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Distribuição t de Student

A variável Z =        tem distribuição normal.
Quando a variância  é desconhecida,
usamos    como estimador de .

  =              - )2 e      =     =

A variável   =            deixa de ter distribuição
normal. A distribuição desta variável é
denominada t de Student. É uma variável
simétrica com média 0 (mais achatada que
a curva normal). Para amostras grandes (n
> 30 costuma-se aproximar pela normal.
Podemos notar que esta estatística tem n-1
grau de liberdade → pode ser representada
por     .
Dado que      =      A variável         pode ser
escrita (multiplicando e dividindo por σ) :
=     =     .   =z

Exemplos
 1. De uma população normal com
   parâmetros desconhecidos, retirou-se
   uma amostra de 25 elementos para se
   estimar , obtendo-se = 15 e         = 36.
   Determinar um IC para a média ao nível
   de 5%.
 2. A vida média das lâmpadas elétricas
   produzidas por uma empresa era de
   1120 horas. Uma amostra de 8
   lâmpadas extraída recentemente
   apresentou a vida média de 1070 horas,
   com desvio padrão de 125h e
   distribuição normal para a vida útil.
   Testar a hipótese de que a vida média
   das lâmpadas não se alterou ao nível
   de 1%.
3. Querendo determinar o peso médio
  de nicotina dos cigarros de sua
  produção, um fabricante recolheu uma
  amostra de 25 cigarros obtendo
                    2
  = 950mg e           = 36106 mg2
  Supondo a distribuição normal para o
  peso de nicotina, construir um IC para
  ao nível de 5%. Ao mesmo nível, testar
  se o peso médio de nicotina é inferior a
  40 mg.
4. Uma máquina é projetada para fazer
  esferas de aço de 1cm de raio. Uma
  amostra de 10 esferas é produzida e
  tem o raio médio de 1,004cm, com
  s=0,003. Há razões para suspeitar que
  a máquina esteja produzindo esferas
  com raio maior que 1cm, ao nível de
  10%?
Comparação de Duas Médias


Dois casos:
 1.    Dados emparelhados;
 2.    Dados não emparelhados.


Dados emparelhados acontecem quando
os resultados de duas amostras são
relacionados dois a dois. (ex: pesos de
pacientes antes e depois de uma dieta;
notas dos alunos no ENEM antes e depois
de fazerem um curso especial, etc.)
Os testes que poderemos fazer:
  : μ1 - μ2 = μd = 0
  : μd > 0 ou μd < 0 ou μd ≠
Assumindo:
  : média da amostra das diferenças
μd : valor das diferenças entre médias
sd : desvio padrão da amostra das
diferenças
n : tamanho da amostra das diferenças
Usamos:

          onde   =

Exemplo:
Um grupo de 10 pessoas é submetido a um
tipo de dieta por 10 dias, estando os pesos
do início e do final da dieta marcados na
tabela abaixo. Ao nível de 5%, podemos
concluir que houve diminuição do peso
médio pela aplicação da dieta?
Pessoas     xi       yi      di      di2
    A       120      116      4        16
    B       104      102      2        4
    C        93       90      3        9
    D        87       83      4        16
    E        85       86      -1       1
    F        98       97      1        1
    G       102       98      4        16
    H       106      108      -2       4
    I        88       82      6        36
    J        90       85      5        25
                              26      128


Dados Não Emparelhados
Se os dados não são emparelhados, não
calcularemos diferenças entre os
respectivos valores de duas amostras. O
teste será baseado na diferença entre as
duas médias das amostras ( - ). Neste
caso as amostras podem ter tamanhos
diferentes (n1≠n2). Três casos: 1)variâncias
conhecidas; 2)variâncias desconhecidas e
iguais; 3)variâncias desconhecidas e
diferentes.
1o caso:
H0 : μ1 – μ2 = Δ
μ( -      ) = μ( ) - μ( ) = μ1 – μ2 = Δ
sabemos que

σ2( ) =         e σ2( )=    e

σ2( -      )=      +   →

σ( -    )=

z=              se     =     = σ2 →


z=
Exemplos: De duas populações normais X1
e X2 com variâncias 25, levantou-se duas
amostras de tamanho n1=9 e n2=16,
obtendo-se:
        = 27      e       = 32

Ao nível de 10%, testar as hipóteses:
  : μ1 - μ2 = 0
  : μ1 - μ2 ≠
2ocaso(variâncias desconhecidas e
iguais):

   =              = .

Para determinarmos      usaremos




Que é uma média ponderada das variáveis
amostrais
Se σ fosse conhecido, testaríamos    usando

z=


Como não temos σ devemos usar o de
Student relacionado com o . O grau de
liberdade deste é de         .
Da relação vista na definição do :

     =       =       .   =       →

         =       =           .


