Matriz Inversa

1. Resolu¸c˜ao da Matriz Inversa de Vandermonde
por Fatora¸c˜ao LU
Turma A de MA141
Unicamp
2014
1

2. Resumo
A Matriz de Vandermonde ´e definida como uma matriz que tenha a primeira
coluna apenas com o elemento 1, e os demais elementos aparecendo na forma
vi,j = xj−1
i . Neste trabalho, buscamos obter uma f´ormula fechada que possa
ser usada na matriz de Vandermonde para se obter sua inversa (uma matriz
que quando multiplicada por ela resulta na matriz Identidade). Para isso,
utilizamos a decomposi¸c˜ao em matrizes L e U, sendo U uma matriz triangular
superior e L uma matriz triangular inferior. Obtivemos a f´ormula geral de
L, a f´ormula geral de U e as f´ormulas gerais de L−1
e de U−1
. Provamos, por
indu¸c˜ao, que o produto L·U ´e igual `a matriz de Vandermonde e, finalmente,
juntamos essas informa¸c˜oes para produzir a f´ormula desejada.
2

3. Dados
1. Toda matriz de Vandermonde inversa (V −1
) pode ser escrita na forma
V −1
= U−1
L−1
, sendo U−1
uma matriz triangular superior e L−1
uma
matriz triangular inferior.
2. Se L−1
´e triangular inferior, L ´e triangular inferior.
3. Se U−1
´e triangular superior, U ´e triangular superior.
4. (At
)−1
= (A−1
)t
5. ((A−1
)t
)t
= A−1
6. V −1
= U−1
L−1
⇐⇒ V −1
= (LU)−1
⇐⇒ V · V −1
= V (LU)−1
⇐⇒
I = V (LU)−1
⇐⇒ V = LU
7. V t
= (LU)t
⇐⇒ V t
= Ut
· Lt
⇐⇒ V t
= L1 · U1 ⇐⇒ (V t
)−1
=
U−1
1 · L−1
1
Inversa de V nos casos 2 × 2 e 3 × 3
Calculamos sem fazer nenhum m´etodo de simplifica¸c˜ao ou fatora¸c˜ao:
Vn×n =







1 x1 x2
1 · · · xn−1
1
1 x2 x2
2 · · · xn−1
2
1 x3 x2
3 · · · xn−1
3
...
...
...
...
...
1 xn x2
n · · · xn−1
n







n×n
(1)
V −1
2×2 =
y
y−x
−x
y−x
−1
y−x
1
y−x 2×2
(2)
V −1
3×3 =



yz
(x−y)(x−z)
−xz
(x−y)(y−z)
xy
(x−z)(y−z)
−(y+z)
(x−y)(x−z)
x+z
(x−y)(y−z)
x+y
(x−z)(z−y)
1
(x−y)(x−z)
−1
(x−y)(y−z)
1
(x−z)(y−z)



3×3
(3)
3

4. 1 A Matriz U
1.1 Encontrando a matriz U
Vamos utilizar a transposta da matriz de Vandermonde V t
pois ela nos ofer-
ece propriedades melhores que a matriz V . Quando encontrarmos a matriz
(V t
)−1
basta transpor o resultado que iremos obter a matriz V −1
.
V t
= LU
Chamaremos de U uma matriz triangular superior obtida atrav´es do escalon-
amento de V t
.
Exemplo para matrizes 3 × 3:


1 1 1
x1 x2 x3
x2
1 x2
2 x2
3

 L2 ← L2 − x1L1
L3 ← L3 − x2
1L1


1 1 1
0 (x2 − x1) (x3 − x1)
0 (x2
2 − x2
1) (x2
3 − x2
1)

 L3 ← L3 −
x2
2 − x2
1
x2 − x1
L2


1 1 1
0 x2 − x1 x3 − x1
0 0 (x3 − x1)(x2 − x1)

