Este documento apresenta o plano de ensino para a disciplina de Cálculo Integral Aplicado à Engenharia no semestre 2017.2. O curso abordará integral indefinida e definida, técnicas de integração, integrais impróprias, sequências e séries infinitas e aplicações destes conceitos em engenharia. A avaliação dos alunos consistirá em atividades e provas escritas sobre os dois blocos de conteúdo.

1. PROF.º ESP. IURI COSTA DE JESUS
ENGENHARIA CIVIL - SEMESTRE 2017.2
CÁLCULO INTEGRAL
APLICADO À ENGENHARIA

2. EMENTA
• Integral indefinida; Integral definida e aplicações. Técnicas de integração;
Integrais impróprias; Sequências e séries infinitas; Testes de convergência
de séries; Séries de Potências; Séries de Taylor; Séries de funções
periódicas; Série de Fourier.
JUSTIFICATIVA:
Esta disciplina pertence ao núcleo da base comum dos cursos de engenharia e
subsidia a maioria das disciplinas do curso, visto que, além de fornecer
ferramentas para aplicações posteriores, tem por objetivo desenvolver o raciocínio
lógico do aluno, buscando aplicações práticas em problemas reais. Propicia ao
aluno ferramentas para o cálculo de áreas, volumes de sólidos de revolução,
trabalho, etc.

3. CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:
UNIDADE I
 Integral Indefinida e Integral definida;
 Técnicas de integração; Integrais impróprias;
UNIDADE II
 Sequências e séries;

4. METODOLOGIA:
Aula expositiva
e participativa com fixação através de exercícios, pesquisas e discussões.
Utilização de softwares matemáticos em laboratórios de Informática.
Interdisciplinaridade: Aulas de exercícios aplicados às diversas áreas de En
genharia.

5. • AVALIAÇÃO:
• UNIDADE I
• Atividades de exploração (individuais e/ou em grupos); (3,0 pontos) –
15/09
• Aplicação de prova escrita. (7,0 pontos) – 22/09
• UNIDADE II
• Atividades de exploração (individuais e/ou em grupos); (3,0 pontos) –
01/12
• Aplicação de prova escrita. (7,0 pontos) – 08/12

6. • BIBLIOGRAFIA BÁSICA:
• STEWART, James. Cálculo. 4. ed. São Paulo, SP: Pioneira Thomson Learning, 2001.
• GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. v. 3. STEWART, J.
Cálculo. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011. v. 2.
• FLEMMING, D., GONÇALVES, B. M. Cálculo A. 5. ed. São Paulo, SP: Makron Books, 1992;
• BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR:
• ANTON, H. Cálculo: um novo horizonte. 6. ed. Porto Alegre: Bookman, 2001. v.2.
• LEITHOLD, L. O Cálculo com geometria analítica. 3. ed. São Paulo: Habra,1994. v.2.
• PISKOUNOV, N. Cálculo diferencial e integral. 18. ed. Porto: Lopes da Silva, 2000. v.2.
• WEIR, M.D.; HASS, J.; GIORDANO, F. R. Cálculo [de] George B. Thomas. 11. ed. São Paulo:
Pearson/Addison-Wesley, 2010 v.2.

7. CÁLCULO DIFERENCIAL
• DERIVADA e INTEGRAL
• Ambos os conceitos são definidos por “processos
de limites”.
• A noção de limite é a ideia inicial que separa o
cálculo da matemática elementar.
• O conceito de limite de uma função f é uma das
idéias fundamentais que distinguem o cálculo da
álgebra e da trigonometria.
Aplicabilidades do Cálculo Diferencial

8. Cálculo Diferencial
• Os cientistas estudam a maneira como as
quantidades variam, e se elas se aproximam de
valores específicos sob certas condições.
 O cálculo foi descoberto no século XVII, para
investigar problemas que envolvem movimento.
 Se a velocidade varia ou se a trajetória é irregular, as
definições podem ser obtidas utilizando a derivada.

9. Cálculo Diferencial - Aplicações
• Cálculo da taxa de crescimento de uma cultura de
bactérias.
 Previsão de resultados de uma reação química.

