Tensoesinsitu3 dmodificado em 26 06 2012

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Tensoesinsitu3 dmodificado em 26 06 2012

  1. 1. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 01COMITÊ BRASILEIRO DE BARRAGENSXXVIII SEMINÁRIO NACIONAL DE GRANDES BARRAGENSRIO DE JANEIRO – RJ, 25 A 28 DE OUTUBRO DE 2011CÁLCULO 3D DE TENSÕES IN SITU EM MACIÇOS ROCHOSOSElysio Roberto Figueiredo RUGGERIEngenheiro Civil – Furnas Centrais Elétricas SAFlávio Mamede Pereira GOMESEngenheiro Civil, M. Sc. – Furnas Centrais Elétricas SARESUMOABSTRACT
  2. 2. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 021. INTRODUÇÃO.1.1 SOBRE O MACIÇO.Um maciço rochoso, no contexto deste artigo, é uma massa de rocha de grandesdimensões dotada de tensões iniciais em estado natural, sem forma exteriorespecial, cujo comportamento mecânico tridimensional pode ser descrito pela teoriada elasticidade clássica para corpos homogêneos, isotrópicos, lineares (dos pontosde vista físico e geométrico) e elásticos.No maciço em pauta será executado um furo cuja seção, de plano , é umacircunferência de raio a e cujo centro O pertencerá a uma curva, o eixo do furo,suposta dada em relação a algum sistema de coordenadas fixado.1.2 SISTEMAS DE COORDENADAS.1.2.1 Sistema O-XYZ.O plano horizontal h conduzido por O e o plano  formam o ângulo diedro  e ainterseção deles define a direção do eixo OX, com vetor unitário Iˆ e sentidoarbitrário. O eixo OZ será a normal descendente do plano horizontal e seu vetor debase é o unitário Kˆ . O eixo (horizontal) OY, com unitário Jˆ , deve ser escolhido deforma que o sistema O-XYZ seja direto (Figura 1).1.2.2 Sistemas ligados ao furo: cilíndrico O-r e cartesiano: O-xyzLiga-se ao furo um sistema cilíndrico de referência com eixo O tangente ao eixo dacurva em O e vetor unitário ˆ . Esse vetor é, pois, normal ao plano da seção reta dofuro, está contido no plano vertical OZY e sua inclinação sobre OY é igual aocomplemento  de  (Figura 1). Por ser O tangente ao eixo da curva em O, avariável  só pode assumir valores próximos de zero.No plano  (Figura 2) os ângulos polares , de vértice O, terão por lado inicial a retasuporte do unitário Iˆ e serão considerados positivos quando medidos no sentidoanti-horário para quem observa  do semi-espaço que contém ˆ (vista no sentidocontrário ao de ˆ ). O sistema polar em  terá rˆ e ˆ por vetores unitários ortogonaisde base, o primeiro tendo a direção de um raio inclinado de  sobre Iˆ e apontandopara o interior do maciço, o sentido do segundo sendo tal que o triedro }ˆ,ˆ,ˆ{ r sejapositivo. Em  define-se ainda um sistema cartesiano de eixos OxOX (com unitárioIi ˆˆ  ), OzO (com  ˆˆk ) e Oy, de unitário jˆ , tal que O-xyz seja direto (Figura 2). Noplano vertical OYZOy os eixos OY, Oy, OZ e Oz se posicionam conforme indicadona Figura 3.Figura 1 - Sistema de eixos O-XYZFigura 2 Sistema cilíndricoligado ao furoFigura 3 – Eixos no plano OYZ
  3. 3. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 031.2.3 Sistema principal de OEsse é um sistema triortogonal, O-x’y’z’, com vetores unitários lˆ , mˆ e nˆ definidospelas direções principais do tensor de tensões de O existente antes da execução dofuro, ou seja, o tensor in situ do ponto O. Essas direções e as tensões principaiscorrespondentes, pl, pm e pn são as incógnitas do problema que será posto na seção2 e equacionado e resolvido na seção 3.1.3 NOTAÇÕES.No ponto genérico P de , o tensor de tensões  é representado na forma de umamatriz simétrica. Em coordenadas cilíndricas (r,,) e cartesianas O-xyz e O-xyz,essas matrizes são:rrrrrr ,zyzxzyzyxyxzxyxxyzσσσσσσσσσ][σ , enmllmnp000p000p][σ , (1.1).Não obedecendo às notações clássicas, o vetor deslocamento u de P, conseqüenteà execução do furo, terá u, v e w por componentes no sistema cilíndrico, ou melhor,nas direções de rˆ , ˆ e ˆ , respectivamente.O tensor das deformações é denotado por  e suas componentes são denotadas talcomo as correspondes ao tensor de tensões (r, , , ..., ou x, y, z, yz...).2. POSIÇÃO DO PROBLEMA2.1 ESTABELECIMENTO DE UM PRINCÍPIO PRÁTICOO elemento de volume representativo (EVR) de um maciço é o menor volume demaciço que pode representá-lo em termos de valores médios de propriedades(especialmente as mecânicas). Em torno de cada ponto de um maciço intato podeser considerado um EVR, nas proximidades da superfície imaginária do qual atuamas tensões in situ. Assim, tais tensões, relativas a um ponto O, ocorrendo segundoas direções principais do tensor de O, são praticamente as mesmas que as relativasa qualquer outro ponto P do EVR de O.A dimensão característica do EVR de um maciço pode ser maior ou menor do que odiâmetro 2a da seção circular de um furo executado no maciço, cujo eixo contenha ocentro O. Em qualquer um dos casos os tensores de tensão in situ dos EVRsatingidos, relativos a pontos O, O" etc., inicialmente todos idênticos em cada EVR(mas diferentes de um EVR para outro), assumem agora um valor em cada pontodos mesmos desde que esses pontos O, O" ... estejam situados até uma "distânciacrítica" de O.Em estudos com chapas metálicas (em que os EVRs são muito pequenos) aexperiência mostra que, nos pontos situados a distâncias maiores que 5a de O, essamudança nos valores dos tensores pós-furo é desprezível em relação aos valores
