8 distribuição qui-quadrado

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8 distribuição qui-quadrado

  1. 1. Distribuição de (Qui-Quadrado) IC e TH para a Variância de Populações NormaisA Estatística = )2 = , temdistribuição Qui-Quadrada com grau deliberdade. :N(0,1)Do fato de que ( ) = 1 ( )= )= ( )=E ( )=2Como a variável resulta da soma devariáveis independentes e igualmentedistribuídas → tende a distribuição normalcom o aumento dos graus de liberdade.Outra propriedade importante dasdistribuições é sua aditividade. Essapropriedade significa que a soma de duas
  2. 2. variáveis independentes com distribuições com e graus de liberdade terátambém distribuição com + grausde liberdade (decorre diretamente dadefinição).O conhecimento das distribuições nosleva à determinação da distribuiçãoamostral da estatística Pode-sedemonstrar que a estatística = ,Obtida por substituição de por nadefinição da variável tem distribuiçãocom n-1 graus de liberdade. Logo: = = . = → = .
  3. 3. ( )= . ( )= . =Interpolação no uso da TabelaPara α%Exemplo:Determinar tal que P ( ≥ ) = 0,40ParaExemplos: = 31 determinar ≥ = 0,952) = 50 determinar = 0,95IC e TH para a variância de umaPopulação Normal com MédiaConhecidaRetira-se uma amostra de tamanho n ecalcula-se = pois sendo a
  4. 4. média conhecida este resultado é maispreciso do que se usasse . = = ↓ =O IC para ao nível α%:P( ) = 1- αP( )= e P( ≥ )= = e =P( ) = 1- α →P( ) = 1- αComo = temos:P( ) = 1- α
  5. 5. Exemplo :Sabe-se que a vida útil de uma certalâmpada tem distribuição normal, commédia de 500 horas e variânciadesconhecida. Uma amostra de 25lâmpadas forneceu = 62500h.Construir um IC para ao nível de 5%.Teste de Hipóteses : : = : ≠ ou > ou < = ou =Exemplo : De uma população normal com média 300, levantou-se uma amostra de 26 elementos, obtendo-se : = 129000
  6. 6. Ao nível de 5%, testar as hipóteses : : = : < 0IC e TH para a da População Normalcom DesconhecidaDistribuição de pode serdemonstrada como uma com (n-1) grausde liberdade. = como = - )2→ - )2 = ( → =( → =
  7. 7. IC paraP{ } = 1- α ouP{ }Exemplo:Sabe-se que a vida útil de uma certaválvula tem distribuição normal. Umaamostra de 25 válvulas resultou = 500h e = 50h. Construir um IC para ao nívelde 2%.TH para : = : ≠ ou > ou < = ou =
  8. 8. Exemplo:Avaliou-se em 240kg o desvio padrão dastensões de ruptura de certos cabosproduzidos por uma fábrica. Depois de tersido introduzida uma mudança no processode fabricação destes cabos, as tensões deruptura de uma amostra de 8 cabosapresentaram o desvio padrão de 300kg.Investigar a significância do aumentoaparente da variância, ao nível de 5%.Problemas 1. De uma população normal com média = 20, levantou-se uma amostra de 24 elementos, obtendo-se = 423,42. Ao nível de 10%, construir um IC para a variância populacional.
  9. 9. 2. De uma população normal X com média 1000, levanta-se uma amostra de 15 elementos, obtendo-se = 200. Ao nível de 1%, testar. : = : >3. De uma população normal levantou- se uma amostra de 10 observações, obtendo os seguintes valores: 10, 8, 15, 11, 13, 19, 21, 13, 15 e 14. Sabendo-se que a população tem média = 14, construir um IC para a populacional ao nível de 5% e, ao mesmo nível, testar : : = : ≠
  10. 10. 4. A variância de 10 lâmpadas de uma amostra é de 120 horas. Construir um IC para a variância da população das lâmpadas ao nível de 90%.5. Observou-se durante vários anos a produção mensal de uma indústria, verificando-se que essa produção se distribuía normalmente com variância 300. Foi adotada uma nova técnica e, durante 24 meses, verificou-se a produção mensal, constatando-se que = 10000 e = 400. Há razões para se acreditar que a qualidade da produção piorou, ao nível de 10%?
  11. 11. 6. De uma população normal com média desconhecida, levantou-se uma amostra casual de 21 elementos: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 a)ao nível de 10%, construir um IC para ; b)e, ao mesmo nível, testar se a variância populacional é menor que 4.

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