10. Cálculo Diferencial - Aplicações
• Medições de variações constantes da corrente elétrica.
 Descrição do comportamento das partículas atômicas.

11. Cálculo Diferencial - Aplicações
• Estimativa da variação de um tumor na terapia
radioativa.
 Previsão de resultados econômicos.

12. Cálculo Diferencial - Aplicações
• Análise de vibrações num sistema mecânico.
 Fabricação de embalagens pelo menor custo.

13. Cálculo Diferencial - Aplicações
• Distância máxima a ser percorrida por um foguete.
 Fluxo máximo de tráfego em uma ponte.

14. Cálculo Diferencial - Aplicações
• Cálculo do número de poços petrolíferos a serem
abertos para obter uma produção mais eficiente.
 Depreciação do equipamento de uma fábrica.

15. Cálculo Diferencial - Aplicações
• Determinar o ponto entre duas fontes luminosas no qual
a iluminação seja máxima.
 Maximizar o lucro na fabricação de um certo produto.

16. Cálculo Diferencial - Aplicações
• Calcular o fluxo sanguíneo através de uma artéria.
 Quantidade de diluição de um corante em certos testes
fisiológicos.

17. Cálculo Diferencial - Aplicações
• Cálculo da expansão de uma mancha de óleo no mar.
 Quantidade de quartos que devem ser alugados em um
hotel para que a receita seja máxima.

18. Cálculo Diferencial - Aplicações
• Quantidade de árvores que devem ser plantadas para se
obter o máximo de maçãs por ano.
 Velocidade de aumento de uma onda de tsunami.

19. A LINGUAGEM DO MOVIMENTO
A derivada expressa o ritmo da mudança instantânea
em qualquer fenômeno que envolva funções.
Galileu, ao descrever pela primeira vez uma
função que relacionava o espaço com o tempo na
queda dos corpos, deixou em aberto a
necessidade do Cálculo Diferencial, o cálculo
com derivadas.
Mas, quando se trata de corpos em movimento, esta
interpretação é especialmente precisa e interessante. De
fato, historicamente, foi o que deu origem ao estudo das
derivadas.

20. A lei da queda dos corpos
A tentativa de Galileu de demonstrar que todos os corpos caem com a
mesma aceleração esbarrou na falta de um instrumento matemático - as
derivadas.
Quem foi capaz de completar a tarefa de Galileu?...
Isaac Newton e W.G. Leibniz, ambos separadamente e quase ao mesmo
tempo, o que originou uma forte disputa entre eles.
Sir Isaac Newton
(Woolsthorpe, 4 de
Janeiro de 1643 —
Londres, 31 de
Março de 1727)
Gottfried Wilhelm
von Leibniz
(Leipzig, 1 de julho de
1646 — Hanôver, 14 de
Novembro de 1716)

21. A LINGUAGEM DO MOVIMENTO
() O despeito de Newton (1642 – 1727) devido a algumas críticas
desfavoráveis levou-o a manter em segredo durante 30 anos, sem
publicá-las, as suas descobertas relativas ao Cálculo Diferencial e
Integral. Na correspondência com Leibniz (1646 – 1716) deu-lhe alguns
indícios e este foi capaz de por si só desenvolver o Cálculo com uma
notação melhor. Quando o publicou, foi acusado de plágio. Leibniz
recorreu à British Royal Society, presidida pelo próprio Newton; o que
foi a sua perdição. Desacreditado pela opinião dominante, neste caso
nada imparcial, a historia terminou amargamente para ele. Newton
gabava-se de “ter desfeito o coração de Leibniz”.
Newton e Leibniz iniciaram o Cálculo Diferencial e, ao medir o ritmo de
mudança dos fenómenos físicos, naturais e inclusivamente sociais, abriram
as portas ao espectacular desenvolvimento científico e tecnológico que
transformou o mundo em 3 séculos tanto ou mais que em toda a história
anterior. Parecia que por fim se tinha cumprido o sonho pitagórico:
explicar o mundo com a Matemática.

