Universidade Estadual de Campinas 
Análise e Desenvolvimento de Sistemas 
Trabalho de Conclusão de Curso - 2014 
UM ESTUDO...
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AGENDA 
•INTRODUÇÃO 
•JORNADA HISTÓRICO 
CONCEITUAL 
•DEFINIÇÃO FORMAL 
•APLICAÇÕES DA 
RECURSÃO 
•FRACTAIS E A 
EXPLOR...
Motivação 
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Objetivos 
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 Mostrar que a recursão está em todos os lugares 
 Mostrar possíveis equívocos que podemos cometer 
com a ...
INTRODUÇÃO 
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AGENDA 
•INTRODUÇÃO 
•JORNADA 
HISTÓRICO 
CONCEITUAL 
•DEFINIÇÃO FORMAL 
•APLICAÇÕES DA 
RECURSÃO 
•FRACTAIS E A 
EXPLO...
Surgimento 
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X 
Ouroboros 3000 a.C. [Pike, 1872] Panini 500 a.C. [Chomsky, 1957]
Infinito: Dedekind e Cantor 
“[Teorema 126] Seja θ uma função de Ω em Ω, onde Ω é um conjunto 
qualquer, e seja w um eleme...
Decidibilidade: Skolem, Church, Turing 
 {D} Δ(a,b) see (∃x)(a=bx). 
 D(a,b,c), a qual expressa que a é igual ao 
produt...
Complexidade: Kolmogorov e Ockham 
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 A complexidade de Kolmogorov pode ser definida 
simplificadamente como o tamanho ...
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CONCEITUAL 
•DEFINIÇÃO 
FORMAL 
•APLICAÇÕES DA 
RECURSÃO 
•FRACTAIS E A 
EXPL...
DEFINIÇÃO FORMAL 
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“Sometimes recursion seems to brush paradox very 
closely. For example there are recursive definitio...
Aritmética de Skolem (APR) 
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 R (f, x, 0) = x 
 R(f, x, S(y)) = f(R(f, x, y), y) 
 A função f(x,y) = x+y, ficaria, n...
Funções recursivas primitivas 
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 Função constante-0 ξ: é a função ξ, de vários 
argumentos, dado por ξ:N->N, tal que ξ...
Funções recursivas primitivas 
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 Regra de Composição: Seja g uma função com L 
argumentos e sejam h1, h2 ... hl, funçõ...
Funções parciais 
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 div(x,y) = μ [f](x,y,m), onde 
f(x,y,m) = σ(x) − (m * y + y) 
 div(5,2) = μ[σ(5) – (t*2 + 2)] 
 ...
Didática em sala de aula 
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 a. Solução trivial: Fib(0) = 1 e Fib(1) = 1 
 b. Solução geral: Fib(x) = Fib(x-1) + Fib(x...
Didática em sala de aula 
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 a. Solução trivial: Fib(0) = 1 e Fib(1) = 1 
 Ideia de complexidade e Teorema de Dedekind...
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•JORNADA HISTÓRICO 
CONCEITUAL 
•DEFINIÇÃO FORMAL 
•APLICAÇÕES DA 
RECURSÃO 
•FRACTAIS E A 
EXPLO...
Johaan Sebastian Bach 
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Rei Frederico II Thema Regium [Gainer, 2007] 
J. S. Bach – Musical Offering Part 1
Escher 
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Day and Night 
Reptile House of Stairs
Torre de Hanói 
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Hanoi (n; posteInicial; posteAuxiliar; posteF inal) 
Se n = 1 entao 
MoveDisco(1; posteInicial; posteF...
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AGENDA 
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•JORNADA HISTÓRICO 
CONCEITUAL 
•DEFINIÇÃO FORMAL 
•APLICAÇÕES DA 
RECURSÃO 
•FRACTAIS E A 
EXPLO...
