎 = 4, 𝑏 = 0, 𝑐 = 0
15𝑥 − 3𝑥2
= −10
−3𝑥2 + 15𝑥 + 10 = 0
𝑎 = −3, 𝑏 = 15, 𝑐 = 10
12𝑥2 − 39 = −2𝑥2 + 3𝑥
12𝑥2 + 2𝑥2 − 3𝑥 − 39 = 0
14𝑥2
− 3𝑥 − 39 = 0
𝑎 = 14, 𝑏 = −3, 𝑐 = −39
21𝑥 − 15 = 0
𝑎 = 0, 𝑏 = 21, 𝑐 = −15
Não é uma equação de 2º grau, pois a=0

5. Raízes de
uma equação
de 2º grau
A raiz de uma equação é o valor de x que faz com que esta equação
se iguale, isto é, os dois membros da equação sejam iguais.
Pensando em uma equação de 2º grau na forma geral, isto fará com
que a equação fique com resultado 0 (zero).Vamos ver um exemplo:
Exemplo:
Vamos verificar se x=6 é uma raiz da equação de 2º grau abaixo:
3𝑥2
− 12𝑥 − 36 = 0
Para verificar se x=6 é uma raiz da equação, vamos substituir x por 6;
3.62 − 12.6 − 36
?
0
3.36 − 72 − 36
?
0
108 − 108
?
0
0 = 0
Logo x=6 é uma raiz da equação.

6. Revisando:
 Equações de 2º grau são aquelas em que a incógnita do termo de
grau mais alto é 2;
 A forma geral de uma equação de 2º grau possui três termos a, que
acompanha o termo de x²; b, que acompanha o termo de x; e c, que
é chamado de termo independente, e não tem incógnita;
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 , 𝑎 ≠ 0
 A raiz de uma equação de 2º grau é o valor que devemos substituir
pelo x, que faz com que a equação fique com valor 0 (zero) nos dois
membros.

7. Equações
Incompletas
 Uma equação de 2º grau é chamada de incompleta quando um ou
mais de seus coeficientes não determinantes (b e c) são 0 (zero).
 Assim, vamos separar em três casos para resolver:
 Quando o termo linear (b) for igual a zero;
 Quando o termo independente (c) for zero;
 Quando os dois termos (b e c) forem zero;
 Lembrando que resolver uma equação é determinar qual é o valor
(ou valores) que devem assumir o lugar da(s) incógnita(s) para que
a expressão seja verdadeira, ou seja resolver uma equação de 2º
grau é determinar suas raízes;
 Uma equação de 2º grau sempre terá duas soluções. As duas
soluções podem ser :
 reais e diferentes;
 reais e iguais;
 não-reais (também chamados de complexas).

8. Resolvendo
uma equação
de 2º grau
incompleta
com b=0
Quando uma equação de 2º grau é incompleta com b=0, temos a forma geral:
𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0
Esta equação só terá solução real se
𝑐
𝑎
< 0, isto é, se c e a tiverem sinais
opostos.
Para resolver, vamos isolar o termo de x² e a seguir extrair a raiz quadrada de
ambos os termos da igualdade.Vamos ver um exemplo:
𝑥2
− 36 = 0
𝑥2 = 36
𝑥 = ± 36
𝑥 = ±6
S={-6,+6}
3𝑥2
− 48 = 0
3𝑥2 = 48
𝑥2
=
48
3
𝑥2 = 16
𝑥 = ± 16
𝑥 = ±4
S={-4,+4}
2𝑥2 + 50 = 0
2𝑥2
= −50
𝑥² =
−50
2
𝑥2 = −25
𝑥 = ± −25
S= ∅
ou
S∉ ℝ
9𝑥2
− 18 = 0
9𝑥2 = 18
𝑥2
=
18
9
𝑥2 = 2
𝑥 = ± 2
S={− 2,+ 2}