22. Se uma função é representada graficamente por uma reta (função
afim), facilmente sabemos com que velocidade varia essa função.
Corresponde, é claro, à declividade da reta representativa da função.
x
y
O a
f(b)
b
f(a)
f(b) - f(a)
y
b – a
x

   
y
x
f b f a
b a
m



y
x
tmv = tg =
taxa média
de variação
Aplicação das Derivadas na Geometria Analítica

23. O que o Matemáticos se lembraram foi de “substituir localmente” a
curva por uma reta e calcular a declividade dessa(s) reta(s) e… o resto é
História e o estudo das Derivadas…
E... se o gráfico da função não for uma reta?
Com que velocidade (rapidez) varia essa função?

24. O que o Matemáticos se lembraram foi de “substituir localmente” a
curva por uma reta e calcular a declividade dessa(s) reta(s) e… o resto é
História e o estudo das Derivadas…
a
f(b)
b
f(a)
b – a
x
f(b) - f(a)
y
x
O
y
   
y
x
f b f a
b a
m



y
x
tmv =

25. E… quando tomamos o limite?
Vamos, então, estudar Derivadas!
0
0
x
x
0
Δx
0
x
x
)
f(x
f(x)
lim
Δx
Δy
lim
)
(x
'
f
0 





m
tgα
)
(x
'
f 0 

)
x
(x).(x
'
f
)
f(x
f(x) 0
0 


ZOOM IN
x-x0
x0
f(x)
x
f(x0)
y
f(x) - f(x0)
x
O
y
O
 x
)
x
'.(x
y
)
f(x
y 0
0 


)
x
m(x
)
f(x
f(x) 0
0 



26. EXEMPLOS
Exemplo 2 – Determinar a derivada da função f(x) = 2x2 no
ponto x0 = 3, ou seja, f’(3).
0
0
0
0
)
(
)
(
lim
lim
'
)
(
'
0 x
x
x
f
x
f
x
y
y
x
f
x
x
x 









12
)
3
(
2
lim
)
3
(
'
3




x
f
x
3
)
3
)(
3
(
2
lim
3
)
9
(
2
lim
3
18
2
lim
)
3
(
'
3
2
3
2
3 











 x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
Temos: x0 = 3 e f(x0) = f(3) = 2.32 = 18

27. EXEMPLOS
Exemplo 3 – Determinar a derivada da função f(x) = x2 - 6x
no ponto x0 = 2, ou seja, f’(2).
0
0
0
0
)
(
)
(
lim
lim
'
)
(
'
0 x
x
x
f
x
f
x
y
y
x
f
x
x
x 









2
)
4
(
lim
2
)
4
)(
2
(
lim
2
8
6
lim
)
2
(
'
2
2
2
2















x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
Temos: x0 = 2 e f(x0) = f(2) = 22 – 6.2 = -8

28. EXEMPLOS
Exemplo 4 – Determinar a derivada da função f(x) = x no
ponto x0 = 0, ou seja, f’(0).
0
0
0
0
)
(
)
(
lim
lim
'
)
(
'
0 x
x
x
f
x
f
x
y
y
x
f
x
x
x 


















 x
x
x
x
x
f
x
x
x
1
lim
lim
0
0
lim
)
0
(
'
0
0
0
Temos: x0 = 0 e f(x0) = f(0) = 0 = 0
Nesse caso, dizemos que f(x) = x não tem derivada
no ponto x0 = 0.

29. EXEMPLOS
Exemplo 5 – Uma fábrica produz, mensalmente, x unidades de motores,
sendo o custo mensal de produção dado por: C(x) = 1500 + 220 𝒙 (em
reais).
a) Determine a derivada no ponto x0 = 100 motores.
b) Interprete o resultado obtido.
Solução:
b) O resultado f’(x0) = 11, significa que a cada aumento de unidade de
motor, há um aumento de 11 reais no custo mensal, a partir de 100
motores.
0
0
0
0
)
(
)
(
lim
lim
'
)
(
'
0 x
x
x
f
x
f
x
y
y
x
f
x
x
x 









11
)
10
)(
10
(
)
10
(
220
lim
100
3700
220
1500
lim
)
(
'
100
100
0 









 x
x
x
x
x
x
f
x
x
a) f(x0) = f(100) = 1500 + 220(100)1/2 = 3700

30. EXEMPLOS
Exemplo 6 - Consideremos a função C(x) = custo da produção de x
sapatos, em reais.
Suponhamos que para uma produção x0 = 2000 sapatos, tenhamos a
derivada C’(x0) = 20 reais por sapato.
O que significa isso?
Significa que, se aumentarmos a produção de 1 unidade e
produzirmos x = 2001 sapatos, o aumento no custo será de 20
reais, aproximadamente.