 = U3×3 (4)
Neste caso, encontramos a matriz U. Observe que cada opera¸c˜ao pode ser
descrita como o produto de V t
por uma matriz elementar:
E3 · E2 · E1 · V t
= U3
E · V3 = U3
Como V t
= LU, ent˜ao L−1
· V t
= U. Portanto:
E = L−1
3 (5)
Ent˜ao L−1
´e sempre dado pelo produto das matrizes elementares que geram
a matriz U a partir de V t
.
1.2 An´alise das matrizes U2×2, U3×3, U4×4
Apenas fazendo as opera¸c˜oes com as linhas (Jacobi) encontramos os valores
de U.
U2×2 =
1 1
0 (x2 − x1)
(6)
4

5. U3×3 - dada no exemplo anterior (4)
U4×4 =




1 1 1 1
0 (x2 − x1) (x3 − x1) (x4 − x1)
0 0 (x3 − x1)(x3 − x2) (x4 − x1)(x4 − x2)
0 0 0 (x4 − x3)(x4 − x2)(x4 − x1)




(7)
Analisando os casos U2×2, U3×3 e U4×4, vemos que a sequˆencia segue clara-
mente um padr˜ao. Na linha 2 temos (xj − x1). Na linha 3 temos (xj −
x1)(xj − x2). Na linha 3, temos (xj − x1)(xj − x2)(xj − x3). Isso nos leva a
pensar que na linha 5 teremos (xj − x1)(xj − x2)(xj − x3)(xj − x4).
Dessa forma, Un×n pode ser dada pela lei de forma¸c˜ao
uij =



1 se i = 1
i−1
k=1
(−xk + xj) se j ≥ i
0 se j < i
(8)
1.3 Inversa de U
Com a lei de forma¸c˜ao de U (8), podemos estudar a matriz U−1
. Fazendo
U−1
2×2, U−1
3×3 e U−1
4×4, obtemos: (tomando x1 = x, x2 = y, x3 = z, x4 = w)
U−1
2×2 =
1 −1
y−x
0 −1
x−y 2×2
(9)
U−1
3×3 =



1 −1
y−x
1
(z−x)(y−x)
0 −1
x−y
1
(z−y)(x−y)
0 0 1
(x−z)(y−z)



3×3
(10)
U−1
4×4 =





1 −1
y−x
1
(z−x)(y−x)
−1
(z−x)(y−x)(w−x)
0 −1
x−y
1
(z−y)(x−y)
−1
(z−y)(w−y)(x−y)
0 0 1
(x−z)(y−z)
−1
(w−z)(x−z)(y−z)
0 0 0 −1
(x−w)(y−w)(z−w)





(11)
Analisando essas matrizes, podemos tirar diversas rela¸c˜oes interessantes:
• Os termos das colunas pares est˜ao na forma em que o numerador da
fra¸c˜ao ´e −1.
5

6. • Todos os termos n˜ao nulos, tirando o u−1
1,1 aparecem na forma 1
ni,j
, sendo
n uma produt´orio.
• Os termos aparecem sempre na forma de 1
n−xi
, podendo ou n˜ao estarem
em um produt´orio.
• A cada coluna que avan¸camos os termos dos produt´orios aumentam um
termo.
Com essas rela¸c˜oes calculamos a lei de forma¸c˜ao de u−1
i,j :
u−1
i,j =



1 se i = j = 1
(−1)1+j
·
j
k=1
1
xk − xi
, k = i se j ≥ i
0 se j < i
(12)
2 A Matriz L
2.1 Encontrando L
Vimos que V t
= LU, ou seja, V t
· U−1
= L. Podemos calcular li,j pela
defini¸c˜ao
li,j =
n
k=1
vt
i,k · u−1
k,j
Sabendo que, por defini¸c˜ao, vij = x−1+i
j e
u−1
i,j =



1 se i = j = 1
(−1)1+j
·
j
k=1
1
xk − xi
, k = i se j ≥ i
0 se j < i
Para calcular li,j ´e necess´ario dividir em casos.
Calculando para li,1:
li,1 =
n
k=1
vt
i,k · u−1
k,1
6