  4. 4. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 04dos mesmos tensores relativos à chapa original intata. Esse valor 5a apenas sugereum valor de referência para a distância crítica mencionada para os maciçosrochosos porque não é possível estabelecer para estes um valor mais rigoroso. Asugestão pode ser aceitável com alguma reserva, especialmente quando se vãoexecutar furos muito próximos nos maciços rochosos.Desta forma, pode ser aceita a idéia aproximada de que, nos maciços rochosos emestado natural (não sujeitos à ação de esforços exteriores), os tensores de tensãoem pontos do plano da seção reta de um furo praticado no mesmo se modificamaproximadamente até as fronteiras dos EVRs dos pontos mais distantes de O (comoO, O" ...) nos quais o equilíbrio original possa ter sido modificado (onde as tensõesin situ eram diferentes daquelas de O). A partir das fronteiras dos EVRs de O, O" ...,no sentido radial de O, os tensores originais nos EVRs desses pontos atingidosestarão praticamente mantidos. Logo, podemos aceitar o seguinte princípio:em pontos suficientemente afastados de um ponto qualquer de ummaciço os tensores de tensão in situ (originais) são invariantes comqualquer furo cujo eixo contenha o ponto.2.2 PRESSUPOSTOS PARA A SOLUÇÃOAs equações da elasticidade linear para corpos isotrópicos, supostas aplicáveis aoproblema aqui abordado, constituem um sistema compatível de 15 equaçõesdiferenciais parciais de primeira ordem e de segunda, com 15 funções incógnitas (6tensões, 6 deformações e 3 deslocamentos), que devem satisfazer condições nocontorno e condições de compatibilidade das deformações. Esse sistema, para opresente problema, foi resolvido por HIRAMATSU e OKA [1] com base em algunspressupostos; algumas das notações expostas em [1] foram aqui conservadas, maspormenores relativos a interpretações e modo de abordagem são dos autores.Quando se dá um acréscimo à variável  em P, mantendo-se r e  fixos, obtém-seuma seção do furo, paralela à anterior, que contém o ponto P’ correspondente de P(o segmento PP’ é paralelo ao eixo). Nestas condições, tensões, deformações edeslocamentos sofrem acréscimos de P para P’ conforme os pressupostos seguintes(que não são condições de contorno, pois são verificados no ponto genérico interiorao maciço).Primeiro pressuposto:- em P, são nulas as razões dos acréscimos das componentes u e v dodeslocamento para o acréscimo de , isto é:0vu(2.1.a),o que significa que u e v só podem depender de r e .Segundo pressuposto:- em P, é nula a razão do acréscimo do tensor  de tensões para o acréscimode , ou seja,, (2.1.b),
  5. 5. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 05o que também significa que  só depende de r e .Terceiro pressuposto:- em P, é constante a razão do acréscimo de deslocamento w para o acréscimode , ou seja,Kw , (2.1.c),o que significa que w varia linearmente com  além de variar com r e .Desses pressupostos se deduz que:),r(uu  , ),r(vv  ,  K),r(ww e ),r(   , (2.2).3. EQUACIONAMENTOEm P (ponto genérico da seção do furo), a equação de equilíbrio estático é odiv ,desde que se desprezem os efeitos de forças mássicas. A conexão entre ostensores  e  é dada pela lei de Hooke: =2+(Tr)I, em que  e  são asconstantes de Lamé da rocha, Tr é o traço de  (a dilatação cúbica) e I o tensorunidade. O tensor  se expressa em função do vetor deslocamento u de P na forma2/)( Tuu  . Em resumo, as equações simultâneas determinantes do estado detensão/deformação do maciço são:)(21)Tr(2divTuuo, (3.1).Há que se juntar às equações (3.1) as equações de compatibilidade dasdeformações, sintetizadas na forma:Trotrot , (3.1-a),e as condições de contorno, sintetizadas nas formas seguintes:- para r=a, são: (r)r=a=(r)r=a=(r)r=a=0, (3.1-b),e- para as direções (principais) lˆ , mˆ e nˆ do ponto O: x’y’=y’z’=z’x’=0, (3.1-c).3.1 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO E DESLOCAMENTO W.Para equacionar o problema (de natureza cilíndrica) e expressar suasparticularidades definidas pelas expressões (2.1-a), (2.1-b), (2.1-c), (3.1-b) e (3.1-c),é conveniente representar as leis em coordenadas cilíndricas (ver [2], Chapter 2).Assim, já considerando os pressupostos, a equação odiv equivale ao sistema:
  6. 6. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 06(c),0rr1r(b),0r2r1r(a),0rr1rrrrrrrr, (3.2);a equação =2+(Tr)I equivale a um sistema único de equações, mas que, porconveniência, se apresenta desdobrado nas formas:(c),K2e(b)),ruvr1(2e(a),ru2er, (3.3) e(c)),ur1rvrv((b),rw(a),wr1rr , (3.4);em que K é dada por (2.1-c) eKvr1rurueTr  , (3.5),de onde deduzimos, para uso futuro,)ruru()Ke(rv(3.5-a) e )ruru()Ke(vr1, (3.5-b).Por (3.3) e (3.4) podemos calcular as derivadas necessárias para posteriorsubstituição de resultados em (3.2). Assim procedendo, operando e simplificando,encontram-se as equações:(c),0wr1rwr1rw(b),0)ur2vr1rvrvr1rv(er1)((a),0)vr2ur1rurur1ru(re)(2222222222222222222, (3.6).Note-se que a equação (c) em (3.6) pode ser integrada imediatamente. Entretanto,considerando (3.5), vê-se que a equação (a) em (3.6) apresenta derivada de v emrelação a , bem como a equação (b) apresenta derivada de u em relação . Aeliminação dessas derivadas poderá gerar equações em que apenas as letras u e vestejam submetidas às derivações parciais; a integração dessas equações serárealizada no item 3.4.3.2 UM MESMO TENSOR DE TENSÕES EM DIFERENTES SISTEMAS DE COORDENADASOs três vetores de uma base ortonormada são ligados aos vetores de outra baseortonormada mediante uma matriz de rotação. Vamos considerar todas as relaçõesmatriciais entre os vetores de cada par de bases vetoriais dentre os quatro sistemasde coordenadas considerados no item 1.2. Tem-se:- por serem lˆ , mˆ e nˆ os unitários das direções principais:
  7. 7. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 07kjinmlˆˆˆR.ˆˆˆ, comzyxzyxzyxnnnmmmlllR , (3.7),lx, ly e lz sendo os co-senos diretores de lˆ , mx, ...os de mˆ e nx, ... os de nˆ ;- da Figura 2: jir ˆsenˆcosˆ  , ji ˆcosˆsenˆ  e kˆˆ  , donde:kjirˆˆˆ.Pˆˆ , com cossensencosP , (3.8);- da Figura 3: Ii ˆˆ  , KJj ˆcosˆsenˆ  e KJk ˆsenˆcosˆ  , donde:KJI.kjiˆˆˆTˆˆˆ, comsencoscossen001T , (3.9).Por substituição de (3.9) em (3.8) resulta:KJIrˆˆˆ.Mˆˆ , dondeˆˆMˆˆˆTr.KJIcom .sencoscoscossencossencossensensencosTPM . , (3.10),Como o tensor  pode ser escrito nas formas    etc.][...ˆˆˆ[ˆˆˆ.p000p000p.ˆˆˆˆˆˆ..ˆˆˆ321rrrrrkjinmlnmlrr  , (3.11),são deduzidas, por consideração das expressões (3.7), (3.8), (3.9) e (3.10):TlmnTTxyzTXYZr P.R]..[R.PP]..[PM]..[M][   , (3.12.a),R]..[RP]..[PT]..[T][ lmnTrTTXYZxyz   , (3.12.b),T.R]..[R.TT]..[TM]..[M][ lmnTTxyzTrTXYZ   (3.12.c).Tem-se, então, desenvolvendo o último membro de (3.12.b), lembrando (3.7):
  8. 8. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 08n2zm2zl2znzymzylzynzxmzxlzxnzymzylzyn2ym2yl2ynxxmyxlyxnzxmzxlzxnxxmyxlyxn2xm2xl2xzyzxzyzyxyxzxyxpnpmplpnnpmmpllpnnpmmpllpnnpmmpllpnpmplpnnpmmpllpnnpmmpllpnnpmmpllpnpmpl, (3.13).Desenvolvendo o terceiro membro de (3.12.a), lembrando a matriz em (3.8), tem-se: zyzxzyzxzyzxzxy2x2yxyyxyzxzxyyxxy2y2xrcossensencoscossen2sensencos2cos)(2sen21sencos2cos)(2sen212sensencos][ , (3.14);donde, pelas substituições sen2=(1-cos2)/2 e cos2=(1+cos2)/2: 4565656321325632321rsencossencososcsen2sen2cos2cos2sensencos2cos2sen2sen2cos][ , (3.15),com tensões)(21yx1  , z4  ,)(21yx2  , yz5  , (3.16).xy3  , xz6  ,Pelo princípio estabelecido na seção 2.1, para pontos afastados de O, mas próximosda fronteira do EVR, o tensor de tensões é único (pois, longe de O, tudo se passacomo se o maciço estivesse intato e a distribuição das tensões fosse uniforme). Istosignifica que, para pontos distantes de O, as tensões 1, 2 etc. são constantes, ouseja, que a matriz [xyz] é constante, bem como [lmn].3.3 AS TENSÕES  E R.A equação (c) em (3.6), equivalente a lap w=0 (ou 2w=0), pode ser resolvidaimediatamente, a sua integral podendo ser posta na forma: sen)rDCr(cos)rBAr(w , (3.17),
  9. 9. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 09em que A, B, C e D são constantes não nulas de integração. Logo, as equações (a)e (b) em (3.4) podem ser escritas nas formas:]cos)rDC(sen)rBA([ 22 (3.18),e]sen)rDC(cos)rBA[( 22r  , (3.19).Impondo que (3.19) satisfaça as condições de contorno (3.1-b), obtém-se: sen)aC/D1(Ccos)aA/B1(A0 22,para qualquer , ou seja: 2aCDAB . Impondo que (3.18) satisfaça as condições decontorno (3.1-c), vem: )cosCAsen(  . Lembrando que  pode ser extraída dosistema (3.16), deve ser:  sencos)cosCAsen( 65 . Então: C5  eA6  . Em resumo: 6A , 26aB , 5C , e 25aD , (3.20).Substituindo-se em (3.18) e (3.19) os valores (3.20) encontrados para as constantesresultam, finalmente:)sencos)(ra1( 6522 , (3.21),)cossen)(ra1( 6522r  , (3.22),e)enscos)(ra1(1rw5622 , (3.23).3.4 OS DESLOCAMENTOS u E v, E A DILATÂNCIA e.Com as equações (3.6-(a)), (3.6-(b)) e (3.5) é possível eliminar todas as derivadasparciais de u e v em relação a r e a  para obter-se uma equação em e apenas.Derivando (3.5) em relação a r, tem-se:rur1rvr1vr1rurure 22222 , (3.24),entrevendo-se parcelas comuns nos segundos membros de (3.25) e (3.6-a). Porsubstituição dessas parcelas de (3.25) em (3.6-a) resulta:
  10. 10. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 0100)ur1vr1rvr1(re)2( 22222 , (3.25).Analogamente, derivando-se (3.5) em relação a  e depois dividindo-se ambos osmembros por r, tem-se:22222vr1rur1ur1er1, (3.26),entrevendo-se agora parcelas comuns nos segundos membros de (3.26) e de (3.6-(b)). Por substituição, obtém-se:0)rur1ur1rvrvr1rv(er1)2(22222 , (3.27).Derivando-se parcialmente (3.25) em relação a r e cancelando termos, obtém-se:0)rur1ur2vr2rv(rre)2( 2322222322 , (3.28).Derivando-se parcialmente a equação (3.27) em relação a  e depois dividindoambos os membros por r, obtém-se:0)rur1ur1vr1rvr1rv(rer1)2( 232222223222 , (3.29).Somando-se membro a membro as equações (3.28) e (3.29), cancelando termos esimplificando, vem:0)ur1vr1rvr1(r)er1re)(2( 2222222222 , (3.30),donde, por consideração de (3.25) e observando-se que +20:0er1rer1re22222(3.31),equação que equivale a lap e=0 (ou 2e=0). Embora esta equação (3.31) seja domesmo tipo que a equação (3.6-(c)), cuja solução geral é dada pela equação (3.19),sua integral geral pode ser escrita na forma mais conveniente:)2Gsen2cosF(r1Ue 2 , (3.32),em que U, F e G são constantes de integração e da qual deduzimos, para usofuturo,)2senG2cosF(r2)KU(r2)Ke(r23 , (3.32.a),
