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  1. 1. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 1  www.pontodosconcursos.com.br Aula 2 – Senado Federal  1.  Apresentação ........................................................................................................................ 2  2.  Introdução ............................................................................................................................. 2  3.  Juros ...................................................................................................................................... 3  4.  Formas de Representação da Taxa de Juros ......................................................................... 4  5.  Elementos da Operação de Juros .......................................................................................... 5  6.  Regimes de Capitalização ...................................................................................................... 6  7.  Capitalização Simples ............................................................................................................ 6  8.  Capitalização Composta ........................................................................................................ 7  9.  Juros Simples ......................................................................................................................... 8  10.  Homogeneização entre a taxa e o prazo de capitalização .................................................. 10  11.  Taxas Proporcionais ............................................................................................................ 10  12.  Juros Simples Ordinários (Comerciais) e Exatos .................................................................. 12  13.  Prazo, Taxa e Capital Médios .............................................................................................. 39  14.  Juros Compostos ................................................................................................................. 47  Fórmula do Montante Composto ............................................................................................ 48  Comparação entre as Capitalizações Simples e Composta ............................................. 48  Convenção Linear e Convenção Exponencial ..................................................................... 49  15.  Relação das questões comentadas ..................................................................................... 55  16.  Gabaritos ............................................................................................................................. 62   
  2. 2. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 2  www.pontodosconcursos.com.br 1. Apresentação    Olá pessoal! Bem vindo ao nosso curso de Matemática e Raciocínio Lógico para o Senado Federal. Uma pequena modificação será feita em nosso cronograma. Doravante, seguiremos o seguinte: Aula 0 (demonstrativa) Sequências numéricas. Progressões aritméticas. Aula 1 Juros Simples e Compostos Aula 2 Progressão Geométrica. Números inteiros, racionais e reais. Sistema legal de medidas. Razões e proporções. Regras de três simples e compostas. Aula 3 Porcentagens. Equações e inequações de 1.° e de 2.° graus. Funções e gráficos. Aula 4 Geometria Básica Aula 5 Conceitos básicos de probabilidade e estatística. Aula 6 Estruturas lógicas, lógica da argumentação, diagramas lógico. (parte 1) Aula 7 Estruturas lógicas, lógica da argumentação, diagramas lógico. (parte 2) 2. Introdução    A Matemática Financeira é uma ciência que não se preocupa apenas com o cálculo dos juros simples e compostos. Esta é a função de um dos capítulos iniciais da matemática comercial. A Matemática Financeira é o elo entre os métodos matemáticos e os fenômenos financeiro-econômicos. É uma ciência que se preocupa com a construção de modelos gerais, representação de variáveis monetárias na linha do tempo. Matemática Financeira é a disciplina que estuda o entendimento dos modelos de aplicação, avaliação de investimentos e captação de recursos. A operação básica da matemática financeira é a operação de empréstimo. Alguém dispõe de certo capital, empresta-o por certo período de tempo. Após esse período, recebe o seu capital acrescido de uma remuneração pelo empréstimo. A essa remuneração denominamos juro.
  3. 3. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 3  www.pontodosconcursos.com.br Existem diversas razões que justificam o pagamento dos juros na operação de empréstimo. O primeiro deles é o custo de oportunidade. Obviamente, quando alguém disponibiliza certa quantia para ser emprestada, deixará de investir o capital em outros projetos. Portanto, o não-uso deste capital deverá ser remunerado. Deve-se levar em consideração a perda do poder de compra na linha do tempo. Com o aumento generalizado de preços causado pela inflação, quem empresta o dinheiro quer preservar o poder de compra. O elemento que será responsável por preservar o valor do dinheiro no tempo é o juro. Os bancos em geral têm despesas administrativas e obviamente têm o interesse de repassar essas despesas para os devedores. Um aspecto de destaque é o de considerar os valores em seu momento no tempo. A valoração que fazemos de algo está diretamente associada ao momento em que ocorre. 3. Juros    O juro é o dinheiro pago pelo dinheiro emprestado. É o custo do capital de terceiros colocado à nossa disposição. Alguém que dispõe de um capital C (denominado principal, capital inicial, valor atual), empresta-o a outrem por certo período de tempo, e após esse período recebe o seu capital de volta. Esse capital ao ser devolvido deverá ser remunerado. Essa remuneração é chamada de juro. Ao emprestarmos uma quantia em dinheiro, por determinado período de tempo, costumamos cobrar o juro, de tal modo que, no fim do prazo estipulado, disponhamos não só da quantia emprestada, como também de um acréscimo que compense a não-utilização do capital financeiro, por nossa parte, durante o período em que foi emprestado. A soma capital + juros é chamada de montante e será representada por M. Os juros são fixados através de uma taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo: dia, mês, bimestre, trimestre, semestre, ano,... . Utilizamos, usualmente, a letra i para denotar a taxa de juros. A letra i é a inicial da palavra inglesa interest, que significa juros. O elemento que faz a equivalência dos valores ao longo do tempo é o juro, que representa a remuneração do capital.