7. li,1 = vt
i,1 · u−1
1,1 +
¨
¨¨¨
¨¨¨B0n
k=2
vt
i,k · u−1
k,1
Como j = 1 e k sempre ser´a maior que 1, o termo u−1
k,j ser´a 0. Como, ainda,
vt
i,1 ser´a igual a x−1+i
1 e o termo u−1
1,1 ser´a igual a 1, temos que:
li,1 = x−1+i
1 (13)
Calculando para li,j: (sendo j = 1)
li,j =
n
k=1
vt
i,k · u−1
k,j
li,j =
¨
¨¨¨
¨¨¨¨B0n
k=j+1
vt
i,k · u−1
k,j +
j
k=1
vt
i,k · u−1
k,j
li,j =
j
k=1
x−1+i
k ·
j
m=1
1
xm − xk
· (−1)j+1
, m = k (14)
Logo, por (13) e (14), temos que:
li,j =



x−1+i
1 se j = 1
j
k=1
x−1+i
k ·
j
m=1
1
xm − xk
· (−1)j+1
, m = k se j ≥ 2
(15)
Exemplos 2 × 2 e 3 × 3 dessa matriz L
Com a lei de forma¸c˜ao, calculamos:
L2×2 =
1 0
x 1
L3×3 =


1 0 0
x 1 0
x2 y2−x2
y−x
1


7

8. 2.2 A inversa de L
Tendo a lei de forma¸c˜ao de L, podemos fazer diversas matrizes e calcular a
inversa:
L−1
2×2 =
1 0
−x 1
L−1
3×3 =


1 0 0
−x 1 0
xy −x − y 1


L−1
4×4 =




1 0 0 0
−x 1 0 0
xy −(x + y) 1 0
−xyz (xy + zy + zx) −(x + y + z) 1




L−1
5×5 =


1 0 0 0 0
−x 1 0 0 0
xy −(x + y) 1 0 0
−xyz (xy + zy + zx) −(x + y + z) 1 0
xyzw −(xyz + xyw + xzw + yzw) (xy + xz + xw + yz + yw + wz) −(x + y + w + z) 1


Obs: x1 = x; x2 = y; x3 = z; x4 = w. Notamos duas propriedades interes-
santes de L−1
:
• A cada linha aparece um novo termo, e esses termos fazem as possveis
combina¸c˜oes de produtos, e essas combina¸c˜oes se somam
• Os elementos nos quais (i+j) ´e par, s˜ao positivos. Os elementos nos
quais a soma (i+j) ´e ´ımpar, s˜ao negativos.
Para criarmos uma equa¸c˜ao fechada dessa matriz, vamos introduzir um o-
perador M, para que as express˜oes n˜ao se tornem t˜ao extensas e que funcione
para prop´osito que queremos.
2.3 O operador M
O operador M serve para calcularmos a somat´orio da combina¸c˜ao de produ-
tos. Ele ´e escrito como:
Mk(x1, x2, · · · , xn)
onde (x1, x2, · · · , xn) s˜ao os termos que queremos combinar e k indica de
quanto em quanto esses termos s˜ao combinados e somados.
8

9. Ex: Vamos calcular M2(a, b, c).
Para isso, devemos calcular as combina¸c˜oes dos produtos 2 a 2.
M2(a, b, c) = ab + ac + bc
Ex: Vamos calcular M3(3, 4, 5, 6).
M3(3, 4, 5, 6) = 3 · 4 · 5 + 3 · 4 · 6 + 3 · 5 · 6 + 4 · 5 · 6 = 342
Ex: Vamos calcular M1(x1, x2, · · · , xn).
M1(x1, x2, · · · , xn) = x1 + x2 + · · · + xn =
n
m=1
xm
Obs: Por defini¸c˜ao, M0 = 1.
2.4 A aplica¸c˜ao de M
Com o operador M, podemos facilmente escrever a matriz L−1
4×4 da seguinte
forma:
L−1
4×4 =