Euclides 
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Mandelbrot 
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Conjunto de Mandelbrot -> Z = Z*Z + C 
26
Conjunto de Mandelbrot -> Z = Z*Z + C 
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Auto-semelhança, escala e complexidade 
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Auto-semelhança, escala e complexidade 
29
Dimensão 
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N =64; r =1/4, D = 3 
N = 2; r =1/3; D = 1,59
Camada D Área Fractal (%) 
A não-fractal 3.3 
B 1.52 16.5 
C 1.72 42.5 
D 1.89 70.2 
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AGENDA 
•INTRODUÇÃO 
•JORNADA HISTÓRICO 
CONCEITUAL 
•DEFINIÇÃO FORMAL 
•APLICAÇÕES DA 
RECURSÃO 
•FRACTAIS E A 
EXPLO...
CONCLUSÃO 
33 
MOS TRAR QUE A RECURSÃO ES TÁ EM TODOS OS 
LUGARES 
ESTÁ NA ARTE: MÚSICA, ARTES PLÁSTICAS, 
LITOGRAVURA, CI...
CONCLUSÃO 
34 
MOS TRAR EQUÍVOCOS QUE PODEM OCORRER COM 
A CONCEI TUAÇÃO INCOMP LETA DO TEMA 
AS AULAS PASSAM UM MÉTODO CO...
CONCLUSÃO 
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RES PONDER À QUES TÃO: PRA QUE SERVE 
RECURSÃO? 
SERVE PARA COMPREENDER OS FENÔMENOS 
CAÓTICOS, SISTÊMICOS,...
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Tcc um estudo sobre recursividade

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Apresentação de TCC - Um estudo de recursividade e suas aplicações

Explorando a história, conceitos básicos, aplicações em diversas áreas de conhecimento, definição formal (através da aritmética de Skolem) e

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  • Nos horários de monitoria não sabia responder aos alunos para que servia recursão. Também havia problemas na forma que se passava o conceito, a maioria não sabia do que se tratava
  • Tcc um estudo sobre recursividade

    1. 1. Universidade Estadual de Campinas Análise e Desenvolvimento de Sistemas Trabalho de Conclusão de Curso - 2014 UM ESTUDO SOBRE RECURSIVIDADE E SUAS APLICAÇÕES BRUNO SILVA DE OLIVEIRA Orientador JOSÉ CARLOS MAGOSSI
    2. 2. 2 AGENDA •INTRODUÇÃO •JORNADA HISTÓRICO CONCEITUAL •DEFINIÇÃO FORMAL •APLICAÇÕES DA RECURSÃO •FRACTAIS E A EXPLORAÇÃO DA RECURSIVIDADE •CONCLUSÃO
    3. 3. Motivação 3
    4. 4. Objetivos 4  Mostrar que a recursão está em todos os lugares  Mostrar possíveis equívocos que podemos cometer com a definição incompleta do tema  Responder a questão: Pra que serve recursão?
    5. 5. INTRODUÇÃO 5
    6. 6. 6 AGENDA •INTRODUÇÃO •JORNADA HISTÓRICO CONCEITUAL •DEFINIÇÃO FORMAL •APLICAÇÕES DA RECURSÃO •FRACTAIS E A EXPLORAÇÃO DA RECURSIVIDADE •CONCLUSÃO
    7. 7. Surgimento 7 X Ouroboros 3000 a.C. [Pike, 1872] Panini 500 a.C. [Chomsky, 1957]
    8. 8. Infinito: Dedekind e Cantor “[Teorema 126] Seja θ uma função de Ω em Ω, onde Ω é um conjunto qualquer, e seja w um elemento qualquer de Ω. Então, existe uma e só uma função ψ de N em Ω, onde N é um conjunto simplesmente infinito qualquer, tal que:  [1] ψ{1} = w;  [2] ψ{n’} = θψ;” [Dedekind, 1969] 8
    9. 9. Decidibilidade: Skolem, Church, Turing  {D} Δ(a,b) see (∃x)(a=bx).  D(a,b,c), a qual expressa que a é igual ao produto de b por um número entre 1 e c (fornecendo assim um elemento decisório):  Δ(a,b,1) see a=b;  Δ(a,b,c+1) see Δ(a,b,c) ou a = b(c+1)  {D’} Δ(a,b) see Δ(a,b,a), [Biraben, 1994] 9
    10. 10. Complexidade: Kolmogorov e Ockham 10  A complexidade de Kolmogorov pode ser definida simplificadamente como o tamanho do menor programa (ou descrição algorítmica) que computa na Máquina de Turing uma determinada string binária.  "Se em tudo o mais forem idênticas as várias explicações de um fenômeno, a mais simples é a melhor".
