Limites2

1. Anotac~oes sobre limite de func~oes Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡ Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ rodrigo.uff.math@gmail.com ‡

3. Sumario 1 Limite de func~oes 3 1.1 Limite de fun¸cões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Limite e sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Propriedades aritméticas dos limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Fun¸cão de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Limite da composi¸cão de fun¸cões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Limites e desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1 Teorema do sandu´ıche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2 Critério de Cauchy para limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Limites no infinito e limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.1 Defini¸cões com limites de x → ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.2 Defini¸cões com limites de x → −∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5.3 Defini¸cões de limites tendendo ao infinito . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5.4 Defini¸cões de limites tendendo a menos infinito . . . . . . . . . . . 19 1.5.5 Critério de compara¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.5.6 lim x→a f(x) = ∞ e sequências. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.6 Limites de fun¸cões em espa¸cos métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.7 Stolz-Cesàro para limite de fun¸cões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2

4. Captulo 1 Limite de func~oes 1.1 Limite de func~oes m De

5. nic~ao 1 (Defini¸cão de limite). Sejam A ⊂ R um conjunto de números reais, f de A em R uma fun¸cão real cujo dom´ınio é A e a ∈ A′ um ponto de acumula¸cão do conjunto A. Definimos lim x→a f(x) = L sse ∀ 0; ∃ 0|x ∈ A; 0 |x − a| ⇒ |f(x) − L| : Dizemos que L é o limite de f quando x tende para a ou que limite de f(x) com x tendendo para a é L. 0 |x − a| significa que x ∈ (a − ; a) ∪ (a; a + ), ou x ∈ (a − ; a + ); x̸= a: Pela defini¸cão dada, não é necessário que a ∈ A em lim x→a f(x), precisamos apenas que a ∈ A′; isto é, todo intervalo (a−; a+) possua pontos de A distintos de a. A fun¸cão f pode mesmo não estar definida em a e quando está definida em a, não vale necessariamente lim x→a f(x) = f(a): Quando falarmos de limites usaremos sempre que a ∈ A′ onde A é o dom´ınio da fun¸cão da qual queremos estudar lim x→a f(x): 3

6. CAPITULO 1. LIMITE DE FUNC ~ OES 4 b Propriedade 1 (Unicidade do limite). Sejam A ⊂ R, f de A em R. Se lim x→a f(x) = L1 e lim f(x) = L2 então L1 = L2: ê Demonstrac~ao. ∀ 0 existem (1; 2)( 0) tais que para x ∈ A vale 0 x→a |x−a| 1 implica |f(x)−L1| 2 e 0 |x−a| 2 implica |f(x)−L2| 2 , usando a desigualdade triangular para = min{1; 2} segue |L1−L2| ≤ |L1−f(x)|+|f(x)−L2| o que significa que L1 = L2: b Propriedade 2 (Limite da fun¸cao ˜constante). Se g(x) = c para todo x ∈ A entao ˜lim g(x) = c: x→a ê Demonstrac~ao. Tem-se que g(x)−c = 0 logo |g(x)−c| = 0 ∀x ∈ A então ∀ 0 ∃ 0| x ∈ A, 0 |x − a| ⇒ |g(x) − c| = 0 : Z Exemplo 1. Seja f : R∗ → R dada por f(x) = x⌊ 1 x ⌋ então f(x) = 0 para x 1, pois 0 1 x 1 e da´ı ⌊ 1 x ⌋ = 0, isso implica que lim x→∞ x⌊ 1 x ⌋ = 0: b Propriedade 3 (Limite da fun¸cão identidade). Seja g : A → R dada por g(x) = x então vale lim x→a g(x) = a: Lembrando que a não necessariamente pertence ao conjunto A, então a princ´ıpio não tem-se g(a) = a: ê Demonstrac~ao. Tomamos = e da´ı Para 0 |x − a| tem-se |g(x) − a| = |x − a| = : ZExemplo 2. Dada uma fun¸cão r : R → R tal que lim h→0 r(h) h = 0 pode não vale que lim h→0 r(h) h2 = 0, por exemplo, r(h) = h2, tem-se r(h) h = h e r(h) h2 = 1: 1.1.1 Limite e sequências ⋆ Teorema 1 (Critério de sequências para limite). lim x→a f(x) = L ⇔ lim n→∞ f(xn) = L para toda sequência de pontos xn ∈ A {a} tal que lim xn = a:

7. CAPITULO 1. LIMITE DE FUNC ~ OES 5 ê Demonstrac~ao. ⇒.Suponhamos que lim x→a f(x) = L e lim xn = a com xn ∈ A{a}. Pela defini¸cão de limite tem-se que ∀ 0 ,∃ 0 tal que 0 |x − a| ; x ∈ A ⇒ |f(x) − L| e pelo limite da sequência ∀1 0; ∃n0 ∈ N|n n0 ⇒ 0 |xn−a| 1, como é garantida a rela¸cão para qualquer 1 0, tomamos 1 = de onde segue 0 |xn − a| , usando essa desigualdade com a defini¸cão do limite de f(x) segue |f(xn) − L| que implica lim f(xn) = L: ⇐ Agora para provar a rec´ıproca, vamos usar a contrapositiva que é lim x→a f(x)̸= L ⇒ lim f(xn)̸= L: ∃ 0 tal que ∀n ∈ N podemos obter xn ∈ A com 0 |xn − a| 1 n e |f(xn) − L)| ≥ : Então xn → a; mas não se tem lim f(xn) = L: $Corolario 1 (Critério de divergência por sequências). Dadas duas sequências (xn); (yn) ∈ A {a} com lim xn = lim yn = a então se lim f(xn)̸= lim f(yn) ou um deles não existir, então lim x→a f(x) não existe. ZExemplo 3. Sejam f : gR → R definidas como ˆ f(x) = 0 se x ∈ R Q, f(x) = x se x ∈ Q: ˆ g(0) = 1 e g(x) = 0 se x̸= 0: Nessas condi¸cões vale lim x→0 f(x) = lim x→0 g(x) = 0 e não existe lim x→0 g(f(x)): Vale lim x→0 f(x) = 0, pois tomamos = então par 0 |x| vale |f(x)| = , tanto para x irracional, pois no caso vale |f(x)| = 0 , tanto no caso de x racional pois nesse caso vale |f(x)| = |x| = , então em qualquer desses casos temos |f(x)| : Também vale que lim x→0 g(x) = 0, pois tomando = , 0 |x| implica x não nulo, portanto g(x) = 0 e da´ı |g(x)| = 0 = : Não existe lim x→0 g(f(x)): Seja xn → 0 por valores racionais, então f(xn) = xn e da´ı lim g(f(xn)) = lim g(xn) = 0. Tomando yn → 0 por valores irracionais temos f(yn) = 0 e lim g(f(yn)) = lim g(0) = 1;