31. EXEMPLOS:
Exemplo - Suponhamos que a temperatura de uma sala seja f(x) = x2
O limite da razão y/x, quando x  0, exprime
que, quando x aumenta de 1 unidade de tempo a
partir de x0 = 1h, a temperatura y aumentará de
aproximadamente 2ºC.
(aproximadamente, pois se trata de limites)
h
C
x
f
x
x
x
x
x
f
x
x
x
/
º
2
)
1
(
lim
)
1
(
'
1
)
1
)(
1
(
lim
1
1
lim
)
1
(
'
1
1
2
1













0
0
0
0
)
(
)
(
lim
lim
)
(
'
0 x
x
x
f
x
f
x
y
x
f
x
x
x 








y(ºC)
x0=1
y
f(3)=9
x(h)
f(1)=1
x=3
x

32. TEMPERATURA DE UMA SALA
• Noção Intuitiva
• Suponhamos que desejamos conhecer a temperatura num instante bem
próximo de x0 = 1h.
x x f(x) x y y/ x
1h30min 1,5 2,25 0,5 1,25 2,5
1h12min 1,2 1,44 0,2 0,44 2,2
1h06min 1,1 1,21 0,1 0,21 2,1
1h1seg 1,0002777 1,000555 0,0002777 0,000555 2,0003601
y(ºC)
x0=1
y
f(3)=9
x(h)
f(1)=1
x=3
x
À medida que x se aproxima de zero, y/x se aproxima de 2.

33. TEMPERATURA DE UMA SALA
x
x
f
x
x
f
x
x
x
x
f
x
x
f
x
f
x
x 















)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
)
(
' 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
)
(
)
(
lim
lim
'
)
(
'
0 x
x
x
f
x
f
x
y
y
x
f
x
x
x 









a) Se x  x0, então x  0.
b) Se x = x - x0, então x = x + x0
c) f(x) = f(x + x0)
y(ºC)
x0=1
y
f(3)=9
x(h)
f(1)=1
x=3
x

34. REGRAS DE DERIVAÇÃO
Considere u e v funções deriváveis de x, com k  IR e
n  IR.
As principais regras de derivação e derivadas das
principais funções elementares segundo a Regra da
Cadeia são:

35. Regras de derivação
R1 - Derivada de uma função constante
Se k é uma constante e f(x) = k para todo x,
então f’(x) = 0.
Exemplo
Seja f(x) = 5  f’(x) = 0.
Se aplicarmos a definição:
x
x
f
x
x
f
x
f
x 






)
(
)
(
lim
)
(
' 1
1
0
1
0
0
lim
5
5
lim
)
(
'
0
0
1 







 x
x x
x
f

36. R2 - Derivada de uma função potência
Se n é um número inteiro positivo e f(x) = xn,
então:
f’(x) = n. xn-1
Exemplo: Seja f(x) = x5  f’(x) = 5x4.
R3 - Derivada de uma função multiplicada por k
Sejam f uma função, k uma constante e g a
função definida por g(x) = k.f(x), então g’(x) =
k.f’(x)
Exemplo: f(x) = 8x2  f’(x) = 8.(2x) = 16x

