Graph Theory - Exercises - Chapter 9

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Some solved exercises of Graph Theory. The reference book used was: "Grafos - Introdução e Prática".

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Graph Theory - Exercises - Chapter 9

  1. 1. Teoria dos Grafos - Exercícios do Capítulo 9 Michel Alves dos Santos ∗ Junho de 2011 Conteúdo Lista de Figuras 1 1 Construa um grafo com a sequência de graus (4,4,3,3,3,3): (a) que seja planar, (b) que não seja planar. 1 2 Um grafo é autodual se GD é isomorfo a G. 2 3 Mostre que um grafo planar é bipartido se e só se GD for euleriano. 2 4 A cintura de um grafo, notação g(G) é o comprimento do seu menor ciclo. Mostre que em um grafo planar temos: m [(n − 2)g]/(g − 2) 2 5 (a) Seja G um grafo maximal planar com n > 4. Mostre que os vértices de grau 3, se existirem, formam um subconjunto independente dos vértices de G. (b) Seja G um grafo maximal planar com 5 vértices. Quantas faces triangulares tem G. (c) Seja G no item b. Produzimos um grafo G’, incluindo um vértice de grau 3 em cada face triangular, como sugere a figura a seguir. Quantos vértices tem G’? Quantos vértices de grau 3 tem G’? Mostre que G’ não é hamiltoniano. (d) Adapte a construção mostrada acima e construa um grafo planar maximal sem vértices de grau 3. 4 Lista de Figuras 1 A esquerda grafo planar, a direita grafo não planar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Grafo planar maximal sem vértices de grau 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 Construa um grafo com a sequência de graus (4,4,3,3,3,3): (a) que seja planar, (b) que não seja planar. Ver figura 1. ∗Bacharelando em Ciência da Computação, Universidade Federal do Estado de Alagoas(UFAL). E-mails: mi- chel.mas@gmail.com, michelalavessantos@hotmail.com. Disciplina: Teoria dos Grafos. Docente Responsável: Leo- nardo Viana Pereira. 1
  2. 2. Figura 1: A esquerda grafo planar, a direita grafo não planar. 2 Um grafo é autodual se GD é isomorfo a G. a) Mostre que se G é autodual então 2n = m + 2 b) Mostre que os grafos roda Rn são autoduais. • a) Se G é autodual, então GD é isomorfo a G, pelo Teorema de Euler, temos que se um grafo G é planar, então f − m + n = 2. Reformulando temos que o número de faces desse grafo é f = m − n + 2. Analisando agora o grafo dual de G, GD , pela definição de dualidade, possui um vértice associado para cada face de G, logo o numero de vértices de GD será igual ao numero de faces de G, como pela hipótese os dois são isomorfos (então possuem o mesmo número de arestas e vértices), se substituirmos f = n em f = m − n + 2, temos 2n = m + 2. Provando o que queríamos. • b) Sabemos que o número de faces de uma Roda Rn será igual ao número de vértices, logo pela definição de dualidade, o grafo GD dual a roda, será também uma roda, pois ela possui o número de faces de uma roda é o seu número de vértices. Dessa forma, o grafo dual da roda é isomórfico à ela, mostrando então que qualquer roda é autodual. 3 Mostre que um grafo planar é bipartido se e só se GD for euleriano. Se GD é euleriano então ele só terá ciclos pares, cada ciclo par corresponde à uma face par em um grafo planar. Se cada face é par no dual de G, então em G cada vértice terá grau par, o que corresponde à todos os ciclos de G serem pares. Pelo teorema de grafo bipartido: um grafo G é bipartido se e somente se não possuir ciclos impares. Como G possui apenas ciclos pares então ele é bipartido. 4 A cintura de um grafo, notação g(G) é o comprimento do seu menor ciclo. Mostre que em um grafo planar temos: m [(n − 2)g]/(g − 2) Para demonstrar tal propriedade devemos recorrer ao conceito de gêneros de superfícies e grafos. O gênero de uma superfície é o número de alças e furos que ela possui; por exemplo, o plano e a esfera têm gênero zero e o toro, gênero 1. O gênero l(G) de um grafo é o da superfície de menor gênero que admita uma imersão de G. Os grafos planares tem portanto gênero zero. A discussão sobre gênero de superfícies e de grafos permite a generalização de diversos resultados de grafos planares para grafos quaisquer. Um desses resultados é exibido a seguir: Teorema 1. (Relação entre Cintura e Gênero) Se a cintura (comprimento do menor ciclo) 2
  3. 3. de um grafo G for g(G), então l(G) m 2 1 − 2 g(G) − n 2 + 1 Executando as devidas transformações teremos: l(G) m 2 1 − 2 g(G) − n 2 + 1 l(G) m 2 g(G) g(G) − 2 g(G) − n 2 + 1 l(G) m 2 g(G) − 2 g(G) − n 2 + 1 l(G) m 2 g(G) − 2 g(G) − n 2 + 2 2 l(G) m 2 g(G) − 2 g(G) + 2 − n 2 l(G) m 2 · [g(G) − 2] g(G) + 2 − n 2 l(G) m 2 · [g(G) − 2] g(G) + g(G) g(G) · [2 − n] 2 l(G) m · [g(G) − 2] 2 · g(G) + g(G) · [2 − n] 2 · g(G) l(G) m · [g(G) − 2] + g(G) · [2 − n] 2 · g(G) l(G) · 2 · g(G) m · [g(G) − 2] + g(G) · [2 − n] 2 · l(G) · g(G) m · [g(G) − 2] + g(G) · [2 − n] 2 · l(G) · g(G) m · [g(G) − 2] − g(G) · [n − 2] Como os grafos planares possuem gênero zero, logo: 2 · l(G) · g(G) m · [g(G) − 2] − g(G) · [n − 2] 2 · 0 · g(G) m · [g(G) − 2] − g(G) · [n − 2] 0 m · [g(G) − 2] − g(G) · [n − 2] −m · [g(G) − 2] −g(G) · [n − 2] −m · [g(G) − 2] −g(G) · [n − 2] × (−1) m · [g(G) − 2] g(G) · [n − 2] m (g(G) · [n − 2])/[g(G) − 2] Executando as devidas substituições, que nesse caso seria apenas a troca de notação de g(G) por apenas g, teremos finalmente: m [(n − 2) · g]/(g − 2) 3
  4. 4. 5 (a) Seja G um grafo maximal planar com n > 4. Mos- tre que os vértices de grau 3, se existirem, formam um subconjunto independente dos vértices de G. (b) Seja G um grafo maximal planar com 5 vértices. Quantas faces triangulares tem G. (c) Seja G no item b. Produzimos um grafo G’, incluindo um vértice de grau 3 em cada face triangular, como sugere a figura a seguir. Quantos vér- tices tem G’? Quantos vértices de grau 3 tem G’? Mos- tre que G’ não é hamiltoniano. (d) Adapte a construção mostrada acima e construa um grafo planar maximal sem vértices de grau 3. a) b) Para grafo planar maximal temos: m=3n-6, com n=5, temos m=9, aplicando o teorema de euler temos f-m+n=2, substituindo m e n, temos f=6. c) 11 vértices. 6 vértices de grau 3. Ao tentar construir um ciclo hamiltoniano, veremos que sempre vai sobrar ao menos um vértice. Dessa forma, o grafo G’ é não hamiltoniano. d) Solução deste quesito: Figura 2: Grafo planar maximal sem vértices de grau 3. 4

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