  11. 11. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 011e)2senG2cosF(r1r)KU(r)Ke(  (3.32.b).Agora pode ser calculada a derivada parcial de e em relação a r,)2Gsen2cosF(r2re3,para substituição do resultado na equação (a) em (3.6). Obtém-se:0)]vr1(r2ur1rurur1ru[)2Gsen2cosF(r2)( 2222223 , (3.33),donde, lembrando a equação (3.5-b) e simplificando:)Ke(r2ur1rurur3ru)2Gsen2cosF(r22222223, (3.34).A equação (3.34), gerada de (3.33) por eliminação da derivada de e em relação a r eda derivada de v em relação a , só contém as derivadas de u em relação a r e a .Agora, considerando a equação (3.32-a), tem-se, por substituição em (3.34) e apóssimplificações:2222223ur1rurur3rur)KU(2)2Gsen2cosF(r122, (3.35).A solução geral da equação (3.35) pode ser escrita na forma: 2sen)rG22rNMr(2cos)rF22rLJr(rHr)KU(21u 33, (3.36),em que H, J, L, M, N e G são novas constantes de integração.Por procedimento análogo, calculando-se a derivada parcial de e em relação a  esubstituição na equação (b) em (3.6) etc., é possível encontrar-se uma equação comderivadas parciais de v e integrá-la. Entretanto, como de (3.36) se deduzafacilmente:2sen)rG22rN3Mr(2cos)rF22rL3Jr(rHr)KU(21rur 33,tem-se, logo: 2sen)rNMr(22cos)rLJr(2r)KU(ruru 33, (3.37).Substituindo-se (3.37) na equação (3.5-a), bem como a parcela r(e-K) pelo seu valorexposto em (3.32-b); obtém-se:
  12. 12. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 0122sen)]rNMr(2rG[2cos)]rLJr(2rF[v33, (3.38),cuja solução geral é 2cos)r2GrNMr(2sen)r2FrLJr(v 33, (3.39).Deve ser observado que a função arbitrária de r, (r), que deveria ser somada aosegundo membro de (3.39), é desnecessária uma vez que, devendo ela subsistirpara qualquer valor de , deveria ser, para =0 e =/2: )r()r2GrNMr(v 3 e)r()r2GrNMr(v 3 . Então, para aqueles valores de , deve ser necessariamentev=(r); o que é absurdo, poisr2GrNMr 3 não é nulo em geral.As equações (3.32), (3.36) e (3.39) dão os valores de e, u e v como funções de r,  econstantes que podem ser determinadas em função das condições de contorno(3.1.b) e (3.1.c).3.5 AS EQUAÇÕES FINAIS DE TENSÕES E DESLOCAMENTOS.Com as equações (3.36) e (3.39) pode ser obtida uma expressão para a tensão rconforme (3.4.(c)). Tem-se:2sen)r2FrL3J(2cos)r2GrN3M(rv2424, 2sen)r2FrLJ(2cos)r2GrNM(rv2424, (3.39.a),e2sen)rF2rL2J2(2cos)rG2rN2M2(ur12424,donde 2sen)rFrL6J2(2cos)rGrN6M2(12424r , (3.40).Lembrando que o elemento da primeira linha e segunda coluna de (3.15) deve serequivalente a (3.40) para r, tem-se: 2sen2cos)2senJ2cosM(2123r ,donde2M 3e2J 2, (3.41).
  13. 13. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 013Tem-se de (3.40), para r=a, considerando a condição de contorno (3.1-b):02sen)aFaL6J2(2cos)aGaN6M2( 2424 ,donde, por ser  arbitrário e levando-se em conta as constantes dadas por (3.41):0aGaN6243e 0aFaL6242 , (3.42).As igualdades (3.41) serão utilizadas oportunamente.*Com as equações (3.32) e (3.36) calcula-se r dada por (3.3.(a)). De (3.32), vem: 2senrG2cosrFUe 22;e de (3.36): 2sen)rG22rN3M(22cos)rF22rL3J(2rH2)KU(ru2 24242.Por substituição desses resultados em (3.3.a) resulta, após simplificações: 2sen]rG)(2)rN3M(2[2cos]rF)(2)rL3J(2[rH2KU)( 24242r , (3.43).Lembrando que o elemento da primeira linha e primeira coluna de (3.16) deve serequivalente a (3.43) para r, vem:  2sen2cos)2Msen2cosJ(2KU)( 321r , (3.44),dondeKU)(1  , (3.45).Como para r é e=U e, conforme a terceira linha e terceira coluna de (3.16), é=4, a equação (3.3.(c)) é escrita na forma K2U4  . Então, extraindo destaigualdade o valor de U, substituindo-o na equação (3.45) e multiplicando por ambos os membros da expressão formada, tem-se: K)K2)(( 41  .Explicitando-se o valor de K, vem:14)23()23()(K  , (3.46).Lembrando as fórmulas clássicas: )23(E)(  , )23(2E  e  2)21( ,K e U podem ser explícitas em função do módulo de elasticidade E e do coeficiente
  14. 14. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 014de Poisson  (além de 4 e 1):)2(E1K 14  , )2(E21U 14  (3.47),das quais se deduz, para uso futuro,])1[(E1)KU(2141  , (3.47.a).*Tem-se de (3.43), para r=a, considerando (3.1-b) e (3.41): 2sen]aGM2)(2)MaN31[(2cos]aFJ2)(2)JaL31[(aH20 24324221 .Por ser  arbitrário, devem ser:0aH2 21  , 0aFJ2)(2JaL31 24 e 0aGM2)(2MaN31 24 .Da primeira igualdade resulta:122aH  , (3.48).Das duas outras igualdades e das igualdades (3.42) resultam os sistemas0aFaL6J20aF)(2aJL3124224e0aGaN6M20aG)(2aMN3124234que resolvidos acarretam242aL  , 342aN  , 22a2F  e 32a2G  , (3.49).Substituindo as constantes M e J, dadas por (3.41), U dada por (3.47), H dada por(3.48) e L, N, F e G dadas por (3.49) nas equações (3.40) e (3.43) que definem astensões r e r, respectivamente, resultam:)2sen2cos)(ra3ra41()ra1( 324422122r  , (3.50),e)2sen2cos)(ra3ra21( 234422r   , (3.51).
