Tópicos deMétodos Numéricos emSistemas de EquaçõesLinearesRodolfo Maduro Almeida
Sistemas de Equações Lineares• Os sistemas de equações linearesaparecem em inúmeros problemas demodelagem computacional em...
Sistemas de Equações LinearesForma geral:nnnnnnnnnnnbxaxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxa3322112232322212111313212111n,2,,1, j...
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Classificação dos SistEqLinAdmite única solução: (x,y) = (4,2) que equivale aoponto de intersecção das retas.Sistema possí...
Classificação dos SistEqLinInfinitas soluções: todos os pares de pontos (x,y)sobre as retas coincidentes.Sistema possível ...
Classificação dos SistEqLinNão admite solução: retas paralelas (não se interceptam).Sistema impossívelATENÇÃO:Neste curso ...
Classificação dos SistEqLinSistemas equivalentes
Solução numérica dos SistEqLin• Métodos exatos: Buscam encontrar a soluçãoexata do sistema de equações lineares.– Eliminaç...
MÉTODOS EXATOS• Eliminação de Gauss• Decomposição LUSolução numérica dos SistEqLin
Solução de sistemas triangularesSolução de sistemas triangularesSolução de um sistema triangular inferior:
Solução de sistemas triangularesSolução de sistemas triangularesSubstituição progressiva:
Solução de sistemas triangulares• Implementar a solução do seguinte sistemalinear triangular inferior:
Solução de sistemas triangularesA = [ 1 0 0; 0 1 0; 0.5 0.5 1];b = [9 1 7];n = 3;x = zeros(n,1);x(1) = b(1)/A(1,1);for i=2...
Solução de sistemas triangularesSolução de um sistema triangular superior:
Solução de sistemas triangularesSubstituição retroativa:
Solução de sistemas triangulares• Implementar a solução do seguinte sistemalinear triangular superior:
Solução de sistemas triangularesA = [2 1 3; 0 -1 1; 0 0 1];b = [9 1 2];n = 3;x = zeros(n,1);x(n) = b(n)/A(n,n);for i=n-1:-...
Solução de Sistemas Triangulares• Vimos que é simples a solução de umsistema linear quando este está na formatriangular.• ...
Método da Eliminação de GaussbxA  bxAsistema linearoriginalsistema triangular superiorequivalente
Método da Eliminação de Gauss• Resolver o sistema linear222374280484321321321xxxxxxxxx
Método da Eliminação de Gauss• Resolver o sistema linear22780213412484321xxx
Método da Eliminação de Gauss• Matriz aumentada:L1L2L3pivô22213741280484
22213741280484Método da Eliminação de Gauss• Matriz aumentada:L1 = L1/4
22213741220121Método da Eliminação de Gauss• Matriz aumentada:L2 = L2 - 2 x L1L3 = L3 - 3 x L1
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• Sistema triangular superior equivalente:Resolvido via substituição retroativa:Solução :3112202332321xxxxxxMétodo da Elim...
Método da Decomposição LUEssência do método: Fatoração LUA = L·ULogo:A·x = b (L·U)·x = bmatriz de coeficientesmatriz trian...
Método da Decomposição LU• Método de Doolittle (matriz L com diagonalunitária):
Método da Decomposição LU
Método da Decomposição LU• Efetue a decomposição LU da matriz:311413125A
Método da Decomposição LUPasso 1: Decompõe a matriz de coeficientescomo o produto entre duas matrizes: umatriangular infer...
Método da Decomposição LUResolva o seguinte sistema linear pelométodo da decomposição LU:570311413125zyx
Script solução (linhas 1 a 31)
Script solução (linhas 32 a 54)
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Cálculo numérico aula 04 - resolução de sistemas de equações lineares - métodos diretos

  1. 1. Tópicos deMétodos Numéricos emSistemas de EquaçõesLinearesRodolfo Maduro Almeida
  2. 2. Sistemas de Equações Lineares• Os sistemas de equações linearesaparecem em inúmeros problemas demodelagem computacional em engenhariase ciências.• O que é um sistema linear?– Conjunto formado por duas ou mais equaçõeslineares definidas nas mesmas incógnitas.
  3. 3. Sistemas de Equações LinearesForma geral:nnnnnnnnnnnbxaxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxa3322112232322212111313212111n,2,,1, jiteindependentermo:bescoeficient:aincógnitas:xiiji
  4. 4. Sistemas de Equações LinearesForma matricial:nnnnnnnbbbxxxaaaaaaaaa21212212222111211bxAmatriz decoeficientesvetor deincógnitasvetor determosindependentes
  5. 5. Classificação dos SistEqLinA classificação é feita em função do número desoluções que o sistema admite.• Sistema Possível ou Consistente: possuipelo menos uma solução:– Determinado: admite uma única solução.– Indeterminado: admite mais de uma solução.• Sistema Impossível ou Inconsistente: nãoadmite solução.
  6. 6. Classificação dos SistEqLinAdmite única solução: (x,y) = (4,2) que equivale aoponto de intersecção das retas.Sistema possível e determinado
  7. 7. Classificação dos SistEqLinInfinitas soluções: todos os pares de pontos (x,y)sobre as retas coincidentes.Sistema possível indeterminado
  8. 8. Classificação dos SistEqLinNão admite solução: retas paralelas (não se interceptam).Sistema impossívelATENÇÃO:Neste curso iremos trabalhar com a solução numérica de sistemasde equações lineares que admitem uma única solução!