1 0 0 0
−M1(x) M0(x) 0 0
M2(x, y) −M1(x, y) M0(x, y) 0
−M3(x, y, z) M2(x, y, z) −M1(x, y, z) M0(x, y, z)




Logo, achamos a lei de forma¸c˜ao de l−1
i,j :
l−1
i,j =



0 se j > i
(−1)i+j
· Mi−j(x1, x2, · · · , xi−1) se j ≤ i
1 se i = j = 1
(16)
3 Indu¸c˜ao
3.1 Indu¸c˜ao de LU
Para provar que a matriz L multiplicada pela matriz U sempre gera a trans-
posta da matriz de Vandermonde, precisamos provar por indu¸c˜ao. Para uma
matriz 2 × 2:
9

10. L =
1 0
x 1
e U =
1 1
0 y − x
LU =
1 0
x 1
·
1 1
0 y − x
=
1 1
x y
= V t
Hip´otese:
xi−1
j =
n
k=1
li,k · uk,j
Tese:
xi−1
j =
n+1
k=1
li,k · uk,j
Para j = 1:
xi−1
1 =
n
k=1
li,k · uk,1
xi−1
1 = li,1 ·¨¨¨B1
u1,1 +
n
k=2
li,k · uk,1
Pela lei de forma¸c˜ao de ui,j,
n
k=2
li,k · uk,1 deve ser igual a 0. Logo
xi−1
1 = li,1 (17)
Para j ≥ 2:
Hip´otese:
xi−1
j =
n
k=1
li,k · uk,j
Tese:
xi−1
j =
n+1
k=1
li,k · uk,j
10

11. Pela hip´otese,
xi−1
j =
n
k=1
li,k · uk,j
Para n = 2, foi conferido.
A f´ormula fechada de L ´e: (15)
li,j =



x−1+i
1 se j = 1
j
k=1
x−1+i
k ·
j
m=1
1
xm − xk
· (−1)j+1
, m = k se j ≥ 2
A f´ormula fechada de U ´e: (8)
uij =



1 se i = 1
i−1
k=1
(−xk + xj) se j ≥ i
0 se j < i
Queremos mostrar que:
vt
i,j =
n
k=1
li,k · uk,j
ou seja
xi−1
j =
n
k=1
li,k · uk,j
Desse modo
xi−1
j = li,1 ·¨¨¨B1
u1,j +
n
k=2
li,k · uk,j
xi−1
j = li,1 +
j
k=2
li,k · uk,j +
¨¨¨
¨¨¨
¨¨B0n
k=j+1
li,k · uk,j
xi−1
j = li,1 +
j
k=2
li,k · uk,j (18)
11

12. Pela tese
n+1
k=1
li,k · uk,j = li,1 ·¨
¨¨B1
u1,j +
n+1
k=2
li,k · uk,j =
li,1 +
j
k=2
li,k · uk,j +
¨¨¨
¨¨¨
¨¨B0n+1
k=j+1
li,k · uk,j =
li,1 +
j
k=2
li,k · uk,j
E temos, por (18), que
li,1 +
j
k=2
li,k · uk,j = xi−1
j
Logo a multiplica¸c˜ao L · U gera a transposta da matriz de Vandermonde,
∀ n ∈ N.
3.2 Indu¸c˜ao de U−1
Testando para n = 2
U2×2 · U−1
2×2 =
1 1
0 (x2 − x1)
·
1 −1
x2−x1
0 −1
x1−x2
=
1 0
0 1
Hip´otese:
n
k=1
ui,k · u−1
k,j = In
Tese:
n+1
k=1
ui,k · u−1
k,j = In+1
Para i = j = 1:
x =
n
k=1
u1,k · u−1
k,1
x = u1,1 · u−1
1,1 +
¨¨¨
¨¨¨¨B0n
k=2
u1,k · u−1
k,1
12