9. Resolvendo
uma equação
de 2º grau
incompleta
com c=0
Quando uma equação de 2º grau é incompleta com c=0, temos a forma geral:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0
Esta equação terá solução para qualquer a e b que considerarmos.
Para resolvê-la, vamos colocar um termo de x em evidência, ficando com
uma equação de 1º grau multiplicada por x.Vamos ver um exemplo:
𝑥2
− 3𝑥 = 0
𝑥(𝑥 − 3) = 0
𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 − 3 = 0
𝑥 = 3
S={0, 3}
3𝑥2 + 18𝑥 = 0
𝑥(3𝑥 + 18) = 0
𝑥 = 0 𝑜𝑢 3𝑥 + 18 =0
3𝑥 = −18
𝑥 =
−18
3
𝑥 = −6
S={0,-6}
4𝑥2
− 13𝑥 = 0
𝑥(4𝑥 − 13) = 0
𝑥 = 0 𝑜𝑢 4𝑥 − 13 = 0
4𝑥 = 13
𝑥 =
13
4
S={0,
13
4
}

10. Resolvendo
uma equação
de 2º grau
incompleta
com b e c=0
Quando uma equação de 2º grau é incompleta com b e c=0, temos a forma
geral:
𝑎𝑥2
= 0
Neste caso a equação só possui uma solução possível: x=0.
Vamos ver a resolução de um caso genérico:
𝑎𝑥2
= 0
𝑥2
=
0
𝑎
𝑥2 = 0
𝑥 = ± 0
𝑥 = 0
S={0}

11. Equações
Completas
 Uma equação de 2º grau é chamada de completa quando todos
seus coeficientes são diferentes de 0.
 Lembrando que resolver uma equação de 2º grau é determinar
suas raízes;
 Uma equação de 2º grau sempre terá duas soluções. As duas
soluções podem ser :
 reais e diferentes;
 reais e iguais;
 não-reais (também chamados de complexas).
 Para descobrir como serão as raízes de uma equação de 2º grau,
existe um valor chamado discriminante ( [delta]) que é obtido por
uma expressão envolvendo os coeficientes da equação.Temos
que:
 Se o >0, ela terá duas raízes diferentes;
 Se o =0, ela terá duas raízes iguais;
 Se o <0, ela terá duas raízes complexas (dizemos que não existem
raízes reais.

12. O
Discriminante
()
Para calcular o discriminante (), utilizamos os coeficientes da equação de 2º
grau:
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Esses coeficientes são usados na seguinte fórmula do :
∆= 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐
Vamos ver alguns exemplos:
2𝑥2 + 5𝑥 − 6 = 0
𝑎 = 2 |𝑏 = 5 |𝑐 = −6
∆= 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐
∆= 52 − 4.2. −6
∆= 25 − 8. −6
∆= 25 + 48
∆= 73
𝑥2 − 4𝑥 + 4 = 0
𝑎 = 1 |𝑏 = −4 |𝑐 = 4
∆= 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐
∆= (−4)2−4.1.4
∆= 16 − 4.4
∆= 16 − 16
∆= 0
−2𝑥2 + 3𝑥 − 2 = 0
𝑎 = −2 |𝑏 = 3 |𝑐 = −2
∆= 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐
∆= 32 − 4. (−2). −2
∆= 9 + 8. −2
∆= 9 − 16
∆= −7

13. A Fórmula
Resolutiva da
Equação de 2º
Grau
Para obter as raízes de uma equação de 2º grau qualquer, podemos utilizar a
fórmula resolutiva (Bhaskara), que também usa os coeficientes da equação e o .
Assim, dada a equação abaixo:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Temos a seguinte fórmula resolutiva:
𝑥 =
−𝑏 ± ∆
2. 𝑎
Devemos resolver a expressão, cuidando a sequência das operações.Vamos ver
um exemplo:
2𝑥2
− 4𝑥 − 6 = 0
𝑎 = 2 𝑏 = −4 𝑐 = −6
∆= 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐
∆= (−4)2−4.2. (−6)
∆= 16 − 8. (−6)
∆= 16 + 48
∆= 64
𝑥 =
−𝑏 ± ∆
2. 𝑎
𝑥 =
−(−4) ± 64
2.2
𝑥 =
4 ± 8
4
𝑥′ =
4 + 8
4
𝑥′ =
12
4
= 3
𝑥′′ =
4 − 8
4
𝑥′′ =
−4
4
= −1
S={3,-1}