37. EXEMPLOS
Exemplo 1 – Determinar a equação da reta tangente
ao gráfico de f(x) = x2, no ponto de abscissa
1
2
.
)
).(
(
'
)
( 0
0 x
x
x
f
x
f
y 


y(ºC)
x0 = 1
2
y
y
x(h)
1/4
x

2
)
(
'
2
1
'
x
x
f
f
de
Cálculo




























2
1
.
2
1
'
2
1
x
f
f
y
4
1
2
1
2
1
:
2














f
onde
2
1
.
1
4
1
:
tan














 x
y
to
Por
0
1
-
4y
-
4x 

1
2
1
.
2
2
1
' 













f

38. R4 - Derivada da Soma
• Sejam f e g duas funções e h a função definida por
h(x) = f(x) + g(x).
A derivada da soma é: h’(x) = f’(x) + g’(x).
Exemplo: f(x) = 3x4 + 8x + 5
f’(x) = 3.(4x3) + 8.1 + 0 = f’(x) = 12x3 + 8
R5 - Derivada do Produto
•Sejam f e g duas funções e h a função definida por
h(x) = f(x) . g(x).
A derivada do produto é: h’(x) = f (x) . g’(x) + f’(x).g(x)
 y’ = u.v’ + u’.v
Exemplo f(x) = (2x3 - 1)(x4 + x2)
f’(x) = (2x3 - 1).(4x3 + 2x) + (x4 + x2).6x2

39. R6 - Derivada do quociente
• Sejam f e g duas funções e h a função
definida por h(x) =
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
. A derivada do
quociente é:
Exemplo:
2
)]
(
[
)
(
'
).
(
)
(
'
).
(
)
(
'
x
g
x
g
x
f
x
f
x
g
x
h


3
5
3
2
)
( 2
4




x
x
x
x
f 2
2
4
3
2
)
3
5
(
)
5
2
)(
3
2
(
)
0
4
.
2
).(
3
5
(
)
(
'









x
x
x
x
x
x
x
x
f
2
2
4
3
2
)
3
5
(
)
5
2
)(
3
2
(
)
8
).(
3
5
(
)
(
'








x
x
x
x
x
x
x
x
f
2
'
.
'
.
'
v
v
u
u
v
y




40. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
Derivada de uma função constante
Se c é uma constante e f(x) = c para todo x, então f’(x) = 0.
a)
b)
c)
8

y


 3
y
5


y
a) 
b)
c)
cos

y
)
3
( 

 sen
y
e
y 
De uma função potência
Se n é um número inteiro positivo e f(x) = xn, então
f’(x) = n. xn-1. a)
b)
c)
8
x
y 
3

 x
y
2
/
1
x
y 

41. Derivada de uma função multiplicada por uma
constante
Sejam f uma função, k uma constante e g a
função definida por g(x) = k.f(x) g’(x) =
k.f’(x).
a)
b)
c)
8
2x
y 
3
6 
 x
y
2
/
1
4x
y 
d)
e)
f)
3
5 

 x
y
3
/
2
3
8 

 x
y
b
a
ex
y /

g)
h)
i)
3
/
5 

 x
y
3
/
2
/
1 
 x
y
b
a
x
e
y /
/


42. Derivada da Soma e da Diferença
Sejam f e g duas funções e h a função definida
por h(x) = f(x) + g(x).
A derivada da soma é: h’(x) = f ’(x) + g’(x)
A derivada da diferença é: h’(x) = f ’(x) - g’(x)
x
x
y 
 8
2
x
x
y 2
6 3

 
2
3
4 2
/
1


 x
x
y
4
5 3


 
x
y
3
/
1
3
/
2
3
8 x
x
y 
 

2
3
3
/
5 



 x
x
y
x
x
y 2
/
1 3
/
2

 
2
3
2
3
x
x
y 
 x
b
a
x
b
a
x
y 




2
5

43. Derivada do Produto
Sejam f e g duas funções e h a função definida por
h(x) = f(x).g(x).
A derivada do produto é h’(x) = f(x) . g’(x) + f ’(x) . g(x).
a)
b)
c)
x
x
y 8
2

x
x
y 2
.
6 3


x
x
y 3
.
4 2
/
1

d)
e)
f)
x
x
y 4
.
5 3



3
/
1
3
/
2
3
.
8 x
x
y 


g)
h)
i)
2
3
3
.
/
5 


 x
x
y
x
x
y 2
.
/
1 3
/
2


 
1
6
1
3 








 x
x
x
y   
2
3
1
2 

 x
x
x
y

44. R6 - Derivada do quociente
Sejam f e g duas funções e h a função definida por h(x) = f(x)/g(x)
A derivada do quociente é:
2
)]
(
[
)
(
'
).
(
)
(
'
).
(
)
(
'
x
g
x
g
x
f
x
f
x
g
x
h


