Este documento descreve os princípios básicos da vibração de sistemas contínuos como cordas e barras elásticas. Apresenta as equações diferenciais que governam a vibração destes sistemas e mostra como resolver estas equações para determinar as frequências naturais e modos normais de vibração.

1. SISTEMAS CON.TíNU·OS
8
Vamos estudar neste capítulo os sistemas relativos a corpos com massa e elasticidade
distribuídas continuamente. Esses corpos são considerados homogêneos e isotrópi-
cos, comportando-se de acordo com a lei de Hooke, quando dentro dos limites de
elasticidade. Cada partícula de um corpo elástico necessita de coordenadas para
descrevet a sua posição, resultando daí que corpos desta natureza possuem um nú-
mero infinito de graus de liberdade.
Geralmente, a vibração livre desses corpos é a soma dos modos principais,
como foi exposto anteriormente no Capítulo 5. No modo principal de vibração,
cada partícula do corpo realiza movimento harmônico simples, na freqüência corres-
pondente à raiz particular da equação de freqüência e passa simultaneamente através
de sua respectiva posição de equil íbrio. Se a curva elástica do corpo sob a qual o mo-
vimento começou coincide exatamente com uma dos modos principais, somente este
modo principal será produzido. Entretanto, a curva elástica resultante de um choque
ou de uma súbita retirada de forças corresponde raramente àquela de um modo prin-
cipal, e nestas condições todos os modos são excitados. Em muitos casos, porém,
pode-se excitar um modo principàl específico por ITeio de condições iniciais ade-
qua'das. '
São considerados neste capítulo alguns dos mais simples problemas de vibração
de corpos elásticos, cujas soluções são discutidas em termos dos modos principais
de vibração.

2. Uma corda flexível de massa p por unidade de comprimento é estendida sob ten-
são T. Supondo que seja pequena a deflexão lateral y da corda, a mudança em ten-
são com deflexãoé insignificante e pode ser ignorada.
A Fig, 8.2-1 mostra um diagrama de corpo livre de um comprimento elementar
dx da corda. Supondo deflexões e inclinações pequenas, a equação de movimento
na direção y é
(
ao ) a2
y
T 0+ axdx - TO = pdx7fiT
a2
y i a2
y (8 2 2)
ax2 = Ci al2 • -
onde c = -..tt1P pode ser reconhecido como a velocidade de propagação da onda
ao longo da corda.
A solução geral da Eq. (8.2-2) pode ser expressa na forma
onde FI e F2 são funções arbitrárias. Não. obstante o tipo de função F, o argu-
mento (ct ± x) conduz sob diferenciação à equação
a2
F I a2
F
ax2 = CiffiT
e em conseqüência a equação diferencial é satisfeita.
Considerando o componente y= FI (ct - x), seu valor é detenninado pelo
argumento (ct - x) e portanto por uma faixa de vàlores de t e x. Por exemplo,
se c = 10, a equação para y = Fi (100) é satisfeita por t = O, x = -100;
t = 1, x =: -90; t = 2, x = -80 etc. Então, o perfIl da onda move-se na di-
reção x positiva com velocidade c. De maneira semelhante podemos mostrar que
F2(ct + x) representa uma onda movendo-se na direção x negativa com velocidade
c. Referimo-nos em conseqüência a c como a velocidade de propagação de onda.
Um método de reso1'ler equações diferenciais parciais é o da separação de va-
riáveis. Neste método a solução ê admitida na forma.
Obtemos pela substituição na Eq. (8.2-2)
I ~l'Y I I d2G
Y dx2 = c2e; (j[2
Considerando que o lado esquerdo desta equação é independente de t, ao passo que
o lado direito é independente de' x, resulta que cada lado deve ser uma constante.
Fazendo esta constante _(WfC)2 obtemos duas equações diferenciais ordinárias
{l'Y +- (~)2 Y'=_~°dx2 C
Y = A sen O) x + B cos CJ) x'
c . c'
As constantes arbitrárias A, B, C e D dependem das condições de contorno
e das iniciais. Por exemplo, se a .corda é fistendidaentre dois pontos fixos distan-
ciados de I, as condições de conto~no~ão ;V(O, t) = 'y(i, t) = O. A condição de
y(O, t) = °vai exigir que B .~ 0, de modo qle a sqlução aparecerá como '
. . .'. .. .•.... .' O)
jI = (CsenO)I + DcosO)t)'sen-x
. . . c
O conduz ent~o à eqlação
sen 0)1 = °c

3. w) 271/
C =T =1171,
e À = c/r ê o comprimento de onda e r ê a freqüência de oscilação. Cada 11 re-
presenta uma vibração de modo normal Com freqüência natural determinada pela
equação
11 II!T
f. = 2'c = 2'.y fi '
x
Y = sen 11717
No caso mais geral de vibração livre iniciada de qualquer maneira, a solução
conterá muitos dos modos normais e a equação para o deslocamento pode ser expres-
sa como
y(x, t) =n~ (Cn sen wnt -I- Dn cos OJnt) sen 117x
1171C
OJn = -,-
a cn e o Dn podem ser calculados adaptando-se esta equação às condições iniciais
de y(x,O) e Y(x,O).
Exemplo 8.2-}
Uma corda uniforme de comprimento I é fIxada nas extremidades e estendida
sob a tensão T. Se a corda ê desloca da para um perfIl arbitrário y(x,O) e sol.
ta, determinar Cn e Dn da Eq. (8.2.14)
Solução: Para t = O, o deslocamento e velocidade são
y(x, O) = i: Dn
sen 1171X
n" I ' I
y(x, O) = i;OJnCn sen 1171X = O
n" t ,
Multiplicando cada equação por sen krrx/l e integrando de x
todos os termos do lado direito serão zero, exceto o termo 11
mos ao resultado
Oax=1
k. Assim chega- '
D 2 fi ( k71X
k = 7 o y x, O) sen -,- dx
Ck = O
Supomos que a barra considerada nesta seção seja fma e uniforme ao longo do seu
comprimento. Em razão de forças axiais haverá deslocamento u ao longo da barra
que serão função tanto da posiÇão x como do tempo t. Como a barra tem um
número infinito de modos naturais de vibração, a distribuição do deslocamento vai
diferir com cada modo.
Consideremos um elemento desta barra de comprimento dx (Fig. 8.3-1).
Se u é o deslocamento em x, o deslocamento em x + dx será u + (élu jax)dx.
É evidente então que o elemento dx na nova posição mudou em comprimento de
uma quantidade (élujélx)dx, e desta forma a unidade de elongamento é élu/élx.
Visto que pela lei de Hooke a relação entre a unidade de força e a unidade de elon-
gamento é igual ao módulo de elasticidade E, pod.emos escrever
I P~~~--P-+-::_d_X ~
~ Xl:t~·+ :;dx
I ~,.......==-=-~~~_-_-_-~H3u'
dx + ã;' dx
Figura 8.3·1. Deslocamento de elemento de barra.
onde A é a área da seção transversal da barra. Diferenciando em relação a x
Aplicamos agora a lei de movimento de Newton e igualamos a força desiquili.
brada ao produto da massa e aceleração do elemento
onde p é a densidade da barra em libras por unidade oe volume'. Eliminando élPjõx
entre as Eqs. (8.3-2) e (8.3-3), obtemos a equação diferenCial parcial.