8. CAPITULO 1. LIMITE DE FUNC ~ OES 6 logo não pode existir lim x→0 g(f(x)), pois o limite depende de como se aproxima de zero (usamos o critério de divergência por meio de sequências). b Propriedade 4. Se ∀(xn) em A {a} com lim xn = a implicar (f(xn)) convergente então lim x→a f(x) existe. ê Demonstrac~ao. Usaremos que lim x→a f(x) = L ⇔ ∀ (zn) ∈ A {a} com lim zn = a vale lim f(zn) = L: Por isso vamos tomar duas sequências arbitrárias (xn) e (yn) com lim xn = lim yn = a em A {a} e vamos mostrar que lim f(xn) = lim f(yn): Tomamos (zn) definida como z2n = xn e z2n−1 = yn, da´ı lim zn = a, portanto lim f(zn) existe, como (f(xn)) e (f(yn)) são subsequências de (f(zn)) entao ˜elas convergem para o mesmo limite L, da´ı provamos que ∀ (zn) ∈ A {a} com lim zn = a vale lim f(zn) = L que implica lim f(x) = L. x→a b Propriedade 5. Seja f : A → R; a ∈ A′, B = f(A {a}): Se lim x→a f(x) = L então L ∈ B: Tal propriedade significa que o limite L pertence ao fecho da imagem f(A {a}), isto é, existem pontos de f(A {a}) arbitrariamente próximos de L. ê Demonstrac~ao. Usaremos o critério de sequências. Como lim x→a f(x) = L, então existe sequência (xn) em A {a} tal que lim f(xn) = L, da´ı tome f(xn) = yn; (yn) é uma sequência em f(A {a}) tal que lim yn = L, portanto L ∈ B: ZExemplo 4. lim x→0 sen( 1 x ) não existe. Tomamos as sequências xn = 1 2n e yn = 1 2n + 2 vale lim xn = 0 = lim yn e sen( 1 xn ) = sen(2n) = 0 e sen(2n+ 2 ) = 1 logo os limites são distintos então lim x→0 sen( 1 x ) não existe. Em geral, existe t ∈ R tal que sen(t) = v ∈ [−1; 1], tomando xn = 1 t + 2n vale lim xn = 0 e sen( 1 xn ) = sen(t + 2n) = sen(t) = v: ZExemplo 5. lim x→0 1 x não existe, pois se existisse seria um número real a e tomando a sequência xn = 1 n , ter´ıamos que ter lim n = a o que não acontece, pois vale lim n = ∞:

9. CAPITULO 1. LIMITE DE FUNC ~ OES 7 ZExemplo 6. lim x→a ⌊x⌋ não existe se a ∈ Z: Tomamos as sequências que convergem para a, xn = a − 1 n + 1 e yn = a + 1 n + 1 , da´ı ⌊xn⌋ = a − 1 e ⌊yn⌋ = a, logo essas sequências não tem o mesmo limite, implicando que não existe lim x→a ⌊x⌋. Z Exemplo 7. Seja f : R {0} dada por f(x) = |x| x , então lim x→0 |x| x não existe. Se x 0 então |x| x = x x = 1 se x 0, |x| x = −x x = −1, tomamos uma sequência xn = 1 n da´ı f(xn) = 1 e tomando yn = −1 n tem-se f(yn) = −1, os limites são distintos, logo lim x→0 |x| x não existe. ZExemplo 8. Se a não é inteiro, então lim ⌊x⌋ = ⌊a⌋: x→a Dado a não inteiro, tem-se que a ∈ (m;m+1) onde m é inteiro, logo podemos escolher 0 tal que (a − ; a + ) ⊂ (m;m + 1) e da´ı para esses valores, vale ⌊x⌋ = m = ⌊a⌋, implicando que ⌊x⌋ − ⌊a⌋ para qualquer 0: b Propriedade 6. (ver isso depois) Sejam f; gA → R: Se g(x) é limitada numa vizi-nhan ¸ca de a e lim x→a f(x) = 0 então lim x→a f(x):g(x) = 0: ê Demonstrac~ao. Tomamos uma sequência (xn) em A tal que lim xn = a, temos que (g(xn)) é limitada e lim f(xn) = 0, logo lim f(xn)g(xn) = 0, por propriedade de sequências, como a sequência (xn) é arbitrária, segue que lim x→a f(x):g(x) = 0: ZExemplo 9. lim x→0 x⌊ 1 x ⌋ = 1 pois escrevemos 1 x = ⌊ 1 x ⌋ + { 1 x } da´ı x⌊ 1 x ⌋ = 1 − x{ 1 x } como { 1 x } é limitada, segue que lim x→0 x⌊ 1 x ⌋ = 1: 1.2 Propriedades aritmeticas dos limites b Propriedade 7 (Limite da soma). Se lim x→a f(x) = L e lim x→a g(x) = M então lim x→a f(x)+ g(x) = L +M:

