Geometria 4º ano

Do grego «terra»,
elemento de formação de
palavras que exprime a
ideia de Terra.

Suf. nom. de origem grega
que exprime a ideia de
medição, medida
(calorimetria, volumetria).

GEOMETRIA
É um ramo da Matemática que estuda as propriedades e as
dimensões das linhas, das superfícies e dos volumes, no
plano e no espaço.

O elemento mais “pequeno” que se estuda em Geometria,
sendo considerado a mais pequena unidade gráfica.

PONTO, RETA e PLANO:
Vós já tendes uma ideia intuitiva (clara) sobre
ponto, reta e plano, pois:
Um furo de agulha num papel dá ideia de ponto.

 Uma corda bem esticada dá ideia de reta.
O quadro negro da sala de aula dá ideia de plano.

O

ponto, a reta e o plano são Conceitos primitivos no

estudo da Geometria.

A
reta

ponto

r


plano

PONTO, RETA e PLANO:
A
reta
ponto

r


plano

Conforme verificaste , o ponto, a reta e o plano são
identificados de modos diferentes.
PONTO é identificado com letras maiúsculas do nosso alfabeto

A, B, C,...... 
RETA é identificada com letras minúsculas do nosso alfabeto

a, b, c,...... 

PLANO é identificado com letras gregas minúsculas
 ,  , ,..... 

Apesar de, habitualmente, se marcar um ponto
fazendo pressão sobre o papel com o bico do
lápis ou caneta, em Geometria, o ponto é
definido
pelo
cruzamento
de
duas
linhas, sejam elas curvas ou retas.

Os pontos devem identificar-se com letras MAIÚSCULAS.

As linhas são o prolongamento de um ponto
É o que fazes quando pousas o lápis na folha e
sem o levantares fazes um movimento.

Numa reta há infinitos pontos.
r

r

Num plano há infinitos pontos.




Num plano existem infinitas retas.
r
m

s
n
t

Por dois pontos distintos passa uma única
reta. Num plano há infinitos pontos
A
Indicaremos AB
pontos A e B.

B

r

por uma reta que passa pelos

PONTOS COLINEARES:
Os pontos alinhados, pertencentes a uma mesma reta
são chamados Colineares.

A

B

C

Os pontos A, B e C
são pontos alinhados
- são colineares

S
R

T

Os pontos R, S e T
são pontos não alinhados
- não são colineares

PONTOS EQUIDISTANTES
Os pontos que estão à mesma distância de um
dado ponto chamam-se pontos equidistantes.
Assim, na imagem:
-Os pontos 3 e 4 estão à
mesma
distância
do
ponto 2 - são pontos
equidistantes do ponto
2.
- os pontos M e N estão
à mesma distância do
ponto 4 – são pontos
equidistantes do ponto
4.

COORDENADAS
As coordenadas formam o par ordenado (x,y).
As coordenadas do ponto A
são (C,20).
As coordenadas do ponto B
são (G,20).
As coordenadas do ponto C
são (F,50).

A

B

C

D

E

F

G

H

I

Indicamos por (x, y) o par ordenado formado pelos elementos
x e y, onde x é o 1º elemento e y é o 2º elemento.

COORDENADAS
Coordenadas Cartesianas
Os
números
do
par
ordenado são chamados
coordenadas cartesianas.

Plano Cartesiano
Representamos um par
ordenado
num
plano
cartesiano.
Esse plano é formado por duas retas, x e
y, perpendiculares entre si.
A reta horizontal é o eixo das abscissas (eixo x).
A reta vertical é o eixo das ordenadas (eixo y).
O ponto comum dessas duas retas é denominado
origem, que corresponde ao par ordenado (0, 0).

As linhas são o prolongamento de um ponto
É o que fazes quando pousas o lápis na folha e
sem o levantares fazes um movimento.

Quebradas
As
linhas
podem
ser :

Curvas
Mistas

Retas

Vamos aprender ou recordar o que define uma:

RETA - não tem princípio nem
fim e identifica-se com uma
letra minúscula sobre a linha.
SEMI-RETA - com princípio e
sem fim e identifica-se com
uma letra MAIÚSCULA no
início.
SEGMENTO DE RETA - com
princípio e fim ( pode-se medir )
e identifica-se, no princípio e
no fim, com letras
MAIÚSCULAS.

