Se X1, X2, ..., Xn forem variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas de acordo com a distribuição normal padrão, então as variáveis X2i terão distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade. A soma S = X21 + X22 + ... + X2n terá, portanto, distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade.

1. concurseiro_estatistico@outlook.com

2. Distribuição Normal Padão
A variável aleatória contínua X tem distribuição normal com média µ = 0 e σ2
= 1
, denotada por N(0, 1) , se sua função densidade for dada por:
f(x) =
1
√
2π
· e−x2
2 , −∞ < x < ∞

3. Distribuições χ2
1 e χ2
n
Uma variável aleatória contínua Y tem distribuição qui-quadrado com 1 grau de
liberdade , denotada por χ2
1 , se sua função densidade for dada por:
f(y) =
1
√
2π
· y
1
2
−1
· e−y
2 , y > 0
Para n graus de liberdades: Z ∼ χ2
n, então
f(z) =
(1/2)n/2
Γ (n/2)
z
n
2
−1
e− z
2 , z > 0

4. FGM da Variável X2
, onde X ∼ N(0, 1)
MX2 (t) = E etX2
=
∞
−∞
etx2
·
1
√
2π
e−x2
2
f(x)
dx =
∞
−∞
1
√
2π
· e−1
2
x2(1−2t)
dx
MX2 (t) = (1 − 2t)−1
2 ·
+∞
−∞
1
2π
(1−2t)
· e
− x2
2/(1−2t) dx
1
=
1
(1 − 2t)
f(x) =
1
2π
(1−2t)
· e
− x2
2/(1−2t) ⇒ X ∼ N 0;
1
1 − 2t
MX2 (t) =
1
(1 − 2t)
=
1
(1 − 2t)
1/2

5. FGM da χ2
1
MY (t) = E etY
=
∞
0
ety
·
1
√
2π
· y
1
2
−1
· e−1
2
y
f(y)
dy =
∞
0
1
√
2π
· y
1
2
−1
· e−1
2
x(1−2t)
dy
MY (t) =
1
√
2π
·
Γ(1
2)
(1−2t)
2
=
1
√
2π
·
√
π
√
1 − 2t
√
2
=
1
(1 − 2t)
1/2
Conclusão:
MY (t) = MX2 (t) =
1
(1 − 2t)
1/2
⇒ X ∼ N(0, 1) então X2
∼ χ2
1

6. FGM da χ2
n
MZ(t) = E(etZ
) =
∞
0
etz
·
(1/2)n
Γ(n/2)
· z
n
2
−1
· e−z
2
f(z)
dz
MZ(t) =
(1/2)n
Γ(n/2)
·
∞
0
z
n
2
−1
· e−(1/2−t)z
dz =
(1/2)n
Γ(n/2)
·
Γ(n/2)
(1
2 − t)n/2
MZ(t) =
1
(1 − 2t)
n/2

7. FGM da Sn = X2
1 + X2
2 + . . . + X2
n, onde Xi ∼ N(0, 1)
Sejam X1, X2, . . . , Xn variáveis aleatórias independentes e identicamente
distribuídas em que Xi ∼ N(0, 1). E seja Sn = X2
1 + X2
2 + . . . + X2
n.
MSn (t) = E et(X2
1 +X2
2 +...+X2
n)
= E etX2
1 · etX2
2 · . . . · etX2
n
MSn (t) = E etX2
1 × E etX2
2 . . . × E etX2
n
MSn (t) = MX2
1
(t) × MX2
2
(t) . . . × MX2
n
(t)
MSn (t) =
1
(1 − 2t)
n
=
1
(1 − 2t)
n/2
Conclusão:
MZ(t) = MSn (t) =
1
(1 − 2t)
n/2
⇒ Xi ∼ N(0, 1) então Sn =
n
i=1
X2
i ∼ χ2
n

8. Resumo:
Sejam X1, X2, . . . , Xn variáveis aleatórias independentes e identicamente
distribuídas em que Xi ∼ N(0, 1). Então
X2
i ∼ χ2
1
E seja Sn = X2
1 + X2
2 + . . . + X2
n. Então:
Sn =
n
i=1
X2
i ∼ χ2
n

9. QUESTÃO: SECRIANÇA-DF/2015 Fundação Universa
44. Caso X1, . . . , Xn sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente
distribuídas, com distribuição de probabilidade normal, com média 0 e desvio
padrão 1 e se S = X2
1 + X2
2 + . . . + X2
n, então S terá distribuição de
probabilidade
(A) qui-quadrado com 2n graus de liberdade.
(B) tStudent com n − 1 graus de liberdade.
(C) tStudent com n graus de liberdade.
(D) gama com n2
graus de liberdade.
(E) qui-quadrado com n graus de liberdade.

10. QUESTÃO: SECRIANÇA-DF/2015 Fundação Universa
44. Caso X1, . . . , Xn sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente
distribuídas, com distribuição de probabilidade normal, com média 0 e desvio
padrão 1 e se S = X2
1 + X2
2 + . . . + X2
n, então S terá distribuição de
probabilidade
(A) qui-quadrado com 2n graus de liberdade.
(B) tStudent com n − 1 graus de liberdade.
(C) tStudent com n graus de liberdade.
(D) gama com n2
graus de liberdade.
(E) qui-quadrado com n graus de liberdade.