Distribuição t de StudentA variável Z =        tem distribuição normal.Quando a variância  é desconhecida,usamos    como e...
=     =     .   =zExemplos 1. De uma população normal com   parâmetros desconhecidos, retirou-se   uma amostra de 25 eleme...
3. Querendo determinar o peso médio  de nicotina dos cigarros de sua  produção, um fabricante recolheu uma  amostra de 25 ...
Comparação de Duas MédiasDois casos: 1.    Dados emparelhados; 2.    Dados não emparelhados.Dados emparelhados acontecem q...
Assumindo:  : média da amostra das diferençasμd : valor das diferenças entre médiassd : desvio padrão da amostra dasdifere...
Pessoas     xi       yi      di      di2    A       120      116      4        16    B       104      102      2        4 ...
conhecidas; 2)variâncias desconhecidas eiguais; 3)variâncias desconhecidas ediferentes.1o caso:H0 : μ1 – μ2 = Δμ( -      )...
Exemplos: De duas populações normais X1e X2 com variâncias 25, levantou-se duasamostras de tamanho n1=9 e n2=16,obtendo-se...
Se σ fosse conhecido, testaríamos    usandoz=Como não temos σ devemos usar o deStudent relacionado com o . O grau deliberd...
Exemplo: 1)As medições de resistência dedois tipos de concreto resultaram:a)concreto tipo A: 54, 55, 58, 51, 57;b)concreto...
3ocaso(variâncias desconhecidas ediferentes):Se as amostras forem suficientementegrandes, uma aproximação razoável podeser...
suas variabilidades sejam distintas. Asamostras disponíveis resultaram em:Máquina nova:0,82; 0,83; 0,79; 0,81; 0,81; 0,80M...
razões para crer que o novo processoaumentou o nível de aprendizagem a 5%?2)Duas amostras de 10 alunos de duasturmas disti...
Testar a hipótese de que a primeiraamostra provenha de uma população cujamédia seja inferior à da segunda, ao nívelde 5%.
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

7 distribição t e comparação de medias

1.497 visualizações

Publicada em

0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
1.497
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
54
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
9
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

