Estática do ponto Material
Nomes: RA:
Sabrina Alves C140HE-1
Jederson Artiagas 868256-9
Joaquim Miranda C00423-5
Harison V...
O que é equilíbrio do ponto material?
 É a parte da mecânica que estuda as condições de equilíbrio de
um ponto material (...
 Nota: A condição para um ponto material estar em equilíbrio é
que a resultante das forças que nele atuam seja nula.
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 Exemplo:
Um prédio qualquer, visivelmente ele está em equilíbrio, pois
não há movimentação deste.
Em tal prédio, há a pr...
Equilíbrio do ponto material
 Um ponto material está em equilíbrio, em um dado referencial,
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 O ponto P, da figura abaixo, está sujeito a ação de três forças 𝐹₁, 𝐹₂, 𝐹₃. Esse
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Figura 1 Figura 2
 Nota: Na figura 1 , um corpo está sob a ação exclusiva de três forças no
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 Se as forças atuantes no ponto material forem coplanares, transforma-se a
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 A projeção será positiva se o seu sentido coincidir com o
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 As componentes da força F1 na direção dos eixos X e Y são,
respectivamente:
F1x = F1.cosӨ
F1y = F1.senӨ
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Momento de uma força em relação ao ponto
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 Em um sistema constituído por duas forças simétricas com linhas de ação
distintas é denominada binário. Quando essas dua...
Equilíbrio estático de corpos rígidos
 Um sistema de forças aplicado a um corpo está em equilíbrio estático se
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Para saber se um corpo rígido está em equilíbrio estático é necessário
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Método da linha poligonal das forças
 A resultante sendo nula, a linha poligonal das forças é fechada.
Figura A Figura B
...
Método das projeções
 𝐹𝑟= 0
𝐹𝑟𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝐹1 𝑥 + 𝐹2 𝑥 + ⋯ + 𝐹𝑛 𝑥 = 0
𝐹𝑟𝑦 = 0 𝑜𝑢 𝐹1 𝑦 + 𝐹2 𝑦 + ⋯ + 𝐹𝑛 𝑦 = 0
 Se um ponto mat...
Sistemas de duas forças: Casos
particulares
 A) Forças colineares:
Se as forças 𝐹₁ e 𝐹₂ tiverem a mesma direção e o mesmo...
 B) Força não-colineares:
O ponto material P esteja sob a ação de duas forças conhecidas
𝐹₁ e 𝐹₂ não-colineares. A result...
Vetores
 Os vetores são definidos como entes matemáticos que
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Uma única força F que atua sobre um ponto material pode ser substituída
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Bernard Lamy
 15 de junho de 1640, em Le Mans, França.
 † 29 de janeiro de 1715, em Rouen , França.
 Foi um francês oratoriano (pert...
Teorema de Lamy
 É uma equação que relaciona as magnitudes de três forças:
coplanar, simultânea e forças não-colineares, ...
Prova do Teorema do Lamy
 Suponhamos que existem três forças: coplanares, concorrentes e não-
colineares, o que mantém o ...
Conclusão
 Nos permite achar a direção, o sentido e o módulo dos vetores,
os valores dos pesos, sem o uso da 2ª Lei de Ne...
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  1. 1. Estática do ponto Material Nomes: RA: Sabrina Alves C140HE-1 Jederson Artiagas 868256-9 Joaquim Miranda C00423-5 Harison Viera T422DH-7 Thiago Ramos C15682-5 Maurício Gonçalves C171DC-9 Cleyton de Oliveira C18041-6 Evandro de Souza C07GGE-8
  2. 2. O que é equilíbrio do ponto material?  É a parte da mecânica que estuda as condições de equilíbrio de um ponto material (corpo de dimensões desprezíveis) ou de um corpo extenso (o tamanho influi no estudo do fenômeno).  De acordo com a primeira lei de Newton, um corpo está em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme, se a resultante das forças que atuam sobre ela seja nula. Ou seja, o corpo está em equilíbrio, que por sua vez pode ser estático, quando o corpo está em repouso; ou dinâmico, quando o corpo está em movimento.
  3. 3.  Nota: A condição para um ponto material estar em equilíbrio é que a resultante das forças que nele atuam seja nula.  A Estática é a parte da física em que estuda o equilíbrio entre os corpos e as suas devidas deformações. Pode-se dizer que um sistema está em equilíbrio quando a sua aplicação não resulta em nenhuma alteração no estado de movimento do corpo. A sua importância pode ser analisada quando imaginamos uma construção qualquer. Cada ponto da sua estrutura deve estar em equilíbrio.
  4. 4.  Exemplo: Um prédio qualquer, visivelmente ele está em equilíbrio, pois não há movimentação deste. Em tal prédio, há a presença de duas forças, que são: Peso (a massa da estrutura sob a ação da gravidade), e a Força Normal (reação realizada pelo chão em relação à estrutura do prédio).
