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Problemas Inversos
João Batista C. da Silva
IV Semana de Inverno de Geofísica
25 e 26 de julho de 2013
1 - INTRODUÇÃO
2 - FORMULAÇÃO
3 - CARACTERIZAÇÃO - SVD
4 - SOLUÇÃO - MQ, IG, RIDGE, SUAV
5 - SOLUÇÃO - VÍNCULOS DE ESCASSE...
1 - INTRODUÇÃO
2 - FORMULAÇÃO
3 - CARACTERIZAÇÃO - SVD
4 - SOLUÇÃO - MQ, IG, RIDGE, SUAV
5 - SOLUÇÃO - VÍNCULOS DE ESCASSE...
INTRODUÇÃO
OBJETIVO DA GEOFÍSICA
Obter informação sobre a subsuperfície
campos:
elétrico
eletromagnétic
o
magnético
gravimétrico
.
tr...
OBJETIVO DA GEOFÍSICA
Obter informação sobre a subsuperfície
indiretamente
Interpretação Geofísica Busca por Informação= Informação
Detecção
Localização
Delineação
Detecção
Informação
Detecção
Localização
Delineação
Localização
Informação
Detecção
Localização
Delineação
Delineação
g γ m
r2=
ρ V
γ
r2g =
m
r
Delineação
Problema mal-posto
Desbalanceamento
Informação
demandada
pelo intérprete
Informação
contida nos
dados
g γ m
r2=
ρ V
γ
r2g =
m
r
Delineação
Soluções:
Reduzir a demanda de informação
Informação
demandada
pelo intérprete
Informação
contida nos
dados
Reduzir a demanda de informação
Informação
demandada
pelo intérprete
Informação
contida nos
dados
Soluções:
Introduzir informação a priori
Informação
demandada
pelo intérprete
Informação
contida nos
dados
Soluções:
Informação
demandada
pelo intérprete
Informação
contida nos
dados
Introduzir informação a priori
Soluções:
Informação
demandada
pelo intérprete
Informação
contida nos
dados
Introduzir informação a priori
Soluções:
AMBIGUIDADE
2 soluções diferentes de um problema
FALTA DE INFORMAÇÃO
AMBIGUIDADE
SINTOMA DIAGNÓSTICO
FEBRE
INFECÇÃO BACTERIANA
INFECÇÃO VIRÓTICA
EXEMPLO:
Paciente: Vlad Tepes
Médico: Dr. Bram Stoker
LEUCOGRAMA
Valores de referência
Leucócitos 4600/ mm3
4000 a 10000/mm3
Linfóc...
Paciente: Vlad Tepes
Médico: Dr. Bram Stoker
LEUCOGRAMA
Valores de referência
Leucócitos 4600/ mm3
4000 a 10000/mm3
Linfóc...
Paciente: Vlad Tepes
Médico: Dr. Bram Stoker
LEUCOGRAMA
Valores de referência
Leucócitos 4600/ mm3
4000 a 10000/mm3
Linfóc...
Num problema mal-posto
a solução não obedece a pelo
menos uma das condições:
Existência.
.
.
Unicidade
Estabilidade
Existência
N1 e N2 são números naturais.
Encontrar N1 e N2 , tal que:
N1 + N2 = 8,3
Unicidade
N1 e N2 são números naturais.
Encontrar N1 e N2 , tal que
N1 + N2 = 10
Estabilidade
Observar uma componente muito pequena de um
fenômeno ou propriedade
0,000001 x = y
0,000001 x = y + r
xc = y ...
Problemas mal-postos ocorrem
em todas as áreas do conhecimento
Geologia - Não unicidade
Geologia
Introdução de informação a priori
Geologia
Introdução de informação a priori
Geologia
Introdução de informação a priori
Marcas de chuva
Concavidade indica
a parte superior
Geologia
Introdução de informação a priori
Geologia
Introdução de informação a priori
Problema mal-posto:
Desbalanceamento
informação
desejada
informação
contida nos
dados
AMBIGUIDADE FUNDAMENTAL DA
GEOFÍSICA
g γ m
r2=
ρ V
γ
r2g =
m
r
Delineação
Anomalia
gravimétrica
Corpo anômaloModelo
interpretativo
x
z
xo
Gravimetria - Esfera
( ) ( ) ( )
g(x) γ V
z z
x x y y z z
...
0.02
0.04
0.06
0.08
Anomaliagravimétrica(mGal)
0
2
4
6
Profundidade(m)
0.02
0.04
0.06
0.08
0
2
4
6
0 5 10 150 5 10 150 5 1...
0.02
0.04
0.06
0.08
Anomaliagravimétrica(mGal)
0
2
4
6
Profundidade(m)
0.02
0.04
0.06
0.08
0
2
4
6
0 5 10 150 5 10 150 5 1...
0.02
0.04
0.06
0.08
Anomaliagravimétrica(mGal)
0
2
4
6
Profundidade(m)
0.02
0.04
0.06
0.08
0
2
4
6
0 5 10 150 5 10 150 5 1...
O campo magnético é sensível ao
momento de dipolo total (m . V)
Magnetometria:
Gravimetria:
O campo gravimétrico é sensíve...
Métodos eletromagnéticos:
e3
e2
e1
σ3
σ2
σ1
As medidas eletromagnéticas são sensíveis à
condutância (σ . V)
Métodos sísmicos:
e1
e2
e3µ3=
1
3v
µ2=
1
2v
µ1=
1
1v
O tempo de trânsito é dado por
2 . µ . e
A inversão de dados geofísicos é um
problema mal-posto
A solução não obedece a pelo menos
uma das condições:
Existência.
....
( ) ( ) ( ) ''''''
,,, d zd xzxpzxzxGzxy iiii
o
∫Ω
=
x
z
+ +
+ + +
+
+ + + + ++
( )''
, zxp
Ω
( )zxy ii
o
Ω
O problema inverso geofísico é
subdeterminado e portanto não
apresenta solução única
Diagnóstico:
( ) ( ) ( ) ''''''
,,, d...
Problema mal-posto:
Desbalanceamento
informação
desejada
informação
contida nos
dados
Introduzir informação a priori
Solução:
Reduzir a demanda de informação
Informação
demandada
pelo intérprete
Informação
co...
N1 + N2 = 10
Reduzir a demanda de informação
É possível determinar a média de ambos os números (5)
Introduzir informação a...
1 2 3 4 5 6 7 8 9
9 8 7 6 5 4 3 2 1
N1 e N2 estão o mais próximo possível um do outro
N1 e N2 são números naturais
N1 + N2...
N1 + N2 = 10
N1 e N2 são números naturais
N1 ≤ N2
Um e somente um dos números é primo
1 2 3 4 5 6 7 8 9
9 8 7 6 5 4 3 2 1
Na Interpretação Geofísica:
A informação a priori deve provir do
conhecimento geológico
Toda e qualquer informação relevan...
As condições matemáticas que levam a
Informação Geológica
EstabilidadeUnicidade
Podem ser interpretadas em termos de
Vínculos passíveis de serem
introduzidas no problema geofísico
inverso
• Suavidade
• Suavidade ponderada
• Compacidade
• C...
Valores de parâmetros adjacentes devem
estar o mais próximo possível
i
h
hi +1
hi +2
...
...
h
i +1
h
i
h
i +2
≅≅
z
x
SUAV...
z
x
Petróleo
Pinch out
SUAVIDADE
ESCASSEZ - Compacidade
As fontes anômalas não apresentam
cavidades em seu interior
z
x
Corpo compacto
z
x
ESCASSEZ
Concentração no entorno de eixos
z
x
F’
F
z
x
Concentração no entorno de eixos
F’
F
z
x
Concentração no entorno de eixos
Escassez na propriedade física
0 5 10 15 20
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
SUAVIDADE
+
+
+ 0 5 10 15 20
ESCASSEZ
+
+
+
0.0
0.2
0....
Escassez na propriedade física
A/m
0
0 5 10 15 20
5
10
15
20
0
0 5 10 15 20
5
10
15
20
SUAVIDADE ESCASSEZ
hi
hi +1
...
...hi +2
Escassez no gradiente dos
parâmetros
Gradientes altos entre parâmetros adjacentes
devem ser escassos...
F’
F
Escassez no gradiente dos
parâmetros
z
x
Petróleo
F’
F
Escassez no gradiente dos
parâmetros
z
x
Resolução × Ambiguidade
1 - INTRODUÇÃO
2 - FORMULAÇÃO
3 - CARACTERIZAÇÃO - SVD
4 - SOLUÇÃO - MQ, IG, RIDGE, SUAV
5 - SOLUÇÃO - VÍNCULOS DE ESCASSE...
Problema não linear × problema linear
x
F(x)
x
F(x)
constante
)(
=
∂
∂
x
xF
f(x)
)(
=
∂
∂
x
xF
Função linear Função não li...
z
y
Observações
Fonte gravimétrica
x
Célula elementar
O problema linear
( ) ( ) ( )[ ]
∫ ∫ ∫∑
+
−
+
− −+−+−
−
=
bx
bx
cy
c...
( ) ( ) ( )[ ]
∫ ∫ ∫∑
+
−
+
− −+−+−
−
=
bx
bx
cy
cy
h
h
jjj
jijiji
j
ji
j
j
j
j
b
t
dzdydx
zzyyxx
zz
pg '''
'''
'
2
3222
γ...
Problema inverso linear:
Simples
Aplicável a uma classe restrita de problemas
Pode ou não ser mal-posto
Solução tem forma ...
( ) ( ) ( )[ ]
∫ ∫ ∫∑
+
−
+
− −+−+−
−
=
bx
bx
∞
∞
p
0
jjj
jijiji
j
ji
oj
oj
j
dzdydx
zzyyxx
zz
dg '''
'''
'
2
3222
γ
x
+ +...
=g F (p)
=g F’(p) (p-po)
p-po= [F’(p)]-1
g
p= po + [F’(p)]-1
g
∑=
j
ig γ f (pj), i=1,2 ...N
p=po
p=po
p=po
( ) ( ) ( )[ ]
...
Analogia com uma equação escalar:
a x + 4 = b
x = a -1
( b-4 )
a x8
+ log(x)+ c e sin(x)
= d
x =
log(x)= d- a x8
- c e sin...
Problema inverso não linear:
Complexo
Aplicável a uma ampla classe de problemas
Em geral resolvido iterativamente
Pode ou ...
Formulação de
problemasinversos
A resolução de um problema inverso
consiste de três etapas:
Formulação do problema
Construção da solução
Avaliação da solu...
Analisar a qualidade das soluções
SoluçõesSoluções
Escolher o estabilizador matemático em
consonância com a informação geo...
Soleiras
Problema geológico:
Localizar e delinear soleiras numa bacia sedimentar
Soleiras
1) Não há contraste lateral ou vertical entre os sedimentos
2) Não há contraste entre os sedimentos e o embasamen...
Analisar a qualidade das soluções
SoluçõesSoluções
Escolher o estabilizador matemático em
consonância com a informação geo...
Profundidade(km)
0 2 4 6 8
0.0
0.5
1.0
1.5
10
4 6 80 2
1
2
3
4
mGal
10
x ( km )
Anomalia gravimétrica
Soleiras
Modelo inte...
Analisar a qualidade das soluções
SoluçõesSoluções
Escolher o estabilizador matemático em
consonância com a informação geo...
x
+ +
+
+...y1
o
y2
o
y3
o
yN
o
mGal
( ) ( ) ( )[ ]
∫ ∫ ∫∑
+
−+−+−
−
=
bxo ∞
-∞
jjj
jijiji
j
ji
j
dzdydx
zzyyxx
zz
pg '''
...
( ) ( ) ( )[ ]
∫ ∫ ∫∑
+
−+−+−
−
=
bxo ∞
-∞
jjj
jijiji
j
ji
j
dzdydx
zzyyxx
zz
pg '''
'''
'
2
3222
γ
+bzoj
−bxoj
+bzoj
Prof...
Analisar a qualidade das soluções
SoluçõesSoluções
Escolher o estabilizador matemático em
consonância com a informação geo...
Problema matemático
yAp =
Apy −min 2
Analisar a qualidade das soluções
SoluçõesSoluções
Escolher o estabilizador matemático em
consonância com a informação geo...
Solução de mínimos quadrados
yAp =
( ) yAAAp T1T −
=ˆ
Apy −min 2
x
+ +
+
+...y1 y2
y3
yN
mGalProfundidade
( ) yAAAp T1T −
...
0.0
0.5
1.0
1.5
0 2 4 6 8 10
Profundidade(km)
x ( km )
Fontes verdadeiras
Solução de mínimos quadrados
0
0.02
0.05
0.06
0....
Analisar a qualidade das soluções
SoluçõesSoluções
Escolher o estabilizador matemático em
consonância com a informação geo...