14. A Fórmula
Resolutiva da
Equação de 2º
Grau
Vamos ver outros exemplos:
3𝑥2
+ 6𝑥 + 3 = 0
𝑎 = 3 𝑏 = 6 𝑐 = 3
∆= 𝑏2
− 4. 𝑎. 𝑐
∆= 62
− 4.3.3
∆= 36 − 12.3
∆= 36 − 36
∆= 0
𝑥 =
−𝑏 ± ∆
2. 𝑎
𝑥 =
−6 ± 0
2.3
𝑥 =
−6 ± 0
6
𝑥′ =
−6 + 0
6
𝑥′ =
−6
6
= −1
𝑥′′ =
−6 − 0
6
𝑥′′
=
−6
6
= −1
𝑥2
− 4𝑥 + 5 = 0
𝑎 = 1 𝑏 = −4 𝑐 = 5
∆= 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐
∆= (−4)2
−4.1.5
∆= 16 − 4.5
∆= 16 − 20
∆= −4
𝑥 =
−𝑏 ± ∆
2. 𝑎
𝑥 =
−(−4) ± −4
2.1
S={-1,-1}
S=∅ ou 𝑥 ∉ ℝ

15. O Discriminante
 = b² - 4.a.c
2𝑥2 + 4𝑥 + 2 = 0
𝑎 = 2 |𝑏 = 4 |𝑐 = 2
∆= 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐
∆= 42
− 4.2.2
∆= 16 − 8 . 2
∆= 16 − 16
∆= 0
3𝑥2 − 6𝑥 − 9 = 0
𝑎 = 3 |𝑏 = −6 |𝑐 = −9
∆= 𝑏2
− 4. 𝑎. 𝑐
∆= (−6)2
−4.3. (−9)
∆= 36 − 12 . (−9)
∆= 36 + 108
∆= 144
𝑥2 + 3𝑥 + 2 = 0
𝑎 = 1 |𝑏 = 3 |𝑐 = 2
∆= 𝑏2
− 4. 𝑎. 𝑐
∆= 32
− 4.1.2
∆= 9 − 4 . 2
∆= 9 − 8
∆= 1
4𝑥2 − 4𝑥 − 24 = 0
𝑎 = 4 |𝑏 = −4 |𝑐 = −24
∆= 𝑏2
− 4. 𝑎. 𝑐
∆= (−4)2
−4.4. (−24)
∆= 16 − 16 . (−24)
∆= 16 + 384
∆= 400
2𝑥2 + 4𝑥 + 12 = 0
𝑎 = 2 |𝑏 = 4 |𝑐 = 12
∆= 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐
∆= 42
− 4.2.12
∆= 16 − 8 . 12
∆= 16 − 96
∆= −80
𝑥2 − 3𝑥 + 4 = 0
𝑎 = 1 |𝑏 = −3 |𝑐 = 4
∆= 𝑏2
− 4. 𝑎. 𝑐
∆= (−3)2−4.1.4
∆= 9 − 4 . 4
∆= 9 − 16
∆= −7
6𝑥2 − 3𝑥 − 2 = 0
𝑎 = 6 |𝑏 = −3 |𝑐 = −2
∆= 𝑏2
− 4. 𝑎. 𝑐
∆= (−3)2−4.6. (−2)
∆= 9 − 24 . (−2)
∆= 9 + 48
∆= 57
2𝑥2 − 5𝑥 − 7 = 0
𝑎 = 2 |𝑏 = −5 |𝑐 = −7
∆= 𝑏2
− 4. 𝑎. 𝑐
∆= (−5)2−4.2. (−7)
∆= 25 − 8 . (−7)
∆= 25 + 56
∆= 81

16. A Fórmula Reso-
lutiva da Equa-
ção de 2º Grau
𝑥 =
−𝑏 ± ∆
2.𝑎
𝑥2
− 3𝑥 − 40 = 0
𝑎 = 1 𝑏 = −3 𝑐 = −40
∆= 𝑏2
− 4. 𝑎. 𝑐
∆= (−3)2−4.1. (−40)
∆= 9 − 4. (−40)
∆= 9 + 160
∆= 169
𝑥 =
−𝑏 ± ∆
2. 𝑎
𝑥 =
−(−3) ± 169
2.1
𝑥 =
3 ± 13
2
𝑥′ =
3 + 13
2
𝑥′ =
16
2
= 8
𝑥′′ =
3 − 13
2
𝑥′′
=
−10
2
= −5
S={8,-5}
3𝑥2 + 30𝑥 + 27 = 0
𝑎 = 3 𝑏 = 30 𝑐 = 27
∆= 𝑏2
− 4. 𝑎. 𝑐
∆= 302
− 4.3.27
∆= 900 − 12 . 27
∆= 900 − 324
∆= 576
𝑥 =
−𝑏 ± ∆
2. 𝑎
𝑥 =
−30 ± 576
2.3
𝑥 =
−30 ± 24
6
𝑥′ =
−30 + 24
6
𝑥′
=
−6
6
= −1
𝑥′′ =
−30 − 24
6
𝑥′′
=
−54
6
= −9
S={-1,-9}