  4. 4. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 4  www.pontodosconcursos.com.br Exemplo: 24% 24% . . 6% 6% . . 3,5% 3,5% . . Veremos ao longo deste curso, que não é permitido em Matemática Financeira operar com quantias em épocas diferentes. O objetivo da Matemática Financeira é permitir a comparação de valores em diversas datas de pagamento ou recebimento e o elemento chave para a comparação destes valores é a taxa de juros. Imagine que o Banco X cobra uma taxa de 6% ao mês no uso do cheque especial. E em determinado mês, João precisou pegar emprestado do banco R$ 2.000,00. Que valor João deve depositar na sua conta daqui a um mês para saldar a dívida? Vimos anteriormente que ao pegar alguma quantia emprestada, além de devolver o principal, deve-se remunerar o capital. E quanto será a remuneração? Quem responderá essa pergunta é a taxa de juros. Se a taxa de juros é de 6% ao mês e a quantia emprestada é de R$ 2.000,00, então para saldar a dívida deve-se pagar os R$ 2.000,00 e mais os juros cobrados pelo banco. O juro que deverá ser pago daqui a um mês será 6% de R$ 2.000,00. Ou seja, 6% 2.000 6 100 · 2.000 120 O valor total que João deve depositar na sua conta para saldar a dívida é igual a 2.000+120=2.120. 4. Formas de Representação da Taxa de Juros    É importante observar que no cálculo anterior, a taxa de juros 6% foi transformada em fração decimal para permitir a operação. Assim, as taxas de juros terão duas representações: i) Sob a forma de porcentagem (taxa percentual): 6% ao ano = 6% a.a.
  5. 5. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 5  www.pontodosconcursos.com.br ii) Sob a forma de fração decimal (taxa unitária): 0,06 A representação em percentagem é a comumente utilizada; entretanto, todos os cálculos e desenvolvimentos de fórmulas serão feitos através da notação em fração decimal. 5. Elementos da Operação de Juros    Na situação descrita acima, podemos perceber os principais elementos de uma operação de juros. Imagine que o Banco X cobra uma taxa de 6% ao mês no uso do cheque especial. E em determinado mês, João precisou pegar emprestado do banco R$ 2.000,00. Que valor João deve depositar na sua conta daqui a um mês para saldar a dívida? Capital (C) → Pode ser chamado de principal, capital inicial, valor presente, valor atual, montante inicial, valor de aquisição, valor à vista. No nosso exemplo, é o dinheiro que João pegou emprestado do banco. Temos então, no nosso problema, que o capital é igual a R$ 2.000,00. Juros (J) → Também chamado de rendimento. Quando uma pessoa empresta a outra um valor monetário, durante certo tempo, é cobrado um valor pelo uso do dinheiro. Esse valor é denominado juro. Taxa de juros (i) → A taxa de juros representa os juros numa certa unidade de tempo. A taxa obrigatoriamente deverá explicitar a unidade de tempo. Por exemplo, se João vai ao banco tomar um empréstimo e o gerente diz: - Ok! O seu empréstimo foi liberado! E a taxa de juros que nós cobramos é de apenas 8%. Ora, a informação desse gerente está incompleta. Pois se os juros forem de 8% ao ano... Ótimo! E se essa taxa de juros for ao dia? PÉSSIMO! Portanto, perceba que a indicação da unidade da taxa de juros é FUNDAMENTAL. Tempo (n) → Quando falamos em tempo, leia-se NÚMERO DE PERÍODOS. No nosso exemplo, se João ficasse devendo ao banco por 3 meses, o número de períodos seria igual a 3. Agora, imagine a seguinte situação. Toma-se um empréstimo com a taxa de 7,5% a.b. (ao bimestre). Se João demorar 6 meses para efetuar o pagamento da dívida, o seu “n”, ou seja, o seu tempo não será igual a 6. O seu tempo será igual a 3!!! Pois a taxa é bimestral, e em um
  6. 6. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 6  www.pontodosconcursos.com.br período de 6 meses temos 3 bimestres. No nosso exemplo, a taxa era mensal e João usou o cheque especial durante apenas um mês. Montante (M) → Pode ser chamado de montante, montante final, valor futuro. É o valor de resgate. Obviamente o montante é maior do que o capital inicial. O montante é, em suma, o capital mais os juros. Podemos então escrever que M = C + J. As operações de empréstimo são feitas geralmente por intermédio de um banco que, de um lado, capta dinheiro de interessados em aplicar seus recursos e, de outro, empresta esse dinheiro aos tomadores interessados no empréstimo. 6. Regimes de Capitalização    Denominamos regimes de capitalização aos diferentes processos como os juros são gerados e agregados ao capital aplicado. Os juros são normalmente classificados em simples ou compostos, dependendo do processo de cálculo utilizado. Ou seja, se um capital for aplicado a certa taxa por período, por vários intervalos ou períodos de tempo, o valor do montante pode ser calculado segundo duas convenções de cálculo, chamadas de regimes de capitalização: capitalização simples (juros simples) e capitalização composta (juros compostos). Vejamos dois exemplos para entender os esses dois tipos de capitalização. 