  15. 15. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 015Considerando as igualdades (3.47) e (3.47.a), as expressões (3.32), (3.36) de e e upassam a ser:)]2sen2cos(ra)1(42[E21e 322214  (3.52),)2sen2cos(]ra)1(4ra1[E1E1]ra)1()1[(E1ru4222444122 , (3.53).Considerando as expressões de J e M dadas por (3.41) e as de L, N, F e G dadaspor (3.49), obtém-se, por substituição em (3.39.a) e em (3.38), após simplificações:)2sen2cos(]ra)21(2ra1[E1rv232244 , (3.54),e)2cos2sen(]ra)21(2ra1[E)1(2vr1232244, (3.54.a),Finalmente comprova-se, não sem muito trabalho, por substituição de (3.52), (3.53)e (3.54.a) em (3.3.b) que)2sen2cos)(ra31()ra1( 3244122 , (3.55);e por substituição de (3.52) e (3.46) em (3.3.(c)):)2sen2cos(ra4 32224  , (3.56).3.6 AS EQUAÇÕES DE DEFORMAÇÕES.As expressões das componentes de deformações podem ser rapidamente obtidasem função das componentes de tensões por aplicação da lei de Hooke:[I]][TrE][E1][ rrr   , (3.57),a matriz [r] sendo dada por (3.16) e as expressões das tensões por (3.21), (3.22),(3.50), (3.51), (3.55) e (3.56).Como (3.57) é válida também entre sistemas cartesianos, ou seja,[I]][TrE][E1][ xyzxyzxyz  , (3.58),pode obter-se também, se necessário, a expressão de [xyz] em função de [xyz].De (3.57) tem-se:
  16. 16. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 016)]2sen2cos)(ra1(ra[)1()(E 4244122411r  , (3.59),)2sen2cos)(ra4ra31()1(]ra)1(1[E 3222444122 , (3.60),eK)2(E114  , (3.61),este último resultado já conhecido por (3.47). Considerando (3.51), (3.21) e (3.22),obtêm-se, respectivamente:)2sen2cos)(ra3ra21)(1(E 234422r   , (3.62).)sencos)(ra1)(1(E 6522 , (3.63),e)cossen)(ra1)(1(E 6522r  , (3.64).4. AS TENSÕES IN SITU4.1 A EQUAÇÃO FINAL.As tensões definidas por (3.16) podem ser postas na forma matricialxyzxyzzyx654321].2/1[ , com .01000000100000010010000000005,05,000005,05,0]2/1[ (4.1),em que a coluna do segundo membro, também denotada pela forma compacta{xyz}, é formada com as componentes do tensor de tensões in situ referido aosistema cartesiano O-xyz ligado ao furo.Com a representação (4.1), as equações que representam a solução do problemaem apreço, em conformidade com a teoria da elasticidade, são resumidas nasequações (3.50), (3.51), (3.55), (3.56), (3.62), (3.64). Estas, para efeito de cálculoscomputacionais, ficam mais bem expressas na forma equivalente matricial:
  17. 17. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 017}).{,,(M}{ xyzr   , (4.2),em que, em forma transposta,   rrrTr }{ , (4.3),e, para =a/r, M(,,) é a matriz 6x6,2cos)321(0002sen)321(5,02sen)321(5,00cos)1(sen)1(0000sen)1(cos)1(0002sen40012cos22cos22sen)31(000]2cos)31()1[(5,0]2cos)31(5,0)1[(5,02sen)341(000]2cos)341()1[(5,0]2cos)341()1[(5,042424222222224424242422422, (4.4).A equação (4.1) estabelece a relação (direta) entre o tensor de tensões pós-furo,[r], do ponto de coordenadas (r,) de , referido à base {  ˆ,ˆ,ˆr }, com o tensor insitu do ponto (,) de , [xyz], referido aos vetores de base { kji ˆ,ˆ,ˆ }.A matriz M(,,) é fundamental para o cálculo do tensor in situ. Observando-se que)31)(1(341 2242 e )31)(1(321 2242 , (4.5),M pode ser escrita como o produto das matrizes 6x6:M(,,)=L(,) . Q() . [1/2], (4.5.a),sendo000)31)(1()31)(1(0010000100000001440000)31()31(1000)31)(1()31)(1(1),(L2222222244222222, (4.6),esencos0000cossen0000001000000)2sen2(cos5,0)2sen2(cos5,00000)2sen2(cos5,0)2sen2(cos5,00000001)(Q , (4.7),Pode comprovar-se, não sem algum trabalho, que
  18. 18. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 018)31()1)(1(4),(Ldet 2422 ,21)(Qdet  e21]2/1det[  (4.8),o que acarreta)31()1)(1(),,(Mdet 2422 , (4.9).Fica assim comprovado que a matriz M é sempre invertivel para qualquer ,qualquer 1 e qualquer . Particularmente, 00364,0)92,0(Mdet  .Então, se, por algum meio, for possível determinar o tensor do ponto (r,), para oqual 1, poder-se-á calcular o tensor in situ, pois será:}).{,,(M}{ r1xyz   , (4.10).Conhecida a coluna {xyz}, escrever-se-á a matriz simétrica 3x3 representante dotensor in situ (o tensor original relativo a qualquer ponto do EVR de O, ver seção 2).Os autovalores dessa matriz são as tensões principais in situ, e seus autovetores asdireções em que ocorrem.