17. A Fórmula Reso-
lutiva da Equa-
ção de 2º Grau
𝑥 =
−𝑏 ± ∆
2.𝑎
4𝑥2
+ 16𝑥 − 48 = 0
𝑎 = 4 𝑏 = 16 𝑐 = −48
∆= 𝑏2
− 4. 𝑎. 𝑐
∆= 162 − 4 . 4. (−48)
∆= 256 − 16. (−48)
∆= 256 + 768
∆= 1024
𝑥 =
−𝑏 ± ∆
2. 𝑎
𝑥 =
−16 ± 1024
2.4
𝑥 =
−16 ± 32
8
𝑥′ =
−16 + 32
8
𝑥′ =
16
8
= 2
𝑥′′ =
−16 − 32
8
𝑥′′
=
−48
8
= −6
S={2,-6}
3𝑥2 − 6𝑥 − 9 = 0
𝑎 = 3 𝑏 = −6 𝑐 = −9
∆= 𝑏2
− 4. 𝑎. 𝑐
∆= (−6)2
−4 . 3 . (−9)
∆= 36 − 12 . (−9)
∆= 36 + 108
∆= 144
𝑥 =
−𝑏 ± ∆
2. 𝑎
𝑥 =
−(−6) ± 144
2.3
𝑥 =
6 ± 12
6
𝑥′ =
6 + 12
6
𝑥′
=
18
6
= 3
𝑥′′ =
6 − 12
6
𝑥′′ =
−6
6
= −1
S={3,-1}

18. A Fórmula Reso-
lutiva da Equa-
ção de 2º Grau
𝑥 =
−𝑏 ± ∆
2.𝑎
𝑥2 + 3𝑥 + 2 = 0
𝑎 = 1 𝑏 = 3 𝑐 = 2
∆= 𝑏2
− 4. 𝑎. 𝑐
∆= 32 − 4 . 1 . 2
∆= 9 − 4 . 2
∆= 9 − 8
∆= 1
𝑥 =
−𝑏 ± ∆
2. 𝑎
𝑥 =
−3 ± 1
2.1
𝑥 =
−3 ± 1
2
𝑥′ =
−3 + 1
2
𝑥′
=
−2
2
= −1
𝑥′′ =
−3 − 1
2
𝑥′′ =
−4
2
= −2
S={-1,-2}

19. Revisando:
 Equações de 2º grau são aquelas em que a incógnita do termo de grau
mais alto é 2;
 A forma geral de uma equação de 2º grau possui três termos a, que
acompanha o termo de x²; b, que acompanha o termo de x; e c, que é
chamado de termo independente, e não tem incógnita;
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 , 𝑎 ≠ 0
 A raiz de uma equação de 2º grau é o valor que devemos substituir pelo
x, que faz com que a equação fique com valor 0 (zero) nos dois
membros.
 Equações de 2º grau incompletas são aquelas em que um ou mais de
seus coeficientes não essências é 0;
 Quando b=0, devemos isolar o x² para poder extrair a raiz quadrada de
ambos os membros. Se
𝑐
𝑎
> 0 a equação não possui solução. Quando
houver solução, elas serão simétricas;
 Quando c=0, devemos colocar um termo de x em evidência para
resolver uma equação de 1º grau. Uma das soluções será sempre 0
(zero).
 Quando b e c=0, a única solução para esta equação é x=0.

20. Revisando:
 Equações de 2º grau completas são aquelas em que todos seus coeficientes são
diferentes de 0;
 O discriminante  nos ajuda a verificar se uma equação de 2º grau possui raízes
reais ou não;
∆= 𝑏2
− 4. 𝑎. 𝑐
 Se >0 a equação têm duas raízes distintas;
 Se =0 a equação têm duas raízes iguais;
 Se <0 a equação não tem raízes reais.
 Podemos resolver qualquer equação de 2º grau pela fórmula resolutiva:
𝑥 =
−𝑏 ± ∆
2. 𝑎