Vínculo de suavidade
0.0
0.5
1.0
1.5
0 2 4 6 8 10
Profundidade(km)
x ( km )
Fontes verdadeiras
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.04
...
Analisar a qualidade das soluções
SoluçõesSoluções
Escolher o estabilizador matemático em
consonância com a informação geo...
x ( km )
100 2 4 6 8
0.0
1.0
1.5
2.0
Profundidade(km)
Vínculo de escassez
Concentração ao longo de eixos
Analisar a qualidade das soluções
SoluçõesSoluções
Escolher o estabilizador matemático em
consonância com a informação geo...
O método dos mínimos
quadrados
x
z
Espaços Euclideanos Espaços Topológicos
Espaços Euclideanos Espaços Topológicos
INEXISTÊNCIA
x
z
Existência
Unicidade
Estabilidade
A p = y
p
y
Apy −min
2
Espaços Euclideanos Espaços Topológicos
x
z
?
A p = y
p
y
∂/∂p1
∂/∂p2
∂/∂pM
min (yo
-Ap)T
(yo
-Ap)
(yo
-Ap)T
{
{(yo
-Ap)2 = 0
-AT
yo
+ AT
Ap = 0
( AT
A ) p = AT
yo
p = ( AT
A)-1
AT...
p = ( AT
A)-1
AT
yo
Mínimos quadrados elimina o problema
da inexistência de solução causada:
Por um número maior de observ...
p
y
?
Modelo interpretativo simples
Mínimos quadrados elimina o problema
da inexistência de solução causada:
Por um número maior de observações não redundante...
p
y
?
Ruído nos dados
Mínimos quadrados elimina o problema
da inexistência de solução causada:
Por um número maior de observações não redundante...
p = ( AT
A)-1
AT
yo
x
y
det ( AT
A) ≈ 0
^
0.0
0.5
1.0
1.5
0 2 4 6 8 10
Profundidade(km)
x ( km )
Fontes verdadeiras
Solução de mínimos quadrados
0
0.02
0.05
0.06
0....
1 - INTRODUÇÃO
2 - FORMULAÇÃO
3 - CARACTERIZAÇÃO - SVD
4 - SOLUÇÃO - MQ, IG, RIDGE, SUAV
5 - SOLUÇÃO - VÍNCULOS DE ESCASSE...
Problemas mal-postos
×
Problemas bem-postos
Caracterização física
Problemas mal-postos × Problemas bem-postos
1) Caracterização física
A) Estimar a órbita de um corpo celeste
B) Tomografia simplificada
v1 v2
v1 = 1
v2 = 2
7.9
9.9 0.5
0.4 v1
v2
=
10.9
8.7
v1
v2
=
1
2
7.9
9.9 0.5
0.4 v1
v2
=
10.9
8...
C) Interpretação gravimétrica
( ) ( ) ( )
g(x) γ
z z
x x y y z z
o
o o o
=
−
− + − + −
m
2 2 2 3
2
x
z
mGal
C) Interpretação gravimétrica
x
z
mGal
( ) ( ) ( )
g(x) γ
z z
x x y y z z
o
o o o
=
−
− + − + −
m
2 2 2 3
2
O problema mal-posto ocorre quando:
que o número de parâmetros a ser determinados
1) O número de observações independentes...
v1 v2 7.9
9.9 0.5
0.4 v1
v2
=
10.9
8.7
OBSERVAÇÕES REDUNDANTES
1
0
2
0
1
0
2
1
3
0
6
1
1
2
2
2
det = 0
1
0
1
0
1
0
0
1
3
0
2
1
1
2
0
2
det = 0
PARÂMETROS ACOPLADOS
2x + 1x
Interpretação gravimétrica
x
z
( ) ( ) ( )
g(x) γ
z z
x x y y z z
o
o o o
=
−
− + − + −
ρV
2 2 2 3
2
mGal
Caracterização geométrica
Paradigma de um problema geofísico linear:
ypcpc =+ 2211
1
2c
y
1p
2c
c
2p +−=
p1
p2
Problemas mal-postos × Problemas bem-...
Solução estável Solução instável Solução não única
2 observações
Instabilidade
Solução estável Solução instável
p1
p2 p2
p1
1
2c
y
1p
2c
c
2p +−=
Observações redundantes: retas sub-
paralelas no espaço de parâmetros
x
z
mGal
Para garantir a existência:
minimiza-se:
y1pcpc =+ 212111
o
y2pcpc =+ 222121
o
pcpc − 212111y1
o
−( )2
+ pcpc − 222121y2
o...
p1
p2
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
-25
-20
-15...
Caracterização matemática
Problemas mal-postos × Problemas bem-postos
3) Caracterização matemática
Decomposição em valores singulares
Ax = y
Ax = λx...
det (A – λΙ) = 0
∑ ci λN-i
= 0
0
N
Equação característica de A
As raízes desta equação são os autovalores de A e os
vetore...
Autovalores e autovetores
Interpretação geométrica
4
8 4
8
Matriz de dados:
obs 1
obs 2
var 2var 1
2 4 6 80
6
4
2
0
8
var ...
4
8 4
8
det = 0 (4-λ)2
= 64
λ1 = 12
λ2 = - 4
4-12
8 4-12
8 x1
x2
=
0
0
-8 x1 + 8 x2 = 0
1
1
x1 =
4+4
8 4+4
8 x1
x2
=
0
0
8...
2 4 6 80
6
4
2
0
8
v1= λ1 x1 = 12 x1
v2= λ2 x2 = 4 x2
v1
v2
Os autovetores de uma
matriz simétrica são
ortogonais
2 4 6 80
6
4
2
0
8
Y P
T
.
.
T(p)=y, p∈P; y∈YEspaço nulo de uma transformação
F
é o subespaço F ⊂ P, tal que T(p) = , ∀ p ∈ Fφ
p
y = φy
Espaço nulo de um operador linear
A p*
= y
A po
= 0
A p*
+ λ A po
= y
A ( p*
+ λ po
) = y
λ
A decomposição em valores singulares
na caracterização de problemas mal-postos
Exemplo – tomografia simplificada
p1
p3
p4
...
1 0 0 1
0 1 1 0
p1
p2
p3
p4
=
d
t1
d
t2
1 0
0 1
2
√2
0
0 0 0
0 02
√2
2
√2
0 02
√2
002
√2
2
√2
002
√2
2
√2
2
√2
0 02
√2
p1
...
1 0
0 1
2
√2
0
0 0 0
0 02
√2
2
√2
0 02
√2
002
√2
2
√2
002
√2
2
√2
2
√2
0 02
√2
p1
p2
p3
p4
=
d
t1
d
t2
U S
VT
1 0
0 1
2
√2...
1 0
0 1
2
√2
0
0 0 0
0 02
√2
2
√2
0 02
√2
002
√2
2
√2
002
√2
2
√2
2
√2
0 02
√2
p1
p2
p3
p4
=
d
t1
d
t2
U S
VT
Combinações ...
Combinações de parâmetros que podem ser determinadas:
α1 = v1
T
p
2
√2
0 02
√2
p1
p2
p3
p4
=
2
√2 ( p2 +p3 )
=
=α2 = v2
T
...
Combinações de parâmetros que não podem ser determinadas
1 0
0 1
2
√2
0
0 0 0
0 02
√2
2
√2
0 02
√2
002
√2
2
√2
002
√2
2
√2...
=
p1
p3
p4
p2
12
=α3 = v3
T
p
2
√2
0 0 2
√2
p1
p2
p3
p4
=
2
√2 ( p1 - p4 )
α4 = v4
T
p 2
√2
0 02
√2
p1
p2
p3
p4
=
2
√2 ( p...
ESPAÇO NULO DA MATRIZ A:
1 0
0 1
2
√2
0
0 0 0
0 02
√2
2
√2
0 02
√2
002
√2
2
√2
002
√2
2
√2
2
√2
0 02
√2
p1
p2
p3
p4
=
d
t1...
Mínimos quadrados e a Decomposição
em Valores Singulares
Análise de estabilidade
p = ( AT
A)-1
AT
yo
A = U S VT
p = ( VSUT...
Mínimos quadrados e a Decomposição
em Valores Singulares
Análise de estabilidade
p = VS-1
UT
yo
p = V S-1
β
p = V γ
=
v11 ...
p = ∑
M
=i 1
ivβi
si
Análise de estabilidade
p = ∑
M
=i 1
ivβi + δi
si
Dados contaminados com ruído
β = UT
yo
p = ∑
M
=i 1...
CARACTERIZAÇÃO
2 4 6 80
6
4
2
0
8
Instabilidade
Autovalor nulo
Espaço nulo
Ambiguidade
Autovalor quase nulo
Espaço “quase nulo”
SVD
1 - INTRODUÇÃO
2 - FORMULAÇÃO
3 - CARACTERIZAÇÃO - SVD
4 - SOLUÇÃO - MQ, IG, RIDGE, SUAV
5 - SOLUÇÃO - VÍNCULOS DE ESCASSE...
Transformação deproblema
mal-posto em bem-posto
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
-25
-20
-15
-10
-...
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
p1
p2
p1
p1
p2
po
v1
v2
p1
p2
p2
p1
v1
v2
INVERSA GENERALIZADA
p1
p2
po
Ridge Regression
min pT
p
sujeito a
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap)=δ
Ridge Regression
min pT
p
sujeito a
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap) = δ
τ =min pT
pµ+
Solução via Função Penalty
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap) µ
pT
p+
+
µ .
µ .
=
=
τ|| yo
-Ap ||2
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap)
=
p1
p2
Ridge Regression
min || p ||2
sujeito a || yo
-Ap ||2
= δ
τ = || yo
-Ap ||2
+ µ || p ||2
τ = [yo
-Ap]T
[yo
-Ap] + µ pT
p
∇...
DECOMPOSIÇÃO EM VALORES SINGULARES
MÍNIMOS
QUADRADOS
INVERSA
GENERALIZADA
RIDGE
REGRESSION
p = ∑
M
=i 1
ivβisi
1
p = ∑
=i ...
MINIMOS
QUADRADOS
INVERSA
GENERALIZADA
RIDGE
REGRESSION
p = ∑
M
=i 1
ivβisi
1
p = ∑
=i 1
ivβisi
1
r
p = ∑
M
=i 1
ivβi
si
1...
MINIMOS
QUADRADOS
INVERSA
GENERALIZADA
RIDGE
REGRESSION
p = ∑
M
=i 1
ivβisi
1
p = ∑
=i 1
ivβisi
1
r
p = ∑
M
=i 1
ivβi
si
1...
MINIMOS
QUADRADOS
INVERSA
GENERALIZADA
RIDGE
REGRESSION
p = ∑
M
=i 1
ivβisi
1
p = ∑
=i 1
ivβisi
1
r
p = ∑
M
=i 1
ivβi
si
1...
MINIMOS
QUADRADOS
INVERSA
GENERALIZADA
RIDGE
REGRESSION
p = ∑
M
=i 1
ivβisi
1
p = ∑
=i 1
ivβisi
1
r
p = ∑
M
=i 1
ivβi
si
1...
MINIMOS
QUADRADOS
INVERSA
GENERALIZADA
RIDGE
REGRESSION
p = ∑
M
=i 1
ivβisi
1
p = ∑
=i 1
ivβisi
1
r
p = ∑
M
=i 1
ivβi
si
1...
1900 1950 1960 1980
Instrumentos pouco
precisos
1990
Calculadoras
rudimentares
1900 1950 1960 1980 1990
1
Instrumentos pouco
precisos
1900 1950 1960 1980 1990
1
1
3
4
5
2
Calculadoras
rudimentares
1900 1950 1960 1980 1990
w
h
x
z
A/2
A
0
h ≅ 0,65 w
Calculadoras
rudimentares
1900 1950 1960 1980 1990
Metodologia simples
Problemas bem-postos
Calculadoras
rudimentares
Instrumentos pouco
precisos
1900 1950 1960 1980 1990
Instrumentos mais
precisos
1900 1950 1960 1980 1990
= +
SEPARAR UMA ANOMALIA COMPLEXA EM SUAS
COMPONENTES
Metodologia simples
Problemas bem-postos
Filtros
1900 1950 1960 1980 1990
19601900 1950 1960 1980
Advento do computador
Mínimos quadrados
Problemas mal-postos
Inversa generalizada
Ridge regression...
19601900 1950 1960 1980
Advento do computador
1900 1950 1960 1980 1990
Problemas mal-postos
Problemas bem-postos
Redução n...
p1
Problema não linear:
Sequencia de problemas lineares
Incógnitas: passo dos parâmetros
Aplicação da I.G. ou ridge ao pas...