7. Capitalização Simples    De acordo com esse regime, os juros gerados em cada período são sempre os mesmos. Nessa hipótese, os juros pagos de cada período são calculados sempre em função do capital inicial empregado. Vejamos um exemplo numérico visando a fixação desse conceito. Guilherme aplicou R$ 10.000,00 a juros simples durante 5 anos à taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados em cada período e o montante após o período de aplicação. Como a própria leitura da taxa indica: 20% ao ano (vinte por cento ao ano). Cada ano, de juros, receberei 20%. 20% de quem? Do capital aplicado – R$
  7. 7. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 7  www.pontodosconcursos.com.br 10.000,00. A taxa de juros, no regime simples, sempre incide sobre o capital inicial. Os juros gerados no primeiro ano são · 10.000 2.000. Os juros gerados no segundo ano são · 10.000 2.000. Os juros gerados no terceiro ano são · 10.000 2.000. Os juros gerados no quarto ano são · 10.000 2.000. Os juros gerados no quinto ano são · 10.000 2.000. Na CAPITALIZAÇÃO SIMPLES os juros gerados em cada período são sempre os mesmos, ou seja, a taxa incide apenas sobre o capital inicial. Dessa forma, o montante após os 5 anos vale R$ 10.000,00 (capital aplicado) mais 5 vezes R$ 2.000,00 (juros). Conclusão: o montante é igual a R$ 20.000,00 (lembre-se que o montante é o capital inicial mais o juro). 8. Capitalização Composta    No regime de capitalização composta, o juro gerado em cada período agrega-se ao capital, e essa soma passa a render juros para o próximo período. Daí que surge a expressão “juros sobre juros”. Imagine a seguinte situação: Guilherme aplicou R$ 10.000,00 a juros compostos durante 5 anos à taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados em cada período e o montante após o período de cada aplicação. Os juros gerados no primeiro ano são · 10.000 2.000 e o montante após o primeiro ano é 10.000 + 2.000 = 12.000. Os juros gerados no segundo ano são · 12.000 2.400 e o montante após o segundo ano é 12.000+2.400=14.400. Os juros gerados no terceiro ano são · 14.400 2.880 e o montante após o terceiro ano é 14.400 + 2.880 = 17.280. Os juros gerados no quarto ano são · 17.280 3.456 e o montante após o quarto ano é 17.280 + 3.456 = 20.736.
  8. 8. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 8  www.pontodosconcursos.com.br Os juros gerados no quinto ano são · 20.736 4.147,20 e o montante após o quinto ano é 20.736 + 4.147,20 = 24.883,20. Observação: Se a operação de juros for efetuada em apenas um período, o montante será igual nos dois regimes. No nosso exemplo, se parássemos a aplicação no primeiro mês, teríamos um montante de R$ 12.000,00 nos dois regimes de capitalização. Observe ainda que o dinheiro cresce mais rapidamente a juros compostos do que a juros simples. 9. Juros Simples    Como vimos anteriormente, juros simples são aqueles calculados sempre sobre o capital inicial, sem incorporar à sua base de cálculo os juros auferidos nos períodos anteriores. Ou seja, os juros não são capitalizados. Vejamos outro exemplo para entendermos bem a fórmula de juros simples. Imagine que você aplique R$ 5.000,00 à taxa de juros simples de 3% ao mês. Então, ao final do primeiro mês de aplicação, o juro produzido será: 3% 5.000 3 100 · 5.000 150 Ou seja, para calcular o juro produzido no primeiro mês, basta multiplicar a taxa de juros pelo capital inicial. Como, sob o regime de capitalização simples, os juros produzidos em cada período são sempre iguais, podemos concluir que, se esse capital fosse aplicado por 10 meses, produziria juros de: 150 x 10 = 1.500. A partir desse exemplo, é fácil compreender a fórmula para o cálculo do juro simples. Adotaremos as seguintes notações: O juro produzido no primeiro período de aplicação é igual ao produto do C → Capital inicial i → taxa de juros simples n → tempo de aplicação J → juro simples produzido durante o período de aplicação. M → montante ao final da aplicação
  9. 9. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 9  www.pontodosconcursos.com.br capital inicial (C) pela taxa de juros (i), como foi feito no nosso exemplo. E, consequentemente, o juro produzido em n períodos de aplicação será: J C i n= ⋅ ⋅ (1) E, lembrando também que o montante é a soma do capital com os juros produzidos, temos a seguinte fórmula abaixo: M C J= + (2) Substituindo a fórmula (1) na fórmula (2), temos então a seguinte expressão: M C C i n= + ⋅ ⋅ Em álgebra, C significa 1 C⋅ , portanto, 1M C C i n= ⋅ + ⋅ ⋅ Colocando o C em evidência, (1 )M C i n= ⋅ + ⋅ (3) É de suma importância memorizar as três fórmulas abaixo. J C i n= ⋅ ⋅ (1) M C J= + (2) (1 )M C i n= ⋅ + ⋅ (3) E devemos estar atentos ao seguinte fato: Deve-se utilizar a taxa na forma unitária. Assim, por exemplo, se a taxa for de 30% , utilizamos 0,30. J