10. CAPITULO 1. LIMITE DE FUNC ~ OES 8 ê Demonstrac~ao. Tomamos uma sequência (xn) em A com lim xn = a, da´ı temos lim f(xn) = L e lim g(xn) = M, e por propriedade de limite de sequências lim f(xn) + g(xn) = L +M, pela arbitrariedade da sequência (xn) conclu´ımos que lim x→a f(x) + g(x) = L +M: b Propriedade 8. Se lim x→a fk(x) = Lk então lim x→a Σn k=1 fk(x) = Σn k=1 Lk: ê Demonstrac~ao. b Propriedade 9 (Limite do quociente). Se lim x→a f(x) = L e lim x→a g(x) = M̸= 0 então lim x→a f(x) g(x) = L M : ê Demonstrac~ao. Tomamos uma sequência (xn) em A com lim xn = a, da´ı temos lim f(xn) = L e lim g(xn) = M, e por propriedade de limite de sequências lim f(xn) g(xn) = L M pela arbitrariedade da sequência (xn) conclu´ımos que lim x→a f(x) g(x) = L M : b Propriedade 10 (Limite do produto). Se lim x→a f(x) = L e lim x→a g(x) = M̸= 0 então lim x→a f(x)g(x) = L:M ê Demonstrac~ao. Tomamos uma sequência (xn) em A com lim xn = a, da´ı temos lim f(xn) = L e lim g(xn) = M, e por propriedade de limite de sequências lim f(xn)g(xn) = LM pela arbitrariedade da sequência (xn) conclu´ımos que lim x→a f(x)g(x) = L:M b Propriedade 11. Se lim x→a fk(x) = Lk então lim x→a Πn k=1 fk(x) = Πn k=1 Lk: $ Corolario 2. Se p ∈ N, f : A → R dada por f(x) = xp então lim x→a xp = ap:

11. CAPITULO 1. LIMITE DE FUNC ~ OES 9 $ Corolario 3. Se f : A → R ´e polinomial f(x) = Σn k=0 akxk ent˜ao lim x→c Σn k=0 akxk = Σn k=0 akck: ê Demonstrac~ao. 1.2.1 Func~ao de Dirichlet m De

12. nic~ao 2 (Fun¸cão de Dirichlet). É a fun¸cão g : R → R definida como g(x) =   =∈ 1 se x ∈ Q 0 se x Q b Propriedade 12. Para qualquer a ∈ R não existe lim x→a g(x): ê Demonstrac~ao. Como Q e R Q são ambos densos em R, podemos tomar uma sequência de racionais (xn) que converge para a e da´ı g(xn) = 1, então lim g(xn) = 1, porém tomando uma sequência (yn) de irracionais tais que lim(yn) = a, temos g(yn) = 0 e lim g(yn) = 0, como os limites são diferentes segue que lim x→a g(x) não existe. 1.2.2 Limite da composic~ao de func~oes ⋆ Teorema 2 (Limite da composi¸cão de fun¸cões). Sejam A;B ⊂ R, f de A em R e g de B em R com f(A) ⊂ B. Se lim x→a f(x) = b e lim y→b g(y) = c ainda com c = g(b), tem-se lim x→a g(f(x)) = c: ê Demonstrac~ao. Da existência do limite de g(x) temos que para todo 0 existe 1 0 tal que y ∈ B, |y − b| 1 ⇒ |g(y) − c| , onde tiramos a restri¸cão de y̸= b, pois no caso y = b a propriedade vale. Agora usando a existência do limite de f tomando 1 como f , para f, temos que para 1 existe 2 0 tal que x ∈ A, 0 |x − a| 2 ⇒ |f(x) − b| 1 como f(x) ∈ B, podemos tomar y = f(x) de onde do primeiro limite que |g(f(x)) − c| implicando que lim x→a g(f(x)) = c: Se x̸= a implicar f(x)̸= b ainda teremos a propriedade pois , repetindo o argumento com pequenas altera¸cões:

13. CAPITULO 1. LIMITE DE FUNC ~ OES 10 Da existência do limite de g(x) temos que para todo 0 existe 1 0 tal que y ∈ B, 0 |y − b| 1 ⇒ |g(y) − c| , onde agora mantemos a restri¸cão de y̸= b. Usando a existência do limite de f tomando 1 como f , para f, temos que para 1 existe 2 0 tal que x ∈ A, 0 |x − a| 2 ⇒ 0 |f(x) − b| 1 ( aqui usamos que x̸= a implica f(x)̸= b) como f(x) ∈ B, podemos tomar y = f(x) de onde do primeiro limite que |g(f(x)) − c| implicando que lim x→a g(f(x)) = c: ZExemplo 10. Nesse exemplo mostramos que é necessário supor g(b) = c. Suponha que g(x) = x; ∀x̸= 1 e g(1) = 0: Temos que lim x→1 g(x) = 1̸= g(1) = 0: Tomando f(x) = 1; ∀x, segue que lim x→a f(x) = 1; porém lim x→a g(f(x)) = lim x→a g(1) = 0̸= lim x→1 g(x) = 1: 1.3 Limites e desigualdades 1.3.1 Teorema do sanduche ⋆ Teorema 3 (Teorema do sandu´ıche). Sejam f; g; h de A em R, a ∈ A′ e lim x→a f(x) = lim x→a g(x) = L. Se f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) para todo x ∈ A {a} então lim x→a h(x) = L: ê Demonstrac~ao. ∀ 0 ∃(1; 2)( 0) tais que x ∈ A; 0 |x − a| 1 ⇒ L − f(x) L + e 0 |x − a| 2 ⇒ L − g(x) L + , tomando = min{1; 2} tem-se L − f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) L + que implica lim x→a h(x) = L:

14. CAPITULO 1. LIMITE DE FUNC ~ OES 11 b Propriedade 13. Sejam f; g de A em R, a ∈ A′,se lim x→a f(x) = L e lim x→a g(x) = M com M L então existe 0 tal que g(x) f(x) para todo x ∈ A com 0 |x − a| : ê Demonstrac~ao. Pela defini¸cão de limite temos ∀ 0, ∃1 0 tal que x ∈ A , 0 |x−a| 1 implica f(x) ∈ (L−;L+) e o mesmo para g(x) , ∃2 0 tal que x ∈ A , 0 |x − a| 2 implica g(x) ∈ (M − ;M + ), podemos tentar tomar M − = L + , M − L com isso 2 = , como M L tal cumpre a condi¸cão 0, tomando = M − L 2 e = min{1; 2} tem-se f(x) L − = M − g(x), isto é, f(x) g(x) para x ∈ A, 0 |x − a| : $ Corolario 4. Se lim x→a f(x) = L M então existe 0 tal que f(x) M para todo x ∈ A com 0 |x − a| : Tome g(x) = M para todo x ∈ A, assim lim x→a g(x) = M e aplicamos a propriedade anterior. $ Corolario 5. Sejam lim x→a f(x) = L e lim x→a g(x) = M. Se g(x) ≥ f(x) para todo x ∈ A − {a} então M ≥ L: Pois se fosse L M, existiria 0 tal que f(x) g(x) para 0 |x − a| o que entra em contradi¸cão com g(x) ≥ f(x): $ Corolario 6 (Conserva¸cão de sinal). Se lim x→a g(x) = M 0 então existe 0 tal que g(x) 0 para todo x ∈ A com 0 |x−a| , tomamos f(x) = 0 e usamos a propriedade já demonstrada. b Propriedade 14 (Existência de limite e limita¸cão da fun¸cão). Sejam X ⊂ R, f : X → R, a ∈ X′: Se existe lim x→a f(x) então f é limitada numa vizinhan¸ca de a, isto é, existem A 0, 0 tais que 0 |x − a| , x ∈ X ⇒ |f(x)| A: Seja L = lim x→a f(x) e = 1 na defini¸cão de limite, então existe 0|x ∈ X; 0 |x − a| ⇒ |f(x) − L| 1 L − 1 f(x) L + 1 multiplicando por −1 segue e invertendo as desigualdades tem-se −L − 1 −f(x) −L + 1

15. CAPITULO 1. LIMITE DE FUNC ~ OES 12 como temos L ≤ |L| e −L ≤ |L| segue L + 1 ≤ |L| + 1 e −L + 1 ≤ |L| + 1 e −f(x) ≤ |L| + 1; f(x) ≤ |L| + 1 ⇒ |f(x)| ≤ |L| + 1 tomando A = |L| + 1 segue a propriedade. 1.3.2 Criterio de Cauchy para limites b Propriedade 15. lim x→a f(x) existe sse ∀ 0 ∃ 0 |0 |x − a| ; 0 |y − a| ⇒ |f(x) − f(y)| : ê Demonstrac~ao. Se lim x→a f(x) = L então ∀ 0; ∃ 0 | x; y ∈ A; |x − a| ; |y − a| ⇒ |f(x) − b| 2 ; |f(y) − b| 2 tomando a desigualdade triangular segue |f(x) − f(y)| ≤ |f(y) − b| + |f(x) − b| 2 + 2 = logo nessas condi¸cões |f(x) − f(y)| : Para toda sequência de pontos (xn) em A com lim xn = a, com as condi¸cões dadas a sequência (f(xn)) é de Cauchy em R como R é completo ela converge o que implica que existe o limite lim x→a f(x): 1.4 Limites laterais m De

16. nic~ao 3 (Limite à direita). Seja a ponto de acumula¸cão à direita de A, isto é, ∀ 0 vale A ∩ (a; a + )̸= ∅ então lim x→a+ f(x) = L ⇔ ∀ 0 ∃ 0; x ∈ A; 0 x − a ⇒ |f(x) − L| : Podemos escrever 0 x − a como a x a + : m De

17. nic~ao 4 (Limite à esquerda). Seja a ponto de acumula¸cão à esquerda de A; isto é,∀ 0 vale A ∩ (a − ; a)̸= ∅ então lim x→a− f(x) = L ⇔ ∀ 0 ∃ 0; x ∈ A; 0 a − x ⇒ |f(x) − L| :

18. CAPITULO 1. LIMITE DE FUNC ~ OES 13 Podemos denotar os limites laterais como lim x→a− f(x) = f(a−) lim x→a+ f(x) = f(a+): b Propriedade 16. Sejam X ⊂ R; f : X → R, a ∈ X ′ +: Tomando Y = X ∩ (a;+∞) e g = f|Y então lim x→a+ f(x) = L ⇔ lim x→a g(x) = L: ê Demonstrac~ao. Se x ∈ Y temos x ∈ (a;+∞), de onde segue a x; 0 x − a: Se lim x→a+ f(x) = L ⇒ ∀ 0; ∃ 0 | x ∈ X; 0 x − a ⇒ f(x) ∈ (L − ; L + ) de x ∈ X e 0 x − a, implica x ∈ Y e nesse intervalo g = f logo f(x) ∈ (L − ;L + ) que implica lim x→a g(x) = L: Se lim x→a g(x) = L então ∀ 0; ∃ 0 | x ∈ Y; 0 x − a ⇒ |g(x) − L| mas em Y , g = f então |f(x) − L| que implica lim x→a+ f(x) = L: b Propriedade 17. Seja A ⊂ R, f : A → R e a ∈ A ′ + ′ − então lim ∩ A x→a f(x) = L sse existem e são iguais os limites laterais lim x→a+ x→a− f(x) f(x) = L = lim ê Demonstrac~ao. Se lim x→a+ x→a− f(x) então ∀ 0; ∃(1; 2)( 0) tais f(x) = L = lim que x ∈ X ∩(a; a+1) implica |f(x)−L| e x ∈ X ∩(a−2; a) implica |f(x)−L| . Tomando = min{1; 2} então x ∈ (a − ; a) ∪ (a; a + ) implica |f(x) − L| e lim f(x) = L. Falta a outra parte. x→a b Propriedade 18. Sejam A ⊂ R, f : A → R uma fun¸cão monótona limitada, a ∈ A′ + e b ∈ A′ −: Então existem os limites laterais lim x→a+ f(x) = L; lim x→b− f(x) = M:

19. CAPITULO 1. LIMITE DE FUNC ~ OES 14 ê Demonstrac~ao. Seja B = inf{f(x); x ∈ A; x a}, tal conjunto é não vazio pois a é ponto de acumula¸cão à direita e limitado inferiormente , pois f é limitada inferiormente, logo ele possui ´ınfimo L . L+ não é cota inferior de B , logo existe 0 tal que a+ ∈ A e vale L ≤ f(a + ) L + , como f é não-decrescente tem-se com a x a + que L ≤ f(x) f(a + ) L + da´ı lim x→a+ f(x) = L. ZExemplo 11. Vale lim x→a+ ⌊x⌋ = a e lim x→a− ⌊x⌋ = a − 1 logo não existe o limite lim ⌊x⌋ x→a se a é inteiro. Podemos tomar 1 com a x a + a + 1 e nesse intervalo vale ⌊x⌋ = a logo lim x→a+ ⌊x⌋ = a, da mesma maneira tem-se a − 1 a − x a, logo nesse intervalo vale ⌊x⌋ = a − 1 de onde tem-se lim x→a− ⌊x⌋ = a − 1 . b Propriedade 19. lim x→a+ x→a− f(x) = L) ⇔ ∀(xn) em A decrescente (cres-cente) f(x) = L ( lim com lim xn = a tem-se lim f(xn) = L: ê Demonstrac~ao. Vale que lim x→a+ f(x) = L ⇔ lim x→a g(x) = L onde g : B → R onde B = A ∩ (a;∞): Porém lim x→a g(x) = L ⇔ ∀(xn) em B com lim xn = a vale lim g(xn) = L: Vamos então provar a propriedade. ⇒): Se lim x→a+ f(x) = L então lim x→a g(x) = L que implica ∀(xn) em B com lim xn = a vale lim g(xn) = L, em especial para as sequências (xn) que sejam decrescentes. ⇐): Vamos usar a contrapositiva que é se lim x→a g(x)̸= L então existe (xn) em A decres-cente com lim xn = a tal que lim g(xn)̸= L: Supondo que temos lim x→a g(x)̸= L então existe sequência (yn) em B com lim yn = a tal que lim g(yn)̸= L, como (yn) ∈ (a; a + ) ∩ A, podemos tomar (xn) subsequência de (yn) tal que lim xn = a e lim g(xn)̸= L (pois as subsequências devem convergir para o mesmo valor das sequências), assim fica provado o resultado. ZExemplo 12. Tomamos f : R {0} → 1 R definida como f(x) = 1 + a 1 x com a 1, vamos analisar os limites laterais lim x→0+ f(x) e lim x→0− f(x): Seja (xn) em R {0} tal que lim xn = 0 então vale lim a 1 xn = ∞, pois como lim xn = 0 podemos tomar c 0 tal que ac M 0 arbitrário e 0 xn0 1 c 1 da´ı axn0 a 1 c ⇒ M ac a 1 xn0 e como xn é decrescente para n0 n vale xn xn0 portanto axn axn0 ⇒ M a 1 xn0 a 1 xn logo lim a 1 xn = ∞ de onde segue que lim f(xn) = lim 1 1 + a 1 xn = 0 que por sua vez implica lim x→0+ f(x) = 0:

20. CAPITULO 1. LIMITE DE FUNC ~ OES 15 Admitimos agora (yn) crescente em R {0} tal que lim yn = 0: a 1 yn = 1 a 1 −yn , como yn+1 yn segue que −yn −yn+1, (−yn) é decrescente e tende a zero logo pelo resultado 1 1 anterior lim a −yn = ∞ ⇒ lim a yn = lim 1 a 1 −yn = 0, portanto lim 1+a 1 yn = 1 e lim f(xn) = lim 1 1 + a 1 xn = 1 da´ı vale lim x→0− f(x) = 1: b Propriedade 20. Seja f : A → R monótona. Se existe (xn) em A com xn a, lim xn = a e lim f(xn) = L então lim x→a+ f(x) = L: ê Demonstrac~ao. Suponha f não decrescente, vamos mostrar que B = {f(x); x ∈ R; x a} é um conjunto limitado inferiormente. Dado x arbitrário e fixo tal que x a existe xn a que satisfaz x xn a, pois lim xn = a, f não decrescente implica f(x) ≥ f(xn), como (f(xn)) é convergente, vale que tal sequência é limitada inferiormente, portanto existe M tal que f(xn) M ∀n ∈ N da´ı f(x) ≥ f(xn) M para f(x) ∈ B arbitrário, logo B é limitado inferiormente. Por B ser limitado inferiormente ele possui ´ınfimo . Seja L′ = inf B = inf{f(x); x ∈ R; x a}, vale que lim x→a f(x) = L′ (resultado já demonstrado), disso segue pelo critério de sequências para limite lateral que lim f(xn) = L′ = L, pela unicidade de limite, portanto lim x→a f(x) = L: ZExemplo 13. Seja f : R{0} dada por f(x) = sen( 1 x ) 1 1 + 2 1 x . Determine o conjunto dos pontos L tais que lim f(xn) = L, com lim xn = 0; xn̸= 0: Tomando o módulo da expressão