a)
b)
c)
)
1
/(
)
2
( 8


 x
x
x
y
 
3
2
/
6 3

 
x
x
y
d)
e)
f)
)
2
3
/(
5 3


 
x
x
y
3
/
1
3
/
2
3
/
8 x
x
y 


g)
h)
i)
x
x
x
y 2
/
)
2
( 3
/
2

 
   
2
3
/
1
2 

 x
x
x
y
 
2
3
3
1
x
x
y


2
2
4
2
x
b
x
y


x
a
x
a
y




45. R7 - Seja f(x) = sen x, a derivada do seno é f’(x) = cos x.
R8 - Seja f(x) = cos x, a derivada do cosseno é f’(x) = - sen x.
R9 - Seja f(x) = cotg x, a derivada da cotangente é f’(x) = - cosec2 x.
R10 - f(x) = sec x, a derivada da secante é f’(x) = sec x . tg x.
R11 - f(x) = cosec x, a derivada da cosec é f’(x) = -cosec x . cotg x.

46. Exemplo
• Calcule a derivada de h(x) = (2x + 1)10.
A função h(x) é composta, f(x) = x10 e g(x) = 2x + 1.
Pela regra da cadeia, temos
h’(x) = f‘(g(x)) . g’(x) = 10.(2x + 1)9.2 = 20(2x + 1)9
R12 - Regra da Cadeia
Se f e g são funções diferenciáveis, então a derivada da
função composta f(g(x)) é dada por:
[f(g(x))]’ = f’(g(x)) . g’(x)

47. R12) Regra da Cadeia
Se f e g são funções diferenciáveis, então a derivada da função
composta f(g(x)) é dada por:
[f(g(x)]’ = f’(g(x)) . g’(x)
a)
b)
c)
8
)
3
2
( 
 x
y
d)
e)
f)
 5
2
2
a
x
y 

 3
3
1 x
y 

3









x
a
x
a
y
x
x
y



1
1
 2
2
3
2 
 x
y

48. R13 - Derivada da função logarítmica neperiano ou natural
Seja f(x) = lnx, sua derivada é; f’(x) = 1/x.
Exemplo:
x
x
x
x
x
x
x
f
então
x
x
x
f








2
2
2
3
1
6
)
1
6
.(
3
1
)
(
'
),
3
ln(
)
(
10
ln
.
1
)
(
'
,
log
)
( 10
x
x
f
então
x
x
f


R14 - Derivada da função logarítmica de base a
Seja f(x) = loga(x), sua derivada é; f’(x) = 1/x . lna
Exemplo:

49. R15 - Derivada da função exponencial de base “e”
Seja f(x) = ex, sua derivada é a própria f’(x) = ex.
R16 - Derivada da função exponencial de base “a”
Seja f(x) = ax, sua derivada é: f’(x) = ax . lna

50. DERIVADAS DIFERENCIAIS NOTAÇÃO
DE LAGRANGE
= 0 dk = 0 (k)´= 0
d(ku) = 0 (ku)´= 0
d(u+v) = du+dv (u+v)´= u´+ v´
d(u.v) = vdu + udv (uv)´= u´v+v´u
d(u/v) = (vdu –udv)/v2 (u/v)´= (u’v – v’u)/v2
d(un) = n.un-1.du (un)´= n.un-1.u´
d(eu) = eu.du (eu)´= eu.u´
(u + v) = +
+

51. DERIVADAS DIFERENCIAIS NOTAÇÃO
DE LAGRANGE
d(au) = au.lna.du (au)’ = au.lna.u’
d(senu) = cosu.du (senu)’ = cosu.u’
d(cosu) = - senu.du (cosu)’ = -senu.u’
d(lnu) = (1/u).du (lnu)´= (1/u).u’
d(arctgu) =
du/(1+u2)
(arctgu)’ = u’/(1+u2)