4. que é similar à da Eq. (8.2-2) para a corda. A velocidade de propagação do desloca-
mento ou onda de tensão na barra é igual, então, a
resultará em duas equações diferenciais ordinárias semelhantes às Eqs, (8.2-7) e
(8.2-8), com
U(x) = A sen co x + B cos co x
c ,c
Exemplo 8.3-1
Detenninar as freqüências naturais e perfis de modos de uma barra com ambas
as extremidades livres.
Solução: Numa barra nestas condições a tensão nas extremidades deve ser zero.
Uma vez que a tensão é dada pela equação E3uj3x. a unidade de elongamento nas
extremidades deve ser também zero, isto é '
~~= O em x = O, e x = I
São portanto is seguintes as duas equações correSpondentes às condições de contorno
acima
(ali) = A co (C sen co! +' D COSCO!) = O
ax X'O c
"(aU)' =: co (A cos col~'Bsen COI)(Csen,co! '+ Dcos co!) ~~ o
ax x./ C C c
C,onsiderando que essas equações devem, valer para qualquer tempo !, A deve ser
zero na primeira equação. Uma vez qué B deve' ser tInito para que haja vioração,
a,segunda equação é satisfeita quando
sen co/ =0
c
onde n representa a ordem do modo. Pode-se então escrever a solução para a barra
livre nas extremidades com deslocanlento inicial zero
•. me 1171: fEl<
li ~" li o cos I x sen T'II -p-l
A anlplitude da vibração longitudinal ao longo da barra é pois uma onda co-seno_
tendo n nós.
A equação de movimento de uma barra em vibração torcional é semelhante àquela da
vibração longitudinal de barras, discutida na seção anterior.'
Fazendo-se a medida de x ao longo da barra, o ângulo de torçâ'Çl devido a um
torque T. em qualquer comprimento dx da barra, é
de = Tdx
IrG
onde IpG é a rigidez torcional dada pelo produto do momento polar de inércia Ip
da área da seção transversal e o módulo de cisalhamento de elasticidade G. Sendo
T e T + (3Tj3x)dx o torque sobre as duas faces do elemento, conforme indicado
na Fig. 8.4·1, o torque líquid9 da Eq. (8.4-1) torna-se
0) O)
Igualando este torque ao produto do momento de inéteia da massa (p/g)Il'dx doe.le·
mento e a: aceleração angular 32
e/3t2
) onde p é a densidàde qa barra em libras
por unidade de volume, a equação diferenciiJl de movimento torna·se :. L t ,:','r:.: 1,<,'
" : '(8.4.3)
',.,':

5. Esta equação é da mesma forma. que a da vibração longitudinal de barras onde O
e Gglp substituem u e Eglp, respectivamente. Resulta pois que por comparação
a solução geral pode ser escrita imediatamente corno
O = (A sen OJ/1fgx +- B cos OJ/1fgx) (C sen OJr-I- D cos OJr)
Exemplo 8.4-1
Determinar a equação para as freqüências naturais de urna barra uniforme
em oscilação torcional, com urna extremidade fIxa e a outra livre, corno na
Fig. 8.4-2. .
Solução: Começando com a equação
O = (A sen OJ.,jp/Ggx +- B cos OJ..jp/Ggx) sen OJr
aplicar as condições de contomo;que são
(I) quando x = O, O = O,
(2) quando x = /, torque O,ou
aodX = O
Condição de contorno (1) resulta em B = O
Condição de contorno (2) resulta na equação
cos OJ..jp/Ggi = O
que é satisfeita pelos seguintes ângulos
OJn/lg1 = ~ , 3;, 5;, ... , (11 -1--})n
Em conseqüência, as freqüências naturais da barra são determinadas pela equação
-.·0 (11/ -} ) 7jfj
Exemplo 8.4·2 .
O tubo da sonda de um poço de petróleo termina na sua extremidade inferior
por uma barra contendo uma broca. Derivar a expressão para as freqüências
naturais, supondo que o tubo da sonda seja uniforme e fIxo na extremidade
superior e que a barra e a broca sejam representadas por urna massa fInal com
momento de inércia Jo, como indicado na Fig. 8.4·3.
J1TI
®------------
~
20)Torque -J 2
de inércia o ar x = I
Solução: A condição de contorno na extremidade superior é x = O, O = O, o
que requer que B seja O na Eq. (8.44).
Quanto à extremidade inferior, o torque sobre o eixo é devido ao torque
dç inércia do disco fInal, conforme representado pelo diagrama de corpo livre da
Fig. 8.4-3. O torque de inércia do disco é -Jo(à2
0/à2
t)x=l' = Jow
2
(O=1
ao passo que o torque do eixo da Eq. (8.4-1) é TI = GI pede Idx)x = I' Igualando
os dois, ternos
Esta equação é da forma
{3tg/3 = J~:ra, P= OJI/lg
que pode ser resolvida grafIcamente ou por meio deabelas. *.
• Vide lahnke e Emdc, Tables of Functions, 4~ ed. (Dover Publications, Inc., 1945),
Tabela V, pág. 32.