É conveniente observar-se que, embora as matrizes do segundo membro de (4.10)sejam variáveis com  (1),  (0) e , o produto delas é uma constante.Obviamente essa conclusão deve ser verdadeira dentro das condições admitidaspara a solução do problema e expostas na seção 2.4.2 A DETERMINAÇÃO DE {R}.Conforme o método dos macacos planos de pequena área [3], é possível adeterminação do tensor de tensões [r] em qualquer "ponto da parede" do furocorrespondente a =0,92 e qualquer , ou seja, ponto situado a aproximadamenter=1,087a de O. Por exemplo, para uma seção com 3,0m de diâmetro o ponto estariacerca de 13 cm para dentro do maciço.Deve ser observado que a forma do furo não teve nenhuma influência direta naobtenção das equações componentes de (4.1), mas toda a solução foi encontradaem relação ao sistema cilíndrico. Para simplificar a análise, é desejável que o pontoO, fixo, seja centro de simetria da seção, caso em que a equação polar do furo deveser da forma: )()(  .Não se consegue determinar as componentes do tensor de tensões em (r,),contendo o índice r. De fato, conforme o método dos macacos planos [3], taiscálculos são feitos a partir de uma lista de medidas de tensões normais segundodois pares de direções ortogonais (a cada direção correspondendo um rasgo narocha). Refere-se ao unitário relativo ao rasgo q (para q = 1, 2, 3, 4) no painel dageratriz do ponto R pela notação qˆn . Em relação ao referencial }ˆ,ˆ,ˆ{ r , em que kˆˆ  ,tal unitário, conforme Figura 4, é escrito na formakn ˆsenˆcosˆ qqq   , (4.11),o ângulo q de qˆn com ˆ devendo ser medido no sentido positivo (a partir de ˆ e no
  19. 19. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 019sentido de ˆ para ˆ ). Tem-se sempre: 1+2=180=3+4 e 31.Figura 4 – Disposição dos rasgos em um painel, dos unitários das normaisaos seus planos e os ângulos dessas normais com o unitário kˆ .O tensor de tensões é um tensor pleno porque não é nulo o vetor tensão (que éparalelo ao unitário rˆ ) relativo à face da galeria. Assim, o valor da tensão normalmedida, medq, sobre um elemento plano (almofada) ortogonal ao vetor unitário qˆnpode ser escrito na forma qqrrrrrqqmedqsencos0..sencos0 ,ou, operando, na forma  2sensencos qq2q2medq .Como se vê, esta expressão não envolve as componentes do tensor com índice r.Dispõe-se, então, para cada painel, de um conjunto de quatro equações envolvendoapenas três das seis incógnitas.Para q = 1, 2, 3, 4 as quatro equações acima podem ser escritas de uma só vez naforma matricial seguinte:})].{(N[}{ medrmed  , (4.12),em que4med3med2med1medmed }{ ,442423323222222112122sensencos2sensencos2sensencos2sensencos)](N[ e }{ medr , (4.13).De (4.12) deduz-se facilmente:}.{)](N)].[(A[}{ medT , (4.14),onde1T)])(N.[)](N([)](A[  , (4.15).
  20. 20. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 020Lembrando que os pares 1 e 2, bem como 3 e 4 são suplementares e que oensaio só faz sentido se 31, a inversão de NT.N será sempre possível porque,nesse caso, o posto de matriz é igual a 3.4.3 O CÁLCULO DOS TENSORES: IN SITU E LOCAL.A coluna do tensor de tensões do ponto R é escrita na forma (4.3) em que r, kr e rsão as tensões desconhecidas e sem as quais não se calcula diretamente o tensorde tensões in situ. Apenas por conveniência é interessante trabalhar-se não com acoluna (4.3), mas com a coluna {r} definida pela expressão:   }{.000001100000010000001000000100000010rincrmedrrrrrr, (4.16),destacando-se nas três primeiras linhas da coluna do segundo membro os valoresdo tensor de tensões {rk} calculáveis por (4.14) e no terceiro membro indicado pelacoluna 3x1 {med}, e nas três outras as tensões incógnitas indicadas por {rinc}.Sendo, evidentemente,100000010000001000000100000010000001000001100000010000001000000100000010.010001001000000100000010000001100000, (4.16.a),então a operação que consiste em intercalar as matrizes fatores de (4.16.a) entre asmatrizes do segundo membro de (4.10) mantém a validade desta expressão. Masagora ela deverá ser escrita na forma: 1x36x66x1r6cc11xyz }.{),,(M}{ , (4.17),em que M-1(,,)1c6c é o produto da matriz M-1(,,) em (4.10) pela primeiramatriz fator no primeiro membro de (4.16.a), ou seja, é a própria M-1(,,) em quese passe a primeira coluna para a posição de sexta coluna.A matriz M-1(,,)1c6c deve, agora, ser decomposta em duas submatrizes 6x3, daesquerda para a direita, denotadas por M1 e M2, respectivamente, escrevendo-se,pois:]]M][M[[]M[6x36x36x6211.
