1. COLÉGIO DE APLICAÇÃO – UFRJ Portal Professor /Cônicas - Elipse - 2009
SETOR CURRICULAR DE MATEMÁTICA www.cap.ufrj.br/matematica
Cônicas - Elipse
Sejam um plano e dois pontos distintos e fixos F1 e F2, neste plano.
A cônica denominada elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois
pontos fixos F1 e F2 é constante, ou seja, qualquer ponto P do plano que satisfaz à condição 1 2
F P PF k+ = ,
pertence à elipse .
Acesse a atividade a seguir para visualização dos conceitos apresentados: Atividade 1: Cônicas – Elipse
Elementos da Elipse:
Observe os elementos da elipse na figura abaixo:
• F1 e F2 : focos
• d (F1, F2) = 1 2
F F : distância focal : 2c
• C: centro (ponto médio de 1 2
F F )
• A1, A2, B1, B2 : vértices
• 1 2
A A : eixo maior : 2a (contém focos e extremos)
• 1 2
B B : eixo menor : 2b (é perpendicular a 1 2
A A pelo centro C, logo 1 2 1 2
A A B B 0=i )
• e : excentricidade: e =
c
a
2. COLÉGIO DE APLICAÇÃO – UFRJ Portal Professor /Cônicas - Elipse - 2009
SETOR CURRICULAR DE MATEMÁTICA www.cap.ufrj.br/matematica
Observações:
1) Percebe-se que d ( F1, F2 ) < d ( A1, A2 ), isto é, 1 2 1 2
F F A A< , portanto, 2c < 2a.
Então, temos: c < a. Donde se conclui que 0 < e =
c
a
< 1.
2) Observando o gráfico acima percebemos que 1 2 1 2
A A B B> , daí 2a > 2b, logo, na elipse, a > b.
3) Como A1 e A2 são pontos da elipse e 1 2A A = 2a , então se o ponto P estiver no vértice A1 ou A2 , temos
1 2
PF + PF = 2a
Dedução da equação da elipse com centro em (0,0):
1O
caso: Eixo maior coincide com o eixo Ox
Sejam P = ( x, y ), F1 = ( -c, 0 ) e F2 = ( c, 0 ).
( )
1 2
1 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
F P PF 2a
F P ( x c, y ) e PF c – x, y
x 2xc c y c 2xc x y 2a
x 2xc c y 2a – c 2xc x y
x 2xc c y 4a – 4a c 2xc x y c 2xc x y
4a c 2xc x y 4a
+ =
= + = −
+ + + + − + + =
+ + + = − + +
+ + + = − + + + − + +
− + + =
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2
2 2 2 2 4 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
– 4cx
a c 2xc x y a – cx
a c – 2cx x y a – 2a cx c x
a c – 2a cx a x a y a – 2a cx c x
a – c x a y a a – c
− + + =
+ + = +
+ + = +
+ =
Como
B1
b a
a2
= b2
+ c2
b2
= a2
- c2
C c F2
Logo, b2
x2
+ a2
y2
= a2
b2
Dividindo o último resultado por ( : a2
b2
), temos:
2 2
2 2
x y
1
a b
+ =
Equação reduzida da elipse de centro C = ( 0, 0 ) e eixo maior sobre o eixo Ox.
2 2
2 2
x y
1
a b
+ =
3. COLÉGIO DE APLICAÇÃO – UFRJ Portal Professor /Cônicas - Elipse - 2009
SETOR CURRICULAR DE MATEMÁTICA www.cap.ufrj.br/matematica
2o
caso: Eixo maior coincide com o eixo Oy
Por analogia, encontraremos:
Equação reduzida da elipse de centro C = ( 0, 0 ) e eixo maior sobre o eixo Oy.
Acesse, Atividade 2: Cônicas – Elipse – Eixo maior sobre o eixo Ox.
Acesse, Atividade 3: Cônicas – Elipse – Eixo maior sobre o eixo Oy.
Acesse, Atividade 4: Cônicas – Elipse – Excentricidade
Dedução da equação da elipse com centro fora da origem:
1o
caso: Eixo maior paralelo ao eixo Ox
Analogamente à translação de eixos da parábola,
temos
Equação da elipse de centro em
( h, k ) e eixo maior paralelo a Ox
2o
caso: Eixo maior paralelo ao eixo Oy
Analogamente, temos:
Equação da elipse de centro em
( h, k ) e eixo maior paralelo a OY
Exemplo: Dê a equação da elipse que possui as seguintes características:
I) eixo maior paralelo a Oy;
II) C = (4, -2);
III) e = ½ ;
IV) eixo menor igual a 6.
2 2 2 2 2
2
a b c 4c 9 c
3c 9 c 3 a 2 3
= + ∴ = +
= ∴ = ∴ =
Informação III:
c
Sabemos que e , logo:
a
c c 1
e a 2c
a a 2
Informação IV:
O eixo menor mede 2b, assim:
2b 6 b 3
=
= ∴ = ∴ =
= ∴ =
( ) ( )
2 2
Finalmente, utilizando as
informações I e II, temos:
x 4 y 2
1
9 12
− +
+ =
2 2
2 2
x y
1
b a
+ =
( ) ( )
2 2
2 2
x h y k
1
a b
− −
+ =
( ) ( )
2 2
2 2
x h y k
1
b a
− −
+ =