6. Exemplo 8.4·3
Utilizando 'a equação de freqüência desenvolvida no exemplo anterior, deter-
minar as duas primeiras freqüências naturais de um tubo de sonda, de um
poço de petróleo, eom 500 pés de comprimento, fixo na extremidade superior
e terminando na inferior por um colar de perfuração com 120 pés de compri-
mento. Sãodados a seguir os valores médios do tu~o e do colar.
Tubo da sonda:
Diâmetro externo =; 4-1/2 pol
Diâmetro interno = 3,83 pol
.Ip = 0,00094 pés4
I = 5000 pés
p I Õ 490
Jbarra = Ip - = 0,00 94 X X 5000
g 32,2
Diâmetro externo = 7-5/8 pol
Diâmetro interno = 2,0 pol
J
{3 tg {3 =' barra = 2,44
Jo
.NaTabelaV,pág. 32, de "Jahnke andEmde", {3 = 1,135,3,722 ...
fJ --- ",1 /p __5000'" ~ 490 . O 470"
- ~ y Gg - ~ f2 X 106 X 122 X 32.2 ' ~
Resolvendo em relação a w, encontram-se as duas primeiras freqüências naturais
1,135 '.
Wj =-- = 2,41 rad/s =0,384 cps
0,470
3,722 .
W2 = -- =7,93 rad/s = 1,26 cps
0,470
Consideremos as forças e momentos atuando sobre um elemento da viga representada
na F:ig. &}-1, a fl1119-e.determinar, a equação diferencial para a Y!.?,rilçãqlateral de
vigas.
2']4..
YI
••
p(x)dx
MC1Õ~)M+dM
v+-;-1V+dV
dx
x
Figura 8.5·1.
VeM são os momentos de cisa!hamento e flexão, respectivamente, e p(x)
representa a carga por unidade de comprimento da viga.
Somando as forças na direção y
Somando os momentos em relação a qualquer ponto sobre a face direita do
elemento
dV
dx = p(x), dM = V
dx
A primeira parte da Eq. (8.5-3) exprime que a taxa de variação do cisalhamen-
to ao longo da viga é igual à earga por unidade de comprimento, e a segunda exprime
que a taxa de variação do momento ao longo da viga é igual ao cisalhamento.
Obtemos o seguinte 'da Eq. (8.5-3)
d2
M dV
dx2 = dx = p(x)
O momento de flexão é relacionado à curvatura pela equação d(;;flexão, a qual, para
as coordenadas indicadas na Fig. 8.5-1, é
M = El
d2
y
dx2
d
2
( d2y
)._
dx2 EI dx2 :- p(x)
Para uma viga vibrando, sob O, seu próprio peso, em' volta da sua posição de
equilíbrio estático,·a carga por unidade de comprimento é igual à carga de inércia
275

7. devido à sua massa e aceleração. Considerando que a força de inércia é na mesma di-
reção que p'(x), conforme indicado na Fig. 8.5·1, temos, supondo o movimento
harmônico
p(x) = ~úJ'Y (8.5.7)
g
onde w/g é a massa por unidade de complimento da viga. Usando esta relação, a .
equação para a vibração lateral da viga se reduz a
(fi,/)' (fi,!)' (fil!)'
Fundamental Segundo modo Terceiro modo
9,87 39,5 88,9
3.52 22,4 61.7
22.4 61.7 121,0
22,4 61,7 121,0
15,4 50,0 104,0
O 15,4 50,0
Apoiada simplesmente .. '......•.
Cantílever ou em balanço .
Duplamente livre .
Duplamente engastada .
Engastada-artieulada ; .
Articulada-livre .
No caso especial da rigidez de f1exão EI ser uma constante, a equação acima
pode ser escrita na forma
Exemplo 8.5-1
Determinar as freqüências naturais de vibração de uma viga uniforme engas-
tada numa extremidade e livre na outra.
[l. C~ ~ úJ'
g EI
obtemos a equação diferencial de quarta ordem
!
y=O
emx = O dy_
--O
dx
para a vibração de uma viga uniforme.
Podemos mostrar que a solução geral da Eq. (8.5-11) é
!
M=O
emx = I
V=O
(A.o = A + C = O, :. A = -C
(Zt.o = [l[Asenh [lx +- B cosh [lx - Csen [lx + D cos [lx]x.o = O
P[B +- D] = O, B = -D
(~~t.1= P[A cosh [lI +- Bsenh [lI - C cos pl - D sen [lI] =c O
A(cosh [lI -I- cos [lI) -I- B(senh[lI + sen [ll)= O
(
dl
) - .
d;' x=/ = [ll[Asenh [lI .-t- B cosh [lI + Csen fil - D cos fil] = O
.A(senh [ll- senfll) + B(cosh [lI +.cos fi/) = O
{"fi., = cosh [lx :J: sen h [lx
. (" 'fi.' = cos [lx ± i sen [lx
estabelecemos prontamente a solução na forma da Eq. (8.5-12).
A Eq. (8.5-10) nos dá as freqüências naturai~ de vibração
úJn = fJ' ..jgl:'f/II'
cosh[ll -I- cos [lI __senh [lI +- sen [lI
senh [lI - sen [lI - cosh fil + cos [lIonde o número {3depende das condições de contorno do problema. A tabela seguin-
276