7 distribição t e comparação de medias

  1. 1. Distribuição t de StudentA variável Z = tem distribuição normal.Quando a variância é desconhecida,usamos como estimador de . = - )2 e = =A variável = deixa de ter distribuiçãonormal. A distribuição desta variável édenominada t de Student. É uma variávelsimétrica com média 0 (mais achatada quea curva normal). Para amostras grandes (n> 30 costuma-se aproximar pela normal.Podemos notar que esta estatística tem n-1grau de liberdade → pode ser representadapor .Dado que = A variável pode serescrita (multiplicando e dividindo por σ) :
  2. 2. = = . =zExemplos 1. De uma população normal com parâmetros desconhecidos, retirou-se uma amostra de 25 elementos para se estimar , obtendo-se = 15 e = 36. Determinar um IC para a média ao nível de 5%. 2. A vida média das lâmpadas elétricas produzidas por uma empresa era de 1120 horas. Uma amostra de 8 lâmpadas extraída recentemente apresentou a vida média de 1070 horas, com desvio padrão de 125h e distribuição normal para a vida útil. Testar a hipótese de que a vida média das lâmpadas não se alterou ao nível de 1%.
  3. 3. 3. Querendo determinar o peso médio de nicotina dos cigarros de sua produção, um fabricante recolheu uma amostra de 25 cigarros obtendo 2 = 950mg e = 36106 mg2 Supondo a distribuição normal para o peso de nicotina, construir um IC para ao nível de 5%. Ao mesmo nível, testar se o peso médio de nicotina é inferior a 40 mg.4. Uma máquina é projetada para fazer esferas de aço de 1cm de raio. Uma amostra de 10 esferas é produzida e tem o raio médio de 1,004cm, com s=0,003. Há razões para suspeitar que a máquina esteja produzindo esferas com raio maior que 1cm, ao nível de 10%?
  4. 4. Comparação de Duas MédiasDois casos: 1. Dados emparelhados; 2. Dados não emparelhados.Dados emparelhados acontecem quandoos resultados de duas amostras sãorelacionados dois a dois. (ex: pesos depacientes antes e depois de uma dieta;notas dos alunos no ENEM antes e depoisde fazerem um curso especial, etc.)Os testes que poderemos fazer: : μ1 - μ2 = μd = 0 : μd > 0 ou μd < 0 ou μd ≠
  5. 5. Assumindo: : média da amostra das diferençasμd : valor das diferenças entre médiassd : desvio padrão da amostra dasdiferençasn : tamanho da amostra das diferençasUsamos: onde =Exemplo:Um grupo de 10 pessoas é submetido a umtipo de dieta por 10 dias, estando os pesosdo início e do final da dieta marcados natabela abaixo. Ao nível de 5%, podemosconcluir que houve diminuição do pesomédio pela aplicação da dieta?
  6. 6. Pessoas xi yi di di2 A 120 116 4 16 B 104 102 2 4 C 93 90 3 9 D 87 83 4 16 E 85 86 -1 1 F 98 97 1 1 G 102 98 4 16 H 106 108 -2 4 I 88 82 6 36 J 90 85 5 25 26 128Dados Não EmparelhadosSe os dados não são emparelhados, nãocalcularemos diferenças entre osrespectivos valores de duas amostras. Oteste será baseado na diferença entre asduas médias das amostras ( - ). Nestecaso as amostras podem ter tamanhosdiferentes (n1≠n2). Três casos: 1)variâncias
  7. 7. conhecidas; 2)variâncias desconhecidas eiguais; 3)variâncias desconhecidas ediferentes.1o caso:H0 : μ1 – μ2 = Δμ( - ) = μ( ) - μ( ) = μ1 – μ2 = Δsabemos queσ2( ) = e σ2( )= eσ2( - )= + →σ( - )=z= se = = σ2 →z=
  8. 8. Exemplos: De duas populações normais X1e X2 com variâncias 25, levantou-se duasamostras de tamanho n1=9 e n2=16,obtendo-se: = 27 e = 32Ao nível de 10%, testar as hipóteses: : μ1 - μ2 = 0 : μ1 - μ2 ≠2ocaso(variâncias desconhecidas eiguais): = = .Para determinarmos usaremosQue é uma média ponderada das variáveisamostrais
  9. 9. Se σ fosse conhecido, testaríamos usandoz=Como não temos σ devemos usar o deStudent relacionado com o . O grau deliberdade deste é de .Da relação vista na definição do : = = . = → = = .O teste será realizado através daestatística =
  10. 10. Exemplo: 1)As medições de resistência dedois tipos de concreto resultaram:a)concreto tipo A: 54, 55, 58, 51, 57;b)concreto tipo B: 50, 54, 56, 52, 53. Aonível de 5% de significância há evidenciade que o concreto A seja mais resistenteque o concreto B?2)Um supermercado não sabe se devecomprar lâmpadas da marca A ou B, demesmo preço. Testa uma amostra de 100lâmpadas de cada marca obtendo; = 1160h e SA = 90h = 1140h e SB = 80hAo nível de 2,5%, testar a hipótese de queas marcas serem igualmente boas contra ahipótese de as da marca A serem melhoresque as da marca B.
  11. 11. 3ocaso(variâncias desconhecidas ediferentes):Se as amostras forem suficientementegrandes, uma aproximação razoável podeser obtida simplesmente substituindo-se asvariâncias das populações pelas suasestimativas e resultando naestatística = com grau deliberdade = –Onde = e =Exemplo:Deseja-se saber se duas máquinas deempacotar café fornecem o mesmo pesomédio por pacote. Como uma máquina émais nova que outra, pode-se supor que as
  12. 12. suas variabilidades sejam distintas. Asamostras disponíveis resultaram em:Máquina nova:0,82; 0,83; 0,79; 0,81; 0,81; 0,80Máquina velha:0,79; 0,82; 0,73; 0,74; 0,80; 0,77; 0,75;0,84; 0,78. Qual a conclusão ao nível 5%de significância?Problemas:1)Uma turma de 10 alunos é separada dosdemais para ser testada. Aplica-se umaprova de matemática e as notas são: 4,5;5,0; 5,5; 6,0; 3,5; 4,0; 5,0; 6,5; 7,0; 8,0. Umnovo método de ensino é introduzido, e aturma é re-testada numa prova de mesmadificuldade e as novas notas são: 5,0; 5,0;6,0; 7,0; 3,0; 4,5; 4,0; 7,0; 7,5; 9,0. Há
  13. 13. razões para crer que o novo processoaumentou o nível de aprendizagem a 5%?2)Duas amostras de 10 alunos de duasturmas distintas de um mesmo cursoapresentam as seguintes notas numaprova.X1: 51; 47; 75; 35; 72; 84; 45; 11; 52; 57.X2: 27; 75; 49; 69;73; 63; 79; 37; 84; 32.Ao nível de 10%, testar as hipóteses deque as turmas tenham aproveitamentosdiferentes. Admitir populações normais commesma variância.3)Duas amostras de 10 elementosforneceram respectivamente: = 29,5 = 5,24 = 31,2 = 3,90
  14. 14. Testar a hipótese de que a primeiraamostra provenha de uma população cujamédia seja inferior à da segunda, ao nívelde 5%.

×