13. x = 1
Para i = 1 e j = 1:
Hip´otese:
n
k=1
u1,k · u−1
k,j = 0
Tese:
n+1
k=1
u1,k · u−1
k,j = 0
Pela hip´otese:
n
k=1
u1,k · u−1
k,j = 0
Como u1,k = 1:
n
k=1
u−1
k,j = 0
j
k=1
u−1
k,j +
&
&
&
&
&&b
0n
k=j+1
u−1
k,j = 0
j
k=1
u−1
k,j = 0 (19)
Pela tese:
n+1
k=1
&&b
1
u1,k · u−1
k,j
j
k=1
u−1
k,j +
0
n+1
k=j+1
u−1
k,j
E temos, por (19):
j
k=1
u−1
k,j = 0
13

14. Para i = j = 1:
Hip´otese:
n
k=1
ui,k · u−1
k,j = 1
Tese:
n+1
k=1
ui,k · u−1
k,j = 1
Chamando, pela hip´otese:
n
k=1
ui,k · u−1
k,j = 1 como i = j,
¨¨
¨¨¨
¨¨B0i−1
k=1
ui,k · u−1
k,i + ui,i · u−1
i,i +
¨¨¨
¨¨¨
¨¨B0n
k=i+1
ui,k · u−1
k,j = 1
ui,i · u−1
i,i = 1 (20)
Pela tese:
n+1
k=1
ui,k · u−1
k,j = 0
Como i = j,
¨¨¨
¨¨¨¨B0i−1
k=1
ui,k · u−1
k,i + ui,i · u−1
i,i +
¨
¨¨¨
¨¨¨¨B0
n+1
k=i+1
ui,k · u−1
k,j = 1
Por (20) temos:
ui,i · u−1
i,i = 1
Para i = j e i = 1:
Hip´otese:
n
k=1
ui,k · u−1
k,j = 0
Tese:
n+1
k=1
ui,k · u−1
k,j = 0
14

15. Pela hip´otese,
n
k=1
ui,k · u−1
k,j = 0
j
k=1
ui,k · u−1
k,j +
¨
¨¨¨
¨¨¨¨B0n
k=j+1
ui,k · u−1
k,j = 0
j
k=1
ui,k · u−1
k,j = 0 (21)
Pela tese, temos
n+1
k=1
ui,k · u−1
k,j
j
k=1
ui,k · u−1
k,j +
¨
¨¨¨
¨¨¨¨B0
n+1
k=j+1
ui,k · u−1
k,j
Por (21), temos que
j
k=1
ui,k · u−1
k,j = 0
Logo, como foi testado para o caso de n = 2, U−1
realmente ´e a inversa de
U.
3.3 Indu¸c˜ao de L−1
Para n = 2:
L · L−1
=
1 0
x 1
·
1 0
−x 1
=
1 0
0 1
Hip´otese:
n
k=1
li,k · l−1
k,j = In
Tese:
n+1
k=1
li,k · l−1
k,j = In
15

16. Para i = j = 1:
n
k=1
l1,k · l−1
k,1 = 1
l1,1 · l−1
1,1 +
¨¨
¨¨¨
¨¨B0n
k=2
l1,k · l−1
k,1 = 1
l1,1 · l−1
1,1 = 1
Para i = j = 1:
Hip´otese:
n
k=1
li,k · l−1
k,j = 1
Tese:
n+1
k=1
li,k · l−1
k,j = 1
Pela hip´otese, como i = j:
n
k=1
li,k · l−1
k,i = 1
b
0
i−1
k=1
li,k · l−1
k,i + li,i · l−1
i,i +
¨¨
¨¨¨
¨¨B0n
k=i+1
li,k · l−1
k,i = 1
li,i · l−1
i,i = 1 (22)
Pela tese, como i = j, temos
n+1
k=1
li,k · l−1
k,j
16