  10. 10. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 10  www.pontodosconcursos.com.br 10. Homogeneização entre a taxa e o prazo de capitalização    A taxa de juros deverá estar explicitada na mesma unidade de tempo apresentada pelo prazo de capitalização. Ou seja, deve existir concordância entre as unidades da taxa de juros e do tempo. Assim, se a taxa for mensal, o tempo deverá ser expresso em meses; Se a taxa for bimestral, o tempo deverá ser expresso em bimestres; E assim sucessivamente. Exemplos i=3% a.m. n=150 dias. A taxa está expressa em meses e o tempo em dias. Para que haja concordância entre as unidades, deveremos escolher uma unidade comum e transformar um dos objetos. O mês comercial é de 30 dias. Portanto, para transformar o tempo de 150 dias para meses, basta dividir por 30. i=3% a.m. n= 5 meses Para efetuar a transformação da taxa, no regime de juros simples, utilizaremos o conceito de taxas proporcionais. Transformar a taxa significa encontrar uma taxa equivalente, ou seja, que para um mesmo período, os juros gerados sejam o mesmo. No regime de capitalização simples, taxas proporcionais são equivalentes. 11. Taxas Proporcionais    Duas taxas são proporcionais quando a razão entre elas é igual à razão entre os respectivos períodos expressos na mesma unidade de tempo. A definição de taxas proporcionais não está condicionada ao regime de capitalização. Portanto, teremos taxas proporcionais tanto no regime de capitalização simples quanto no regime de capitalização composta. O fato importante é que no regime de capitalização simples as taxas proporcionais são equivalentes.
  11. 11. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 11  www.pontodosconcursos.com.br Simbolicamente, dizemos que a taxa referente ao período é proporcional à taxa referente ao período se Para exemplificar, no regime de juros simples, um capital aplicado por 1 ano (12 meses) a uma taxa de 36% ao ano produz o mesmo montante quando o mesmo capital é aplicado a uma taxa de 3% ao mês por 12 meses. Neste exemplo,dizemos que 3% ao mês é proporcional a 36% ao ano, pois como 1 ano é o mesmo que 12 meses, tem-se: 2% 24% 1 ê 12 Poderíamos ter adotado a seguinte linha de raciocínio. Como 1 ano é 12 vezes maior do que o período de 1 mês, então a taxa anual proporcional é 12 vezes maior do que a taxa mensal. Exemplo: Determinar a taxa diária proporcional a 3% ao mês. Aplicando a definição de taxas proporcionais (lembre-se que o mês comercial possui 30 dias). 30 1 3% 30 1 Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. · 30 3% · 1 3% 30 0,1% Poderíamos ter adotado a seguinte linha de raciocínio. Como 1 dia é 30 vezes menor do que o período de 1 mês, então a taxa diária proporcional é 30 vezes menor. 30 3% 30 0,1%
  12. 12. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 12  www.pontodosconcursos.com.br 12. Juros Simples Ordinários (Comerciais) e Exatos    Na prática, usualmente, é adotado o juro simples ordinário (utiliza o ano comercial com 360 dias e meses com 30 dias). O juro simples exato (utiliza o ano civil com 365 dias) somente é usado quando para isso for expresso explicitamente na operação. Os juros são considerados ordinários ou comerciais quando utilizam o ano comercial para estabelecer a homogeneidade entre a taxa e o tempo. Logo, em juros ordinários, consideramos que todos os meses têm 30 dias e o ano tem 360 dias. Juros exatos são aqueles em que se utiliza o calendário civil para verificarmos a quantidade de dias entre duas datas. Logo, quando o mês tem 31 dias deveremos considerar o total e não 30 dias. Para facilitar o cálculo de juros nestas modalidades, é fundamental efetuarmos o cálculo com taxa anual e o tempo expresso em dias. Para calcular a taxa equivalente diária devemos dividir a taxa anual pelo número total de dias do ano comercial (360 dias) ou ano exato (365 ou 366 dias). Devemos ficar atentos ao fato de o ano ser ou não bissexto no caso de juros exatos. Podemos “criar” dois processos mnemônicos para saber quais anos são bissextos ou não. Para começar, os anos bissextos obrigatoriamente são pares. Um ano é dito bissexto se for múltiplo de 4, exceto os que são múltiplos de 100, a não ser que sejam múltiplos de 400. Dica: Para verificar se um número é divisível por 4 basta dividir os últimos dois dígitos do número por 4. Assim, 1998 não é divisível por 4 e, portanto, não é bissexto. Uma maneira mais “lúdica” de memorizar é o seguinte: Os anos pares ou são anos de Olimpíada ou são anos de Copa do Mundo. Os anos bissextos são os anos de Olimpíadas!!! Como em 1998 houve a Copa do Mundo da França, o ano não foi bissexto.    