Vamos aprender ou recordar o que define as linhas retas
quanto à sua posição:
HORIZONTAL quando se
alinha pelo horizonte.

OBLÍQUA quando não está
na posição vertical ou
horizontal, quando dá a
sensação de inclinação.

VERTICAL quando toma a
posição do
prumo”.

“fio-de-

FIO-DE-PRUMO
Utensílio
de
metal
pesado,
geralmente
de
forma
cónica,
suspenso por um
fio, destinado a
verificar
a
verticalidade de
qualquer objeto,
e de forma geral,
a direção da
vertical do lugar.
90º

90º

POSIÇÕES RELATIVAS DE
DUAS RETAS NO PLANO
Retas concorrentes: quando têm um único ponto
comum.
r
A

r  s  A

s
Retas paralelas: quando não têm ponto comum.

rs 

r
s

POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO

SEMI – RETA: Um ponto P qualquer de uma reta r
divide esta reta em duas partes denominadas
semi-retas de origem
semi-reta

semi-reta

r

P
Para distinguir as semi–retas, vamos marcar os
pontos A e B pertencentes a cada semi-reta.
r
PA 

PB 

P
B
A
Semi-reta de origem P e que passa pelo ponto A
Semi-reta de origem P e que passa pelo ponto B

POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS
RETAS NO PLANO
SEGMENTO DE RETA: Um segmento de reta de
extremidades A e B é o conjunto dos pontos
que estão entre elas, incluindo as extremidades

A

B

Indica-se o segmento AB por AB
NOTA: Entre as extremidades de um segmento há infinitos

pontos.

RETAS NO PLANO
SEGMENTOS CONSECUTIVOS:

Dois segmentos de reta que
extremidade
comum
são
consecutivos
C

A

AB
AC e BC
São
consecutivos

B

têm uma
chamados

RETAS NO PLANO
SEGMENTOS COLINEARES:

Dois segmentos de reta são colineares se
estão numa reta
A

B

AB e CD
P
QR
PQ

e QR

D

C

são colineares
Q

R

são colineares e (consecutivos)

RETAS NO PLANO
SEGMENTOS CONGRUENTES:

Dois segmentos de reta são congruentes
quando possuem medidas iguais.
A

4 cm

AB  CD

B

C

4 cm

D

AB é congruente a CD

PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO:
Um ponto M é chamado ponto médio de um
segmento AB se M está entre A e B e AM  MB
A
M
B

Vamos aprender ou recordar o que define as linhas retas
quanto à sua situação em relação umas às outras:
PARALELAS

CONCORRENTES

PERPENDICULARES

São aquelas que por
muito se
prolonguem, nunca
se encontram,
mantendo sempre a
mesma distância
entre si.

São aquelas que se
cruzam num ponto,
formando ângulos
entre si.

São concorrentes e
formam entre si
ângulos retos, com
90º.

90º

ÂNGULO é uma região de um plano limitada por duas
semi-retas ( lados do ângulo) com a origem no mesmo ponto
(vértice do ângulo).

O é o vértice do ângulo
As semi-retas OA e OB são denominadas lados do
ângulo

ÂNGULO

Para identificar esse ângulo utilizamos a notação AOB ou BOA

(Lê-se “ângulo AOB”) A letra que corresponde ao vértice
deve ficar no meio

Ângulos formados entre retas

t

d

a

c

r

b
h

e

g
f

s

A “ferramenta” que utilizamos para medir (saber o
valor em graus) de um ângulo, chama-se
TRANSFERIDOR.

120º
135º
150º
180º

90º

60º
45º
30º
0º

Medida de um ângulo
A medida de um ângulo é dada pela medida da
sua abertura (amplitude) e a unidade padrão
utilizada é o grau, que se representa pelo
símbolo º após o número.