    11. 11. 11 AGENDA •INTRODUÇÃO •JORNADA HISTÓRICO CONCEITUAL •DEFINIÇÃO FORMAL •APLICAÇÕES DA RECURSÃO •FRACTAIS E A EXPLORAÇÃO DA RECURSIVIDADE •CONCLUSÃO
    12. 12. DEFINIÇÃO FORMAL 12 “Sometimes recursion seems to brush paradox very closely. For example there are recursive definitions. Such a definition may give the casual viewer the impression that something is being defined in terms of itself. That would be circular and lead to infinite regress, if not to paradox proper. Actually a recursive definition never defines something in terms of itself but always in terms of simpler versions of itself.” – Hofstadter [1979]
    13. 13. Aritmética de Skolem (APR) 13  R (f, x, 0) = x  R(f, x, S(y)) = f(R(f, x, y), y)  A função f(x,y) = x+y, ficaria, na APR, da seguinte forma:  f(x,0) = x  f(x,y+1) = S(f(x,y))
    14. 14. Funções recursivas primitivas 14  Função constante-0 ξ: é a função ξ, de vários argumentos, dado por ξ:N->N, tal que ξ(2)=0; Há variações constantes diferentes de zero da função, como ξij(n1,...,ni)=j;  Funções de projeção π: seja k>=1 e 1<=i<=k, define-se a i-ésima função de projeção πjk, com k argumentos, como sendo uma função de Nk em N, tal que πjk (n1, n2, n3...nn)=nj, para qualquer nj pertencente a N.  Função sucessor σ: é a função σ:N->N tal que σ(n)=n+1 para todo n ∈ N.
    15. 15. Funções recursivas primitivas 15  Regra de Composição: Seja g uma função com L argumentos e sejam h1, h2 ... hl, funções com k argumentos, tais que, para todo n ∈ Nk. Nessas condições, f(n) = g(h1n,....,hLn). Neste caso, f é dita obtida a partir de g, h1,...,hl por composição  Regra de Recursão Primitiva: Seja k>=0. Seja g uma função com k argumentos, e h uma função com k+2 argumentos, tal que, para todo n em Nk, f(n,0)=g(n), e para todo n em Nk e m em N, f(n,m+1)=h(n,m,f(n,m)).
    16. 16. Funções parciais 16  div(x,y) = μ [f](x,y,m), onde f(x,y,m) = σ(x) − (m * y + y)  div(5,2) = μ[σ(5) – (t*2 + 2)]   6 – (0*2 + 2) = 6 – 2 = 4   6 – (1*2 + 2) = 6 – 4 = 2   6 – (2*2 + 2) = 6 – 6 = 0   div(5,2) = 2
    17. 17. Didática em sala de aula 17  a. Solução trivial: Fib(0) = 1 e Fib(1) = 1  b. Solução geral: Fib(x) = Fib(x-1) + Fib(x-2)  c. Algoritmo de decisão:  d. Garantir que a função termine
    18. 18. Didática em sala de aula 18  a. Solução trivial: Fib(0) = 1 e Fib(1) = 1  Ideia de complexidade e Teorema de Dedekind  b. Solução geral: Fib(x) = Fib(x-1) + Fib(x-2)  Funções recursivas de Godel e APR  c. Algoritmo de decisão:  Ideia de decidibilidade  d. Garantir que a função termine  Ideia de infinito e ideias de Skolem
    19. 19. 19 AGENDA •INTRODUÇÃO •JORNADA HISTÓRICO CONCEITUAL •DEFINIÇÃO FORMAL •APLICAÇÕES DA RECURSÃO •FRACTAIS E A EXPLORAÇÃO DA RECURSIVIDADE •CONCLUSÃO
    20. 20. Johaan Sebastian Bach 20 Rei Frederico II Thema Regium [Gainer, 2007] J. S. Bach – Musical Offering Part 1
    21. 21. Escher 21 Day and Night Reptile House of Stairs
    22. 22. Torre de Hanói 22 Hanoi (n; posteInicial; posteAuxiliar; posteF inal) Se n = 1 entao MoveDisco(1; posteInicial; posteFinal) senao Hanoi(n - 1; posteInicial; posteFinal; posteAuxiliar) MoveDisco(n; posteInicial; posteFinal) Hanoi(n - 1; posteAuxiliar; posteInicial; posteFinal).