  13. 13. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 13  www.pontodosconcursos.com.br 01. (SEFAZ-RJ 2009/FGV) O valor a ser pago por um empréstimo de R$ 4.500,00, a uma taxa de juros simples de 0,5% ao dia, ao final de 78 dias é de: a) R$ 6.255,00 b) R$ 5.500,00 c) R$ 6.500,00 d) R$ 4.855,00 e) R$ 4.675,00 Resolução Temos todas as informações necessárias para o cálculo dos juros simples: o capital, a taxa e o tempo. Além disso, a taxa e o tempo já conformidade em relação à unidade. Lembremos a fórmula de juros simples: · · Temos que o capital é igual a R$ 4.500,00, a taxa é igual a 0,5% 0,5/100 0,005 ao dia e o tempo é igual a 78 dias. 4.500 · 0,005 · 78 1.755 O valor a ser pago é o montante (capital + juros). 4.500 1.755 6.255 Letra A 02. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Um capital é aplicado durante 120 dias a uma taxa de juros simples ordinários de 15% ao ano, produzindo um montante de R$ 8.400,00. Nestas condições, o capital aplicado, desprezando os centavos é: a) R$ 6.500,00 b) R$ 7.850,00 c) R$ 8.017,00 d) R$ 8.820,00 e) R$ 8.000,00 Resolução As unidades de tempo de referência do período de aplicação e da taxa devem ser iguais, porém a taxa de juros e o período de aplicação não estão expressos
  14. 14. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 14  www.pontodosconcursos.com.br na mesma unidade. Devemos traçar a nossa estratégia: escolher uma unidade comum para a taxa e para o período de capitalização. Lembre-se que juro ordinário é um sinônimo de juro comercial. Desta forma, consideramos que cada mês tem 30 dias e o ano possui 360 (12 x 30) dias. Ora, se o ano comercial possui 360 dias, então os 120 dias do problema representam: 120 360 1 3 Agora temos homogeneidade entre as unidades. A taxa de juros é igual a 15% = 0,15 ao ano e o tempo de aplicação é igual a 1/3 do ano. Lembremos a fórmula do montante simples: · 1 · O montante fornecido é igual a R$ 8.400,00. 8.400 · 1 0,15 · 1 3 8.400 · 1 0,05 8.400 · 1,05 8.400 1,05 8.000 Desta forma, o capital aplicado é igual a R$ 8.000,00. Letra E 03. (Vestibular FGV 2002) Um capital aplicado a juros simples, à taxa de 2,5% ao mês, triplica em: a) 75 meses b) 80 meses c) 85 meses d) 90 meses e) 95 meses Resolução Dizer que um capital triplica é o mesmo que dizer que o montante final é igual ao triplo do capital inicial. 3 ·
  15. 15. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 15  www.pontodosconcursos.com.br Lembrando que o montante é a soma do juro com o capital: 3 · 2 · Vamos substituir na expressão acima a fórmula de juros simples. · · 2 · · 2 A taxa fornecida pelo enunciado é igual a 2,5% ao mês. 2,5 100 · 2 0,025 · 2 2 0,025 Como efetuar esta divisão? Ora, o denominador possui 3 casas decimais. Vamos então igualar a quantidade de casas decimais e, em seguida, apagar as vírgulas. 2,000 0,025 2.000 25 80 Letra B 04. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) A taxa de juros simples de 0,05% ao dia equivale à taxa semestral de: a) 15,00% b) 1,50% c) 18,00% d) 9,00% e) 12,00% Resolução No regime de capitalização simples as taxas proporcionais são equivalentes.