1900 1950 1960 1980 1990
Necessidade de métodos
de modo:
que incorporassem informação:
matematicamente simples
geológica
g...
y
x
z
hj
2
j
Modelo interpretativo – Bacias
ρ j
y
x
z
hj
2
j
Caracterização física do novo vínculo - Bacias
ρ j
hj ≈ hj+1
hj+1
p2
p1
Caracterização geométrica do novo vínculo
p1 p2=
( )∑
−
=
+ −=Φ
1
1
2
1
M
i
ii
pp
Funcional estabilizante
pM-1pM
−
p2p3
−
p1p2
−

pM-1pM
−p2p3
−p1p2
−

Φ =
b
1-1000
001-10
001-1




pM-1pM
−
p2p3
−
p1p2
−

pM
p2
p1

=.
p bR =.
Φ = bT
b = pT
RT
Rp
min pT
RT
Rp
sujeito a
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap)=δ
Suavidade
min pT
RT
Rp
sujeito a
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap) = δ
τ =min pT
RT
Rpµ+
Solução via Função Penalty
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap) µ
|| Rp ||2
τ|| yo
-Ap ||2
p1
p2 +
+
µ .
µ .
=
=
Caracterização matemática do novo vínculo
SUAVIDADE
min ||Rp ||2
sujeito a || yo
-Ap ||2
= δ
τ = || yo
-Ap ||2
+ µ || Rp ||2
τ = [yo
-Ap]T
[yo
-Ap] + µ pT
RT
R p
∇p...
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
p1
Inversa
GeneralizadaRidge
p2
Suavidade
RIDGE REGRESSION
p2
p1
τ = || yo
-Ap ||2
+ µ || p ||2
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
p2
p1
SUAVIDADE
τ = || yo
-Ap ||2
+ µ || Wp ||2
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
O vínculo da suavidade ainda é o mais aplicado na Geofísica
EXEMPLOS
TOMOGRAFIA SÍSMICA POÇO-APOÇO
TOMOGRAFIA SISM0LÓGICA
Manto
TOMOGRAFIA SÍSMICA
INVERSÃO DE DADOS CSEM
0 10 20 30 40 50 60 70 km
10
20
0
N
GRAVIMETRIA – MAPEAMENTO DO EMBASAMENTO
GRAVIMETRIA – MAPEAMENTO DO EMBASAMENTO
GRAVIMETRIA – MAPEAMENTO DO EMBASAMENTO
km
7.0
6.2
5.4
4.6
3.8
3.0
2.2
1.4
0.8
0.4
0.1
GRAVIMETRIA – MAPEAMENTO DO EMBASAMENTO
BACIA DE
ALMADA
INVERSÃO MAGNÉTICA 3D
1950
1960
1980
1990
1950
1960
1980
1990
URSS OCIDENTE
Ridge
Suavidade
Ridge, suavidade e a
minimização da norma
de todas a...
min pT
Wp p
sujeito a
(yo
-Ap)T
Wy (yo
-Ap) = δ
τ =min pT
Wp p(yo
-Ap)T
Wy (yo
-Ap) µ+ µ
min (p-po
)T
Wp(p-po
)(yo
-Ap)T
Wy (yo
-Ap) µ+ µ∇p = 0
)()(ˆ oTTo
ApyWyAWpAWyApp −+ µ+= −1
)()(ˆ oTo
Apyµ WyAWpApp −++ Wp ...
1 - INTRODUÇÃO
2 - FORMULAÇÃO
3 - CARACTERIZAÇÃO - SVD
4 - SOLUÇÃO - MQ, IG, RIDGE, SUAV
5 - SOLUÇÃO - VÍNCULOS DE ESCASSE...
Vínculo de “escassez”
Vínculos passíveis de serem
introduzidas no problema geofísico
inverso
• Suavidade
• Escassez (Sparsity):
• Compacidade
• ...
1900 1950 1960 1980 1990
Métodos que concentram as distribuições anômalas de
propriedade física em subsuperfície em alguma...
• Compacidade
• Variação total
• Escassez (Sparsity):
y
x
z
Concentrar as distribuições anômalas de propriedade
física em subsuperfície em algumas regiões
x (km)
0.
1.
2.
3.
4.
0.
2.
4.
6.
8.
10.
12.
0.24
0.19
0.14
0.09
0.05
0.00
AnomaliaBouguer(mGal)Profundidade(km)
0. 4. 8. ...
pi
=
Φ =
pi
2
pi
2
+ ε
~
~∑
M
i 1
pi
2
pi
2
+ ε
~
~ = número de células com ≠ 0pi
~
0, se = 0pi
~
1, se ≠ 0pi
~
=
Φ =
pi
2
pi
2
+ ε
~
~∑
M
i 1
= número de células com ≠ 0pi
~min
sujeito a
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap) = δ
=
Φ =
pi
2
pi
2
+ ε∑
M
...
Inversão Compacta
min pT
W p sujeito a || yo
-Ap ||2
= δ
τ = [yo
-Ap]T
[yo
-Ap] + µ pT
W p
∇p τ = -2AT
[yo
-Ap] + µ 2 W p ...
p = (AT
A + µ W )-1
AT
yo^
^p = [AT
A + µ W( p ) ]-1
AT
yo^p^p^
x = f (x) Problema de ponto fixo
xn+1 = f (xn )
^pn+1 = [A...
EXEMPLOS
x (km)
0.
1.
2.
3.
4.
0.
2.
4.
6.
8.
10.
12.
0.24
0.19
0.14
0.09
0.05
0.00
AnomaliaBouguer(mGal)Profundidade(km)
0. 4. 8. ...
x (km)
0.
1.
2.
3.
4.
0.
2.
4.
6.
8.
10.
12.
AnomaliaBouguer(mGal)Profundidade(km)
0. 4. 8. 12. 16. 20. 24. 28.
GRAVIMETRI...
-20 -10 0 10 20 30 40
0
5
10
15
20
x(km)
An.Bouguer(mGal)
0 5 10 15 20
0
10
20
z(km)
-20 -10 0 10 20 30 40
0
5
10
15
20
x(km)
An.Bouguer(mGal)
0 5 10 15 20
0
10
20
z(km)
-20 -10 0 10 20 30 40
0
5
10
15
20
x(km)
An.Bouguer(mGal)
0 5 10 15 20
0
10
20
z(km)
-20 -10 0 10 20 30 40
0
5
10
15
20
x(km)
An.Bouguer(mGal)
0 5 10 15 20
0
10
20
z(km)
-20 -10 0 10 20 30 40
0
5
10
15
20
x(km)
An.Bouguer(mGal)
0 5 10 15 20
0
10
20
z(km)
-20 -10 0 10 20 30 40
0
5
10
15
20
x(km)
An.Bouguer(mGal)
0 5 10 15 20
0
10
20
z(km)
-20 -10 0 10 20 30 40
0
5
10
15
20
x(km)
An.Bouguer(mGal)
0 5 10 15 20
0
10
20
z(km)
-20 -10 0 10 20 30 40
0
5
10
15
20
x(km)
An.Bouguer(mGal)
0 5 10 15 20
0
10
20
z(km)
-20 -10 0 10 20 30 40
0
5
10
15
20
x(km)
An.Bouguer(mGal)
0 5 10 15 20
0
10
20
z(km)
-20 -10 0 10 20 30 40
0
5
10
15
20
x(km)
An.Bouguer(mGal)
0 5 10 15 20
0
10
20
z(km)
-20 -10 0 10 20 30 40
0
5
10
15
20
x(km)
An.Bouguer(mGal)
0 5 10 15 20
0
10
20
z(km)
INVERSÃO MAGNÉTICA
150
-150
nT
0.05
-0.05
0 10 km
REFLEXÃO SÍSMICA E INVERSÃO DE DADOS MT
• Compacidade
• Variação total
• Escassez (Sparsity):
Suavidade Variação total
min || Rp ||2 min || Rp ||1
( )∑
−
=
+ −
1
1
2
1
M
i
ii
ppmin | |∑
−
=
+ −
1
1
1
M
i
ii
ppmin
2pˆ1pˆ 3pˆ
p3 – p2
p2 – p1
^ ^
^ ^
x
z
D
dj = |pj+1 – pj|
≤
21
1
21
1
1 ∑∑
−
=
−
=
+ =−=Φ
M
j
j
M
j
jj dpp
2
1
1
2








==Φ ∑
−
=
M
j
jdD
2
11
2


...
D
dj = |pj+1 – pj|
=
1
1
1
1
1 ∑∑
−
=
−
=
+ =−=Φ
M
j
j
M
j
jj dpp
1
1








==Φ ∑
−
=
M
j
jdD
1
1
∑
−
=
M
j
jd
1
1
∑
−
=
M
j
jd
1
1
∑
−
=
M
j
jd ≥
Suavidade Variação total
Variação total
min || Rp ||1 sujeito a || yo
-Ap ||2
= δ
τ = || yo
-Ap ||2
+ µ || Rp ||1
τ = [yo
-Ap]T
[yo
-Ap] + µ || Rp ...
x0
| |x
| |xx∂
∂
| |x = √ x2
+ β 2
x0
| |x
∇p τ =2∇p{ [yo
-Ap]T
} [yo
-Ap] + µ ∇p{|| Rp ||1 }
β
GRAVIMETRIA – MAPEAMENTO DO EMBASAMENTO
GRAVIMETRIA – MAPEAMENTO DO EMBASAMENTO
GRAVIMETRIA – MAPEAMENTO DO EMBASAMENTO
km
10 km 10 km
GRAVIMETRIA – MAPEAMENTO DO EMBASAMENTO
BACIA DE
ALMADA
Reconstrução de imagem
0.4
0.6
0.5
Inversão sísmica
0.4
0.6
0.5
Inversão sísmica
Tempo
Offset
Tempo
Offset
Reconstrução de famílias CMP
Sintético
Tempo
Offset
Mínimos quadrados Escassez
Que valor atribuir ao parâmetro de regularização?
1) Missão da regularização: estabilizar a solução.
3) O funcional estabilizador incorpora informação a priori factual?
2) ...
SOLUÇÃO ESTÁVEL
AJUSTE ACEITÁVEL
µ
µ2µ1
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000...
1 - INTRODUÇÃO
2 - FORMULAÇÃO
3 - CARACTERIZAÇÃO - SVD
4 - SOLUÇÃO - MQ, IG, RIDGE, SUAV
5 - SOLUÇÃO - VÍNCULOS DE ESCASSE...
O problema inverso não linear
A p = yo
Problema linear:
Para garantir existência de uma solução,
minimiza-se a forma quadrática:
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap)
toma...
A (p) p = yo
Problema não linear:
Para garantir existência de uma solução,
minimiza-se a forma contendo derivadas de ordem...
p1
p2
Problema linear
p1
p2
p1
p2
Problema não linear
p1
p2
Solução analítica
Linear Não linear
Solução por iteração
Φ(p)+ µ . = τ(yo
-Ap)T
(yo
-Ap)
Problema linear
Problema não linear
Φ(p)+ µ . = τ[yo
-f (p)]T
[yo
- f (p)]
Incorporação de...
4.00
+ µ . =
Problema linear
+ =
Problema não linear
µ .
Incorporação de informação a priori
pT
Wp = p1 p2 pM
p1
p2
pM
w1
w2
wM
w1 p1 w2 p2 wM pM
p1
p2
pM
=
w1 (p1)2
+ w2( p2)2
+ wM (pM)2
Incorporação de informação ...
p = ( AT
A + µ W)-1
AT
yo
τ
Problema linear
Problema não linear
Metodologia: encontrar uma estratégia de
descida para o mínimo de τ
min Φ(p) = pT
Wp
sujeito a
[yo
- f...
Métodos de busca
Métodos de gradiente
Nelder-Mead
Simulated annealing
Algoritmos genéticos
Máxima declividade
Newton / Gau...
Estratégia de Newton
τ = [yo
- f (p)]T
[yo
- f (p)] + µ pT
Wp
Estratégia de Newton
Ψ(p) + µ Φ(p) = τ
4
10
22
28
2
10
20
28
34
28
22
18
32
26
20
p1
p2
16
Instabilidade do método de Newton
Grande raio de curvatura Grande passo
4
10
22
28
2
10
20
28
34
28
22
18
32
26
20
p1
p2
16
Instabilidade do método de Newton
[ Ψ’’ + µ Φ’’ ] (p-po)= - [ Ψ’ + µ Φ’ ]
[ Ψ’’ + µ Φ’’ + λ I ] (p-po)= - [ Ψ’ + µ Φ’]
Estratégia de Marquardt
Newton:
λ
O p...
p1
p2
10
15
5
15
10
15
19
10
5
10
10
7
Estabilidade do método de Marquardt
p1
p2
Confusão entre: parâmetro de regularização e
parâmetro de Marquardt
Problema linear estabilizado pela norma euclideana (Ri...