8. tly V
1jI- tlx~" kAG
tlljI M
tlx = EI
cosh p! cos p! -1- 1 = O
Esta última equação é satisfeita ppr um número de valores de {3!, correspondendo
a cada modo normal de oscilação, valores estes que são para o primeiro e segundo
modos 1,875 e 4,695, respectivamente. Em conseqüência, a freqüência natural para
o primeiro modo é .
onde A é a área da seção transversal, G o módulo de cisalhamento, k um fator
dependendo da forma da seção transversal, e EI a rigidez de flexão. Complementan-
do, há duas equações dinâmicas= 1,875' fiEl = 3,515 fiEl
(o, . [2 "1/7 [2 "1/7
8.6 EFEITO DE INERCIA ROTA TlVA E DEFORMAÇÃO DE
CISALHAMENTO
(momento) Jrp = ~':.- V
(força) my = - ~~+ p(x, r)
A teoria de Timoshenko diz respeito t81HO i1 inércia rotativa como à deformaçITo
de cisalhamento da viga. O diagrama dt' ,;·'T" li"w c a l.lisp(J'ição geométrica do ele·
mento da viga são representados na Fi:( iLrí·l. Se a deformação de cisalllamento
é zero,
oll,de J e m são a inércia rotativa e. a massa da viga por unidade de comprimento.
Com a substituição das equaç15es elásticas nas equações dinâmicas, temos
1x(EI~) + kAG(~ -1jI) - JIfI = O
my - f.x[kAG(~~ - IjI)J - p(x, r) = O
que são as equações acopladas de movimento para a viga.
Se 1/1 é eliminado e a seção transversal permanece constante, estas duas equa·
ções podem ser reduzidas a uma única
a'y a'y (' Elm) a'y Jm a'y_
EI ax' + m aI' - J + kAG ax'al' + kAGdt4 -,- p(x, I)
J a2p EI a'p
+ kAG ar' - kAG ôX'-
a reta central do elemento da viga coincidirá com a perpendicular à face da seção
transversa!. Devido ao cisalhamento, o elemento retangular tende a tornar a forma
de um diamante sem rotação da face e a inclinação da reta central é diminuída do
ângulo de cisalhamento (l/J - dyjdx). As seguintes quantidades podem então ser
definidas
B evidente então que a equação de Euler
a'y a'y __
EI ax' + m ai' - p(x, I)
é um caso especial da equação geral da viga incluindo a inércia rotativa e a deforma-
ção de cisalhamento.
Y. = deflexão da reta cen tral da viga
'tly _
dx - inclinação da reta central da viga
ljI = inclinação devido à flexão
'I! - :~~ =" perda da inclinação, igual ao ângulo de cisalhamcnto
278
Uma membrana não tem rigidez de flexão, ~ quando sujeita a uma carga lateral ;esis.
te apenas pela sua prGlpria tens[o. Pode-se derivar sua equação de movimento por um
processo semelhante ao utilizado para a corda, aplicado porém em duas dimensõcs.
279

9. SuponhIDlOS que a membrana esteja sob tensão uniforme, T Ib por unidade
de 'comprimento, a qual é grande de modo que seja pequena sua variação devido à
deDexão lateral. Definindo a posição de equilíbrio da membrana no plano xy, e
sendo w a deflexão lateral, examinemos as forças sobre um elemento dxdy,
conforme representado na Fig. 8.7·J. A força resultante na direção w em virtude
da tensão nas orlas dy é
Da mesma forma, a tens:ro sobre as orlas lix resulta na componente T(à!/J/ày)dy dx.
Considerando que as inclinações nas direções x e y são O = àw/íJx e r/J = àw/ày,
y
a força lateral total devido à tensão T é
(
aZI' aZI')
T axZ -I- ayZ dxdy
Sendo p a massa por uuidade de área da membrana e p(x, y) a pressão.
I:lteral aplicada, a equação de movimento torna-se
a2
w' (aZw a'w)p flx dy alz eoo T ax' + ayz tlx ti)' -I- p(x, y) dx dy
Esta equação aplica-se tIDlbém em outras coordenadas com expressão apropriada
para "1Z,
280
Para o tipo dc modo normal de vibração, p(x, y)
e a equação diferencial se reduz a
(W)ZV'1l' + C ll' = O
o método de separação de variáveis pode ser usado para se chegar à solução, no
caso de uma membrana retangular de dimensões (x, y) = (a, b) representada na
Fig. 8.7-2. Fazendo w(x, y) = X(x) Y(y) e substituindo na Eq. (8.7-4), é fácil
de mostrar que a solução é da forma
X(x) = C, se-n o:x + Cz cos o:x
Y(y) = CJ sen P.v + C4 cos py
onde Ct.~ + f32 = (W/C)2. A constante Cj nestas equações deve ser determinada
de acordo com as condições de contorno.
b -----j
T
As soluções analíticas não são possíveis para muitos problemas, havendo então o re-
curso de métodos numéricos aproximados, dos quais existem diversos disponíveis e
sua escolha depende da natureza de cada problema. Discutiremos nesta seção,
resumidamente, dois métodos numéricos de largo emprego .
. Diferenças finitas. Neste método as equações diferenciais e suas condições de con-
torno são substituídas pelas equações de difer~nças finitas correspondentes. Isto
reduz então o problema a um grupo de equaçõe~ algébricas simultâneas que podem
ser resolvidas pelo computador digital.
Consideremos uma função y(x) que é representada ná Fig. 8.8-1. Em algum
ponto xj a derivada é aproximada pela eqlJação
(d
f
Y) ~ _/1
1
(Yi' I -- y,) C"~ _/1/ 11..1'
(X i
(8.8-1)
281