  16. 16. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 16  www.pontodosconcursos.com.br Duas taxas são proporcionais quando a razão entre elas é igual à razão entre os respectivos períodos expressos na mesma unidade de tempo. Simbolicamente, dizemos que a taxa referente ao período é proporcional à taxa referente ao período se Queremos comparar a taxa diária com a taxa semestral. Lembre-se que um semestre é a metade de um ano. Como o ano comercial tem 360 dias, um semestre tem 180 dias. 1 180 0,05% 1 180 O produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 1 · 180 · 0,05% 9% Poderíamos ter resolvido utilizando o raciocínio seguinte: como um semestre tem 180 dias, então a taxa semestral será igual a taxa diária multiplicada por 180. 180 · 0,05% 9% Letra D 05. (SEFAZ-RJ 2009/FGV) Um montante inicial foi aplicado a uma taxa de juros simples de 5% ao mês durante 2 meses e depois reaplicado a uma taxa de juros simples de 10% ao mês durante 2 meses, resultando em R$ 13.200,00. O valor do montante inicial era de: a) R$ 18.500,00 b) R$ 13.000,00 c) R$ 12.330,00 d) R$ 11.000,00 e) R$ 10.000,00 Resolução
  17. 17. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 17  www.pontodosconcursos.com.br Têm-se duas aplicações a juros simples sucessivas. Digamos que o capital inicial aplicado seja igual a C. Desta forma, aplicando C reais durante 2 meses a uma taxa de 5% ao mês, o montante será igual a: · 1 · · 1 0,05 · 2 · 1,1 Este montante M1 será o capital de uma nova aplicação. Aplicaremos M1 reais durante dois meses a uma taxa de 10% ao mês. O novo montante será igual a: · 1 · · 1,1 · 1 0,10 · 2 · 1,1 · 1,2 1,32 · O montante final é igual a R$ 13.200,00. Portanto: 1,32 · 13.200 13.200 1,32 10.000 O capital inicial é de R$ 10.000,00. Letra E 06. (Vestibular FGV 2001) Um vidro de perfume é vendido à vista por R$48,00 ou a prazo, em dois pagamentos de R$25,00 cada um, o primeiro no ato da compra e o outro um mês depois. A taxa mensal de juros do financiamento é aproximadamente igual a: A) 6,7% B) 7,7% C) 8,7% D) 9,7% E) 10,7% Resolução O valor à vista é de R$ 48,00. Se o indivíduo dá uma entrada de R$ 25,00, então ficou devendo R$ 23,00. Mas o pagamento feito um mês depois foi de R$ 25,00. Assim, o juro cobrado foi de R$ 2,00. Observe que a taxa de juros só incide no valor devido e não sobre o valor já pago.
  18. 18. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 18  www.pontodosconcursos.com.br · · 2 23 · · 1 2 23 0,0869 8,7% Letra C 07. (BESC 2004/FGV) Um artigo é vendido, à vista, por R$ 150,00 ou em dois pagamentos de R$ 80,00 cada um: o primeiro, no ato da compra e o segundo, um mês após a compra. Os que optam pelo pagamento parcelado pagam juros mensais de taxa aproximadamente igual a: a) 14,29% b) 13,33% c) 9,86% d) 7,14% e) 6,67% Resolução O valor à vista é de R$ 150,00. Se o indivíduo dá uma entrada de R$ 80,00, então ficou devendo R$ 70,00. Mas o pagamento feito um mês depois foi de R$ 80,00. Assim, o juro cobrado foi de R$ 10,00. · · 10 70 · · 1 10 70 0,142857 14,29% Letra A 08. (SEFAZ-MS 2006/FGV) Um artigo custa, à vista, R$ 200,00 e pode ser comprado a prazo com uma entrada de R$ 100,00 e um pagamento de R$ 120,00 um mês após a compra. Os que compram a prazo pagam juros mensais de taxa: a) 5% b) 10% c) 20% d) 25% e) 30%
  19. 19. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 19  www.pontodosconcursos.com.br Resolução O valor à vista é de R$ 200,00. Se o indivíduo dá uma entrada de R$ 100,00, então ficou devendo R$ 100,00. Mas o pagamento feito um mês depois foi de R$ 120,00. Assim, o juro cobrado foi de R$ 20,00. · · 20 100 · · 1 20 100 20% Letra C 09. (Prefeitura de Ituporanga – 2009 – FEPESE) Quais são os juros simples de R$ 12.600,00, à taxa de 7,5% ao ano, em 4 anos e 9 meses? a) R$ 4.488,75 b) R$ 1.023,75 c) R$ 3.780,00 d) R$ 1.496,25 e) R$ 5.386,50 Resolução As unidades de tempo de referência do período de aplicação e da taxa devem ser iguais. Temos todas as informações necessárias para o cálculo dos juros simples: o capital, a taxa e o tempo. O único problema é que a taxa de juros e o período de aplicação não estão expressos na mesma unidade. Devemos traçar a nossa estratégia: escolher uma unidade comum para a taxa e para o período de capitalização. Sabemos que um ano é o mesmo que 12 meses. Logo, 4 anos são o mesmo que 4 x 12 = 48 meses. Portanto, o período de capitalização é igual a 48 + 9 = 57 meses. Já a taxa é igual a 7,5% ao ano ou 0,075 ao ano. Para calcular a taxa equivalente ao mês, basta-nos dividir essa taxa por 12 (taxas proporcionais). Portanto a taxa de juros mensal será igual a 0,075/12. Agora estamos prontos para aplicar a fórmula de juros simples. · · Temos que o capital é igual a R$ 12.600,00, a taxa é igual a 0, 075 12 ao mês e o tempo é igual a 57 meses.