Problema linear ou não linear
Problema não linear
Parâmetro de regularização
Parâmetro de Marquardt
A confusão entre parâmetro de regularização e
parâmetro de Marquardt pode levar o intérprete
desavisado a uma perigosa cil...
1 - INTRODUÇÃO
2 - FORMULAÇÃO
3 - CARACTERIZAÇÃO - SVD
4 - SOLUÇÃO - MQ, IG, RIDGE, SUAV
5 - SOLUÇÃO - VÍNCULOS DE ESCASSE...
Problemas de grande porte
Bacias marginais e oceânicas
50.000 a 500.000 km2
Levantamentos de alta resolução
Uso do tensor gravimétrico/magnético
Espaçamento de 100m
5 componentes
Interpretação 3D
10...
250.000.000 Observações
25.000.000.000 Parâmetros
Limitação física dos computadores:
Aquecimento
Energia
MÉTODOS MAIS EFICIENTES DE INTERPRETAÇÃO
Ap = y
[ Ψ’’ + µ Φ’’] (pk+1-
pk
)= - [ Ψ’ + µ Φ’]
Newton:
[ Ψ’’(pk
) + µ Φ’’(pk
)] (pk+1
– pk
) = - [ Ψ’(pk
) + µ Φ’(pk
)]
Ak
bk
...
Gradiente Conjugado:
Forma a matriz A
Resolve eficientemente o sistema
Quasi-Newton:
Formação aproximada da matriz A
Inver...
min
Gradiente conjugado
x ∈ Rn
Construir uma base para Rn
na qual a minimização de f (x) é
extremamente simples
i ≠ j
Direções ortogonais: 0=j
T
i xx
Direções A-ortogonais: 0=j
T
i xx A
T
ix
T
jxe São direções conjugadas
min
Gradiente conjugado
x ∈ Rn
Construir uma base para Rn
na qual a minimização de f (x) é
extremamente simples
i ≠ j
min
min
Gradiente Conjugado:
Forma a matriz A
Resolve eficientemente o sistema
Quasi-Newton:
Formação aproximada da matriz A
Inver...
0
4000
8000
12000
Tempo(s)
0 400 800 1200 1600 2000
Número de parâmetros
Gauss-Jordan
Gradiente conjugado
Quasi-Newton
Newton
f (x)= f (xo) +
∂f (xo)
∂x
1 ∂2
f (xo)
2 ∂x2
+ (x-xo)2
(x-xo)
∂f (xo)
∂x
∂2
f (xo)
∂x2
+ (x-xo) = 0
∂2...
Hk+1
(pk+1
-pk
) = qk+1
- qk
∂2
f (xk+1)
∂x2
=
(xk+1 - xk)
∂f (xk+1)
∂x
∂f (xk)
∂x∂2
f (xo)
∂x2
(xk+1-xk) =
∂f (xo)
∂x
Hk
...
Rk+1
Rk
+(1/sk
T
yk
)[(sk
-Rk
yk
) sk
T
+sk
(sk
-Rk
yk
)T
]-(1/sk
T
yk
)2
(sk
-Rk
yk
)T
yk
sk
sk
T
=
+
kk
T
k
k
T
kkk
k
T
...
Gradiente Conjugado:
Forma a matriz A
Resolve eficientemente o sistema
Quasi-Newton:
Formação aproximada da matriz A
Inver...
Métodos algorítmicos
ESCASSEZ
Concentração no entorno de eixos
z
x
=
Φ = ∑
M
i 1
0, se pi = 0
= momento de inércia em relação ao eixo
pi + ε~
pi
2~
pi
2~
di
2
pi + ε~
pi
2~
pi
2~
di
2
p...
min
sujeito a
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap) = δ
= pT
W p
sujeito a
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap) = δ
min pT
W p
=
Φ = ∑
M
i 1
= momento de inérc...
Mínimo Momento de Inércia
min pT
W p sujeito a || yo
-Ap ||2
= δ
τ = [yo
-Ap]T
[yo
-Ap] + µ pT
W p
∇p τ = -2AT
[yo
-Ap] + ...
z
x
Gradiente Conjugado:
Forma a matriz A
Resolve eficientemente o sistema
Quasi-Newton:
Formação aproximada da matriz A
Inver...
Por favor, como faço para
chegar à Rua das Flores?
É muito fácil. Para chegar ao início dela,
encontre o ponto da Avenida ...
pi
min
sujeito a
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap) = δ
= pT
W p
sujeito a
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap) = δ
min pT
W p
=
Φ = ∑
M
i 1
= momento de inérc...
Mínimo Momento de Inércia
min pT
W p sujeito a || yo
-Ap ||2
= δ
τ = [yo
-Ap]T
[yo
-Ap] + µ pT
W p
∇p τ = -2AT
[yo
-Ap] + ...
z
x
Problemas Inversos
Problemas Inversos
Problemas Inversos
Problemas Inversos
Problemas Inversos
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Problemas Inversos

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Publicada em

Minicurso ministrado por João Batista Corrêa da Silva, durante a IV Semana de Inverno de Geofísica, IMECC/Unicamp, 2013.

Publicada em: Educação
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Problemas Inversos

  1. 1. Problemas Inversos João Batista C. da Silva IV Semana de Inverno de Geofísica 25 e 26 de julho de 2013
  2. 2. 1 - INTRODUÇÃO 2 - FORMULAÇÃO 3 - CARACTERIZAÇÃO - SVD 4 - SOLUÇÃO - MQ, IG, RIDGE, SUAV 5 - SOLUÇÃO - VÍNCULOS DE ESCASSEZ 7 – PROBLEMAS DE GRANDE PORTE 6 - NÃO LINEAR CONTEÚDO
  3. 3. 1 - INTRODUÇÃO 2 - FORMULAÇÃO 3 - CARACTERIZAÇÃO - SVD 4 - SOLUÇÃO - MQ, IG, RIDGE, SUAV 5 - SOLUÇÃO - VÍNCULOS DE ESCASSEZ 7 – PROBLEMAS DE GRANDE PORTE 6 - NÃO LINEAR CONTEÚDO
  4. 4. INTRODUÇÃO
  5. 5. OBJETIVO DA GEOFÍSICA Obter informação sobre a subsuperfície campos: elétrico eletromagnétic o magnético gravimétrico . transmissão do calor. perturbações elásticas. radiação nuclear. indiretamente
  6. 6. OBJETIVO DA GEOFÍSICA Obter informação sobre a subsuperfície indiretamente
  7. 7. Interpretação Geofísica Busca por Informação= Informação Detecção Localização Delineação
  8. 8. Detecção
  9. 9. Informação Detecção Localização Delineação
  10. 10. Localização
  11. 11. Informação Detecção Localização Delineação
  12. 12. Delineação
  13. 13. g γ m r2= ρ V γ r2g = m r Delineação
  14. 14. Problema mal-posto Desbalanceamento Informação demandada pelo intérprete Informação contida nos dados
  15. 15. g γ m r2= ρ V γ r2g = m r Delineação
  16. 16. Soluções: Reduzir a demanda de informação Informação demandada pelo intérprete Informação contida nos dados
  17. 17. Reduzir a demanda de informação Informação demandada pelo intérprete Informação contida nos dados Soluções:
  18. 18. Introduzir informação a priori Informação demandada pelo intérprete Informação contida nos dados Soluções:
  19. 19. Informação demandada pelo intérprete Informação contida nos dados Introduzir informação a priori Soluções:
  20. 20. Informação demandada pelo intérprete Informação contida nos dados Introduzir informação a priori Soluções:
  21. 21. AMBIGUIDADE 2 soluções diferentes de um problema
  22. 22. FALTA DE INFORMAÇÃO AMBIGUIDADE SINTOMA DIAGNÓSTICO FEBRE INFECÇÃO BACTERIANA INFECÇÃO VIRÓTICA EXEMPLO:
  23. 23. Paciente: Vlad Tepes Médico: Dr. Bram Stoker LEUCOGRAMA Valores de referência Leucócitos 4600/ mm3 4000 a 10000/mm3 Linfócitos 35 % 25 a 50 % Monócitos 9 % 2 a 10 % Neutrófilos 53 % 50 a 80 % Eosinófilos 2 % 0 a 5 % Basófilos 1 % 0 a 2 % Laboratório Sangue Azul
  24. 24. Paciente: Vlad Tepes Médico: Dr. Bram Stoker LEUCOGRAMA Valores de referência Leucócitos 4600/ mm3 4000 a 10000/mm3 Linfócitos 35 % 25 a 50 % Monócitos 9 % 2 a 10 % Neutrófilos 96 % 50 a 80 % Eosinófilos 2 % 0 a 5 % Basófilos 1 % 0 a 2 % Laboratório Sangue Azul
  25. 25. Paciente: Vlad Tepes Médico: Dr. Bram Stoker LEUCOGRAMA Valores de referência Leucócitos 4600/ mm3 4000 a 10000/mm3 Linfócitos 87 % 25 a 50 % Monócitos 9 % 2 a 10 % Neutrófilos 53 % 50 a 80 % Eosinófilos 2 % 0 a 5 % Basófilos 1 % 0 a 2 % Laboratório Sangue Azul
  26. 26. Num problema mal-posto a solução não obedece a pelo menos uma das condições: Existência. . . Unicidade Estabilidade
  27. 27. Existência N1 e N2 são números naturais. Encontrar N1 e N2 , tal que: N1 + N2 = 8,3
  28. 28. Unicidade N1 e N2 são números naturais. Encontrar N1 e N2 , tal que N1 + N2 = 10
  29. 29. Estabilidade Observar uma componente muito pequena de um fenômeno ou propriedade 0,000001 x = y 0,000001 x = y + r xc = y / 0,000001 x = y / 0,000001 + r/ 0,000001 x = xc + 1 00000 r
  30. 30. Problemas mal-postos ocorrem em todas as áreas do conhecimento
  31. 31. Geologia - Não unicidade
  32. 32. Geologia Introdução de informação a priori
  33. 33. Geologia Introdução de informação a priori
  34. 34. Geologia Introdução de informação a priori Marcas de chuva Concavidade indica a parte superior
  35. 35. Geologia Introdução de informação a priori
  36. 36. Geologia Introdução de informação a priori
  37. 37. Problema mal-posto: Desbalanceamento informação desejada informação contida nos dados
  38. 38. AMBIGUIDADE FUNDAMENTAL DA GEOFÍSICA
  39. 39. g γ m r2= ρ V γ r2g = m r Delineação
  40. 40. Anomalia gravimétrica Corpo anômaloModelo interpretativo x z xo Gravimetria - Esfera ( ) ( ) ( ) g(x) γ V z z x x y y z z o o o o = − − + − + − .ρ 2 2 2 3 2 zo
  41. 41. 0.02 0.04 0.06 0.08 Anomaliagravimétrica(mGal) 0 2 4 6 Profundidade(m) 0.02 0.04 0.06 0.08 0 2 4 6 0 5 10 150 5 10 150 5 10 15 m 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0 2 4 6 d = 1
  42. 42. 0.02 0.04 0.06 0.08 Anomaliagravimétrica(mGal) 0 2 4 6 Profundidade(m) 0.02 0.04 0.06 0.08 0 2 4 6 0 5 10 150 5 10 150 5 10 15 m 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0 2 4 6 d = 3
  43. 43. 0.02 0.04 0.06 0.08 Anomaliagravimétrica(mGal) 0 2 4 6 Profundidade(m) 0.02 0.04 0.06 0.08 0 2 4 6 0 5 10 150 5 10 150 5 10 15 m 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0 2 4 6 d = 5
  44. 44. O campo magnético é sensível ao momento de dipolo total (m . V) Magnetometria: Gravimetria: O campo gravimétrico é sensível à massa (ρ . V)
  45. 45. Métodos eletromagnéticos: e3 e2 e1 σ3 σ2 σ1 As medidas eletromagnéticas são sensíveis à condutância (σ . V)
  46. 46. Métodos sísmicos: e1 e2 e3µ3= 1 3v µ2= 1 2v µ1= 1 1v O tempo de trânsito é dado por 2 . µ . e
  47. 47. A inversão de dados geofísicos é um problema mal-posto A solução não obedece a pelo menos uma das condições: Existência. . . Unicidade Estabilidade
  48. 48. ( ) ( ) ( ) '''''' ,,, d zd xzxpzxzxGzxy iiii o ∫Ω = x z + + + + + + + + + + ++ ( )'' , zxp Ω ( )zxy ii o Ω