  21. 21. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 021Definindo-se a transposta da coluna de todas as incógnitas por 1x61x3TTxyzTincr }{}{   , (4.18),a equação (4.17) é escrita na forma equivalente:      6x96x19x16x66x33x16x3inc2med1 }0{}{.]I[]M[}]{M[  ,em que a matriz 6x6, [-I], é a matriz unidade 6x6 multiplicada por (-1). Transpondo aprimeira parcela para o segundo membro resulta, então:     6x93x16x39x16x66x3med1inc2 }{.]M[}{.]I[]M[  , (4.19),Em (4.19) todas as matrizes são conhecidas, exceto a coluna das incógnitas que foidefinida em (4.18), suas três primeiras linhas contendo as componentesdesconhecidas do tensor de tensões do ponto (r,), as demais linhas contendo ascomponentes do tensor in situ.Havendo 6 equações e 9 incógnitas em (4.19), conclui-se que o sistema éindeterminado. Como a equação (4.19) pode ser aplicada para diferentes pontos domaciço com os mesmos  e  (=a/r), é prudente escrevê-la na forma     }].{M[}{.IM )(med)(1)(inc)(2   , (4.20),Para o par de pontos (r,1) e (r,2) devem subsistir simultaneamente:         }].{M[}{.IM}].{M[}{.IM)(med)(1)(inc)(2)(med)(1)(inc)(222221111,sistema esse que pode ser escrito como uma única expressão matricial:                 }{}{.M00M}{}{}{.IM0I0M)med()med()(1)(1xyz)inc()inc()(2)(221212121, (4.21),representando, assim, um sistema de 12 equações com 12 incógnitas. Essesistema, entretanto é impossível porque sua matriz (quadrada) das incógnitas ésingular. De fato, o valor do determinante do sistema não muda se subtrairmos asexta linha da primeira linha, a sétima linha da segunda etc. e a décima segunda dasexta. Assim,                         0MMIM00MMIM0I0M)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(22122121.
  22. 22. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 022Relembrando que o tensor in situ em (4.10) deve ser o mesmo qualquer que seja amedição feita, então, para uma série de N medições feitas:}).{,,(M...}).{,,(M}).{,,(M}).{,,(M}{N321rN1r31r21r11xyz, (4.22).Como a cada par de geratrizes (no ensaio com almofadas) corresponde um conjuntode seis equações independentes, dispõe-se, em resumo, de um conjunto de 6(N-1)equações independentes e 3N incógnitas (3 em cada medição) para as N medições.Com duas medições apenas seria aparentemente possível calcular-se o tensor insitu uma vez que, para que 6(N-1)=3N basta que N=2; mas a matriz do sistemaformado, conforme demonstrado, é singular.Ter-se à disposição um número N>2 de medições pode ser vantajoso do ponto devista estatístico, pois, nesse caso, existirão mais equações que incógnitas. De fato,as equações excedentes são em número de 6(N-1)-3N=3(N-2), ou seja: 3 para N=3,6 para N=4 etc.. É evidente que se as medições são confiáveis é desejável N>2,apesar do aumento da quantidade de medições acarretar mais incerteza no valorfinal do tensor in situ.
  23. 23. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 023Exemplos.Serão utilizados para cálculos numéricos os tensores registrados no artigo [3]relativos ao maciço da UHE de Serra da Mesa, que se transcreve a seguir, ascomponentes do tensor estando apresentadas na seqüência r,, , , , r e r:Geratriz Inclinação  (em ) Tensor referido ao sistema }ˆˆˆ{ kr  . Valores em 10 MPa (ou kgf/cm2).1 2230  1r1r1r 47,2542,2634,38  2 11230  2r2r2r 27,2895,6011,334  3 135  3r3r3r 96,282,7893,215  4 180  4r4r4r 73,166,5158,3  5 210  5r5r5r 58,404,4633,0  6 236  6r6r6r 08,1980,6736,97  7 301  7r7r7r 65,4161,15224,476  8 33430  8r8r8r 86,2027,7084,188  No que seguirá, valerão: =0,92 e =0,15.- Para 1=2230 tem-se para M-1(,,1), conforme (4.3):0.00678749 0.160387 0. 0. 0. 0.1671750.190203 1.1902 0. 0. 0. 2.226810.179549 0.179549 1. 0. 0. 0.3590970. 0. 0. 1.70585 0.706587 0.0. 0. 0. 0.0587802 0.141908 0.0.192199 0.192199 0. 0. 0. 0.384398 .cujo determinante vale .......- Para 2=11230 tem-se para M-1(,,2),0.160387 0.00678749 0. 0. 0. 0.1671752.0366 1.0366 0. 0. 0. 2.226810.179549 0.179549 1. 0. 0. 0.3590970. 0. 0. 0.706587 1.70585 0.0. 0. 0. 0.141908 0.0587802 0.0.192199 0.192199 0. 0. 0. 0.384398
  24. 24. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 024resultando as equações:8027,2627889,57444,1217047,75403,311456,85.053109,055129,401484,60049143,2000552755,026871,30395049,08662,11074571,39688,20rr1r=975,1061454,1485922,58788,15834,339884,125.00845,2975,10649143,20001484,6000253162,049707,10180933,01324,13071554,196337,82r2r2r.Tais equações podem ser escritas na forma compactaS . {s} = {A}, (4.11),em que S é a matriz 6x6 (cujo determinante é igual a –0,591039),00845,2975,106053109,055129,449143,20001484,60001484,60049143,2000253162,049707,10552755,026871,30180933,01324,130395049,08662,11071554,196337,8074571,39688,20S , (4.12),{s} é a coluna de seis linhas que, transposta, é escrita na forma 2r2r2r1r1r1rT}s{   ,e {A} a coluna de 6 linhas cuja transposta é: 7777,13342429,1988518,604927,232937,3087384,40  .Encontram-se os seguintes valores (em kgf/cm2):r1=-536.995,0 r1=11.731.900,0 r1=-2,35175er2=-536.995,0 r2=29.373.500,0 r2=-2,118831.12602 107, 6.37212 106, 1.75527 106, 2.92292 107, 7.05655 107, 2.44405 1064.81341 106, 7.05235 106, 803938. , 1.76677 108, 7.3182 107, 1.11948 106
  25. 25. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 025
  26. 26. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 02611 CONCLUSÕES12 PALAVRAS-CHAVETensões in situ, maciços rochosos, medição de tensões13 AGRADECIMENTOSGratidão a Furnas Centrais Elétricas SA.14 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICAS[1] HIRAMATSU, Y. and OKA, Y. (1962) – "Stress around a shaft ou level inground with a three-dimensional stress state", Mem. Fac. Engr. Kyoto, V., XXIV, Part1, Jan. 1962, pp. 56-76.[2].....HUGHES, W. F. and GAYLORD, E. W. (1964) – "Basic Equations ofEngineering Science", Schaum Publishing Company, New York.[3] RUGGERI, E. R. F. e PORFÌRIO, N. T. = "[4] RUGGERI, E. R. F. (2005) – "Tensões in situ, em estado triplo" (Umaaplicação ao maciço rochoso da UHE de Serra da Mesa), Comitê Brasileiro deBarragens. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens, Goiânia – GO, 11 a 15de abril de 2005.