  20. 20. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 20  www.pontodosconcursos.com.br 12.600 · 0,075 12 · 57 Como 12.600 dividido por 12 é igual a 1.050, 1.050 · 0,075 · 57 4.488,75 Letra A 10. (AFRE-PB 2006 FCC) Certas operações podem ocorrer por um período de apenas alguns dias, tornando conveniente utilizar a taxa diária e obtendo os juros segundo a convenção do ano civil ou do ano comercial. Então, se um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado por 5 dias à taxa de juros simples de 9,3% ao mês, em um mês de 31 dias, o módulo da diferença entre os valores dos juros comerciais e dos juros exatos é a) R$ 37,50 b) R$ 30,00 c) R$ 22,50 d) R$ 15,00 e) R$ 7,50 Resolução Juros Comerciais O capital de R$ 15.000,00 foi aplicado durante 5 dias à taxa de juros simples de 9,3% ao mês. Para calcularmos a taxa equivalente diária, neste caso, devemos dividir por 30. 9,3% 30 0,31% 0,0031 O juro comercial é dado por: · · 15.000 · 0,0031 · 5 232,50 Juros Exatos O capital de R$ 15.000,00 foi aplicado durante 5 dias à taxa de juros simples de 9,3% ao mês. Para calcularmos a taxa equivalente diária, neste caso, devemos dividir por 31. 9,3% 31 0,3% 0,003 O juro exato é dado por:
  21. 21. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 21  www.pontodosconcursos.com.br · · 15.000 · 0,003 · 5 225,00 A questão pede o módulo da diferença entre os juros comerciais e os juros exatos. 232,50 225,00 7,50 Letra E 11. (BACEN 2010 CESGRANRIO) Um aplicador vai obter de resgate em um título o valor de R$ 30.000,00. Sabendo-se que a operação rendeu juros simples de 5% ao mês, por um período de 6 meses, o valor original da aplicação foi, em reais, de a) 21.066,67 b) 21.500,00 c) 22.222,66 d) 23.076,93 e) 23.599,99 Resolução Observe que o período de aplicação e taxa de juros já estão em conformidade em termos de unidade. Sabemos que o montante no regime de capitalização simples é dado por · 1 · O montante é igual a R$ 30.000,00, a taxa de juros é de 5% = 0,05 ao mês e o tempo de aplicação é de 6 meses. 30.000 · 1 0,05 · 6 30.000 · 1,3 23.076,93 Letra D 12. (AFRE-CE 2006 ESAF) Qual o capital que aplicado a juros simples à taxa de 2,4% ao mês rende R$ 1 608,00 em 100 dias? a) R$ 20 000,00. b) R$ 20 100,00. c) R$ 20 420,00. d) R$ 22 000,00. e) R$ 21 400,00.