10. o processo acima pode ser repetido um número qualquer de vezes para derivadas de
ordens mais elevadas. A tabela seguinte mostra o modelo de diferenças finitas até
a quarta derivada.
Condições de Contorno. Para satisfazer as condições de contorno, devem ser esco-
lhidos pontos fictícios fora da estrutura. Os exemplos seguintes referem·se a condi·
ções de contorno típicas para vigas.
Viga Simplesmente Apoiada. Conforme a Fig. 8.8·2, seja p o ponto à esquerda
da etapa 1. As condições de contorno na extremidade esquerda da viga são
Escrevendo a equação de diferença para a segunda derivada na etapa 1, temos
I I '
h2 (Y2 - 2y, +Yp) = h2 (h - O + Yp) = O
Nestas condições Yp' deve ser igual a -Y2'
---•... ,;::
+ +N
$:~
I I
.E ..
~
+ +.. ~
~ ~
I,
-5 ~
-I::: -I:::
..•;., •... ;.,
I I
::: ~ ..
~ '"..... ....•
+ -I +
~ .•
~' ". ~•..,
.• ~
~
;., ,:,
-1:<: -T:<: -1:<:
;., ,;:: ~
;,
+ + + +
,;:: ~
.• •...•...
N N N N
I I
5
.• ~ ~,j ,j
-T~-I~ r' -I~--"
--::: --- ~.
---;., ,;:: ~ ~
I 1 I I I
..•' .. -5 3,j ;., ,j
--" -1-:: -1-" --1-<: -1-<:

11. Extremidade Engastada. Tanto a deflexão como a inclinação são zero na extremi.
dade engastada, conforme indica a Fig. 8.8·3. Sendo novarriente y p a deflexão à
esquerda da etapa I, temos, usando um intervalo de 2h
Portanto y p = Y2 , e a curva de deflexão é simétrica em relação à parede.
Viga. Parcialme~te Contida. Consideramos agora o caso da extremidade esquerda
da viga ser parcialmente contida. Podemos representar ,esta condição por uma mola
espiral de rigidez K pol lb/rad, conforme a Fig. 8.8-4. O momento no limite é
M1 = -K81, porém
M,= EI(~,';,),= ;,;(Y1 - O + yp)
-K81> e resolvendo em relação a y;, obtemos
_ (2EI + Kiz)
Yp-- -Y1 2EI-Kh
Extremidade Livre. Na extremidade livre da viga, o momento e o cisalliamento de.
vem ser zero. Introduzimos dois pontos fictícios p e q, e um número arbitrário
4 para a etapa na extremidade, conforme a Fig. 8.8-5. A tabela de diferenças acima
nos dá para o momento
(d1
Y) I
dX14=h,(Yp-2Y4-1-y,)=O
Quanto ao cisalhamento, obtemos geralmente maior eX;ltidão por meio da mé·
dia das derivadas terceiras na extremidade, na forma seguinte
(;;.;')4 c-~ +[/:' Cvq- 3yp -I· 3Y4 - y,) -I, I:J (Yp - 3Y4 -I- 3y, - Y1)J
I
= 2h,(Yq -- 2yp O!. 2y, -- Y1) = O
Exemplo 8.8·1
Uma viga de momento de inércia não uniforme assenta sobre uma fundação
elástica de rigidez k pol/lb, conforme indicado na Fig. 8.8-6. Suas freqüên-
cias naturais devem ser determinadas por meio da sua equação diferencial que é
(J2 ( d' V)- EI-'- -[ !Cy- w'my =- O
dx1 dx2
Para resolver este problema pelo método das diferenças fmitas, numeramos de
I a n as etapas ao longo da viga, e atribuímos uma nova rigidez de fundação para
cada seção, a qual é klh conforme a Fig. 8.8·7. A equação (a) é também reescrita
na forma .
d4
y d'ydI d1
yd1
[ • 1_
EId---. + 2Ed~ -d + Ed---z -d 2 + (k - mw )y - Ox x x x x
I r'-j k'
L1"ELLLÂ.1 2 3 4 5 n
'Figura 8.8-7.
Vamos escrever agora a equação de diferenças linitas para a etapa 2, tendo em vista
as condições de contorno na extremidade esquerda. As derivadas encontradas são

12. Podem ser escritas de uma maneira' semelhante as equações para as outras etapas.
Devem ser consideradas também as condições de contorno da extremidade direita,
e o grupo resultante de equações algébricas pode ser programado para computação
digital.
Método Rooge-Kutta. O método Runge-Kutta é popular pelo fato de ser auto-ini-
ciado e de apresentar boa exatidão. O erro é da ordem de hS
•
Para ilustrar o processo, vamos considerar a,viga com jnérc~a rotativa e termos
de cisa1hamento que discutimos na Seção 8.6. A equação da quarta ordem é escrita
inicialmente em termos de quatro equações de primeira ordem na forma seguinte
d'll M
dx ,= E/ = F(x, '11, y, M, V)
,~~= '11- k~G = G(x, 'II,y, M, V)
~~ = V - (J)2J'II = P(x, '11,y, M, V)
dV. 2 K( Mdx = (J) my = x, '11, y, ,V)
O processo Runge-Kutta, discutido na Seção 4.8 para uma coordenada única, é am-
pliado agora para a solução simultânea de quatro variáveis relacionadas abaixo
286 .
'11== 'li, + ~(f, + 2/2.+ 2/3 +1.)
y := y, +- ~ (g,+ 2g) + 2g3 -I- g~),
,"h( "2 2 )'M, M, •. 6 PI"17 P2 + P3 -I' P.
V,= V -I- !!...(k + 2k'
, 6' 2
onde h = b.x.
A computação prossegue na forma seguinte
f, = F(x" 'II"y" M" V,)
g, =G(x"'II"y"M,,V1)
P 1 '= P(x l' '11,. y" ;1l' V,)
k, ,,= K(x" '11" y" M" V,)
1.,= F(x, + h, 'li, +f3h,y, -I- gJh, M, -I- P3h, V, -I- k3h)
g. =,G(x, -1- h, 'li, -I; 13h,)', -I- g3h, M, -I- P3h, V, + kJh)
P. = P(x, -I- h,'II,' -I- !3h, y, +g3h, M,~ P3h, VI + k3h)
k. = K(x, -I- h, '111 -I- 13h,)', -I- g3h, M, -+- P3h, V, -f k3h)
Com estas quantidades substituídas na Eq. (8.8.4), encontram-se as variáveis depen-
dentes no ponto vi~inho Xl, 'e o processo se repete para o ponto X3 etc.

