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Lugar Geométrico das Raízes
• Construído diretamente a partir dos pólos e zeros da
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Lugar Geométrico das Raízes
• Zeros no infinito e assíntotas – Regra geral 3:
→ Vimos que as assíntotas originam-se no e...
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Lugar Geométrico das Raízes
• Os outros dois ramos partem dos pólos complexo
conjugados e “caminham” na direção dos zero...
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Lugar Geométrico das Raízes
• Condição angular:
⇒ θ = − 45°
• Assim, o LR parte do pólo em s = – 1 + j com um
ângulo de ...
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Lugar Geométrico das Raízes
• Próximas considerações:
• Em que ponto o LR corta o eixo imaginário?
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Lugar Geométrico das Raízes
• Determinação do ponto de quebra:
• Até agora: ao variar K de 0 a ∞, como o LGR (ou
seja, o...
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Lugar Geométrico das Raízes
• Voltando ao exemplo:
• Para um ponto s pertencer ao lugar das raízes, deve-
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Lugar Geométrico das Raízes
• Qual é o erro de regime estacionário para uma entrada
degrau unitário?
• Como há um pólo e...
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Lugar Geométrico das Raízes
• Isto é, a oscilação senoidal ocorre a uma freqüêcia de
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Lugar das Raizes, Lugar Geometrico

  1. 1. 1 Lugar Geométrico das Raízes • Construído diretamente a partir dos pólos e zeros da função de transferência de malha aberta G(s)H(s). • Os pólos de malha fechada são solução da equação 1 + G(s)H(s) = 0, ou: → arg( G(s)H(s) ) = ± 180o (2k+1), k = 0, 1, 2, ... → | G(s)H(s) | = 1 u Para cada ponto so (do plano complexo s) que satisfaz a condição de ângulo, arg( G (so)H(so) ), há um ganho K correspondente que satisfaz a condição de módulo. Lugar Geométrico das Raízes • LGR: Gráfico dos pólos de malha fechada para todos os valores do ganho K de 0 a ∞. • Para traçarmos o gráfico, vimos que precisamos apenas achar os pontos que satisfazem a condição angular (a aplicação da condição do módulo dirá que valor de K corresponde a uma dada localização no LGR). • Primeiro passo: localizar os pólos (pontos de partida do LGR) e zeros (pontos de chegada do LGR) de malha aberta (ou seja, da função de transferência G(s)H(s) ). • A seguir: determinar que porções do eixo real pertencem ao LGR (ponto de teste so). Lugar Geométrico das Raízes → Regra geral 1: Os pontos no eixo real que encontram- se à esquerda de um número ímpar de pólos e/ou zeros são parte do LGR. (por que?) • Próximo passo:determinar o número de ramos do LGR. → Regra geral 2: Um ramo do LGR parte de cada pólo de malha aberta do sistema (correspondente a K = 0). Para K → ∞, cada ramo irá terminar em um zero de malha aberta. Se o sistema tiver n pólos e m zeros finitos, com n ≥ m, m ramos irão terminar nos m zeros finitos, e os n – m ramos restantes irão terminar nos n – m zeros no infinito. (→ Mas onde estão estes zeros no infinito?)
  2. 2. 2 Lugar Geométrico das Raízes • Zeros no infinito e assíntotas – Regra geral 3: → Vimos que as assíntotas originam-se no eixo real no ponto: → e partem ao longo dos ângulos: mn zerospólos − ∑−∑ =σ ( ) ...2,1,0, 12180 = − + =θ k mn ko Lugar Geométrico das Raízes • Exemplo: → Passo 1: Determinar os pólos e zeros de malha aberta • não há zeros de malha aberta; • pólos de malha aberta: → Passo 2: Determinar o LGR no eixo real ⇒ o eixo real negativo (por que?) → Passo 3: Zeros no infinito ⇒ 3 zeros no infinito e, portanto, 3 assíntotas (por que?) ( ) 1)(, 22 1 )( 2 = ++ = sH sss sG jss ±−== 1e0 Lugar Geométrico das Raízes • Assíntotas: • ponto de partida: • ângulos: → Passo 4: Cada ramo do LGR parte de um pólo de malha aberta e termina em um zero finito (nenhum, neste caso) ou em um zero no infinito. • Um ramo inicia-se em s = 0 e percorre o eixo real negativo (→ − ∞); • E os outros dois ramos? 3 2 3 )1()1(0 −= −−++−+ =σ jj ( ) 3 12180 + =θ ko