  49. 49. O problema inverso geofísico é subdeterminado e portanto não apresenta solução única Diagnóstico: ( ) ( ) ( ) '''''' ,,, d zd xzxpzxzxGzxy iiii o ∫Ω =
  50. 50. Problema mal-posto: Desbalanceamento informação desejada informação contida nos dados
  51. 51. Introduzir informação a priori Solução: Reduzir a demanda de informação Informação demandada pelo intérprete Informação contida nos dados
  52. 52. N1 + N2 = 10 Reduzir a demanda de informação É possível determinar a média de ambos os números (5) Introduzir informação a priori: Não é necessário conhecer o valor de um dos números para determinar o outro É suficiente conhecer algumas características dos números
  53. 53. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 N1 e N2 estão o mais próximo possível um do outro N1 e N2 são números naturais N1 + N2 = 10
  54. 54. N1 + N2 = 10 N1 e N2 são números naturais N1 ≤ N2 Um e somente um dos números é primo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 8 7 6 5 4 3 2 1
  55. 55. Na Interpretação Geofísica: A informação a priori deve provir do conhecimento geológico Toda e qualquer informação relevante deve ser usada
  56. 56. As condições matemáticas que levam a Informação Geológica EstabilidadeUnicidade Podem ser interpretadas em termos de
  57. 57. Vínculos passíveis de serem introduzidas no problema geofísico inverso • Suavidade • Suavidade ponderada • Compacidade • Concentração no entorno de eixos e pontos • Escassez (Sparsity): • Variação total
  58. 58. Valores de parâmetros adjacentes devem estar o mais próximo possível i h hi +1 hi +2 ... ... h i +1 h i h i +2 ≅≅ z x SUAVIDADE
  59. 59. z x Petróleo Pinch out SUAVIDADE
  60. 60. ESCASSEZ - Compacidade As fontes anômalas não apresentam cavidades em seu interior z x
  61. 61. Corpo compacto z x
  62. 62. ESCASSEZ Concentração no entorno de eixos z x
  63. 63. F’ F z x Concentração no entorno de eixos
  64. 64. F’ F z x Concentração no entorno de eixos
  65. 65. Escassez na propriedade física 0 5 10 15 20 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 SUAVIDADE + + + 0 5 10 15 20 ESCASSEZ + + + 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Valores altos de parâmetros devem ser escassos + + + + + + + + + + + +
  66. 66. Escassez na propriedade física A/m 0 0 5 10 15 20 5 10 15 20 0 0 5 10 15 20 5 10 15 20 SUAVIDADE ESCASSEZ
  67. 67. hi hi +1 ... ...hi +2 Escassez no gradiente dos parâmetros Gradientes altos entre parâmetros adjacentes devem ser escassos z x
  68. 68. F’ F Escassez no gradiente dos parâmetros z x
  69. 69. Petróleo F’ F Escassez no gradiente dos parâmetros z x
  70. 70. Resolução × Ambiguidade
  71. 71. 1 - INTRODUÇÃO 2 - FORMULAÇÃO 3 - CARACTERIZAÇÃO - SVD 4 - SOLUÇÃO - MQ, IG, RIDGE, SUAV 5 - SOLUÇÃO - VÍNCULOS DE ESCASSEZ 7 – PROBLEMAS DE GRANDE PORTE 6 - NÃO LINEAR CONTEÚDO
  72. 72. Problema não linear × problema linear x F(x) x F(x) constante )( = ∂ ∂ x xF f(x) )( = ∂ ∂ x xF Função linear Função não linear
  73. 73. z y Observações Fonte gravimétrica x Célula elementar O problema linear ( ) ( ) ( )[ ] ∫ ∫ ∫∑ + − + − −+−+− − = bx bx cy cy h h jjj jijiji j ji j j j j b t dzdydx zzyyxx zz pg ''' ''' ' 2 3222 γ
  74. 74. ( ) ( ) ( )[ ] ∫ ∫ ∫∑ + − + − −+−+− − = bx bx cy cy h h jjj jijiji j ji j j j j b t dzdydx zzyyxx zz pg ''' ''' ' 2 3222 γ = aij ∑= j i jpg γ ia j , i=1,2 ...N g =A p
  75. 75. Problema inverso linear: Simples Aplicável a uma classe restrita de problemas Pode ou não ser mal-posto Solução tem forma explícita
  76. 76. ( ) ( ) ( )[ ] ∫ ∫ ∫∑ + − + − −+−+− − = bx bx ∞ ∞ p 0 jjj jijiji j ji oj oj j dzdydx zzyyxx zz dg ''' ''' ' 2 3222 γ x + + + +...y1 o y2 o y3 o yN o mGal ...p1 p2 pM Profundidade O problema não linear
  77. 77. =g F (p) =g F’(p) (p-po) p-po= [F’(p)]-1 g p= po + [F’(p)]-1 g ∑= j ig γ f (pj), i=1,2 ...N p=po p=po p=po ( ) ( ) ( )[ ] ∫ ∫ ∫∑ + − + − −+−+− − = bx bx ∞ ∞ p 0 jjj jijiji j ji i i j dzdydx zzyyxx zz dg ''' ''' ' 2 3222 γ
  78. 78. Analogia com uma equação escalar: a x + 4 = b x = a -1 ( b-4 ) a x8 + log(x)+ c e sin(x) = d x = log(x)= d- a x8 - c e sin(x) )sin( x ceaxd ex −− = 8 x = f (x) xk+1 = f (xk)
  79. 79. Problema inverso não linear: Complexo Aplicável a uma ampla classe de problemas Em geral resolvido iterativamente Pode ou não ser mal-posto
  80. 80. Formulação de problemasinversos
  81. 81. A resolução de um problema inverso consiste de três etapas: Formulação do problema Construção da solução Avaliação da solução
  82. 82. Analisar a qualidade das soluções SoluçõesSoluções Escolher o estabilizador matemático em consonância com a informação geológica disponível Problema geológico Simplificações Modelo Interpretativo Relação funcional Problema matemático
  83. 83. Soleiras Problema geológico: Localizar e delinear soleiras numa bacia sedimentar
  84. 84. Soleiras 1) Não há contraste lateral ou vertical entre os sedimentos 2) Não há contraste entre os sedimentos e o embasamento ou o efeito correspondente foi previamente removido Simplificações:
  85. 85. Analisar a qualidade das soluções SoluçõesSoluções Escolher o estabilizador matemático em consonância com a informação geológica disponível Problema geológico Simplificações Modelo Interpretativo Relação funcional Problema matemático
  86. 86. Profundidade(km) 0 2 4 6 8 0.0 0.5 1.0 1.5 10 4 6 80 2 1 2 3 4 mGal 10 x ( km ) Anomalia gravimétrica Soleiras Modelo interpretativo
  87. 87. Analisar a qualidade das soluções SoluçõesSoluções Escolher o estabilizador matemático em consonância com a informação geológica disponível Problema geológico Simplificações Modelo Interpretativo Relação funcional Problema matemático
  88. 88. x + + + +...y1 o y2 o y3 o yN o mGal ( ) ( ) ( )[ ] ∫ ∫ ∫∑ + −+−+− − = bxo ∞ -∞ jjj jijiji j ji j dzdydx zzyyxx zz pg ''' ''' ' 2 3222 γ +bzoj −bxoj +bzoj Profundidade
  89. 89. ( ) ( ) ( )[ ] ∫ ∫ ∫∑ + −+−+− − = bxo ∞ -∞ jjj jijiji j ji j dzdydx zzyyxx zz pg ''' ''' ' 2 3222 γ +bzoj −bxoj +bzoj Profundidade = aij ∑= j i jpg γ ia j , i=1,2 ...N g =A p
  90. 90. Analisar a qualidade das soluções SoluçõesSoluções Escolher o estabilizador matemático em consonância com a informação geológica disponível Problema geológico Simplificações Modelo Interpretativo Relação funcional Problema matemático
  91. 91. Problema matemático yAp = Apy −min 2
  92. 92. Analisar a qualidade das soluções SoluçõesSoluções Escolher o estabilizador matemático em consonância com a informação geológica disponível Problema geológico Simplificações Modelo Interpretativo Relação funcional Problema matemático
  93. 93. Solução de mínimos quadrados yAp = ( ) yAAAp T1T − =ˆ Apy −min 2 x + + + +...y1 y2 y3 yN mGalProfundidade ( ) yAAAp T1T − =ˆ
  94. 94. 0.0 0.5 1.0 1.5 0 2 4 6 8 10 Profundidade(km) x ( km ) Fontes verdadeiras Solução de mínimos quadrados 0 0.02 0.05 0.06 0.03 0.07 0.04
  95. 95. Analisar a qualidade das soluções SoluçõesSoluções Escolher o estabilizador matemático em consonância com a informação geológica disponível Problema geológico Simplificações Modelo Interpretativo Relação funcional Problema matemático
  96. 96. Vínculo de suavidade 0.0 0.5 1.0 1.5 0 2 4 6 8 10 Profundidade(km) x ( km ) Fontes verdadeiras 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.04 0.02 0 0.02 0.04 0.06
  97. 97. Analisar a qualidade das soluções SoluçõesSoluções Escolher o estabilizador matemático em consonância com a informação geológica disponível Problema geológico Simplificações Modelo Interpretativo Relação funcional Problema matemático
  98. 98. x ( km ) 100 2 4 6 8 0.0 1.0 1.5 2.0 Profundidade(km) Vínculo de escassez Concentração ao longo de eixos
  99. 99. Analisar a qualidade das soluções SoluçõesSoluções Escolher o estabilizador matemático em consonância com a informação geológica disponível Problema geológico Simplificações Modelo Interpretativo Relação funcional Problema matemático
  100. 100. O método dos mínimos quadrados
  101. 101. x z Espaços Euclideanos Espaços Topológicos
  102. 102. Espaços Euclideanos Espaços Topológicos INEXISTÊNCIA x z
  103. 103. Existência Unicidade Estabilidade
  104. 104. A p = y p y
  105. 105. Apy −min 2 Espaços Euclideanos Espaços Topológicos x z ? A p = y p y
  106. 106. ∂/∂p1 ∂/∂p2 ∂/∂pM min (yo -Ap)T (yo -Ap) (yo -Ap)T { {(yo -Ap)2 = 0 -AT yo + AT Ap = 0 ( AT A ) p = AT yo p = ( AT A)-1 AT yo -AT = 0(yo -Ap) ^^ ^ ^ ^ ^
  107. 107. p = ( AT A)-1 AT yo Mínimos quadrados elimina o problema da inexistência de solução causada: Por um número maior de observações não redundantes que parâmetros Pela presença de ruído p = A-1 yo
  108. 108. p y ? Modelo interpretativo simples
  109. 109. Mínimos quadrados elimina o problema da inexistência de solução causada: Por um número maior de observações não redundantes que parâmetros Pela presença de ruído
  110. 110. p y ? Ruído nos dados
  111. 111. Mínimos quadrados elimina o problema da inexistência de solução causada: Por um número maior de observações não redundantes que parâmetros Pela presença de ruído (Modelo interpretativo simples) Não elimina a instabilidade
  112. 112. p = ( AT A)-1 AT yo x y det ( AT A) ≈ 0 ^