O teste será realizado através da
estatística

         =
Exemplo: 1)As medições de resistência de
dois tipos de concreto resultaram:
a)concreto tipo A: 54, 55, 58, 51, 57;
b)concreto tipo B: 50, 54, 56, 52, 53. Ao
nível de 5% de significância há evidencia
de que o concreto A seja mais resistente
que o concreto B?
2)Um supermercado não sabe se deve
comprar lâmpadas da marca A ou B, de
mesmo preço. Testa uma amostra de 100
lâmpadas de cada marca obtendo;
  = 1160h e SA = 90h
  = 1140h e SB = 80h
Ao nível de 2,5%, testar a hipótese de que
as marcas serem igualmente boas contra a
hipótese de as da marca A serem melhores
que as da marca B.
3ocaso(variâncias desconhecidas e
diferentes):
Se as amostras forem suficientemente
grandes, uma aproximação razoável pode
ser obtida simplesmente substituindo-se as
variâncias das populações pelas suas
estimativas     e    resultando na
estatística =           com grau de


liberdade   =                   –

Onde    =       e   =

Exemplo:
Deseja-se saber se duas máquinas de
empacotar café fornecem o mesmo peso
médio por pacote. Como uma máquina é
mais nova que outra, pode-se supor que as
suas variabilidades sejam distintas. As
amostras disponíveis resultaram em:
Máquina nova:
0,82; 0,83; 0,79; 0,81; 0,81; 0,80
Máquina velha:
0,79; 0,82; 0,73; 0,74; 0,80; 0,77; 0,75;
0,84; 0,78. Qual a conclusão ao nível 5%
de significância?
Problemas:
1)Uma turma de 10 alunos é separada dos
demais para ser testada. Aplica-se uma
prova de matemática e as notas são: 4,5;
5,0; 5,5; 6,0; 3,5; 4,0; 5,0; 6,5; 7,0; 8,0. Um
novo método de ensino é introduzido, e a
turma é re-testada numa prova de mesma
dificuldade e as novas notas são: 5,0; 5,0;
6,0; 7,0; 3,0; 4,5; 4,0; 7,0; 7,5; 9,0. Há
razões para crer que o novo processo
aumentou o nível de aprendizagem a 5%?
2)Duas amostras de 10 alunos de duas
turmas distintas de um mesmo curso
apresentam as seguintes notas numa
prova.
X1: 51; 47; 75; 35; 72; 84; 45; 11; 52; 57.
X2: 27; 75; 49; 69;73; 63; 79; 37; 84; 32.
Ao nível de 10%, testar as hipóteses de
que as turmas tenham aproveitamentos
diferentes. Admitir populações normais com
mesma variância.
3)Duas amostras de 10 elementos
forneceram respectivamente:
  = 29,5          = 5,24
  = 31,2          = 3,90
Testar a hipótese de que a primeira
amostra provenha de uma população cuja
média seja inferior à da segunda, ao nível
de 5%.

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7 distribição t e comparação de medias

