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Mapeando o CreditRisk+ noCreditMetricsComeçamos por assumir que a variável latente no CreditMetrics é dada por:           ...
Mapeando o CreditRisk+ noCreditMetricsA probabilidade condicional de default dada a variável latente escolhida é:         ...
Diferenças EssenciaisModelo          CreditRisk+ CreditMetrics             KMV          CreditPortfolio                   ...
Bibliografia•Gordy A., A comparative anatomy of credit risk models, Journal of Banking andFinance 24 (2000) 119-149.•Wilso...
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Anatomia Comparativa de Modelos de Risco de Crédito

  1. 1. Modelos para Riscode Crédito 4:Anatomia Comparativa Análise de Risco (12) R.Vicente 1
  2. 2. Resumo Introdução CreditRisk+ CreditMetrics KMV e CreditMetrics CreditPortfolio e CreditMetrics Mapeando CreditMetrics no CreditRisk+ Mapeando CreditRisk+ no CreditMetrics Diferenças essenciais Bibliografia 2
  3. 3. CreditRisk+: Probabilidades deDefaultFatores de risco são introduzidos: x = (x 1, , xK )A probabilidade de default da contraparte i é condicionada ao vetor de fatores derisco x sendo ⎛K ⎞ pi (x ) = pζ (i ) ⎜∑ x k wik ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ k =1 ⎝ ⎠ Aqui ζ (i ) é a classificação de crédito da contraparte i e (wi 1, , wiK ) são coeficientes que medem a sensibilidade da contraparte a cada fator de risco. 3
  4. 4. CreditRisk+: Função Geratriz A distribuição de defaults para uma carteira pode ser obtida calculando primeiro a função geratriz da distribuição de probabilidades. Esta função apresenta as seguintes propriedades:1. n ! Fκ(n )(0) = P {κ = n }2. Se κ1 e κ2 são duas variáveis aleatórias independentes temos que : Fκ +κ (z ) = Fκ1 (z )Fκ2 (z ) 1 23. Se Fκ (z x ) é a geratriz de κ condicional aos fatores de risco x com densidade de probabilidade f (x ) , então: Fκ (z ) = ∫ df (x ) F x κ (z x) 4
  5. 5. CreditRisk+:Aproximação dePoissonA função geratriz para o número de defaults em uma carteira com defaultsindependentes é, portanto: F (z x ) = ∏ Fi (z x ) i = ∏ ⎡⎣1 − pi (x ) + pi (x )z ⎤⎦ i ⎡ ⎤ ≈ exp ⎢(z − 1)∑ pi (x )⎥ ⎢⎣ i ⎥⎦ = exp [(z − 1)μ(x )] 5
  6. 6. CreditRisk+:Aproximação de PoissonEscolhendo uma densidade Gama para cada fator de risco teremos: 1 K ⎛ 1−δ ⎞ σk2 ⎜ k ⎟ F (z ) = ∏ ⎜1 − δ z ⎠ ⎜ k =1 ⎜ ⎝ ⎟ ⎟ ⎟ kOnde μk = ∑ wik pζ (i ) i σk2 μk δk = 2 1 + σk μk 6
  7. 7. CreditRisk+: Distribuição de perdasPara obter a distribuição de perdas a carteira é dividida em subcarteiras cadauma com um tamanho típico de perdas. A função geratriz de ν(i ) perdasunitárias de uma carteira contendo só a contraparte i será: Gi (z x ) = Fi (z ν (i ) x ) A geratriz para as perdas, assumindo que os fatores de risco têm distribuição gama é, portanto: 1 K⎛ 1 − δ ⎞σk2 ⎟ G (z ) = ∏ ⎜ ⎜ k ⎟ ⎜1 − δ P (z )⎟ k =1 ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ k k μk = ∑ wik pζ (i ) 1 Com Pk (z ) = μk ∑ wik pζ (i )z ν (i ) i i σk2 μk δk = 2 1 + σk μk 7
  8. 8. CreditMetrics BásicoA taxa de default no modelo CreditMetrics básico é definida por dadoshistóricos que definem um limiar para a variação de uma variável escondidaque representa o valor de mercado dos ativos da empresa analisada (nomodelo mais básico o valor da ação negociada no mercado aberto éutilizada como variável escondida) assim: ( pi = Φ C ζ (i ) ) Aqui C ζ (i ) é um cutoff para default definido pela classificação atual de crédito e pela probabilidade de default histórica para esta classificação. 8