  113. 113. 0.0 0.5 1.0 1.5 0 2 4 6 8 10 Profundidade(km) x ( km ) Fontes verdadeiras Solução de mínimos quadrados 0 0.02 0.05 0.06 0.03 0.07 0.04
  114. 114. 1 - INTRODUÇÃO 2 - FORMULAÇÃO 3 - CARACTERIZAÇÃO - SVD 4 - SOLUÇÃO - MQ, IG, RIDGE, SUAV 5 - SOLUÇÃO - VÍNCULOS DE ESCASSEZ 7 – PROBLEMAS DE GRANDE PORTE 6 - NÃO LINEAR CONTEÚDO
  115. 115. Problemas mal-postos × Problemas bem-postos
  116. 116. Caracterização física
  117. 117. Problemas mal-postos × Problemas bem-postos 1) Caracterização física A) Estimar a órbita de um corpo celeste
  118. 118. B) Tomografia simplificada v1 v2 v1 = 1 v2 = 2 7.9 9.9 0.5 0.4 v1 v2 = 10.9 8.7 v1 v2 = 1 2 7.9 9.9 0.5 0.4 v1 v2 = 10.9 8.75 v1 v2 = -1.5 51.5
  119. 119. C) Interpretação gravimétrica ( ) ( ) ( ) g(x) γ z z x x y y z z o o o o = − − + − + − m 2 2 2 3 2 x z mGal
  120. 120. C) Interpretação gravimétrica x z mGal ( ) ( ) ( ) g(x) γ z z x x y y z z o o o o = − − + − + − m 2 2 2 3 2
  121. 121. O problema mal-posto ocorre quando: que o número de parâmetros a ser determinados 1) O número de observações independentes é menor 2) Dois ou mais parâmetros podem ser grupados na expressão do funcional ajustante
  122. 122. v1 v2 7.9 9.9 0.5 0.4 v1 v2 = 10.9 8.7
  123. 123. OBSERVAÇÕES REDUNDANTES 1 0 2 0 1 0 2 1 3 0 6 1 1 2 2 2 det = 0
  124. 124. 1 0 1 0 1 0 0 1 3 0 2 1 1 2 0 2 det = 0 PARÂMETROS ACOPLADOS 2x + 1x
  125. 125. Interpretação gravimétrica x z ( ) ( ) ( ) g(x) γ z z x x y y z z o o o o = − − + − + − ρV 2 2 2 3 2 mGal
  126. 126. Caracterização geométrica
  127. 127. Paradigma de um problema geofísico linear: ypcpc =+ 2211 1 2c y 1p 2c c 2p +−= p1 p2 Problemas mal-postos × Problemas bem- postos2) Caracterização geométrica
  128. 128. Solução estável Solução instável Solução não única 2 observações
  129. 129. Instabilidade Solução estável Solução instável p1 p2 p2 p1 1 2c y 1p 2c c 2p +−=
  130. 130. Observações redundantes: retas sub- paralelas no espaço de parâmetros x z mGal
  131. 131. Para garantir a existência: minimiza-se: y1pcpc =+ 212111 o y2pcpc =+ 222121 o pcpc − 212111y1 o −( )2 + pcpc − 222121y2 o −( )2 ao invés de resolver o sistema: no sentido dos mínimos quadrados
  132. 132. p1 p2 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 p1 p2
  133. 133. Caracterização matemática
  134. 134. Problemas mal-postos × Problemas bem-postos 3) Caracterização matemática Decomposição em valores singulares Ax = y Ax = λx, x ≠ 0 A é uma matriz N × N Ax – λx = 0 (A – λΙ) x = 0 det (A – λΙ) = 0 Autovetores e autovalores
  135. 135. det (A – λΙ) = 0 ∑ ci λN-i = 0 0 N Equação característica de A As raízes desta equação são os autovalores de A e os vetores x associados a cada autovalor são os autovetores
  136. 136. Autovalores e autovetores Interpretação geométrica 4 8 4 8 Matriz de dados: obs 1 obs 2 var 2var 1 2 4 6 80 6 4 2 0 8 var 1 var 2
  137. 137. 4 8 4 8 det = 0 (4-λ)2 = 64 λ1 = 12 λ2 = - 4 4-12 8 4-12 8 x1 x2 = 0 0 -8 x1 + 8 x2 = 0 1 1 x1 = 4+4 8 4+4 8 x1 x2 = 0 0 8 x1 + 8 x2 = 0 -1 1 x2 = Primeiro autovetor: Segundo autovetor: - λ - λ
  138. 138. 2 4 6 80 6 4 2 0 8 v1= λ1 x1 = 12 x1 v2= λ2 x2 = 4 x2 v1 v2 Os autovetores de uma matriz simétrica são ortogonais
  139. 139. 2 4 6 80 6 4 2 0 8
  140. 140. Y P T . . T(p)=y, p∈P; y∈YEspaço nulo de uma transformação F é o subespaço F ⊂ P, tal que T(p) = , ∀ p ∈ Fφ p y = φy
  141. 141. Espaço nulo de um operador linear A p* = y A po = 0 A p* + λ A po = y A ( p* + λ po ) = y λ
  142. 142. A decomposição em valores singulares na caracterização de problemas mal-postos Exemplo – tomografia simplificada p1 p3 p4 p2 d t1= d p1 + d p4 t2= d p2 + d p3 1 0 0 1 0 1 1 0 p1 p2 p3 p4 = 12 d t1 d t2
  143. 143. 1 0 0 1 0 1 1 0 p1 p2 p3 p4 = d t1 d t2 1 0 0 1 2 √2 0 0 0 0 0 02 √2 2 √2 0 02 √2 002 √2 2 √2 002 √2 2 √2 2 √2 0 02 √2 p1 p2 p3 p4 = d t1 d t2 A U S VT
  144. 144. 1 0 0 1 2 √2 0 0 0 0 0 02 √2 2 √2 0 02 √2 002 √2 2 √2 002 √2 2 √2 2 √2 0 02 √2 p1 p2 p3 p4 = d t1 d t2 U S VT 1 0 0 1 2 √2 0 0 0 0 0 02 √2 2 √2 0 02 √2 002 √2 2 √2 002 √2 2 √2 2 √2 0 02 √2 p1 p2 p3 p4 = d t1 d t2 U S VT
  145. 145. 1 0 0 1 2 √2 0 0 0 0 0 02 √2 2 √2 0 02 √2 002 √2 2 √2 002 √2 2 √2 2 √2 0 02 √2 p1 p2 p3 p4 = d t1 d t2 U S VT Combinações de parâmetros que podem ser determinadas: α1 = v1 T p 2 √2 0 02 √2 p1 p2 p3 p4 = 2 √2 ( p2 +p3 )=
  146. 146. Combinações de parâmetros que podem ser determinadas: α1 = v1 T p 2 √2 0 02 √2 p1 p2 p3 p4 = 2 √2 ( p2 +p3 ) = =α2 = v2 T p 2 √2 0 0 2 √2 p1 p2 p3 p4 = 2 √2 ( p1 +p4 ) p1 p3 p4 p2 12
  147. 147. Combinações de parâmetros que não podem ser determinadas 1 0 0 1 2 √2 0 0 0 0 0 02 √2 2 √2 0 02 √2 002 √2 2 √2 002 √2 2 √2 2 √2 0 02 √2 p1 p2 p3 p4 = d t1 d t2 U S VT =α3 = v3 T p 2 √2 0 0 2 √2 p1 p2 p3 p4 = 2 √2 ( p1 - p4 )
  148. 148. = p1 p3 p4 p2 12 =α3 = v3 T p 2 √2 0 0 2 √2 p1 p2 p3 p4 = 2 √2 ( p1 - p4 ) α4 = v4 T p 2 √2 0 02 √2 p1 p2 p3 p4 = 2 √2 ( p2 – p3 )
  149. 149. ESPAÇO NULO DA MATRIZ A: 1 0 0 1 2 √2 0 0 0 0 0 02 √2 2 √2 0 02 √2 002 √2 2 √2 002 √2 2 √2 2 √2 0 02 √2 p1 p2 p3 p4 = d t1 d t2 p1 p3 p4 p2 12
  150. 150. Mínimos quadrados e a Decomposição em Valores Singulares Análise de estabilidade p = ( AT A)-1 AT yo A = U S VT p = ( VSUT USVT )-1 VSUT yo p = ( VSSVT )-1 VSUT yo p = ( VS2 VT )-1 VSUT yo p = VS-2 VT VSUT yo p = VS-2 SUT yo p = VS-1 UT yo
  151. 151. Mínimos quadrados e a Decomposição em Valores Singulares Análise de estabilidade p = VS-1 UT yo p = V S-1 β p = V γ = v11 γ1 + v12 γ2 v21 γ1 + v22 γ2 v11 v12 v21 v22 γ1 γ2 v11 v12 v21 v22 γ1 γ2 = + v11 v21 γ1 v12 v22 γ2ivp = ∑ M =i 1 iγ p = ∑ M =i 1 ivβi si
  152. 152. p = ∑ M =i 1 ivβi si Análise de estabilidade p = ∑ M =i 1 ivβi + δi si Dados contaminados com ruído β = UT yo p = ∑ M =i 1 ivβi si + ivδi si ∑ M =i 1
  153. 153. CARACTERIZAÇÃO 2 4 6 80 6 4 2 0 8
  154. 154. Instabilidade Autovalor nulo Espaço nulo Ambiguidade Autovalor quase nulo Espaço “quase nulo” SVD
  155. 155. 1 - INTRODUÇÃO 2 - FORMULAÇÃO 3 - CARACTERIZAÇÃO - SVD 4 - SOLUÇÃO - MQ, IG, RIDGE, SUAV 5 - SOLUÇÃO - VÍNCULOS DE ESCASSEZ 7 – PROBLEMAS DE GRANDE PORTE 6 - NÃO LINEAR CONTEÚDO
  156. 156. Transformação deproblema mal-posto em bem-posto
  157. 157. -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
  158. 158. -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 p1 p2
  159. 159. -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 p1 p2 p1
  160. 160. p1 p2
  161. 161. po v1 v2 p1 p2
  162. 162. p2 p1 v1 v2 INVERSA GENERALIZADA
  163. 163. p1 p2 po Ridge Regression
  164. 164. min pT p sujeito a (yo -Ap)T (yo -Ap)=δ Ridge Regression
  165. 165. min pT p sujeito a (yo -Ap)T (yo -Ap) = δ τ =min pT pµ+ Solução via Função Penalty (yo -Ap)T (yo -Ap) µ
  166. 166. pT p+ + µ . µ . = = τ|| yo -Ap ||2 (yo -Ap)T (yo -Ap) = p1 p2
  167. 167. Ridge Regression min || p ||2 sujeito a || yo -Ap ||2 = δ τ = || yo -Ap ||2 + µ || p ||2 τ = [yo -Ap]T [yo -Ap] + µ pT p ∇p τ = -2AT [yo -Ap] + µ 2 p = 0^ ^ -AT yo + AT A p + µ p = 0^ ^ (AT A + µ Ι ) p = AT yo^ p = (AT A + µ Ι )-1 AT yo^ ∇p τ =2∇p{ [yo -Ap]T } [yo -Ap] + µ 2∇p{pT } p
  168. 168. DECOMPOSIÇÃO EM VALORES SINGULARES MÍNIMOS QUADRADOS INVERSA GENERALIZADA RIDGE REGRESSION p = ∑ M =i 1 ivβisi 1 p = ∑ =i 1 ivβisi 1 r p = ∑ M =i 1 ivβi si 1 µ si + M r si si M
  169. 169. MINIMOS QUADRADOS INVERSA GENERALIZADA RIDGE REGRESSION p = ∑ M =i 1 ivβisi 1 p = ∑ =i 1 ivβisi 1 r p = ∑ M =i 1 ivβi si 1 µ si + p2 p1
  170. 170. MINIMOS QUADRADOS INVERSA GENERALIZADA RIDGE REGRESSION p = ∑ M =i 1 ivβisi 1 p = ∑ =i 1 ivβisi 1 r p = ∑ M =i 1 ivβi si 1 µ si + p2 p1
  171. 171. MINIMOS QUADRADOS INVERSA GENERALIZADA RIDGE REGRESSION p = ∑ M =i 1 ivβisi 1 p = ∑ =i 1 ivβisi 1 r p = ∑ M =i 1 ivβi si 1 µ si + p2 p1
  172. 172. MINIMOS QUADRADOS INVERSA GENERALIZADA RIDGE REGRESSION p = ∑ M =i 1 ivβisi 1 p = ∑ =i 1 ivβisi 1 r p = ∑ M =i 1 ivβi si 1 µ si + p2 p1
  173. 173. MINIMOS QUADRADOS INVERSA GENERALIZADA RIDGE REGRESSION p = ∑ M =i 1 ivβisi 1 p = ∑ =i 1 ivβisi 1 r p = ∑ M =i 1 ivβi si 1 µ si + p2 p1 τ = || yo -Ap ||2 + µ || p ||2
  174. 174. 1900 1950 1960 1980 Instrumentos pouco precisos 1990
  175. 175. Calculadoras rudimentares 1900 1950 1960 1980 1990
  176. 176. 1 Instrumentos pouco precisos 1900 1950 1960 1980 1990
  177. 177. 1 1 3 4 5 2 Calculadoras rudimentares 1900 1950 1960 1980 1990
  178. 178. w h x z A/2 A 0 h ≅ 0,65 w Calculadoras rudimentares 1900 1950 1960 1980 1990
  179. 179. Metodologia simples Problemas bem-postos Calculadoras rudimentares Instrumentos pouco precisos 1900 1950 1960 1980 1990
  180. 180. Instrumentos mais precisos 1900 1950 1960 1980 1990
  181. 181. = + SEPARAR UMA ANOMALIA COMPLEXA EM SUAS COMPONENTES
  182. 182. Metodologia simples Problemas bem-postos Filtros 1900 1950 1960 1980 1990
  183. 183. 19601900 1950 1960 1980 Advento do computador Mínimos quadrados Problemas mal-postos Inversa generalizada Ridge regression 1900 1950 1960 1980 1990
