1. MATEMÁTICA
OPERAÇÕES ALGÉBRICAS
1. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS Multiplicação de Polinômios
Multiplica-se cada termo do primeiro por todos
Monômio ou Termo os termos do outro e a seguir reduz-se os termos se-
É a expressão algébrica mais sintética. É a ex- melhantes.
pressão formada por produtos e quocientes somente. Exemplo:
5x
3x 2 y 2 ⋅ x3x4
4y 2 (a + b) (x + y) = ax + ay + bx + by
8 x
−24x − 4a
z
3xy 2 (2x + 4xy - 3y)=
Um monômio tem sempre dois componentes:
A parte numérica, chamada coeficiente, que é (x 3 - 3x 2 + 2x + 1) (x 2 + x + 1)=
seguida pelas letras. As letras de um termo recebem o
nome de parte literal. 2. PRODUTOS NOTÁVEIS
Dizemos que dois monômios ou temos são se-
melhantes quando tiverem a mesma parte literal. Quadrado da soma
Exemplo: 2
( a + b ) = ( a + b )( a + b ) = a + 2ab + b
2 2
2x y z é semelhante a −3x y z .
3 4 3 4
2
( a + b + c ) = ( a + b + c )( a + b + c ) =
Adição e Subtração de Monômios = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac
Só podemos somar dois monômios, se eles fo- Quadrado da diferença
rem semelhantes. Caso contrário, a operação fica in- 2
( a − b) = ( a − b )( a − b ) = a2 − 2ab + b2
dicada.
Comumente a adição e subtração de Expres- Produto da soma pela diferença
sões algébricas é chamada de redução de termos se- ( a + b )( a − b ) = a 2
− b2
melhantes:
A redução de dois termos semelhantes se faz 3. FATORAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉ-
conservando-se a parte literal e somando-se os coefi- BRICAS
cientes.
O último exemplo não satisfaz à condição. No- Fator comum
te que as partes literais são distintas. Por certo, você se lembra de que
a ( b + c ) = ab + ac . Pela propriedade simétrica, temos.
Multiplicação e Divisão de Monômios
Multiplicam-se (dividem-se) os coeficientes e
multiplicam-se (dividem-se) as partes literais, obede- ab + ac = a ( b + c ) .
cendo às regras de potenciação.
Exemplo: Exemplo:
3x 2 y + 9xy 2 =
( 2xy )( 3x y ) = 6x y
3 2 2 3 5
O fator comum é:
3 2 2 Evidenciando-o fica 3x y + 9xy = 3xy ( x + 3y ) .
2 2
( 3x y z ) : ( 2x y ) =
4 3 2
xyz
2 Agrupamento
A expressão não admite um mesmo fator co-
Adição e Subtração de Polinômios mum a todos os seus termos, mas, agrupando-os, po-
Opera-se como na adição e subtração de mo- demos fatorar a expressão pelo caso anterior.
nômios.
Exemplo: 4. EQUAÇÃO DO 1º GRAU
É toda sentença aberta, redutível e equivalente
(x 3
+ x 2 + x + 1) + ( 3x 2 + 8x 3 + x + 4 ) = 9x 3 + 4x 2 + 2x + 5 a ax + b = 0 , com a ∈ R * e b ∈ R .
(x 3
+ 5x + 2 ) − ( 2x 4 + 3x 3 − x + 2 ) = Exemplos:
= x + 5x + 2 − 2x 4 − 3x 3 + x − 2 =
3
São equações do 1º grau as sentenças abertas
= −2x 4 − 2x 3 + 6x 3x x + 3
5x − 12 e − = 1.
2 2
Editora Exato 7

2. Resolução: Portanto, sendo V o conjunto verdade em R,
Notando que ax + b = 0 ⇔ ax = −b ⇔ x = −
b
para conclui-se que:
a  −b + ∆ −b − ∆ 
 
a≠0, concluímos que o conjunto-verdade da equa- ∆>0⇒V = ; 