17. b
0
i−1
k=1
li,k · l−1
k,i + li,i · l−1
i,i +
¨¨¨
¨¨¨¨B0n+1
k=i+1
li,k · l−1
k,i
Por (22) temos:
li,i · l−1
i,i = 1
Para i = j = 1:
Hip´otese:
n
k=1
li,k · l−1
k,j = 0
Tese:
n+1
k=1
li,k · l−1
k,j = 0
Pela hip´otese:
n
k=1
li,k · l−1
k,j = 0
j
k=1
li,k · l−1
k,j +
¨¨
¨¨¨
¨¨¨B0n
k=j+1
li,k · l−1
k,j = 0
j
k=1
li,k · l−1
k,j = 0 (23)
Pela tese, temos
n+1
k=1
li,k · l−1
k,j
j
k=1
li,k · l−1
k,j +
¨¨¨
¨¨¨
¨¨B0n+1
k=j+1
li,k · l−1
k,j
Por (23), temos
j
k=1
li,k · l−1
k,j = 0
17

18. Como para n = 2 foi verificado, temos que L·L−1
sempre ser´a igual `a matriz
identidade.
4 Encontrando V −1
i,j
Como
(V t
)−1
= U−1
· L−1
(V t
)−1
i,j =
n
k=1
u−1
i,k · l−1
k,j
V −1
i,j =
n
k=1
u−1
j,k · l−1
k,i (24)
onde
u−1
i,j =



1 se i = j = 1
(−1)1+j
·
j
n=1
1
xn − xi
, n = i se j ≥ i
0 se j i
e
l−1
i,j =



0 se j i
(−1)i+j
· Mi−j(x1, x2, · · · , xi−1) se j ≤ i
1 se i = j = 1
4.1 F´ormula fechada para V −1
(vt
i,j)−1
=
n
k=1
u−1
i,k · l−1
k,j
Para i = j = 1 temos:
(vt
1,1)−1
=
n
k=1
u−1
1,k · l−1
k,1
(vt
1,1)−1
= u−1
1,1 · l−1
1,1 +
n
k=2
u−1
1,k · l−1
k,1
18

19. (vt
1,1)−1
= 1+
n
k=2
(−1)1+k
·
k
h=1
1
xh − x1
· (−1)k+1
· Mk−1(x1, · · · , xk−1) , h = 1
Transpondo, temos
(v1,1)−1
= 1 +
n
k=2
k
h=1
1
xh − x1
· (Mk−1(x1, · · · , xk−1)) , h = 1
Para i, j ∈ N {1, 1}:
(vt
i,j)−1
=
n
k=1
u−1
i,k · l−1
k,j
(vt
i,j)−1
=
¨¨¨
¨¨¨
¨¨¨¨B0
max{i,j}−1
k=1
u−1
i,k · l−1
k,j +
n
k=max{i,j}
u−1
i,k · l−1
k,j
(vt
i,j)−1
=
n
k=max{i,j}
u−1
i,k · l−1
k,j
(vt
i,j)−1
=
n
k=max{i,j}
(−1)1+k
·
k
h=1
1
xh − xi
(−1)k+j
· Mk−j(x1, · · · xk−1) , h = i
Transpondo, temos
v−1
i,j =
n
k=max{i,j}
(−1)i+1
·
k
h=1
1
xh − xj
· Mk−i(x1, · · · xk−1) , h = j
Logo, temos que
v−1
i,j =



1 +
n
k=2
k
h=1
1
xh − x1
· (Mk−1(x−1, · · · , xk−1)) , h = 1 (se i = j = 1)
n
k=max{i,j}
(−1)i+1
·
k
h=1
1
xh − xj
· Mk−i(x1, · · · xk−1) , h = j (se i, j ∈ N {1, 1})
19