  184. 184. 19601900 1950 1960 1980 Advento do computador 1900 1950 1960 1980 1990 Problemas mal-postos Problemas bem-postos Redução na busca de informação Mínimos quadrados Ambiguidade reconhecida Introdução de Informação a priori Vínculos locais - geológicos Vínculos globais - matemáticos Inversa generalizada Ridge regression Aproximação inicial Modelos simples
  185. 185. p1 Problema não linear: Sequencia de problemas lineares Incógnitas: passo dos parâmetros Aplicação da I.G. ou ridge ao passo Passos pequenos A aproximação inicial como vínculo geológico e matemático
  186. 186. 1900 1950 1960 1980 1990 Necessidade de métodos de modo: que incorporassem informação: matematicamente simples geológica global prático efetivo
  187. 187. y x z hj 2 j Modelo interpretativo – Bacias ρ j
  188. 188. y x z hj 2 j Caracterização física do novo vínculo - Bacias ρ j hj ≈ hj+1 hj+1
  189. 189. p2 p1 Caracterização geométrica do novo vínculo p1 p2=
  190. 190. ( )∑ − = + −=Φ 1 1 2 1 M i ii pp Funcional estabilizante pM-1pM − p2p3 − p1p2 −  pM-1pM −p2p3 −p1p2 −  Φ = b
  191. 191. 1-1000 001-10 001-1     pM-1pM − p2p3 − p1p2 −  pM p2 p1  =. p bR =. Φ = bT b = pT RT Rp
  192. 192. min pT RT Rp sujeito a (yo -Ap)T (yo -Ap)=δ Suavidade
  193. 193. min pT RT Rp sujeito a (yo -Ap)T (yo -Ap) = δ τ =min pT RT Rpµ+ Solução via Função Penalty (yo -Ap)T (yo -Ap) µ
  194. 194. || Rp ||2 τ|| yo -Ap ||2 p1 p2 + + µ . µ . = =
  195. 195. Caracterização matemática do novo vínculo
  196. 196. SUAVIDADE min ||Rp ||2 sujeito a || yo -Ap ||2 = δ τ = || yo -Ap ||2 + µ || Rp ||2 τ = [yo -Ap]T [yo -Ap] + µ pT RT R p ∇p τ = -2AT [yo -Ap] + µ 2RT R p= 0^ ^ -AT yo + AT A p + µ RT Rp = 0^ ^ (AT A + µ RT R ) p = AT yo^ p = (AT A + µ RT R )-1 AT yo^ ∇p τ =2∇p{ [yo -Ap]T } [yo -Ap] + µ 2∇p{pT RT } Rp
  197. 197. 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 p1 Inversa GeneralizadaRidge p2 Suavidade
  198. 198. RIDGE REGRESSION p2 p1 τ = || yo -Ap ||2 + µ || p ||2
  199. 199. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Ridge
  200. 200. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Ridge
  201. 201. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Ridge
  202. 202. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Ridge
  203. 203. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal)mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Ridge
  204. 204. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal)mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Ridge
  205. 205. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal)mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Ridge
  206. 206. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal)mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Ridge
  207. 207. p2 p1 SUAVIDADE τ = || yo -Ap ||2 + µ || Wp ||2
  208. 208. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Suavidade
  209. 209. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Suavidade
  210. 210. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Suavidade
  211. 211. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Suavidade
  212. 212. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Suavidade
  213. 213. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Suavidade
  214. 214. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Suavidade
  215. 215. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Suavidade
  216. 216. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Suavidade
  217. 217. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Suavidade
  218. 218. O vínculo da suavidade ainda é o mais aplicado na Geofísica EXEMPLOS
  219. 219. TOMOGRAFIA SÍSMICA POÇO-APOÇO
  220. 220. TOMOGRAFIA SISM0LÓGICA Manto
  221. 221. TOMOGRAFIA SÍSMICA
  222. 222. INVERSÃO DE DADOS CSEM
  223. 223. 0 10 20 30 40 50 60 70 km 10 20 0 N GRAVIMETRIA – MAPEAMENTO DO EMBASAMENTO
  224. 224. GRAVIMETRIA – MAPEAMENTO DO EMBASAMENTO
  225. 225. GRAVIMETRIA – MAPEAMENTO DO EMBASAMENTO
  226. 226. km 7.0 6.2 5.4 4.6 3.8 3.0 2.2 1.4 0.8 0.4 0.1 GRAVIMETRIA – MAPEAMENTO DO EMBASAMENTO BACIA DE ALMADA
  227. 227. INVERSÃO MAGNÉTICA 3D
  228. 228. 1950 1960 1980 1990 1950 1960 1980 1990 URSS OCIDENTE Ridge Suavidade Ridge, suavidade e a minimização da norma de todas as derivadas dos parâmetros Tikhonov
  229. 229. min pT Wp p sujeito a (yo -Ap)T Wy (yo -Ap) = δ τ =min pT Wp p(yo -Ap)T Wy (yo -Ap) µ+ µ
  230. 230. min (p-po )T Wp(p-po )(yo -Ap)T Wy (yo -Ap) µ+ µ∇p = 0 )()(ˆ oTTo ApyWyAWpAWyApp −+ µ+= −1 )()(ˆ oTo Apyµ WyAWpApp −++ Wp A= −1T -1-1 -1
  231. 231. 1 - INTRODUÇÃO 2 - FORMULAÇÃO 3 - CARACTERIZAÇÃO - SVD 4 - SOLUÇÃO - MQ, IG, RIDGE, SUAV 5 - SOLUÇÃO - VÍNCULOS DE ESCASSEZ 7 – PROBLEMAS DE GRANDE PORTE 6 - NÃO LINEAR CONTEÚDO
  232. 232. Vínculo de “escassez”
  233. 233. Vínculos passíveis de serem introduzidas no problema geofísico inverso • Suavidade • Escassez (Sparsity): • Compacidade • Variação total
  234. 234. 1900 1950 1960 1980 1990 Métodos que concentram as distribuições anômalas de propriedade física em subsuperfície em algumas regiões
  235. 235. • Compacidade • Variação total • Escassez (Sparsity):
  236. 236. y x z Concentrar as distribuições anômalas de propriedade física em subsuperfície em algumas regiões
  237. 237. x (km) 0. 1. 2. 3. 4. 0. 2. 4. 6. 8. 10. 12. 0.24 0.19 0.14 0.09 0.05 0.00 AnomaliaBouguer(mGal)Profundidade(km) 0. 4. 8. 12. 16. 20. 24. 28. SUAVIDADE
  238. 238. pi = Φ = pi 2 pi 2 + ε ~ ~∑ M i 1 pi 2 pi 2 + ε ~ ~ = número de células com ≠ 0pi ~ 0, se = 0pi ~ 1, se ≠ 0pi ~
  239. 239. = Φ = pi 2 pi 2 + ε ~ ~∑ M i 1 = número de células com ≠ 0pi ~min sujeito a (yo -Ap)T (yo -Ap) = δ = Φ = pi 2 pi 2 + ε∑ M i 1 = pT W p W= 1 pi 2 + ε sujeito a (yo -Ap)T (yo -Ap) = δ min pT W p
  240. 240. Inversão Compacta min pT W p sujeito a || yo -Ap ||2 = δ τ = [yo -Ap]T [yo -Ap] + µ pT W p ∇p τ = -2AT [yo -Ap] + µ 2 W p = 0^ ^ -AT yo + AT A p + µ W p = 0^^ (AT A + µ W ) p = AT yo^ p = (AT A + µ W )-1 AT yo^ ∇p τ =2∇p{ [yo -Ap]T } [yo -Ap] + µ 2∇p{pT } Wp
  241. 241. p = (AT A + µ W )-1 AT yo^ ^p = [AT A + µ W( p ) ]-1 AT yo^p^p^ x = f (x) Problema de ponto fixo xn+1 = f (xn ) ^pn+1 = [AT A + µ W( pn ) ]-1 AT yo^ ^pn+1 = pn + [AT A + µ W( pn ) ]-1 AT (yo –Apn)^ ^ ^
  242. 242. EXEMPLOS
  243. 243. x (km) 0. 1. 2. 3. 4. 0. 2. 4. 6. 8. 10. 12. 0.24 0.19 0.14 0.09 0.05 0.00 AnomaliaBouguer(mGal)Profundidade(km) 0. 4. 8. 12. 16. 20. 24. 28. GRAVIMETRIA - SUAVIDADE
  244. 244. x (km) 0. 1. 2. 3. 4. 0. 2. 4. 6. 8. 10. 12. AnomaliaBouguer(mGal)Profundidade(km) 0. 4. 8. 12. 16. 20. 24. 28. GRAVIMETRIA - COMPACIDADE
  245. 245. -20 -10 0 10 20 30 40 0 5 10 15 20 x(km) An.Bouguer(mGal) 0 5 10 15 20 0 10 20 z(km)
  246. 246. -20 -10 0 10 20 30 40 0 5 10 15 20 x(km) An.Bouguer(mGal) 0 5 10 15 20 0 10 20 z(km)
  247. 247. -20 -10 0 10 20 30 40 0 5 10 15 20 x(km) An.Bouguer(mGal) 0 5 10 15 20 0 10 20 z(km)
  248. 248. -20 -10 0 10 20 30 40 0 5 10 15 20 x(km) An.Bouguer(mGal) 0 5 10 15 20 0 10 20 z(km)
  249. 249. -20 -10 0 10 20 30 40 0 5 10 15 20 x(km) An.Bouguer(mGal) 0 5 10 15 20 0 10 20 z(km)
  250. 250. -20 -10 0 10 20 30 40 0 5 10 15 20 x(km) An.Bouguer(mGal) 0 5 10 15 20 0 10 20 z(km)
  251. 251. -20 -10 0 10 20 30 40 0 5 10 15 20 x(km) An.Bouguer(mGal) 0 5 10 15 20 0 10 20 z(km)
  252. 252. -20 -10 0 10 20 30 40 0 5 10 15 20 x(km) An.Bouguer(mGal) 0 5 10 15 20 0 10 20 z(km)
  253. 253. -20 -10 0 10 20 30 40 0 5 10 15 20 x(km) An.Bouguer(mGal) 0 5 10 15 20 0 10 20 z(km)
  254. 254. -20 -10 0 10 20 30 40 0 5 10 15 20 x(km) An.Bouguer(mGal) 0 5 10 15 20 0 10 20 z(km)
  255. 255. -20 -10 0 10 20 30 40 0 5 10 15 20 x(km) An.Bouguer(mGal) 0 5 10 15 20 0 10 20 z(km)
  256. 256. INVERSÃO MAGNÉTICA 150 -150 nT 0.05 -0.05 0 10 km
  257. 257. REFLEXÃO SÍSMICA E INVERSÃO DE DADOS MT
  258. 258. • Compacidade • Variação total • Escassez (Sparsity):
  259. 259. Suavidade Variação total min || Rp ||2 min || Rp ||1 ( )∑ − = + − 1 1 2 1 M i ii ppmin | |∑ − = + − 1 1 1 M i ii ppmin
  260. 260. 2pˆ1pˆ 3pˆ p3 – p2 p2 – p1 ^ ^ ^ ^ x z
  261. 261. D dj = |pj+1 – pj| ≤ 21 1 21 1 1 ∑∑ − = − = + =−=Φ M j j M j jj dpp 2 1 1 2         ==Φ ∑ − = M j jdD 2 11 2         ≤ ∑∑ == L j j L j j dd
  262. 262. D dj = |pj+1 – pj| = 1 1 1 1 1 ∑∑ − = − = + =−=Φ M j j M j jj dpp 1 1         ==Φ ∑ − = M j jdD
  263. 263. 1 1 ∑ − = M j jd 1 1 ∑ − = M j jd 1 1 ∑ − = M j jd ≥ Suavidade Variação total
  264. 264. Variação total min || Rp ||1 sujeito a || yo -Ap ||2 = δ τ = || yo -Ap ||2 + µ || Rp ||1 τ = [yo -Ap]T [yo -Ap] + µ || Rp ||1 ∇p τ =2∇p{ [yo -Ap]T } [yo -Ap] + µ ∇p{|| Rp ||1 }
  265. 265. x0 | |x | |xx∂ ∂
  266. 266. | |x = √ x2 + β 2 x0 | |x
  267. 267. ∇p τ =2∇p{ [yo -Ap]T } [yo -Ap] + µ ∇p{|| Rp ||1 } β
  268. 268. GRAVIMETRIA – MAPEAMENTO DO EMBASAMENTO
  269. 269. GRAVIMETRIA – MAPEAMENTO DO EMBASAMENTO
  270. 270. GRAVIMETRIA – MAPEAMENTO DO EMBASAMENTO
  271. 271. km 10 km 10 km GRAVIMETRIA – MAPEAMENTO DO EMBASAMENTO BACIA DE ALMADA
  272. 272. Reconstrução de imagem
  273. 273. 0.4 0.6 0.5 Inversão sísmica
  274. 274. 0.4 0.6 0.5 Inversão sísmica
  275. 275. Tempo Offset Tempo Offset Reconstrução de famílias CMP Sintético Tempo Offset Mínimos quadrados Escassez
  276. 276. Que valor atribuir ao parâmetro de regularização?