Ângulo Raso
Quando duas semi-retas são opostas, dizemos
que formam um ângulo raso ou de meia-volta.

BAC é um ângulo raso ou de meia-volta

Ângulo Raso: Ângulo que mede exatamente 180

Ângulo Nulo
Quando duas semi-retas coincidem, obtemos
um ângulo nulo, ou seja um ângulo de
amplitude 0º.

ângulo nulo

Ângulo Giro
Ângulo giro é um ângulo que mede 360

ângulo giro

Ângulo Adjacentes
Ângulos adjacentes são ângulos que têm um
vértice e um lado em comum e não se
sobrepõem.

<AOB e <BOC têm o
lado B em comum.

<AOC e <BOC têm o
lado C em comum.

Ângulo Geometricamente Iguais
Dois ângulos dizem-se geometricamente
iguais, ou congruentes, quando sobrepostos
coincidem um com o outro, ponto por ponto;
ou seja, quando tem a mesma amplitude.

Na figura em acima, temos que
ABC
e
DEF
são
ângulos
congruentes.
Dois ângulos opostos pelo vértice
são sempre congruentes.

Dois ângulos que tenham a mesma abertura dizem-se
geometricamente iguais. Quer dizer que têm a mesma
amplitude.

Ângulo Complementares e Suplementares
Dois ângulos são complementares
quando a soma das

medidas dos

dois ângulos é 90º .

Dois ângulos são suplementares
quando a soma das medidas dos
dois ângulos é 180°.

ÂNGULO é o espaço compreendido entre duas retas
concorrentes, sendo o GRAU ( º ) a unidade de medida da
amplitude dos ângulos.

ÂNGULO RETO
quando as linhas
formam entre si um
ângulo de 90º.

90º

ÂNGULO AGUDO
quando formam entre
si ângulos inferiores a
90º.

ÂNGULO OBTUSO
quando formam entre
si ângulos superiores
a 90º.

<90º

>90º

Procurar linhas rectas e paralelas ...
Procurar linhas retas
perpendiculares...

Vamos agora rever o
que aprendemos!
Procurar algumas linhas rectas ...

Tentar encontrar ...
Esta é ........ HORIZONTAL!

Procurar algumas linhas curvas...

Figuras no plano
Figuras geométricas

Figuras no plano
Polígono - figura plana limitada
só por segmentos de reta,
chamados lados dos polígonos
onde cada segmento de reta,
interseta
exatamente
dois
outros extremos;
-se os lados forem todos iguais e os ângulos
internos também, o polígono diz-se regular.

Figuras no plano
Polígonos Regulares

Polígonos com lados e ângulos todos iguais

Figuras no plano
Polígonos Irregulares

Um polígono irregular é aquele que não possui
os ângulos com medidas iguais e os lados não
possuem o mesmo tamanho.

Figuras no plano - Figuras geométricas
Triângulos
Triângulo é uma figura plana limitada por
três segmentos de reta (os lados)

Existem três tipos de triângulos considerando as
medidas de seus lados:

Equilátero: quando todos os lados são iguais.

Isósceles: quando dois lados e só 2 são iguais.
Escaleno: quando todos os lados são diferentes.

Triângulos

Triângulos
Os triângulos também são classificados de
acordo com seus ângulos internos:
Triângulo retângulo: quando possui um ângulo
igual a 90º e 2 agudos – a sua soma é de 180º.
Obtusângulo: quando possui um ângulo maior
que 90º - 1 ângulo obtuso e 2 ângulos agudos.
Acutângulo: quando possui ângulos menores
que 90º- tem 3 ângulos agudos.

Triângulos
Amplitude de ângulos de triângulos

A ângulo CBA mede 40º.
Lados diferentes e um ângulo reto.

Triângulo

escaleno

Retângulo

Triângulos

Cada um dos 3 ângulos mede 60º.
3 lados e 3 ângulos iguais e agudos
(congruentes).

Triângulo

equilátero

Acutângulo

Triângulos

Os ângulos medem: 65º, 70º e 45º.
Os ângulos são todos agudos.