24. sen( 1 x ) 1 1 + 2 1 x

28. = 1 1 + 2 1 x 1 pois 0 2 1 x , da´ı não podemos ter limites dessa expressão fora do intervalo [−1; 1], vamos mostrar que temos limites em cada ponto desse intervalo . Existe −t ∈ R tal que sen(−t) = v ∈ [−1; 1]:, Tomando xn = −1 t + 2n vale sen( 1 xn ) = sen(−t) = v, além disso (xn) é decrescente com lim xn = 0, portanto vale lim f(xn) = v lim 1 + 2 1 xn = v, pois o limite no denominador resulta em 1 (limite já calculado).

29. CAPITULO 1. LIMITE DE FUNC ~ OES 16 1.5 Limites no in

30. nito e limites in

31. nitos 1.5.1 De

32. nic~oes com limites de x → ∞ m De

33. nic~ao 5. Seja A ⊂ R ilimitado superiormente e f : A → R, dizemos que lim x→∞ f(x) = L ⇔ ∀ 0 ∃A 0; x A ⇒ |f(x) − L| : Tal defini¸cão abrange a defini¸cão para limite de sequências, que é tomada como o caso A = N: m De

34. nic~ao 6. lim x→∞ f(x) = ∞ ⇔ ∀A 0; ∃B 0 | x B ⇒ f(x) A: b Propriedade 21. Se lim x→∞ f(x) = ∞ então lim x→∞ 1 f(x) = 0: ê Demonstrac~ao. Pela primeira propriedade temos ∀B 0; ∃A 0 | x A ⇒ f(x) B então a fun¸cão assume apenas valores positivos a partir de certo valor de x, se f(x) 0 então 0 1 f(x) 1 f(x) 1 B = logo vale lim x→∞ 1 f(x) = 0: ZExemplo 14. Pode acontecer de lim x→∞ 1 f(x) = 0 porém lim x→∞ f(x)̸= ∞, como o caso de f(x) = −x vale lim x→∞ 1 −x = 0 e lim x→∞ −x = −∞: m De

35. nic~ao 7. lim x→∞ f(x) = −∞ ⇔ ∀A 0; ∃B 0 | x B ⇒ f(x) −A:

36. CAPITULO 1. LIMITE DE FUNC ~ OES 17 b Propriedade 22. Seja f : B → R limitada superiormente e não-decrescente, B ilimitado superiormente então lim x→∞ f(x) = sup{f(x); x ∈ B}: ê Demonstrac~ao. f é limitada superiormente logo existe sup{f(x); x ∈ B} = L. Como L é o supremo, dado 0, existe xA ∈ B tal que f(xA) ∈ (L − ;L], como f é não-decrescente temos para x xA, L ≥ f(x) ≥ f(xA), logo f(x) ∈ (L − ;L] o que implica lim x→∞ f(x) = L: b Propriedade 23 (Limite da soma). Sejam g; f definidas em B ⊂ R ilimitado. Se lim f(x) = L1 e lim g(x) = L2 então x→∞ x→∞ lim x→∞ f(x) + g(x) = L1 + L2: ê Demonstrac~ao. Dado 0 arbitrário existe A1 0 tal que x ∈ B; x A1 implica |f(x) − L1| e existe A2 0 tal que x ∈ B; x A2 implica |f(x) − L1| 2 |g(x)−L2| 2 pela existência de lim x→∞ f(x) = L1 e lim x→∞ g(x) = L2, tomando A A1+A2 valem ambas propriedades descritas e da´ı temos por desigualdade triangular |f(x) + g(x) − (L1 + L2)| ≤ |f(x) − L1| + |g(x) − L2| 2 + 2 = : 1.5.2 De

37. nic~oes com limites de x → −∞ m De

38. nic~ao 8. Seja A ⊂ R ilimitado inferiormente e f : A → R, dizemos que lim x→−∞ f(x) = L sse ∀ 0 ∃A 0; x −A ⇒ |f(x) − L| : m De

39. nic~ao 9. lim x→−∞ f(x) = −∞ sse ∀A 0; ∃B 0 | x −B ⇒ f(x) −A: m De

40. nic~ao 10. lim x→−∞ f(x) = ∞ sse ∀A 0; ∃B 0 | x −B ⇒ f(x) A:

41. CAPITULO 1. LIMITE DE FUNC ~ OES 18 1.5.3 De

42. nic~oes de limites tendendo ao in

43. nito m De

44. nic~ao 11. Dizemos que lim x→a+ f(x) = ∞ quando ∀A 0; ∃ 0 | 0 x − a ⇒ f(x) A: m De

45. nic~ao 12. Dizemos que lim x→a− f(x) = ∞ quando ∀A 0; ∃ 0 | 0 a − x ⇒ f(x) A: m De