 2a 2a  
ção é V = −  .
b
   −b 
 a ∆=0⇒V = 
 2a 
Exercício resolvido: ∆<0⇒V =φ
3x x + 3
− = 1 ⇔ 2 ⋅ 3x − ( x + 3 ) = 4 ⇔ Propriedades
2 4
7 Se ∆ ≥ 0 e {x ; x } é conjunto verdade da equa-
1 2
6x − x − 3 = 4 ⇔ 5x = 7 ⇔ x = ⇔
5 ção ax + bx + x = 0 , com a ≠ 0 , então:
2
7  −b
V =  . S = x1 + x 2 =
5  a
c
5. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU P = x1 ⋅ x 2 =
a
Quando temos duas ou mais equações, em que
a solução de uma equação deve satisfazer as outras EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
equações, tem-se um sistema de equações. Existem 1 Resolva a expressão algébrica a seguir:
vários processos de solução, porém estudaremos os 3x 2 y + 7x 2 y =
dois mais importantes:
Resolução:
(3 + 7) x y =
2
ADIÇÃO e SUBSTITUIÇÃO
10x 2 y
Substituição
2 Resolva os seguintes agrupamentos:
Consiste em escolhermos uma das duas equa- 2
ções e isolarmos uma incógnita, substituindo-a na ou- a) ab + ax + bx + x
tra equação: Resolução:
Adição a(b + x) + x(b + x)=
Consiste em adicionar os membros das equa-
(b + x) (a + x)
ções de forma que se anule uma das incógnitas. Caso 3 2
não ocorra, devemos preparar as equações. b) 2x + 3x - 3x - 2x
Resolução
6. EQUAÇÃO DO 2º GRAU
É toda a sentença aberta, em x, redutível e e- 2x 3 + 3x 2 - 3x - 2x
quivalente a: ax + bx + c = 0 , com a a ∈ R * , b ∈ R e
2
2x(x 2 - 1) + 3x(x - 1)
c ∈R . 2x(x + 1) (x - 1) + 3x(x - 1) x(x - 1) [2(x + 1) + 3]
Resolução do caso geral ou x(x - 1) [2x + 2 + 3] x(x - 1) (2x + 5)
Utilizando “alguns artifícios”, Baskara verifi-
cou que a equação ax + bx + c = 0 é equivalente à e-
2
quação ( 2ax + b ) = b − 4ac .
2
2
3 Resolva o sistema a seguir:
De fato: ax + bx + c = 0 ⇔ ax + bx = −c , multi-
2 2
x + y = 4
plicando ambos os membros desta última igualdade 
por 4a , obtém-se: ax + bx = −c ⇔ 2 2x + y = 7
4a x + 4abx = −4ac .
2 2 x+y = 4
Somando b2 aos dois membros da igualdade x = 4−y
assim obtida, resulta: Substituindo na 2ª equação
4a x + 4abx + b = b − 4ac ⇔ ( 2ax + b ) = b − 4ac .
2 2 2 2
2
2 2x + y = 7
2(4 − y) + y = 7
Assim, representando por ∆ o discriminante
b − 4ac , tem solução em R.
2 8 − 2y + y = 7
a) ∆ < 0 ⇒ a equação não tem solução em R. 8−y =7
b) ∆ ≥ 0 ⇒ 2ax + b = ± ∆ ⇔ 2ax = −b ± ∆ ⇔ y =1
−b ± ∆ Então:
⇔x= .
2a
Editora Exato 8

3. x = 4−y 2 O número 2 é raiz da equação:
x = 4 −1 a) x + 4=7
x=3 b) x + 2=4
c) 2x – 1=0
d) x + 6=12
4 Resolva: e) Nenhuma.
x + y = 3
 2x − 2 x − 3
2x-y=3 3 A raiz de − =1 é:
2 2
Resolução: a) –5
x + y = 3 I b) +1
 /