Lados e ângulos diferentes

Triângulo

escaleno

Acutângulo

Triângulos

O ângulo CBA mede 65º.
Tem dois lados congruentes.
Os ângulos são todos agudos.

Triângulo

isósceles

Acutângulo

Triângulos

O ângulo CBA mede 90º.
Tem dois lados iguais (congruentes).
Tem um ângulo reto.

Triângulo

isósceles

Retângulo

Triângulos

O ângulo a mede 95º.
Tem lados diferentes.
Tem 2 ângulos agudos e 1 obtuso.
Tem um ângulo obtuso

Triângulo

escaleno

Obtusângulo

Triângulos

O ângulo b mede 110º.
Tem 2 lados iguais /congruentes.
Tem 1 ângulo obtuso.
Tem um ângulo obtuso

Triângulo

isósceles

Obtusângulo

Quadriláteros
Quadrilátero é um polígono de quatro lados.

Quadriláteros

Trapézio: Quadrilátero com lados paralelos;
Paralelogramo: Quadrilátero com dois pares de
lados paralelos;
Rectângulo: Quadrilátero com todos os lados
consecutivos perpendiculares (ou com 4
ângulos retos);
Losango: Quadrilátero com todos os lados
iguais;
Quadrado:
Retângulo
com
lados
iguais
(Podemos também dizer que é um losango com
os lados consecutivos perpendiculares).

Figuras no plano - Figuras geométricas: Quadriláteros

A soma das amplitudes dos ângulos internos de um quadrilátero é 360º.
Um quadrilátero diz-se regular se tem todos os lados e ângulos iguais.

Um quadrilátero tem:
•4 lados - [AB] , [BC] , [CD] , [DA] ;
•4 vértices - A , B , C , D ;
•4 ângulos - CBA , DCB , ADC , BAD;

•[AC] e [BD] são as diagonais


Os Quadriláteros são classificados em:
Paralelogramas:
Se todos os lados opostos forem iguais
paralelos, trata-se de um Paralelogramo.
Características de um paralelograma:
A soma de dois ângulos consecutivos é de 180°;
As diagonais cortam-se no ponto médio;
Os lados opostos são congruentes;
Os ângulos opostos são congruentes.

e


Tipos de Paralelogramas:
Paralelogramo Obliquângulo: Os
lados opostos são iguais entre si;

Retângulo: Possui quatro ângulos de
90°, e os lados opostos são iguais
entre si;
Losango: Todos os lados são iguais
entre si;

Quadrado: Possui quatro ângulos de
90°, e todos os lados são iguais entre
si. As diagonais cruzam-se no ponto
médio.


Trapézios:


Pentágonos

Pentágono é um polígono de cinco lados. A
soma dos ângulos de um pentágono é de 540
graus.
Pentágono irregular


Hexágonos

Hexágono é um polígono de seis lados. A soma
dos ângulos de um hexágono é de 720 graus.
hexágono regular

hexágono irregular


Heptágonos

Heptágono é um polígono de sete lados. A soma
dos ângulos de um heptágono é 900 graus.
heptágono regular

Circunferência e Círculo

Circunferência
Uma circunferência é o
conjunto de pontos que
estão
todos
à
mesma
distância de um ponto nele
fixado chamado centro
O centro não pertence à
circunferência.
Circunferência é uma linha curva fechada,
cujos pontos se encontram todos à mesma

distância do centro.


Círculo
Um círculo é uma figura plana
formada
por
uma
circunferência e por todos os
pontos que pertencem à sua
parte interna.
O centro pertence ao círculo.

Círculo

é o espaço limitado pela

circunferência.

Semi é o mesmo que metade!
semicircunferência

semicircunferência metade de uma circunferência.
Semicírculo metade de um círculo.


diâmetro

Diâmetro é um segmento de reta que
liga

dois

pontos

da

passando pelo centro.

circunferência


raio

Raio

é qualquer segmento de reta que liga

qualquer

ponto

da

circunferência

ao

seu

centro.

O raio mede metade do diâmetro.


corda

Corda

é qualquer segmento de reta

que liga dois ponto da circunferência
sem passar pelo seu centro.


circunferência

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