20. 4.2 Exemplos
Calcularemos a inversa da matriz de Vandermonde 2 × 2:
C´alculo de U−1
:
U−1
=
1 −1
y−x
0 −1
x−y
C´alculo de L−1
:
L−1
=
1 0
−x 1
U−1
· L−1
=
−y
x−y
1
x−y
x
x−y
−1
x−y
Transpondo, temos
V −1
=
−y
x−y
x
x−y
1
x−y
−1
x−y
−y
x−y
x
x−y
1
x−y
−1
x−y
·
1 x
1 y
=
1 0
0 1
Logo, o exemplo bate.
OBS: O exemplo utilizou o produto convencional apenas para tornar a
resolu¸c˜ao mais vis´ıvel e did´atica. A f´ormula fechada funciona da mesma
maneira, pois ´e a mesma opera¸c˜ao.
Exemplo 2:
Encontraremos a inversa de V , sendo
V =


1 2 4
1 3 9
1 4 16


Sendo assim, x1 = 2, ; x2 = 3; x3 = 4
C´alculo de U−1
:
U−1
=



1 −1
3−2
1
(4−2)(3−2)
0 −1
2−3
1
(4−3)(2−3)
0 0 1
(2−4)(3−4)


 =


1 −1 1
2
0 1 −1
0 0 1
2


20

21. C´alculo de L−1
:
L−1
=


1 0 0
−2 1 0
2 · 3 −(2 + 3) 1

 =


1 0 0
−2 1 0
6 −5 1


U−1
· L−1
=


6 −7
2
1
2
−8 6 −1
3 −5
2
1


Transpondo, temos
V −1
=


6 −8 3
−7
2
6 −5
2
1
2
−1 1


Verifica¸c˜ao: 

6 −8 3
−7
2
6 −5
2
1
2
−1 1

 ·


1 2 4
1 3 9
1 4 16

 =


1 0 0
0 1 0
0 0 1


Logo, o exemplo bate.
Exemplo 3:
Encontraremos a inversa da matriz de Vandermonde 2 × 2 pela f´ormula
fechada de V −1
.
V −1
1,1 = 1 +
2
k=2
k
h=1
1
xk − x1
· Mk−1(x1, · · · xk−1) , h = 1
V −1
1,1 = 1 +
1
x2 − x1
· x1 =
x2
x2 − x1
V −1
1,2 =
2
k=max{1,2}
(−1)1+k
·
k
h=1
1
xh − x2
· (−1)k+1
· Mk−1(x1, · · · , xk−1) , h = 2
V −1
1,2 = (−1)1+2
·
1
x1 − x2
· M1(x1) =
x1
x1 − x2
=
−x1
x2 − x1
V −1
2,1 =
2
k=max{2,1}
(−1)1+k
·
k
h=1
1
xh − x1
· (−1)k+2
· M0(x1, · · · , xk−1) , h = 1
21

22. V −1
2,1 = (−1)2+1
·
1
x2 − x1
· (−1)2+2
· 1 =
−1
x2 − x1
V −1
2,2 =
2
k=max{2,2}
(−1)1+k
·
k
h=1
1
xh − x2
· (−1)k+2
· M0(x1, · · · , xk−1) , h = 2
V −1
2,2 = (−1)1+2
·
1
x1 − x3
· (−1)2+2
· 1 =
−1
x1 − x2
=
1
x2 − x1
Logo,
V −1
=
x2
x2−x1
−x1
x2−x1
−1
x2−x1
1
x2−x1
22

23. 5 Conclus˜ao
Conseguimos, efetivamente, encontrar uma f´ormula fechada para uma matriz
de Vandermonde de dimens˜ao n × n, utilizando as matrizes L (triangular
inferior) e U (triangular superior). Estudamos a l´ogica de forma¸c˜ao das
matrizes L, U, L−1
e U−1
e provamos, por indu¸c˜ao finita, que o produto LU
resulta na matriz V . Com isso, pudemos usar os padr˜oes de forma¸c˜ao das
matrizes L−1
e U−1
para estabelecer o padr˜ao de forma¸c˜ao da matriz V −1
, a
inversa da matriz de Vandermonde.
23