  • 1. Distribuição t de Student A variável Z = tem distribuição normal. Quando a variância é desconhecida, usamos como estimador de . = - )2 e = = A variável = deixa de ter distribuição normal. A distribuição desta variável é denominada t de Student. É uma variável simétrica com média 0 (mais achatada que a curva normal). Para amostras grandes (n > 30 costuma-se aproximar pela normal. Podemos notar que esta estatística tem n-1 grau de liberdade → pode ser representada por . Dado que = A variável pode ser escrita (multiplicando e dividindo por σ) :
  • 2. = = . =z Exemplos 1. De uma população normal com parâmetros desconhecidos, retirou-se uma amostra de 25 elementos para se estimar , obtendo-se = 15 e = 36. Determinar um IC para a média ao nível de 5%. 2. A vida média das lâmpadas elétricas produzidas por uma empresa era de 1120 horas. Uma amostra de 8 lâmpadas extraída recentemente apresentou a vida média de 1070 horas, com desvio padrão de 125h e distribuição normal para a vida útil. Testar a hipótese de que a vida média das lâmpadas não se alterou ao nível de 1%.
  • 3. 3. Querendo determinar o peso médio de nicotina dos cigarros de sua produção, um fabricante recolheu uma amostra de 25 cigarros obtendo 2 = 950mg e = 36106 mg2 Supondo a distribuição normal para o peso de nicotina, construir um IC para ao nível de 5%. Ao mesmo nível, testar se o peso médio de nicotina é inferior a 40 mg. 4. Uma máquina é projetada para fazer esferas de aço de 1cm de raio. Uma amostra de 10 esferas é produzida e tem o raio médio de 1,004cm, com s=0,003. Há razões para suspeitar que a máquina esteja produzindo esferas com raio maior que 1cm, ao nível de 10%?
  • 4. Comparação de Duas Médias Dois casos: 1. Dados emparelhados; 2. Dados não emparelhados. Dados emparelhados acontecem quando os resultados de duas amostras são relacionados dois a dois. (ex: pesos de pacientes antes e depois de uma dieta; notas dos alunos no ENEM antes e depois de fazerem um curso especial, etc.) Os testes que poderemos fazer: : μ1 - μ2 = μd = 0 : μd > 0 ou μd < 0 ou μd ≠
  • 5. Assumindo: : média da amostra das diferenças μd : valor das diferenças entre médias sd : desvio padrão da amostra das diferenças n : tamanho da amostra das diferenças Usamos: onde = Exemplo: Um grupo de 10 pessoas é submetido a um tipo de dieta por 10 dias, estando os pesos do início e do final da dieta marcados na tabela abaixo. Ao nível de 5%, podemos concluir que houve diminuição do peso médio pela aplicação da dieta?
  • 6. Pessoas xi yi di di2 A 120 116 4 16 B 104 102 2 4 C 93 90 3 9 D 87 83 4 16 E 85 86 -1 1 F 98 97 1 1 G 102 98 4 16 H 106 108 -2 4 I 88 82 6 36 J 90 85 5 25 26 128 Dados Não Emparelhados Se os dados não são emparelhados, não calcularemos diferenças entre os respectivos valores de duas amostras. O teste será baseado na diferença entre as duas médias das amostras ( - ). Neste caso as amostras podem ter tamanhos diferentes (n1≠n2). Três casos: 1)variâncias
  • 7. conhecidas; 2)variâncias desconhecidas e iguais; 3)variâncias desconhecidas e diferentes. 1o caso: H0 : μ1 – μ2 = Δ μ( - ) = μ( ) - μ( ) = μ1 – μ2 = Δ sabemos que σ2( ) = e σ2( )= e σ2( - )= + → σ( - )= z= se = = σ2 → z=
  • 8. Exemplos: De duas populações normais X1 e X2 com variâncias 25, levantou-se duas amostras de tamanho n1=9 e n2=16, obtendo-se: = 27 e = 32 Ao nível de 10%, testar as hipóteses: : μ1 - μ2 = 0 : μ1 - μ2 ≠ 2ocaso(variâncias desconhecidas e iguais): = = . Para determinarmos usaremos Que é uma média ponderada das variáveis amostrais
  • 9. Se σ fosse conhecido, testaríamos usando z= Como não temos σ devemos usar o de Student relacionado com o . O grau de liberdade deste é de . Da relação vista na definição do : = = . = → = = . O teste será realizado através da estatística =
  • 10. Exemplo: 1)As medições de resistência de dois tipos de concreto resultaram: a)concreto tipo A: 54, 55, 58, 51, 57; b)concreto tipo B: 50, 54, 56, 52, 53. Ao nível de 5% de significância há evidencia de que o concreto A seja mais resistente que o concreto B? 2)Um supermercado não sabe se deve comprar lâmpadas da marca A ou B, de mesmo preço. Testa uma amostra de 100 lâmpadas de cada marca obtendo; = 1160h e SA = 90h = 1140h e SB = 80h Ao nível de 2,5%, testar a hipótese de que as marcas serem igualmente boas contra a hipótese de as da marca A serem melhores que as da marca B.
  • 11. 3ocaso(variâncias desconhecidas e diferentes): Se as amostras forem suficientemente grandes, uma aproximação razoável pode ser obtida simplesmente substituindo-se as variâncias das populações pelas suas estimativas e resultando na estatística = com grau de liberdade = – Onde = e = Exemplo: Deseja-se saber se duas máquinas de empacotar café fornecem o mesmo peso médio por pacote. Como uma máquina é mais nova que outra, pode-se supor que as
  • 12. suas variabilidades sejam distintas. As amostras disponíveis resultaram em: Máquina nova: 0,82; 0,83; 0,79; 0,81; 0,81; 0,80 Máquina velha: 0,79; 0,82; 0,73; 0,74; 0,80; 0,77; 0,75; 0,84; 0,78. Qual a conclusão ao nível 5% de significância? Problemas: 1)Uma turma de 10 alunos é separada dos demais para ser testada. Aplica-se uma prova de matemática e as notas são: 4,5; 5,0; 5,5; 6,0; 3,5; 4,0; 5,0; 6,5; 7,0; 8,0. Um novo método de ensino é introduzido, e a turma é re-testada numa prova de mesma dificuldade e as novas notas são: 5,0; 5,0; 6,0; 7,0; 3,0; 4,5; 4,0; 7,0; 7,5; 9,0. Há
  • 13. razões para crer que o novo processo aumentou o nível de aprendizagem a 5%? 2)Duas amostras de 10 alunos de duas turmas distintas de um mesmo curso apresentam as seguintes notas numa prova. X1: 51; 47; 75; 35; 72; 84; 45; 11; 52; 57. X2: 27; 75; 49; 69;73; 63; 79; 37; 84; 32. Ao nível de 10%, testar as hipóteses de que as turmas tenham aproveitamentos diferentes. Admitir populações normais com mesma variância. 3)Duas amostras de 10 elementos forneceram respectivamente: = 29,5 = 5,24 = 31,2 = 3,90
  • 14. Testar a hipótese de que a primeira amostra provenha de uma população cuja média seja inferior à da segunda, ao nível de 5%.