46. nic~ao 13. Dizemos que lim x→a f(x) = ∞ quando ∀A 0; ∃ 0 | 0 |x − a| ⇒ f(x) A: Negar que lim x→a f(x) = ∞ significa dizer ∃A 0; ∀ 0 | ∃x ∈ A com 0 |x − a| e f(x) A: b Propriedade 24. Se lim x→a f(x) = ∞ e lim x→a g(x) = ∞ então lim x→a (f(x) + g(x)) = ∞: Intuitivamente, temos que se f(x) e g(x) assumem valores arbitrariamente grandes com x próximo de a, então f(x) + g(x) também assume valor arbitrariamente grande nessas condi¸cões. Por isso dizemos que ∞ + ∞ não é uma forma indeterminada, ela é determinada com valor ∞: ê Demonstrac~ao. Seja A 0 arbitrário , temos por condi¸cões de que lim x→a f(x) = ∞ e lim x→a g(x) = ∞ , existem 1 0 e 2 0 tais que 0 |x − a| 1 ⇒ f(x) A; 0 |x − a| 2 ⇒ g(x) A; tomando então = min{1; 2} segue que tanto f(x) A e g(x) A para |x − a| , por isso também temos f(x) + g(x) 2A A com |x − a| e da´ı segue que lim (f(x) + g(x)) = ∞ , por defini¸cao ˜de limite infinito . x→a

47. CAPITULO 1. LIMITE DE FUNC ~ OES 19 b Propriedade 25. Se lim x→a f(x) = ∞ e g(x) c 0 numa vizinhan¸ca de a então lim x→a f(x):g(x) = ∞: ê Demonstrac~ao. Para todo A 0 existe 0 tal que x ∈ (a − ; a + ) implica g(x) c e f(x) A c , da´ı g(x):f (x) A o que implica lim x→a f(x):g(x) = ∞: ZExemplo 15. lim x→0 1 x2 (2 + sen( 1 x )) = ∞ pois o limite da primeira fun¸cão é infinito e a segunda fun¸cão é limitada inferiormente por 1 . 1.5.4 De

48. nic~oes de limites tendendo a menos in

49. nito m De

50. nic~ao 14. Dizemos que lim x→a+ f(x) = −∞ quando ∀A 0; ∃ 0 | 0 x − a ⇒ f(x) −A: m De

51. nic~ao 15. Dizemos que lim x→a− f(x) = −∞ quando ∀A 0; ∃ 0 | 0 a − x ⇒ f(x) −A: m De

52. nic~ao 16. Dizemos que lim x→a f(x) = −∞ quando ∀A 0; ∃ 0 | 0 |x − a| ⇒ f(x) −A: $ Corolario 7. Se lim x→a f(x) = ∞ então f é ilimitada numa vizinhan¸ca de a. Pois para qualquer A 0 que escolhermos, irá existir 0 tal que |x − a| implique f(x) A, logo f não é limitada. $ Corolario 8. Se lim x→a f(x) = −∞ então f é ilimitada numa vizinhan¸ca de a. Pois para qualquer A 0 que escolhermos, irá existir 0 tal que |x−a| implique f(x) −A, logo f não é limitada. b Propriedade 26 (Unicidade do limite). Se lim x→a f(x) = ∞ então não acontece de lim x→a f(x) = L para algum L real ou lim x→a f(x) = −∞:

53. CAPITULO 1. LIMITE DE FUNC ~ OES 20 ê Demonstrac~ao. Se lim x→a f(x) = L então f seria limitada numa vizinhan¸ca de a, o que não pode acontecer. Se lim x→a f(x) = −∞ então existiria 0 tal que |x − a| implicaria f(x) −A e por lim x→a f(x) = ∞ implicaria existir 1 0 tal que |x − a| 1 implica f(x) A, tomando 2 min{; 1} ter´ıamos que ter f(x) A e f(x) −A, logo f(x) 0 e f(x) 0 o que é absurdo. 1.5.5 Criterio de comparac~ao bPropriedade 27 (Critério de compara¸cão). Se g(x) ≥ f(x) numa vizinhan¸ca qualquer de a, então lim x→a f(x) = ∞ implica lim x→a g(x) = ∞, isto é, se a fun¸cão ”menor”tende ao infinito a ”maior”também tende ao infinito. ê Demonstrac~ao. Existe 0 tal que x ∈ A; |x − a| implica g(x) ≥ f(x), como lim x→a f(x) = ∞ então para todo A 0 existe 1 0 tal que |x − a| 1 implica f(x) A, tomando 2 min{1; } tem-se que g(x) ≥ f(x) e f(x) A da´ı g(x) A o que implica lim x→a g(x) = ∞: $ Corolario 9. Se lim x→a f(x) existe e lim x→a g(x) = ∞ então g(x) f(x) numa vizinhan¸ca de a, pois f é limitada valendo f(x) ≥ |f(x)| A e g é ilimitada numa vizinhan¸ca de a valendo g(x) A f(x): Z Exemplo 16. lim x→0 1 |x| = ∞ pois para qualquer A 0 tomando = 1 A tem-se de 0 |x| 1 A que A 1 |x| logo lim x→0 1 |x| = ∞. ZExemplo 17. Tomando −1 x 1; x̸= 0 tem-se 0 |x| 1 e da´ı |x|2 |x|, isto é, x2 |x| logo 1 x2 1 |x| isso implica que lim x→0 1 x2 = 0 pelo critério de compara¸cão. b Propriedade 28 (Teorema do sandu´ıche). Se vale f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para x sufici-entemente grande, se lim x→∞ f(x) = lim x→∞ h(x) = L então lim x→∞ g(x) = L: ê Demonstrac~ao. Existem A1;A2 0 tais que para x A1 vale L − ≤ f(x) ≤ L + para x A2 vale L − ≤ g(x) ≤ L +