13. Voltando às equações da viga, as condições de contorno na extremidade' de
início Xl fornecem um ponto de partida. Por exemplo, na viga cantilever com ori.
gem no ponto fixo, as condições de contorno no ponto de inído são
//fI =0, M, =M,
y, =0, V, = V,
Estas podem ser consideradas como sendo a combinação linear de dois vetares de
contorno na forma seguinte
A iteração pode começar com três freqüências diferentes, as quais resultam
em três valores do determinante. Uma parábola é passada através estes três pontos e
o zero da curva é escolhido para uma nova estimativa da freqüência. Quando a fre.
qüência está perto do valor correto, a nova estimativa pode ser feita por uma linha
reta entre dois valores dodetenninante de contorno.
Visto que o sistema é linear, podemos cvnJeçar com cada vctor de contorno separa.
damente. Começando com Cl> obtemo'.
8.9 SOLUÇÃO TRANSIENTE PELAS TRANSFORMADAS
DE LAPLACE
A utilização da técnica da transformada de Laplace é de vantagem para o exame da
resposta dos sistemas contínuos a condições de contorno prescritas arbitrariamente.
Considerando que os problemas da corda e os movimentos longitudinais e torci anais
da barra fina têm a mesma equação diferencial, podemos examinar a equação
,a'u _ au'
c. ax' - aI'
com as condições iniciais u(x, O) = u'(x, O) = O correspondendo ao sistema
ini~ialmente parado.
Tomamos primeiro a transformada de Laplace ü(x, s) em termos do tempo
t, reduzindo a eqUação para uma equação diferencial ordinária com x como a
variável independente
Agora estas devem somar para satisfazer as condições de contorno efetivas na extre.
midade fmal, as quais são para a extremidade livre de uma cantilever
M;c -I- (J.MND
== O
'VNC + IXVND -= O
IX = _MNC = VNC
MND
-VND
onde as constantes C1 e C2 dependerão dás condições de contorno. E neste ponto
que deve ser definido o problema físico;a fim de' que as condições de contorno sejam
compatíveis com a realidade:
A Corda. Consideremos uma corda de comprimento infmito com movimento ar.
bitrariamente prescrito da extremidade X = O. A quantidade u(x, t) é então o mo-
vimento lateral da corda e c = vITlP é a velocidade de propagaçã~ de qualquer'
perturbação ao longo da corda, com T como tensão e p como massa por unidade
de comprimento. .

14. Na extremidade distante x = I -+ 00, o deslocamento deve ser zero, o
qual requer que C1 = O. Na extreITÚdade x == O o deslocamento é prescrito como
u(O, t) de modo que C2 = u(O, s). A solução geral torna-se então
Considerando que o deslocamento é a integral em relação ao tempo da velocidade,
podemos substituir ii(x, s) por (lls) v(x, s) e' obter uma expressão geral entre a
velocidade na extremidade x = I e a força F(/, t), na forma seguinte
P(I, s)~' i!(/, .1') (AcE) cotg h ( ~)
.= i!(I, s) (AcE) [I + 2e-llü;,) + 2e-4(,/1<) + ..,]
Utilizando novamente o segundo teorema de deslocamento, obtemos
Utilizando o segundo teorema de deslocamento (Vide Apêndice B).
.r,-'e-"'j(s) = /(r - a)'li(r- a)
F(I, r) ~ (AcE)[ v(/, r) + 2v(/, t - ~/)'li (t - :/)
+ 2V(/, r - ~/)'li(t - ~/) + .;.J
u(x, r) ~ u (o, r - ~) 'li (r - :)
a qual é interpretada da forma seguinte: A função unitária 'Uo(1 - x/c) é zero para
t < x/c, de modo que as unidades x da corda a partir da origem permanecem em
repouso até o tempo r = x/c. Após t = x/c o movimento da cord:: em x é o
mesmo que o prescrito da extremidade x = O. .f pois evidente que o movimento
prescrito da extrcITÚdade x = O prossegue ao longo da c(mia com a velocidade de
propagação c. como indicado na Fig. 8.9-1.
r == o 1-Yv~----------------
A solução acima exprime que a força da extreITÚdade é proporcional à velocidade
v (I. t) da extreITÚdade livre até o tempo t = 21/c, justamente quando o reflexo da
extreITÚda?efixa introduz um termo adicional 2v(/, t - 21/c) etc. o
O método da transformada de L:tplace pennite tratar de forma semelhante
muitos outros problemas deste tipo; encaminhamos o leitor para "Laplace Trans-
formation". *
r==~ I !l
c -.----x----l 8-1 Calcular a velocidade de onda ao longo de uma corda cuja densidade é de
um quarto de libra por pé, quando esticada sob uma tensão de 100 libras.
8-2 Derivar a equação para as freqüências naturais de uma corda uniforme de ~om-
primento I, tlxada nas duas extremidades. A corda é estica da sob uma tensão
T e sua massa por unidade de comprimento é p.
8-3 Uma corda de comprimento .[ e massa p por unidade de comprimento está
sob tensão T, com a extremidade esquerda fIxa e a direita ligada a um sistema
mola-massa, conforme a Fig. r.8-3. Detenninar a equação para as freqüências
naturais ..
Movimento Longitudinal de uma Barra. Consideremos aqui uma barra ftxa em
x =' O com uma força F(l, t) aplicada na extremidade livre x = I. O desloca-
mento longitudinal é agora .u(x, t) com c = .JEilP a velocidadc de propagação
das. perturbações.
As condições de contorno são
Ú(O, .1') = C, + C2 = O
AEaú(1 .1') = AE!-(C e'I," - C e-Ü,") = t(1 r)
ax 'o . C I 2 .,.
C = -C = eF(I, s)
I 2 d
2AEs cosh':"'"
c
Pu, s)scnh sx
('
ü(x, s) .= .
A E:~ L:Osh sJ.
c c
·W. T. Thomson, Laplacc Transformation, 2~ 00. (Englcwood Cliffs, N. J.; Prcnticc-lIall,
Inc., 1960), Capo 8. . o