  3. 3. 3 Lugar Geométrico das Raízes • Os outros dois ramos partem dos pólos complexo conjugados e “caminham” na direção dos zeros no infinito → Mas de que modo? Lugar Geométrico das Raízes • Ângulos de partida (a partir dos pólos complexos conjugados): determinam a direção em que os ramos partem dos pólos de malha aberta. → Considere um ponto de teste so muito próximo (à uma distância ε > 0) do pólo em s = – 1 + j. • Suponha que um vetor partindo do pólo para so faça um ângulo θ em relação ao eixo real positivo. Neste caso, como fica a condição de ângulo? oo 90135)()()()( 11 −−θ−=−∠−−∠=∠ ∑∑ == n j i m i ioo pszssHsG Lugar Geométrico das Raízes ⇒ Estes ângulos serão constantes, independentes de θ, somente se a distância ε entre so e o pólo em s = – 1 + j for muito pequena. oo 90135)()()()( 11 −−θ−=−∠−−∠=∠ ∑∑ == n j i m i ioo pszssHsG
  4. 4. 4 Lugar Geométrico das Raízes • Condição angular: ⇒ θ = − 45° • Assim, o LR parte do pólo em s = – 1 + j com um ângulo de − 45° • Como as raízes complexas ocorrem em pares conjugados ⇒ ângulo de partida a partir do pólo em s = – 1 – j é + 45°. oo 90135)()()()( 11 −−θ−=−∠−−∠=∠ ∑∑ == n j i m i ioo pszssHsG oo 180225)()( −=−θ−=∠ oo sHsG Lugar Geométrico das Raízes • Uma questão permanece: como os pólos de malha fechada partem dos pólos de malha aberta (K = 0) e atingem as assíntotas (K → ∞) ? • Considere a reta a − 45° a partir do pólo em s = – 1 + j. • Se nos movermos ao longo desta linha: → As contribuições ao argumento dos pólos em s = 0 e s = – 1 + j não irão mudar. → No entanto, a contribuição do pólo em s = – 1 – j irá diminuir. ⇒ Portanto, a fase será menos negativa do que – 180° ao longo desta linha. Lugar Geométrico das Raízes • Assim, como θ deve variar para que a condição de ângulo continue sendo satisfeita?
  5. 5. 5 Lugar Geométrico das Raízes • Próximas considerações: • Em que ponto o LR corta o eixo imaginário? • Em que ponto sobre o eixo real os ramos partindo de pólos de malha aberta reais separam-se? • Para isto, considere o sistema dado por: • LGR? • Pólos e zeros de malha aberta; • Porção do eixo real pertencente ao LGR; • Zeros no infinito: ângulo e ponto de partida das assíntotas. ( )( )21 1 )()( ++ = sss sHsG Lugar Geométrico das Raízes • Nenhum zero de malha aberta; • Pólos de malha aberta em: s = 0; s = – 1 e s = – 2; • Zeros no infinito: n – m = 3 ⇒ • • Pólo em s = – 2: LGR parte de – 2 e move-se para a esquerda, na direção – ∞; • E nos pólos em s = 0 e s = – 1? ( )( )21 1 )()( ++ = sss KsHsGK 3 )12(180 + =θ k 1 03 )2()1(0 −= − −+−+ =σ Lugar Geométrico das Raízes • Pólos em s = 0 e s = – 1 → Um ramo parte de 0 e outro de – 1 ⇒ em algum ponto sobre o eixo real, os ramos se encontram e, a seguir, os pólos tornam-se complexos. ⇒ Como determinar este ponto em que os ramos se separam?
  6. 6. 6 Lugar Geométrico das Raízes • Determinação do ponto de quebra: • Até agora: ao variar K de 0 a ∞, como o LGR (ou seja, os pólos de malha fechada) variam? • Agora: ao caminharmos ao longo do LGR, como K varia? → Começando de s = 0, e movendo-se para a esquerda (não há LR à direita de s = 0) ⇒ o valor de K aumenta. → Começando de s = – 1, e movendo-se para a direita, também sabemo que o valor de K aumenta. → Se continuássemos em cima do eixo real, ao invés de acompanharmos os pólos de malha fechada, ao passarmos do ponto de quebra, o valor de K passa a diminuir, até 0. Lugar Geométrico das Raízes • Determinação do ponto de quebra (continuação): • Portanto, o ponto de quebra é um ponto de máximo para K. • Assim, para determinar o ponto de quebra, podemos pensar em K como uma função de s, K(s). O ponto de máximo de K(s), que é o ponto de quebra, pode ser encontrado por: • Como K somente é definido ao longo do LGR, para pontos pertencentes ao LR, pode-se obter K(s) a partir da condição de magnitude. ?)(Mas.0 )( == ∂ ∂ sK s sK Lugar Geométrico das Raízes • IMPORTANTE: Os pontos de quebra podem ser pontos de separação de partida ou de chegada em relação ao eixo real. • Se um lugar das raízes estiver entre dois pólos de malha aberta adjacentes sobre o eixo real, então existe pelo menos um ponto de separação de partida entre os dois pólos. • Analogamente, se existir um lugar das raízes entre dois zeros adjacentes (um zero pode estar localizado em – ∞) sobre o eixo real, então sempre existirá pelo menos um ponto de separação de chegada entre os dois zeros. • Se existir um lugar das raízes entre um pólo e um zero (finito ou infinito) de malha-aberta sobre o eixo real, então não podem existir pontos de separação de partida ou chegada, ou então, lá existirá tanto pontos de separação de partida como de chegada.