54. CAPITULO 1. LIMITE DE FUNC ~ OES 21 e para x A3 vale f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) , tomando B A1 + A2 + A3 e x B segue que L − ≤ f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) ≤ L + que implica lim x→∞ g(x) = L. 1.5.6 lim x→a f(x) = ∞ e sequências. b Propriedade 29. lim x→a f(x) = ∞ sse lim f(xn) = ∞ com xn ∈ B {a} e lim xn = a: ê Demonstrac~ao. ⇒. Do limite da fun¸cão tem-se ∀A 0; ∃ 0 tal que 0 |x−a| implica f(x) A, do limite da sequência temos que existe n0 ∈ N tal que n n0 implica |xn − a| e da´ı f(xn) A que significa lim f(xn) = ∞: ⇐. Usaremos a contrapositiva. Existe A 0 tal que podemos construir uma sequência xn que satisfaz 0 |xn − a| 1 n e f(xn) A, da´ı lim xn = a e lim f(xn)̸= ∞: b Propriedade 30. Seja P : R → R com P(x) = Σn k=0 akxk com an̸= 0; n ≥ 1. Se n é par então lim x→∞ P(x) = lim x→−∞ P(x) sendo ∞ se an 0 e −∞ se an 0. Se n é ´ımpar então lim x→∞ P(x) = ∞ e lim x→−∞ P(x) = −∞ com an 0 e lim x→∞ P(x) = −∞ e lim x→−∞ P(x) = ∞ se an 0. ê Demonstrac~ao. Escrevemos P(x) = anxn →1 z }| { Σn−1 ( k=0 ak anxn−k | {z } →0 +1). Se n é par lim x→∞ xnan = ∞ = lim x→−∞ xnan com an 0 e lim x→∞ xnan = −∞ = lim x→−∞ xnan se an 0; portanto o mesmo segue para P(x). Se n é ´ımpar, lim x→∞ xnan = ∞ e lim x→−∞ xnan = −∞ com an 0, caso an 0 tem-se lim x→∞ xnan = −∞ e lim x→−∞ xnan = ∞. b Propriedade 31. Seja f : [a;∞) → R limitada. Para cada t ≥ a definimos Mt = sup{f(x) | x ∈ [t;∞)} = supAt mt = inf{f(x) | x ∈ [t;∞)} = supAt

55. CAPITULO 1. LIMITE DE FUNC ~ OES 22 wt = Mt − mt, chamada de oscila¸cão de f em I = [t;∞): Nessas condi¸cões, existem lim Mt e lim mt: t→∞ t→∞ ∃ lim t→∞ f(t) ⇔ lim t→∞ wt = 0: ê Demonstrac~ao. Mt é não-crescente e mt é não-decrescente. Se s t vale que {f(x) | x ∈ [s;∞} = As ⊂ {f(x) | x ∈ [t;∞)} = At, portanto supAt ≥ supAs, implicando Mt ≥ Ms logo mt é não-crescente. Da mesma maneira mt é não-decrescente, pois de As ⊂ At segue inf As ≥ inf At e da´ı ms ≥ mt que significa que mt é não-decrescente. Ambas fun¸cões são limitadas logo os limites lim t→∞ Mt e lim t→∞ mt existem. lim t→∞ Mt = L; lim t→∞ mt = l ⇒ lim t→∞ wt = L − l: Agora provamos a equivalência enunciada. ⇐): Se lim t→∞ wt = 0 então ⇒ lim t→∞ f(t) existe. Vale que mt ≤ f(t) ≤ Mt (pois mt e Mt são ´ınfimo e supremo respectivamente), se ⇒ lim t→∞ wt = 0 então L − l = 0 ⇒ L = l; da´ı por teorema do sandu´ıche tem-se L = lim t→∞ mt ≤ lim t→∞ f(t) ≤ lim t→∞ Mt = L de onde segue lim t→∞ f(t) = L: ⇒): Se lim t→∞ f(t) = L então ∀ 0 ∃x ≥ a tal que para t ≥ a vale L− f(t) L+, logo L − ≤ mt ≤ f(t) ≤ Mt ≤ L + pois mt é ´ınfimo e Mt é supremo, portanto Mt − mt ≤ 2 (pois ambos pertencem ao intervalo (L − ;L + )) e isso implica que lim Mt = lim mt = L da´ı limwt = 0. t→∞ t→∞ 1.6 Limites de func~oes em espacos metricos m De

56. nic~ao 17. Sejam A ⊂ M, a ∈ A e f : A → N, b ∈ N ´e o limite de f(x) quando x tende a a quando ∀ 0; ∃ 0 | d(x; a) ⇒ d(f(x); b) :

57. CAPITULO 1. LIMITE DE FUNC ~ OES 23 1.7 Stolz-Cesaro para limite de func~oes b Propriedade 32 (Stolz-Cesàro para limite de fun¸cões). Sejam f; g : R+ → R limita-das em cada intervalo limitado, g crescente, com lim x→∞ Δf(x) Δg(x) = L lim x→∞ g(x) = ∞ então lim x→∞ f(x) g(x) = L: ê Demonstrac~ao. Dado 0 existe, tal que para x M vale − L Δf(x) Δg(x) + L como g é crescente vale Δg(x) 0 então podemos multiplicar a desigualdade por tal termo, substituir x por x + k onde k natural e aplicar a soma Σn−1 k=0 , que resulta em ( − L)(g(x + n) − g(x)) + f(x) f(x + n) ( + L)(g(x + n) − g(x)) + f(x) por soma telescópica, dividimos por g(x + n), que pode ser considerado positivo pois g → ∞ ( − L)(1 − g(x) g(x + n) ) + f(x) g(x + n) f(x + n) g(x + n) ( + L)(1 − g(x) g(x + n) ) + f(x) g(x + n) agora passamos as sequências, tomamos x = yn em [M;M + 1] e xn = n + yn é uma sequência arbitrária que tende a infinito, g e f são limitadas em [M;M + 1] da´ı ( − L)(1 − g(yn) g(xn) ) + f(yn) g(xn) f(xn) g(xn) ( + L)(1 − g(yn) g(xn) ) + f(yn) g(xn) a passagem do limite nos garante que lim f(xn) g(xn) = L pois g(yn) e f(yn) são limitadas e lim g(xn) = ∞ .

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