15. 8-4 Uma vibração harmônica tem uma amplitude que varia como uma função co.se.
"no ao longo da direç~o x tal que
Mostrar que se é adicionada à primeira vibração uma outra vibração harmônica
da mesma· freqüência e amplitude igual, deslocada de um quarto de compri-
mento de onda em fase espaço e fase tempo, a vibração resultante representará
uma onda em movimento cuja velocidade de propagação é c = w/k.
8·5 Detenninar a velocidade de ondas longitudinais ao longo de uma barra fi·
na de aço. O módulo de elasticidade e peso por unidade de volume do aço
são 29 X 106
lb/poe e O,2821b/poI3.
8-6 Uma barra uniforme de comprimento I é fIxa numa extreITÚdade e livre na
outra. Mostrar que as freqüências das vibrações longitudinais normais são
f = (n + 1/21c /2/, onde c = ...;Eglp é a velocidade das ondas longitu-
dinais na barra, e n = 0, 1, 2, ...
8·7 Uma barra uniforme de comprimento I e seção transversal de área A é ftxa
na extremidade superior, sendo a outra carregada com um peso W. Mostrar
que as freqüências naturais são detenninadas por meio da equação
rol fLE
tg rol fL = dP!.VÊ[: "lEi W
8·8 Mostrar que a freqüência fundamental para os sistema do Probl. 8-7 pode ser
expressa na fornla
. M
barrá
r=---
M '
k = AE
I '
Reduzindo o sistema acima para uma mola k e uma massa na extremidade
igual a M + 1/3 M barra' determinar uma equação aproximada para a freqüên.
cia fundamental. Mostrar que a relação entre a freqüência aproximada e a exata
encontrada acima é (l/~d"';3rl(3 + r).
8-9 A freqüência de osciladores de magnetostrição é determinada pelo comprimen-
to da barra de liga de níquel, a qual gera uma voltagem alternada nas espirais
que a circundam igual à freqüência da vibração longitudinal da barra, confor.
me a Fig. P.8-9. DeterITÚnar o comprimento adequado da barra engastada no
meio para uma freqüência de 20 kcps, se o módulo de elasticidade e a densi.
dade são E = 30 X 106
lb/pol2 e p = 0,31 Ib/poJ3.
, '" /: ,/ /
Figura P.8· 9.
8·10 Mostrar que c = ..jGg/p é a velocidade de propagação da deformaçãó tor· •
ciona! ao longo da barra. Qual é o valor numérico de c para o aço?
8-11 Determinar a expressão para as freqüências naturais das oscilações torcionais de
uma barra uniforme de comprimento I engasta da no meio e livre nas duas
extremidades.
8-12 Determinar as freqüências naturais de um sistema toreional formado de um
eixo uniforme Com momento de inércia de massa Js com um disco de inércia
Jo ligado a cada extremidade. Checar a freqüência fundamental pela redução
do eixo uniforme a uma mola de torção com massas nas extremidades.
8·13 DeterITÚnar a expressão Pllra as freqüências naturais de uma barra livre em
ambas as extremidades em vibração lateral.
8·14 Determinar a posição do nodo para o modo fundamental da viga livre em amo
bas as extremidades, pelo método de Rayleigh, supondo que a curva seja
y = sen( 11xl l) - b. Igualando o momento a zero, determinar b. Substituir
este valor de b para achar w 1 •
8-15 Constatou·se que uma viga para teste de concreto de 2 X 2 X 12 paI,
apoiada sobre dois pontos a 0;224 I das extremidades, ressonava a 1690 cps.
Sendo a densidade do concreto de 153 libras por pé cúbico, determinar o mó-
. dulo de elasticidade, supondo que a viga seja fina.
8-16' Determinar as freqüências naturais de uma viga uniforme de comprimento
I engastada em ambas aS extremidades .
8·17 Detenninar as freqüências naturais de uma viga uniforme de comprimento
I, engastada numa extremidade e presa por pinos na outra.
8·18 Uma viga uniforme de comprimento I e peso Wb é engasta da numa extre-
midade e suporta um peso concentrado Wo na outra. Especificar as condições
de contorno e detenninar a equação de freqüência.
8-19 Transmite-se à extremidade presa por pinos de uma viga - a outra extremidade
é livre - um movimento harmônico de amplitude. Yo perpendicular à viga.
Mostrar que as condições de contorno resultam na equação
, .~ o" senh ~I cos ~I - cosh {31 sen {:lI
y/ senh ~l - sen ~l