  5. 5. Equilíbrio do ponto material  Um ponto material está em equilíbrio, em um dado referencial, quando sua velocidade vetorial permanece constante com o tempo; assim, se a velocidade vetorial é constante, a aceleração vetorial é nula, e do princípio fundamental da Dinâmica (𝐹𝑟=𝑚𝑎 ) concluímos que: - A resultante do sistema de forças aplicadas a um ponto material em equilíbrio deve ser constantemente nula (𝐹𝑟=0 ).
  6. 6.  O ponto P, da figura abaixo, está sujeito a ação de três forças 𝐹₁, 𝐹₂, 𝐹₃. Esse ponto encontra-se em repouso. Portanto, esse ponto encontra-se em equilíbrio estático, pois satisfaz a equação: 𝐹₁ +𝐹₂+𝐹₃= 0. deve ser feita a soma vetorial de cada uma das forças, e transformar essa equação vetorial em equação escalar.
  7. 7. Figura 1 Figura 2  Nota: Na figura 1 , um corpo está sob a ação exclusiva de três forças no plano de um papel.  Na figura 2 , as três forças são somadas pela regra do polígono , obtendo-se uma linha poligonal fechada (triângulo), razão pela qual a força resultante é nula e o corpo encontra-se em equilíbrio. 𝐹₂ 𝐹₃ 𝐹₁
  8. 8.  Se as forças atuantes no ponto material forem coplanares, transforma-se a equação vetorial da soma das forças em duas equações escalares, projetando-se as forças sobre os eixos cartesianos ortogonais X e Y. Assim, as condições de equilíbrio do ponto material podem ser estabelecidas da seguinte forma:
  9. 9.  A projeção será positiva se o seu sentido coincidir com o sentido do eixo, e será negativa se seu sentido for contrário ao sentido do eixo. A projeção será igual a zero quando a força tiver direção perpendicular ao do eixo. As forças F2 e F3 estão na direção dos eixos Y e X, respectivamente, e a força F1 forma um ângulo Ө com o eixo X.
  10. 10.  As componentes da força F1 na direção dos eixos X e Y são, respectivamente: F1x = F1.cosӨ F1y = F1.senӨ Projeção de todas as forças no sistema de coordenadas cartesianas.
  11. 11. Momento de uma força em relação ao ponto  Ao contrário de como foi visto em equilíbrio estático em um ponto material, a resultante nula de um sistema de forças aplicadas ao um corpo rígido, não nos garante mais que o corpo esteja em equilíbrio. Para o corpo estar em equilíbrio, é necessário que a aceleração seja nula, o que acarreta em uma resultante do sistema de forças também nula.  Contudo, Σ𝐹𝗂 = 0 é uma condição necessária, entretanto não é uma condição suficiente de equilíbrio de um sistema de forças aplicado em um corpo rígido.  Tal condição nos garante o equilíbrio quanto ao movimento de translação, no entanto não garante o equilíbrio quanto ao movimento de rotação, pois o corpo pode rodar.
  12. 12.  Em um sistema constituído por duas forças simétricas com linhas de ação distintas é denominada binário. Quando essas duas forças distintas são aplicadas em dois pontos diferentes de qualquer corpo rígido, as forças formadas são antiparalelas e suas intensidades são iguais - forças simétricas – o sistema das duas forças possui uma resultante nula, que faz com que o corpo não adquira um movimento de translação. -->Forças simétricas  A capacidade de a força realizar rotação é denominada momento da força ou então torque.  O Momento da Força de um corpo é: Positivo quando girar no sentido anti-horário; Negativo quando girar no sentido horário;
  13. 13. Equilíbrio estático de corpos rígidos  Um sistema de forças aplicado a um corpo está em equilíbrio estático se tiver resultante e momento nulos.  Em um sistema de forças quando aplicado em um corpo que está em equilíbrio, dessa aplicação não se obtém nenhuma alteração no estado de repouso ou de movimento do corpo. Se a resultante do sistema for nula existe equilíbrio de força quanto à translação. Portanto, o movimento de um sistema de força traduz a alteração do movimento de rotação. Quando o movimento for nulo o sistema de força estará em equilíbrio quanto à rotação.
  14. 14. Para saber se um corpo rígido está em equilíbrio estático é necessário que seja em um determinado referencial, para que se verifiquem para qualquer ponto O. Ou seja, O equilíbrio estático de um corpo rígido reduz as situações onde as forças externas atuariam sobre o corpo rígido e formam um sistema de forças equivalentes a zero.
  15. 15. Método da linha poligonal das forças  A resultante sendo nula, a linha poligonal das forças é fechada. Figura A Figura B Sin 𝜃= 𝐹₁ 𝐹₃ Cos 𝜃= 𝐹₂ 𝐹₃ Na figura A, temos um ponto material P em equilíbrio sob ação de três forças. Na figura B, representamos a linha poligonal dessas forças que é fechada. 𝐹3 𝐹2 𝐹1 𝜃 𝐹1 𝐹2 𝐹3 𝜃
  16. 16. Método das projeções  𝐹𝑟= 0 𝐹𝑟𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝐹1 𝑥 + 𝐹2 𝑥 + ⋯ + 𝐹𝑛 𝑥 = 0 𝐹𝑟𝑦 = 0 𝑜𝑢 𝐹1 𝑦 + 𝐹2 𝑦 + ⋯ + 𝐹𝑛 𝑦 = 0  Se um ponto material sujeito à ação de um sistema de forças estiver em equilíbrio, as somas algébricas das projeções dessas forças sobre dois eixos perpendiculares e pertencentes ao plano das forças são nulas. Ou seja, o equilíbrio de um ponto material sob ação de um sistema coplanares fornece duas equações escalares.  Portanto o estudo de equilíbrio de um ponto material sob ação de um sistema de forças coplanares nos fornece duas equações escalares.