  9. 9. CreditMetrics Básico e KMVNo modelo KMV a probabilidade de default é calculada a partir da estruturade capital da empresa sendo função da Distância para Default (DD) pi = Φ (−DDi ) Onde ⎛ 1 ⎞ VA − ⎜SL + LL ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ DD = VAσACom o valor de mercado dos ativos tendo sido calculado interpretando o valordas ações sobre a empresa como opções de compra dos ativos com strikeigual ao passivo da empresa. 9
  10. 10. CreditMetrics e RegressãoProbitA taxa de default no modelo CreditMetrics pode ser associada à dinâmicade mais variáveis escondidas em uma regressão probit: ⎛K ⎞ pi (x) = Φ ⎜∑ wik x k ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ k =1 ⎝ ⎠ K Aqui x é um vetor de variáveis escondidas e probit. ∑w k =1 x ik k é o score Em mahine learning, o modelo probit é conhecido como Perceptron. 10
  11. 11. Perceptron ⎛ K ⎞ pi (x) = F ⎜wi 0 + ∑ wik x k ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ k =1 ⎠ K X ∑w k =1 x ik k W w0 11
  12. 12. Perceptron eCreditPortfolioViewO modelo CreditPortfolioView utiliza a chamada regressão logit (ou, emmachine learning, o perceptron com função de ativação logística): 1 pi,t = 1 + e −hi ,t K Onde hi,t = wi 0 + ∑ wik x k ,t k =1 x k ,t são variáveis macroeconômicas. 12
  13. 13. Mapeando o CreditMetrics noCreditRisk+Suponhamos o modelo CreditMetrics em uma variante com uma variávelescondida (fator de risco) de forma que um default ocorra quando: x βi + ηi εi < C ζ (i ) Sensibilidade ao fator de risco Sensibilidade a fatores individuais 13
  14. 14. Mapeando o CreditMetrics noCreditRisk+Dado o fator de risco x teremos: ⎡C ζ (i ) − x βi ⎤ pi (x ) = Φ ⎢⎢ ⎥ ⎥ ⎢⎣ ηi ⎥⎦ Assumindo que os K fatores de risco mais importantes (modelo fatorial) são distribuídos de acordo com uma normal N (0, Ω) podemos calcular a função geratriz para a carteira como: Gκ (z ) = ∫ dx φ (x ) G x Ω κ (z x) zn ∞ = ∑ ∫ dx φΩ (x ) e −μ(x )μ(x )n n =0 n ! x Com μ(x ) = ∑ p j (x ) j 14
  15. 15. Mapeando o CreditRisk+ noCreditMetricsComeçamos por assumir que a variável latente no CreditMetrics é dada por: εi yi = K ∑x w k =1 k ik Onde os fatores de risco tem distribuição gama e εi tem distribuição exponencial com parâmetro 1. A contraparte entra em default quando yi < pζ (i ) 15
  16. 16. Mapeando o CreditRisk+ noCreditMetricsA probabilidade condicional de default dada a variável latente escolhida é: ⎧ ⎪ ⎛K ⎞ ⎫ ⎪ε < p ⎜ x w ⎟ x ⎪ { P yi < pζ (i ) } x =P⎨ i ⎪ ζ (i ) ⎜∑ k ik ⎟ ⎪ ⎜ k =1 ⎝ ⎟ ⎬ ⎠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎡ ⎛K ⎞⎤ = 1 − exp ⎢−pζ (i ) ⎜∑ x k wik ⎟⎥ ⎜ ⎟ ⎟⎥ ⎢ ⎜ k =1 ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎛K ⎞ ≈ pζ (i ) ⎜∑ x k wik ⎟ = pi (x ) ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ k =1 ⎝ ⎠ 16
  17. 17. Diferenças EssenciaisModelo CreditRisk+ CreditMetrics KMV CreditPortfolio ViewCalibração Dados Dados Históricos Estrutura de Dados Históricos para para prob. de Capital e macroeconômicos e prob. de default default cotações de setoriais mercadoDistribuição Gama com Normal Normal Normaldos fatores e K fatores Multivariada multivariada multivariadarisco independentesDistribuições Poisson Normal Normal -condicionaispara default 17
  18. 18. Bibliografia•Gordy A., A comparative anatomy of credit risk models, Journal of Banking andFinance 24 (2000) 119-149.•Wilson T., Portfolio Credit Risk, FRB NY Economic Policy Review, October1998. Leitura Complementar •Bishop C., Neural Networks for Pattern Recognition, Oxford University Press. 18

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