  277. 277. 1) Missão da regularização: estabilizar a solução. 3) O funcional estabilizador incorpora informação a priori factual? 2) Solução geofísica: tem que ser estabilizada NÃO: Menor valor SIM: Maior valor SOLUÇÃO ESTÁVEL AJUSTE ACEITÁVEL
  278. 278. SOLUÇÃO ESTÁVEL AJUSTE ACEITÁVEL µ µ2µ1
  279. 279. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Suavidade
  280. 280. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Suavidade
  281. 281. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Suavidade
  282. 282. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Suavidade
  283. 283. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Suavidade
  284. 284. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Suavidade
  285. 285. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Suavidade
  286. 286. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Suavidade
  287. 287. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Suavidade
  288. 288. 0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 X (km) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Depth(km) -38.000 -33.000 -28.000 -23.000 -18.000 -13.000 -8.000 -3.000 Bougueranomaly(mGal) mGalkm 0 302010 40 50 km -40 -30 -20 -10 0 4 3 2 1 0 5 Suavidade
  289. 289. 1 - INTRODUÇÃO 2 - FORMULAÇÃO 3 - CARACTERIZAÇÃO - SVD 4 - SOLUÇÃO - MQ, IG, RIDGE, SUAV 5 - SOLUÇÃO - VÍNCULOS DE ESCASSEZ 7 – PROBLEMAS DE GRANDE PORTE 6 - NÃO LINEAR CONTEÚDO
  290. 290. O problema inverso não linear
  291. 291. A p = yo Problema linear: Para garantir existência de uma solução, minimiza-se a forma quadrática: (yo -Ap)T (yo -Ap) tomando-se o gradiente em relação a p e igualando ao vetor nulo, o que leva à equação linear: AT A p = AT yo
  292. 292. A (p) p = yo Problema não linear: Para garantir existência de uma solução, minimiza-se a forma contendo derivadas de ordem arbitrária: [yo -f (p) ]T [yo -f (p)] que, mesmo após tomar o gradiente, não leva a uma equação linear: Desse modo, não há uma expressão explícita para o estimador de p:
  293. 293. p1 p2 Problema linear p1 p2
  294. 294. p1 p2 Problema não linear p1 p2
  295. 295. Solução analítica Linear Não linear Solução por iteração
  296. 296. Φ(p)+ µ . = τ(yo -Ap)T (yo -Ap) Problema linear Problema não linear Φ(p)+ µ . = τ[yo -f (p)]T [yo - f (p)] Incorporação de informação a priori
  297. 297. 4.00 + µ . = Problema linear + = Problema não linear µ . Incorporação de informação a priori
  298. 298. pT Wp = p1 p2 pM p1 p2 pM w1 w2 wM w1 p1 w2 p2 wM pM p1 p2 pM = w1 (p1)2 + w2( p2)2 + wM (pM)2 Incorporação de informação a priori min Φ(p) = pT Wp sujeito a (yo -Ap)T (yo -Ap)=δ Problema linear Problema não linear Forma explícita: p=(AT A+µW)-1 AT yo ? Forma explícita: min Φ(p) = pT Wp sujeito a [yo - f (p)]T [yo - f (p)]=δ
  299. 299. p = ( AT A + µ W)-1 AT yo τ Problema linear
  300. 300. Problema não linear Metodologia: encontrar uma estratégia de descida para o mínimo de τ min Φ(p) = pT Wp sujeito a [yo - f (p)]T [yo -f (p)]=δ τ =[yo -f (p)]T [yo -f (p)] + µ pT Wpmin
  301. 301. Métodos de busca Métodos de gradiente Nelder-Mead Simulated annealing Algoritmos genéticos Máxima declividade Newton / Gauss-Newton Marquardt Principais estratégias
  302. 302. Estratégia de Newton
  303. 303. τ = [yo - f (p)]T [yo - f (p)] + µ pT Wp Estratégia de Newton Ψ(p) + µ Φ(p) = τ
  304. 304. 4 10 22 28 2 10 20 28 34 28 22 18 32 26 20 p1 p2 16 Instabilidade do método de Newton
  305. 305. Grande raio de curvatura Grande passo
  306. 306. 4 10 22 28 2 10 20 28 34 28 22 18 32 26 20 p1 p2 16 Instabilidade do método de Newton
  307. 307. [ Ψ’’ + µ Φ’’ ] (p-po)= - [ Ψ’ + µ Φ’ ] [ Ψ’’ + µ Φ’’ + λ I ] (p-po)= - [ Ψ’ + µ Φ’] Estratégia de Marquardt Newton: λ O parâmetro λ estabiliza o passo do processo iterativo Marquardt:
  308. 308. p1 p2 10 15 5 15 10 15 19 10 5 10 10 7 Estabilidade do método de Marquardt p1 p2
  309. 309. Confusão entre: parâmetro de regularização e parâmetro de Marquardt Problema linear estabilizado pela norma euclideana (Ridge regression): min pT p sujeito a [yo -Ap]T [yo -Ap]=δ Problema não linear não estabilizado (passo de Gauss-Newton): [yo -f (p)]T [yo -f (p)]min p = ( AT A + µ I )-1 AT yo^ ∆p = [ AT (pk) A(pk) + λ I ]-1 AT (pk)∆yo^ Marquardt
  310. 310. Problema linear ou não linear Problema não linear Parâmetro de regularização Parâmetro de Marquardt
  311. 311. A confusão entre parâmetro de regularização e parâmetro de Marquardt pode levar o intérprete desavisado a uma perigosa cilada: Usar somente o parâmetro de Marquardt com duplo papel de estabilizar o passo e os parâmetros diminuindo-o ao longo das iterações
  312. 312. 1 - INTRODUÇÃO 2 - FORMULAÇÃO 3 - CARACTERIZAÇÃO - SVD 4 - SOLUÇÃO - MQ, IG, RIDGE, SUAV 5 - SOLUÇÃO - VÍNCULOS DE ESCASSEZ 7 – PROBLEMAS DE GRANDE PORTE 6 - NÃO LINEAR CONTEÚDO
  313. 313. Problemas de grande porte
  314. 314. Bacias marginais e oceânicas 50.000 a 500.000 km2
  315. 315. Levantamentos de alta resolução Uso do tensor gravimétrico/magnético Espaçamento de 100m 5 componentes Interpretação 3D 100 células em z Bacias marginais e oceânicas 50.000 a 500.000 km2
  316. 316. 250.000.000 Observações 25.000.000.000 Parâmetros Limitação física dos computadores: Aquecimento Energia
  317. 317. MÉTODOS MAIS EFICIENTES DE INTERPRETAÇÃO Ap = y
  318. 318. [ Ψ’’ + µ Φ’’] (pk+1- pk )= - [ Ψ’ + µ Φ’] Newton: [ Ψ’’(pk ) + µ Φ’’(pk )] (pk+1 – pk ) = - [ Ψ’(pk ) + µ Φ’(pk )] Ak bk yk= Carga computacional: Formação da matriz A Inversão da matriz A (ou resolução do sistema)
  319. 319. Gradiente Conjugado: Forma a matriz A Resolve eficientemente o sistema Quasi-Newton: Formação aproximada da matriz A Inversão aproximada da matriz A Métodos algorítmicos: Não forma a matriz A Não inverte a matriz A
  320. 320. min Gradiente conjugado x ∈ Rn Construir uma base para Rn na qual a minimização de f (x) é extremamente simples i ≠ j
  321. 321. Direções ortogonais: 0=j T i xx
  322. 322. Direções A-ortogonais: 0=j T i xx A T ix T jxe São direções conjugadas
  323. 323. min Gradiente conjugado x ∈ Rn Construir uma base para Rn na qual a minimização de f (x) é extremamente simples i ≠ j
  324. 324. min min
  325. 325. Gradiente Conjugado: Forma a matriz A Resolve eficientemente o sistema Quasi-Newton: Formação aproximada da matriz A Inversão aproximada da matriz A Métodos algorítmicos: Não forma a matriz A Não inverte a matriz A
  326. 326. 0 4000 8000 12000 Tempo(s) 0 400 800 1200 1600 2000 Número de parâmetros Gauss-Jordan Gradiente conjugado
  327. 327. Quasi-Newton Newton f (x)= f (xo) + ∂f (xo) ∂x 1 ∂2 f (xo) 2 ∂x2 + (x-xo)2 (x-xo) ∂f (xo) ∂x ∂2 f (xo) ∂x2 + (x-xo) = 0 ∂2 f (xo) ∂x2 (x-xo) = ∂f (xo) ∂x Hk (pk+1 -pk ) = -qk
  328. 328. Hk+1 (pk+1 -pk ) = qk+1 - qk ∂2 f (xk+1) ∂x2 = (xk+1 - xk) ∂f (xk+1) ∂x ∂f (xk) ∂x∂2 f (xo) ∂x2 (xk+1-xk) = ∂f (xo) ∂x Hk (pk+1 -pk ) = -qk Newton Quasi-Newton Hk+1 sk = yk Hk+1 = Hk + uvT ?
  329. 329. Rk+1 Rk +(1/sk T yk )[(sk -Rk yk ) sk T +sk (sk -Rk yk )T ]-(1/sk T yk )2 (sk -Rk yk )T yk sk sk T = + kk T k k T kkk k T k T kk sHs HssH sy yy −1+kH kH= R = H-1 Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno
  330. 330. Gradiente Conjugado: Forma a matriz A Resolve eficientemente o sistema Quasi-Newton: Formação aproximada da matriz A Inversão aproximada da matriz A Métodos algorítmicos: Não forma a matriz A Não inverte a matriz A
  331. 331. Métodos algorítmicos
  332. 332. ESCASSEZ Concentração no entorno de eixos z x
  333. 333. = Φ = ∑ M i 1 0, se pi = 0 = momento de inércia em relação ao eixo pi + ε~ pi 2~ pi 2~ di 2 pi + ε~ pi 2~ pi 2~ di 2 pi di 2 , se pi ≠ 0 ~ pi
  334. 334. min sujeito a (yo -Ap)T (yo -Ap) = δ = pT W p sujeito a (yo -Ap)T (yo -Ap) = δ min pT W p = Φ = ∑ M i 1 = momento de inércia em relação ao eixo pi + ε~ pi 2~ pi 2~ di 2 = Φ = ∑ M i 1 pi + ε~ pi 2~ pi 2~ di 2 W= pi + ε~ di 2
  335. 335. Mínimo Momento de Inércia min pT W p sujeito a || yo -Ap ||2 = δ τ = [yo -Ap]T [yo -Ap] + µ pT W p ∇p τ = -2AT [yo -Ap] + µ 2 W p = 0^ ^ -AT yo + AT A p + µ W p = 0^^ (AT A + µ W ) p = AT yo^ p = (AT A + µ W )-1 AT yo^ ∇p τ =2∇p{ [yo -Ap]T } [yo -Ap] + µ 2∇p{pT } Wp
  336. 336. z x
  337. 337. Gradiente Conjugado: Forma a matriz A Resolve eficientemente o sistema Quasi-Newton: Formação aproximada da matriz A Inversão aproximada da matriz A Métodos algorítmicos: Não forma a matriz A Não inverte a matriz A
  338. 338. Por favor, como faço para chegar à Rua das Flores? É muito fácil. Para chegar ao início dela, encontre o ponto da Avenida Rio Branco situado a uma distância mínima (na norma L2) do Obelisco da Avenida Central.
  339. 339. pi
  340. 340. min sujeito a (yo -Ap)T (yo -Ap) = δ = pT W p sujeito a (yo -Ap)T (yo -Ap) = δ min pT W p = Φ = ∑ M i 1 = momento de inércia em relação ao eixo pi + ε~ pi 2~ pi 2~ di 2 = Φ = ∑ M i 1 pi + ε~ pi 2~ pi 2~ di 2 W= pi + ε~ di 2
  341. 341. Mínimo Momento de Inércia min pT W p sujeito a || yo -Ap ||2 = δ τ = [yo -Ap]T [yo -Ap] + µ pT W p ∇p τ = -2AT [yo -Ap] + µ 2 W p = 0^ ^ -AT yo + AT A p + µ W p = 0^^ (AT A + µ W ) p = AT yo^ p = (AT A + µ W )-1 AT yo^ ∇p τ =2∇p{ [yo -Ap]T } [yo -Ap] + µ 2∇p{pT } Wp
  342. 342. z x

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