2x − y = 3 II c) 7

 d) 2
3x = 6
e) Nenhum.
6
x= ⇔x=2
3
Volta em I: x + y = 2
x+y =3
4 Resolva: 
x − y = 4
2+ y = 3 a) x = 3 ; y = −1
y = 3−2 b) x = −1 ; y = −3
y =1 c) x = 1 ;y = 4
d) x = 2 ; y = −2
5 Resolver, em R, a equação 10x + x − 2 = 0 .
2 e) nenhuma.
Resolução:
Notando que ∆ = 1 − 4 ⋅ 10 ⋅ ( −2 ) = 81 , temos:
2
 x − 3y = 5
5 Resolva: 
−1 ± 81 −1 ± 9 −1 + 9  x − 8y = 0
x= = ⇔x= ou
2 ⋅ 10 20 20 a) x = −8 ; y = −1
−1 − 9 8 10 2 1 b) x = 8 ; y = −1
x= ⇔x= ou x = − ⇔V= ; 
20 20 20 5 2  c) x = −8 ;y = 1
d) x = 8 ;y = 1
6 Determinar a soma e o produto das raízes da e- e) Nenhuma.
quação
2x + 3y = 8
2x 2 − 7x − 3 = 0 6 O valor de x em:  é:
5x − 2y = 1
a) 3
Resolução:
b) 2
Lembrando que se 2x − 7x − 3 = ax + bx + c ,
2 2
c) 1
temos a = 2 , b = −7 e x = −3 . A soma das raízes é
d) –1
−b −7 ( −7 ) 7 c −3 e) Nenhuma.
S= = = e o produto é P = = .
a 2 2 a 2
7 A soma de dois números é 14, a diferença é 2.
EXERCÍCIOS Quais são esses números?
a) 9 e 5
1 Resolver as equações: b) 10 e 4
a) 4x+6=5x+9 c) 8 e 6
b) 2(x+3)=3x+7(x+4) d) 11 e 3
c) 5(x+1)–2(x–3)=10–(2x+3)
Editora Exato 9

4. 8 Resolva: x2–4x+3=0 14 Resolva: x2+9x2–4x=7x]
a) x´= 1 e x´´= 2 a) {3, 5}
b) x´= −1 e x´´= −2
b) 0; 
10
c) x´= 1 e x´´= 3  
 11
d) x´= −1 e x´´= −3  11
e) Nenhuma. c) 0; 
 10 
d) 3; 
11
2
 
9 Resolva: x –10x+25=0  10 
a) x´= 1 e x´´=25 e) Nenhuma.
b) x´= 5 e x´´=-5
c) x´= x´´= 5
15 Resolva: x + 2 = 4
d) x´= 2 e x´´=5
a) 14
e) Nenhuma.
b) 12
c) 0
10 Na equação x2–10x+24=0, a soma e o produto d) 1
das raízes valem, respectivamente: e) 2
a) {−10; 24}
b) { 24;10} 16 Resolva: x = 2
c) { 10; 24} a) 4
d { 10; −24} b) 6
c) 8
e) Nenhuma.
d) 10
e) 12
11 As raízes de x2-2x-3=0, são:
a) 3 e–1
b)–3 e 1 17 Resolva: x + 2 = 2x
c) 1 e 3 a) 2
d) –1 e –3 b) 3
e) 2 e 3 c) 4
d) 1
e) 0
12 O valor de m na equação x2–8x+m=0, de modo
que essa equação não tenha raiz real:
a) m=16 18 Resolva: 3x + 1 = 2x + 1
b) m<16 a) 1 d) –4
c) m>16 b) 0 e) 3
d) m<–16 c) –1
e) Nenhuma.
13 Resolva: 16x2+3x–10=0
a) {0; 3}
b) 0; 
3
 
 16 
c) {4;1}
d) {−1; 4}
e) Nenhuma.
Editora Exato 10

5. GABARITO
1
a) x=–3
11
b) −
4
−4
c)
5
2 B
3 B
4 A
5 D
6 C
7 C
8 C
9 C
10 C
11 A
12 C
13 E
14 C
15 A
16 A
17 A
18 B
Editora Exato 11