  27. 27. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 0271.1.A SOBRE OS MACIÇOS ROCHOSOS.Um maciço rochoso é uma massa de rocha de grandes dimensões ligada à terra,dotada de tensões iniciais em estado natural e sem forma exterior especial. Ummaciço é uma pequena parte do planeta do qual se originou. O tamanho aconsiderar de um maciço é relativo a algum problema que o envolva, sendo, emgeral, infinito em relação à dimensão linear característica do problema.Quando se pretende, por exemplo, abrir um túnel com certa pretensão de eixo e comseção circular de raio a, toda a parte do maciço, em cada seção, à distância maiorque 6a digamos, poderá ser dita infinitamente distante do túnel. A essa distância ospontos do maciço estarão nas mesmas posições iniciais. Da mesma forma, aoconstruir-se uma barragem sobre um maciço rochoso, toda a parte deste distanteem profundidade cerca de uma vez a altura da barragem pode ser consideradainfinitamente afastada da mesma, pois daí em diante, na vertical, os pontos estarãonas mesmas posições iniciais.Em geral, a fronteira de um maciço terá uma parte livre, exposta ao ar, e uma parterígida que não sofre quaisquer deslocamentos quaisquer que sejam as ações sobreele. Pela parte exposta o maciço poderá receber a ação de esforços: como o pesode uma barragem e o da água de um reservatório, a pressão de fluidos no interior deum furo nele executado, a passagem de um trem de carga por um túnel etc. Pelaparte não exposta, um dos esforços ativos está ligado à construção de furos.O estado de tensões iniciais de um maciço (intato) variará certamente de uma regiãopara outra do mesmo. Dependendo da formação geológica do maciço e dasdimensões consideradas para estudo, as tensões iniciais poderão variar entre aconstância, a ligeira variância a extrema variância, a ponto de não se conseguirenquadrá-lo em nenhum tipo de material de comportamento aproximado conhecido.Procurar entender o comportamento mecânico de um maciço rochoso é comoprocurar as propriedades de um número inteiro dado ao acaso: deste não serápossível saber mais que sua paridade, daquele ... praticamente nada.Na maioria dos casos, entretanto, pretende-se ver o maciço como um elementoestrutural, isto é, como um corpo cujo comportamento mecânico deva ser previstoem relação à função que lhe caberá desempenhar. Mas esse enfoque deve serentendido de forma bem ampla, pois na operação de escavação se descalça(material é retirado), enquanto na operação de construção, contrariamente, se calça(material é posto). Em ambas as operações o corpo (escavado ou construído) estarásubmetido à ação de esforços e deverá resisti-los sempre da forma mais econômicapossível.1.1.B OUTROS MACIÇOS.Do ponto de vista conceitual, entretanto, outros corpos materiais podem serconsiderados maciços, estejam eles submetidos a tensões iniciais ou não, podendoser naturais ou artificiais. Nesses casos podem ser enquadrados os blocosestruturais, sejam eles de concreto, de metais, ou outros materiais, como umaporção de osso.
  28. 28. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 028Assim, quando possível, o comportamento mecânico tridimensional de um maciçopoderá ser descrito pela teoria da elasticidade clássica para corpos homogêneos,isotrópicos, lineares (dos pontos de vista físico e geométrico) e elásticos. Nessecaso o presente trabalho poderá ser útil.1.1.C TRABALHABILIDADE COM OS MACIÇOS.As tensões iniciais em um maciço são, em geral, desconhecidas; e qualqueroperação utilizada para detectá-las, ou acarreta modificação das mesmas, ou falseiaos valores medidos.Algumas situações importantes podem ser citadas.No caso dos maciços rochosos, ou se abrem furos circulares de pequeno diâmetro(até 5 cm) para investigação, ou se abrem galerias, em geral com seções tambémcirculares de não menos que 3 m de diâmetro, para recepção de pessoas,equipamentos, instrumentos etc., com a mesma finalidade. Em qualquer um doscasos a perturbação é evidente, mas algumas medições poderão orientar trabalhosa serem realizados no futuro. No caso de galerias antigas o objetivo poderá ser aavaliação do estado de tensões reinante, desconhecendo-se eventualmente ascaracterísticas mecânicas do material onde fora executada a galeria (nasminerações, em escavações arqueológicas etc.).Uma situação que apresenta interesse para efeito de aprendizado pode ser geradaem laboratório; nesta, o corpo é um cubo, feito com algum material de característicasmecânicas conhecidas, dotado de um furo cilíndrico com eixo em posiçãoconhecida, sobre as faces do qual se vão aplicar cargas conhecidas. Havendopossibilidade de se medirem grandezas físicas (em geral, deformações) serápossível testar modelos explicativos de comportamento e procurar condiçõesadequadas para se apreenderem resultados úteis em outras situações.No caso dos ossos esta-se diante de situação um pouco diferente, pois suaspropriedades mecânicas mudam com a idade e não são materiais isotrópicos. Aortotropia dos ossos ainda é fator complicador para estudo de seu comportamentomecânico. Por outro lado, embora apresentem pequenas dimensões, se apresentamna forma natural aproximada de um tubo cilíndrico oco, que pode ser investigadopela instalação de instrumentos (em geral, extensômetros) nas suas superfíciesinterna e externa. Na impossibilidade do uso de osso propriamente, pode serutilizado algum corpo em forma de anel cilíndrico com parede espessa e materialconhecido (argamassa, por exemplo).Finalmente, apesar de todas as complicações em termos das formas dos corpos ede suas características mecânicas, deve ser lembrado que muitos desses problemaspodem ser contornados com a utilização da mecânica computacional, ou seja, demodelagem mecânica processada com computadores, não sem o competenterespaldo das medições em laboratório ou "em campo".Vislumbradas
  29. 29. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 029

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