  17. 17. Sistemas de duas forças: Casos particulares  A) Forças colineares: Se as forças 𝐹₁ e 𝐹₂ tiverem a mesma direção e o mesmo sentido, a resultante 𝐹ᵣ terá a mesma direção e o mesmo sentido das forças componentes, e intensidade igual à soma das intensidades.  Os segmentos orientados 𝐴𝐵 e 𝐵𝐶, que são representações de 𝐹₁ e 𝐹₂, foram tornados consecutivos (ponto B comum) 𝐹2 𝐹1 P 𝐹𝑅 A B C𝐹2𝐹1 𝐹𝑅 = 𝐹1 + 𝐹2 𝐹𝑅 = 𝐹1 + 𝐹2
  18. 18.  B) Força não-colineares: O ponto material P esteja sob a ação de duas forças conhecidas 𝐹₁ e 𝐹₂ não-colineares. A resultante 𝐹ᵣ pode ser obtida por meio de linha poligonal das forças ou simplesmente pela aplicação da regra do paralelogramo: a resultante 𝐹ᵣ é presentada pela diagonal orientada do paralelogramo que passa por P e cujos lados orientados são representações de 𝐹₁ e 𝐹₂.
  19. 19. Vetores  Os vetores são definidos como entes matemáticos que possuem intensidade, direção e sentido. Um vetor é usado para representar uma força que atua em um dado ponto material tem bem definido o seu ponto de aplicação, isto é, o próprio ponto material. Tal vetor é dito fixo ou aplicado e não pode ser deslocado sem modificar as condições do problema.
  20. 20. Decomposição de forças Uma única força F que atua sobre um ponto material pode ser substituída por duas ou mais forças que, juntas tenham o mesmo efeito sobre o ponto material. Essas forças são chamadas de componentes da força original F, e o processo de substituição são chamados de decomposição de forças F em componentes. Obviamente, para cada força F existe um número infinito de conjuntos possíveis de componentes. Conjuntos de duas componentes P e Q são os mais importantes para aplicações práticas. Mas, mesmo assim, é ilimitado o número de maneiras pelas quais uma dada força F pode ser decomposta em duas componentes.
  21. 21. Bernard Lamy
  22. 22.  15 de junho de 1640, em Le Mans, França.  † 29 de janeiro de 1715, em Rouen , França.  Foi um francês oratoriano (pertencente à Congregação do Oratório na Roma Antiga), matemático e teólogo.  Lamy se tornou professor de clássicos em Vendôme, 1661, e pelo Juilly, em 1663. Foi ordenado sacerdote em 1667.  Depois de ensinar alguns anos em Le Mans, foi nomeado para a cadeira de filosofia na Universidade de Angers. Lá, o seu ensino foi atacado. O reitor obtido em 1675 por parte das autoridades estaduais, lançou decreto proibindo-o a continuar suas palestras. Então ele foi então enviado por seus superiores para Grenoble, onde, graças à proteção do cardeal Le Camus, ele conseguiu retornar ao seus cursos de filosofia. Em 1686 ele retornou a Paris, parando no seminário de São Magloire, e em 1689 ele foi enviado para Rouen, onde passou o resto de seus dias.
  23. 23. Teorema de Lamy  É uma equação que relaciona as magnitudes de três forças: coplanar, simultânea e forças não-colineares, que mantém um objeto em equilíbrio estático, com os ângulos diretamente opostos às forças correspondentes. De acordo com o teorema:  Onde A , B e C são as magnitudes dos três coplanares, forças simultâneas e não colineares, que mantém o objeto no equilíbrio estático, eα , β e γ são os ângulos diretamente opostas ao forças A , B e C , respectivamente.
  24. 24. Prova do Teorema do Lamy  Suponhamos que existem três forças: coplanares, concorrentes e não- colineares, o que mantém o objeto em equilíbrio estático. Pela lei do triângulo, pode-se reconstruir o diagrama a seguir: Pela lei dos Senos:
  25. 25. Conclusão  Nos permite achar a direção, o sentido e o módulo dos vetores, os valores dos pesos, sem o uso da 2ª Lei de Newton, as medidas das cordas (ou trações) e o ângulo delas em relação aos eixos das abscissas e ordenadas.  O ponto material, sobre a sua importância deve ser planejada de tal forma que o conjunto de forças (peso, normal[...], dentre outras) que agem nele, deve ter como força resultante um valor próximo a zero.
  26. 26. Obrigado a nossa orientadora, professora Hozana Ximenes. Até a próxima!

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