  9. 9. Classificação dos SistEqLinSistemas equivalentes
  10. 10. Solução numérica dos SistEqLin• Métodos exatos: Buscam encontrar a soluçãoexata do sistema de equações lineares.– Eliminação de Gauss– Decomposição LU• Métodos iterativos: Conjunto deprocedimentos que são executados a medidaque se obtém sucessivas aproximações dasolução do sistema.– Método de Jacobi– Método de Gauss-Seidel
  11. 11. MÉTODOS EXATOS• Eliminação de Gauss• Decomposição LUSolução numérica dos SistEqLin
  12. 12. Solução de sistemas triangularesSolução de sistemas triangularesSolução de um sistema triangular inferior:
  13. 13. Solução de sistemas triangularesSolução de sistemas triangularesSubstituição progressiva:
  14. 14. Solução de sistemas triangulares• Implementar a solução do seguinte sistemalinear triangular inferior:
  15. 15. Solução de sistemas triangularesA = [ 1 0 0; 0 1 0; 0.5 0.5 1];b = [9 1 7];n = 3;x = zeros(n,1);x(1) = b(1)/A(1,1);for i=2:nsoma = 0.0;for j=1:i-1soma = soma + A(i,j)*x(j);endx(i) = (b(i)-soma)/A(i,i);enddisp(Solucao encontrada: )disp(x)
  16. 16. Solução de sistemas triangularesSolução de um sistema triangular superior:
  17. 17. Solução de sistemas triangularesSubstituição retroativa:
  18. 18. Solução de sistemas triangulares• Implementar a solução do seguinte sistemalinear triangular superior:
  19. 19. Solução de sistemas triangularesA = [2 1 3; 0 -1 1; 0 0 1];b = [9 1 2];n = 3;x = zeros(n,1);x(n) = b(n)/A(n,n);for i=n-1:-1:1soma = 0.0;for j=i+1:nsoma = soma + A(i,j)*x(j);endx(i) = (b(i)-soma)/A(i,i);enddisp(Solucao encontrada: )disp(x)
  20. 20. Solução de Sistemas Triangulares• Vimos que é simples a solução de umsistema linear quando este está na formatriangular.• Existem métodos para solução de sistemaslineares que se aproveitam desta facilidade.• Consistem em executar operações sobre amatriz de coeficientes A de modo a deixá-lana forma triangular superior ou inferior• Exemplos:– Método da eliminação de Gauss– Método da decomposição LU
  21. 21. Método da Eliminação de GaussbxA bxAsistema linearoriginalsistema triangular superiorequivalente
  22. 22. Método da Eliminação de Gauss• Resolver o sistema linear222374280484321321321xxxxxxxxx
  23. 23. Método da Eliminação de Gauss• Resolver o sistema linear22780213412484321xxx
  24. 24. Método da Eliminação de Gauss• Matriz aumentada:L1L2L3pivô22213741280484
  25. 25. 22213741280484Método da Eliminação de Gauss• Matriz aumentada:L1 = L1/4
  26. 26. 22213741220121Método da Eliminação de Gauss• Matriz aumentada:L2 = L2 - 2 x L1L3 = L3 - 3 x L1
  27. 27. 381703363020121Método da Eliminação de Gauss• Matriz aumentada:L2 = L2/(- 3)
  28. 28. 381701121020121Método da Eliminação de Gauss• Matriz aumentada:L3 = L3 + 7 x L2
  29. 29. 3913001121020121Método da Eliminação de Gauss• Matriz aumentada:L3 = L3/13
  30. 30. 31001121020121Método da Eliminação de Gauss• Matriz aumentada:
  31. 31. • Sistema triangular superior equivalente:Resolvido via substituição retroativa:Solução :3112202332321xxxxxxMétodo da Eliminação de Gauss357321xxx
  32. 32. Método da Decomposição LUEssência do método: Fatoração LUA = L·ULogo:A·x = b (L·U)·x = bmatriz de coeficientesmatriz triangularinferiormatriz triangularsuperior
  33. 33. Método da Decomposição LU• Método de Doolittle (matriz L com diagonalunitária):
  34. 34. Método da Decomposição LU
  35. 35. Método da Decomposição LU• Efetue a decomposição LU da matriz:311413125A
  36. 36. Método da Decomposição LUPasso 1: Decompõe a matriz de coeficientescomo o produto entre duas matrizes: umatriangular inferior L e outra triangular superior U:A = L·ULogo:A·x = b (L·U)·x = bPasso 2: define U·x = y e resolve L·y = b viasubstituição progressiva e encontra o valor de y.Passo 3: resolve U·x = y via substituiçãoretroativa e encontra a solução x.
  37. 37. Método da Decomposição LUResolva o seguinte sistema linear pelométodo da decomposição LU:570311413125zyx
  38. 38. Script solução (linhas 1 a 31)
  39. 39. Script solução (linhas 32 a 54)
  40. 40. Solução-->exec(decomposicao_lu.sce,0)Forneca a matriz de coeficientes A[n x n]: [5 2 1; 3 1 4; 1 1 3]A =5. 2. 1.3. 1. 4.1. 1. 3.Forneca o vetor de termos independentes: b[n x 1] [0; -7; -5]b =0.- 7.- 5.L:1. 0. 0.0.6 1. 0.0.2 - 3. 1.U:5. 2. 1.0. - 0.2 3.40. 0. 13.L x U:5. 2. 1.3. 1. 4.1. 1. 3.Solucao encontrada- 4.441D-161.- 2.

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