16. S-23 A Fig. P.S-23 mostra um cabo flexível preso numa ponta e livre para oscilar
sob a ação da gravidade. Mostrar que a equação de movimento lateral é
8-20 Uma barra uniforme tem estas especificações: comprimento i, densidade por
unidade, de volume p e a rigidez torcional' IpC onde Ip é o momento po-
lar de inércia da seção transversal e C 'o módulo de cisalhamento. A extre-
midade x = O é presa a uma mola em espiral de rigidez K pol lb/rad, en-
quanto a extremidade i é fixa, como indica a Fig. P.8-20. Determinar a equa-
ção transcendental da qual as freqüências naturais possam ser estabelecidas.
Verificar se esta equação está correta, considerando casos especiais para K = O
e K = 00.
8-21 Uma viga simplesmente apoiada tem uma saliência de comprimento i2, con-
forme indicado na Fig. P.8-2!. Se é livre a extremidade da saliência, mostrar
que as condições de contorno requerem que a equação de deflexão para cada
vão seja
g(i'Y -I- ay)
ax2 ax
I~iT+dT
I .,.I'
T '
I
, pgdx
Di
i I ,
S-24 Supor uma solução no Probl. 23 na forma y = Y(x) cos wr e mustrar que
Y(x) pode ser reduzido a uma equação diferencial de llessel
d2
Vez) -I- 1.. dY(z) ,/., Vez) = O
dz2 Z --;rz-4>, = c(senpx - sen Ppll senh px), senh I,
ifJ2 = A flcos px -/-cosh px - (COS ~~2 + cos~ ::2)CsenPX -/-senh f3x)}sen 2 -/-sen 2
por uma mudança em variável Z2 = 4W2 xjg.
8-25 Uma membrana é esticada com grande tensão T lbjpol, de modo que sua de-
flexão lateral y não aumenta· T de modo apreciável. Utilizando coordenadas
polare~, mostrar que a equação diferencial de vibração lateral é '
8-22 Um satélite particular consiste de duas massas, cada uma com o mesmo valor
m, ligadas por um cabo de comprimento 2i e densidade p, conforme indi-
cado na Fig. P.8-22. O conjunto gira no espaço com velocidade angular Wo· Se
não é considerada a variação na tensão do cabo, mostrar que a equação diferen-
cial de movimento lateral do mesmo é
a2y._ --.I!-(B2y W'J')
ax2 .- mwi;I ar2 - o
, 8-26 Aplicar os resultados do Probl. 25 a uma membrana circular de raio a com
as condições de contorno y(a) = O. Pode,se mostrar que Jo(r";pw2
jT) dá
a deflexão dos modos simétricos sem linhas de nodos radiais. Para o caso geral
de nodos circunferenciais e' radiais, as freqüên~ias naturais são calculadas por
meio das condições de contorno em r = a e 'r . = O" as quais resultam nu-
ma equação da forma
2 ._ (n )'(mwo/) 2
W ·""27 -p- - Wo.

17. I 2
"- @
{)ct
~~
8-32 Considerada a disposição da viga representada na Fig. P.8-32, determinar a
equação de diferenças finitas para a etapa 2.
8-31 Mostrar que a equação diferencial da viga, quando sli'oincluídos o cisalhamento
e a inércia rotativa, pode ser expressa pela equação matricial de primeira ordem
o I
El
O O
O O
W2m O
onde n refere-se ao número de nodos radiais, e m ao número de nodos cir-
culares incluindo aqueles do contorno externo. A Fig. P.8-26 mostra alguns
perfis.
8-27 A equação relativa às oscilações longitudinais de uma barra fina com amorte-
cimento viscoso é
8-33 Estabelecer as equações de diferenças finitas que se aplicam às etapas 5 e 7 da
viga do Probl. 32.
8-34 Desenvolver as equações de diferenças finitas para as etapas 9 e 10 da viga do
Probl. 32.a
2
u AEa2u N aú + Po ( )f(I')
mãi2 = ax2 - •.•aI TP x
onde a carga por unidade de comprimento é considerada separável. Fazendo
u = 'E/<I!,(x)q/(t) e p(x) "" 'E/bf'!'/(x) mostrar que
11 = . Po I: bjc(Jjf' f(t - -r)r'wJ'senWj~-rdr
ml../I - '2 j OJI o
bl = +f>(x}Plx)dX
8-35 Urna corda de comprimento I, flxa nas extremidades, está sob tensão T.
Em x = O dá-se à corda uma velocidade inicial
11(0, I)
Determinar seu movimento.
8-36 Uma mola helicoidal de comprimento I e rigidez k está posta naturalmente
sobre um plano horizontal sem atrito. Imprimindo-se à extremidade x = O
Uma velocidade prescrita v(O,t), deteffiÚnar o movimento em qualquer ponto
x. Qual é a tensão na mola no ponto x?Derivar a equação relativa à tensão em qualquer ponto x.
8-28 Supor que a orla da membrana retangular da Fig. 8.7-2 seja presa e mostrar
que asua solução é
~ ~ m7tx' n7t y
w(x, y, t) = .:'5; nL; sen -b-sen a(Amn senOJmnt+ Bmn ços OJmnt)
8-29 Mostrar que a equação seguinte dá as freqüências naturais da membrana do
Prohl. 8.28
2 2 2 (m2
11
2
)
OJm•n = C 7t Fi +QT
onde m, n = I, 2, 3, ...
8-30 Descrever os perfis dos modos naturais para a membrana quadrada com orla
presa.

18. !
!
"J
)
S
J
)
1
)
)
)
j
}
)
)
»
)
}
~
)
)
)
)
i
I)
)
1
I
~. I
)
I~
I
)
!
I)
EQUACÃO DE LAGRANGE,
9
Lagrange* desenvolveu um tratamento geral de sistemas dinâmicos formulado por
meio das quantidades escalares de energia einética T, energia potencial U, e tra-
balho W. À medida que o sistema. fica mais eon.plicado, torna-se progressivamente
difícil" o estabelecimento de relações vetoriais requerido pelas leis de Newton, quando
então há vantagem considerável na apreciação escalar baseada em energia e trabalho.
Além disto, a formulação das equações de movimento de Lagrange dispensa comple-
tamente a consideração das forças restritivas de articulações e guias sem atrito.
As equações de movimento de um sistema podem ser formuladas por meio de diversos
sistemas de coordenadas. Entretanto, são nçcessárias n coordenadas independentes
para descrever o movimento de um sistema de n graus de liberdade. Tais coorde-
nadas independentes são chall1:adas coordenadas generalizadas e são usualmente
represen tadas pelas letras q.j'
O movimento de corpos nem sempre é livre, mas sufeito muitas vezes a limitações
predeterminadas. Como exemplo.a Fig. 9.2-1 mostra um pêndulo esférico de compri-