  7. 7. 7 Lugar Geométrico das Raízes • Voltando ao exemplo: • Para um ponto s pertencer ao lugar das raízes, deve- se ter: • Pode-se definir K(s) como: ( )( )21 1 )()( ++ = sss KsHsGK ( )( ) 1 21 −= ++ sss K → equação característica do sistema ( )( )21)( ++−= ssssK ( ) 0)263( )( 23)( 223 =++−= ∂ ∂ ⇒++−= ss s sK ssssK 3 3 1 6 23466 0263 2 2 ±−= ⋅⋅−± −=⇒=++ sss Lugar Geométrico das Raízes • Como podemos saber qual é o valor de s correspon- dente ao ponto de quebra? ⇒ Somente s1 pertence ao LGR!!! • Realmente, substituindo s1 e s2 para determinar o respectivo valor de K: 1.57740.4226; 3 3 1 21 −=−=⇒±−= sss Lugar Geométrico das Raízes • Portanto, o LGR para o sistema é da forma: • O que o LGR nos diz a respeito do sistema?
  8. 8. 8 Lugar Geométrico das Raízes • Qual é o erro de regime estacionário para uma entrada degrau unitário? • Como há um pólo em s = 0, ess = 0 para a entrada degrau. • Suponha que K = 0,35. O sistema é sobreamortecido, criticamente amortecido ou subamortecido? • Como o ponto de quebra só ocorre para K = 0,38 , o sistema para o K dado possui 3 raízes reais → 2 muito mais lentas do que a terceira, por estarem mais próximas do eixo jω: são portanto pólos dominantes. ⇒ Com dois pólos dominantes reais, o sistema é sobreamortecido. • Como determinar o valor de K para o qual o sistema irá cruzar o eixo imaginário? Lugar Geométrico das Raízes • Valor de K para o qual o sistema cruza o eixo imaginário: ⇒ Pode-se utilizar o critério de Routh-Hurwitz. Ksss K sHsG sG sR sC +++ = + = 23)()(1 )( )( )( 23 0>⇒ K 6<⇒ K 60 <<⇒ K para o sistema ser estável ⇒ K = 6 : as raízes da equação característica (pólos de malha fechada) são imaginárias. Lugar Geométrico das Raízes • Para K = 6, o sistema será oscilatório, sem amortecimento. Qual é a freqüência de oscilação? → Para tanto, é necessário achar os pólos de malha fechada para este valor de K: → O polinômio é cúbico, mas sabemos que a raiz é imaginária. Assim, s = jω e: → Assim, tanto a parte real quanto a imaginária devem ser iguais a zero: 0623 23 =+++ sss 0623 23 =+ω+ω−ω− jj 0=6+ω−0=ω+ω− 2 3e23
  9. 9. 9 Lugar Geométrico das Raízes • Isto é, a oscilação senoidal ocorre a uma freqüêcia de √2 rd/s. • Em outras palavras, o lugar das raízes corta o eixo imaginário em ω = √2 . • Exemplo: Plote o lugar das raízes para um sistema com realimentação unitária, com: ( ) 2±=ω⇒2=ω⇒0=6+ω− 2±=ω0;=ω⇒0=2−ωω−⇒0=ω+ω− 22 2 3 23 )1( 2 )( + + = ss s sG Lugar Geométrico das Raízes 1) Localizar os pólos e zeros de malha aberta no plano complexo s. → zeros: s = – 2; pólos: s = 0; s = – 1. 2) Eixo real ∈ LGR: s < – 2 e – 1 < s < 0. 3) Assíntotas: 2 pólos e 1 zero ⇒ 1 zero no infinito e, portanto, 1 assíntota. θ = 180(2k+1)/1 = 180. 4) Pontos de quebra: )1( 2 )( + + = ss s sG 2)( 1 )( 2 + + −=−= s ss sG sK Lugar Geométrico das Raízes 4) Pontos de quebra (continuação): → Observe que estes dois pontos estão no lugar das raízes ⇒ Um é o ponto de separação de partida e o outro de chegada em relação ao eixo real. ( )( ) ( )( ) ( ) 0 2 1212)( 2 2 = + +−++ −= ∂ ∂ s ssss s sK ( ) 0240252 222 =++⇒=+−++ ssssss 22 2 2444 2 ±−= ⋅−±− =s
  10. 10. 10 Lugar Geométrico das Raízes

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