    23. 23. 23 AGENDA •INTRODUÇÃO •JORNADA HISTÓRICO CONCEITUAL •DEFINIÇÃO FORMAL •APLICAÇÕES DA RECURSÃO •FRACTAIS E A EXPLORAÇÃO DA RECURSIVIDADE •CONCLUSÃO
    24. 24. Euclides 24
    25. 25. Mandelbrot 25
    26. 26. Conjunto de Mandelbrot -> Z = Z*Z + C 26
    27. 27. Conjunto de Mandelbrot -> Z = Z*Z + C 27
    28. 28. Auto-semelhança, escala e complexidade 28
    29. 29. Auto-semelhança, escala e complexidade 29
    30. 30. Dimensão 30 N =64; r =1/4, D = 3 N = 2; r =1/3; D = 1,59
    31. 31. Camada D Área Fractal (%) A não-fractal 3.3 B 1.52 16.5 C 1.72 42.5 D 1.89 70.2 31
    32. 32. 32 AGENDA •INTRODUÇÃO •JORNADA HISTÓRICO CONCEITUAL •DEFINIÇÃO FORMAL •APLICAÇÕES DA RECURSÃO •FRACTAIS E A EXPLORAÇÃO DA RECURSIVIDADE •CONCLUSÃO
    33. 33. CONCLUSÃO 33 MOS TRAR QUE A RECURSÃO ES TÁ EM TODOS OS LUGARES ESTÁ NA ARTE: MÚSICA, ARTES PLÁSTICAS, LITOGRAVURA, CINEMA, POEMAS. . . ESTÁ NA MATEMÁTICA: ALGORITMOS RECURSIVOS, GEOMETRIA, ARITMÉTICA . . . ESTÁ NA VIDA DO SER HUMANO, NA NATUREZA, NAS CULTURAS, NA LINGUAGEM. . .
    34. 34. CONCLUSÃO 34 MOS TRAR EQUÍVOCOS QUE PODEM OCORRER COM A CONCEI TUAÇÃO INCOMP LETA DO TEMA AS AULAS PASSAM UM MÉTODO CORRETO, MAS UMA DEFINIÇÃO INCOMPLETA O ENSINO DE RECURSÃO PODERIA SER MELHOR COMPREENDIDO SE POSTO EM UM CONTEXTO HISTÓRICO
    35. 35. CONCLUSÃO 35 RES PONDER À QUES TÃO: PRA QUE SERVE RECURSÃO? SERVE PARA COMPREENDER OS FENÔMENOS CAÓTICOS, SISTÊMICOS, DINÂMICOS, COTIDIANOS E TECNOLÓGICOS APESAR DE CLÁSSICO, O CAMPO DA RECURSÃO AINDA POSSUI DIVERSAS PONTAS SOLTAS E VÁRIAS OPORTUNIDADES DE PESQUISA COMO O CASO DE FRACTAIS, ILUSTRADO PELO TAYLOR E POLLOCK

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