  22. 22. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 22  www.pontodosconcursos.com.br Resolução O enunciado forneceu a taxa, o juro e o tempo. Está faltando apenas o capital que foi aplicado. Para começar, a taxa e o tempo devem ser expressos na mesma unidade! Já que a taxa é de 2,4% = 0,024 ao mês, devemos dividir a taxa mensal por 30 para calcular a taxa diária (isso porque o mês comercial é composto por 30 dias e em juros simples usamos o conceito de taxas proporcionais). Logo, 0,024 . . 30 i a d= O rendimento (juro) é igual a R$1.608,00 e o tempo é igual a 100 dias. Lembremos a fórmula do juro simples. J C i n= ⋅ ⋅ De acordo com o enunciado: J = 1.608, i = 0,024/30 e n = 100. Logo, 0,024 1.608 100 30 C= ⋅ ⋅ Observe que 0,024.100 = 2,4. 2,4 1.608 30 C= ⋅ E já que 2,4/30 = 0,08; 1.608 0,08C= ⋅ 1.608 0,08 C = 20.100C = Letra B
  23. 23. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 23  www.pontodosconcursos.com.br 13. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um capital no valor de R$ 12.500,00 é aplicado a juros simples, durante 12 meses, apresentando um montante igual a R$ 15.000,00. Um outro capital é aplicado, durante 15 meses, a juros simples a uma taxa igual à da aplicação anterior, produzindo juros no total de R$ 5.250,00. O valor do segundo capital supera o valor do primeiro em a) R$ 10.000,00 b) R$ 8.500,00 c) R$ 7.500,00 d) R$ 6.000,00 e) R$ 5.850,00 Resolução Primeira aplicação: Um capital de R$ 12.500,00 gera um montante de R$ 15.000,00, logo o juro do período é de R$ 2.500,00. Sabemos a relação de juro simples: · · . . · · . . · . . · . . . Segunda aplicação: · · . · · . · . O segundo capital supera o primeiro em 21.000 – 12.500 = 8.500 Letra B 14. (AFRE-PB 2006 ESAF) Um investidor aplica em um determinado banco R$ 10.000,00 a juros simples. Após 6 meses, resgata totalmente o montante de R$ 10.900,00 referente a esta operação e o aplica em outro banco, durante 5
  24. 24. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 24  www.pontodosconcursos.com.br meses, a uma taxa de juros simples igual ao dobro da correspondente à primeira aplicação. O montante no final do segundo período é igual a a) R$ 12.535,00 b) R$ 12.550,00 c) R$ 12.650,00 d) R$ 12.750,00 e) R$ 12.862,00 Resolução Temos duas aplicações em regime simples. A taxa da segunda aplicação é igual ao dobro da taxa da primeira aplicação. Portanto, o primeiro passo é determinar a taxa da primeira aplicação. 1ª aplicação: O capital é igual a R$ 10.000,00 e o montante é igual a R$ 10.900,00. Portanto o juro é igual a J = 10.900 – 10.000 = 900. O tempo de aplicação é de 6 meses. Assim, podemos aplicar a fórmula de juros simples. J C i n= ⋅ ⋅ 900 10.000 6i= ⋅ ⋅ 900 60.000 i= ⋅ 900 60.000 i = 0,015i = 2ª aplicação: Lembrando que a taxa da segunda aplicação é o dobro da taxa da primeira aplicação, concluímos que a segunda taxa é igual a 0,015 x 2 = 0,03. O capital aplicado da segunda aplicação é o montante da primeira aplicação. Portanto, o capital aplicado é igual a R$ 10.900,00. O tempo de aplicação é igual a 5 meses. Logo, o montante será dado por (1 )M C i n= ⋅ + ⋅
  25. 25. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 25  www.pontodosconcursos.com.br 10.900 (1 0,03 5)M = ⋅ + ⋅ 10.900 1,15M = ⋅ 12.535M = Letra A (UnB / CESPE – DOCAS / PA -2004) Mário dispunha de um capital de R$ 10.000,00. Parte desse capital ele aplicou no banco BD, por 1 ano, à taxa de juros simples de 3% ao mês. O restante, Mário aplicou no banco BM, também pelo período de 1 ano, à taxa de juros simples de 5% ao mês. Considerando que, ao final do período, Mário obteve R$ 4.500,00 de juros das duas aplicações, julgue os itens seguintes. 15. A quantia aplicada no banco BM foi superior a R$ 4.000,00. 16. Os juros obtidos pela aplicação no banco BM superaram em mais de R$ 500,00 os juros obtidos pela aplicação no banco BD. 17. Ao final do ano, o montante obtido pela aplicação no banco BD foi superior a R$ 8.000,00. Resolução Vamos analisar a situação do enunciado e depois avaliar cada item. Mário dispunha de um capital de R$ 10.000,00 para aplicar em dois bancos: BD e BM. Chamemos o capital aplicado no banco BD de “D” e o capital aplicado no banco BM de “M”. É importante que você utilize letras que façam referência aos nomes que foram usados no enunciado da questão. Seria ruim utilizar, por exemplo, utilizar as letras x e y, pois, no final, teríamos que procurar quem é x e quem é y! Se o capital total é R$ 10.000, então a nossa primeira equação é D + M = 10.000. Aplicação no Banco BD A taxa de juros e o tempo de aplicação devem sempre estar na mesma unidade! Assim, se a taxa de juros no banco BD é de 3% ao mês, então o tempo de aplicação que é de 1 ano será escrito como 12 meses. Temos os seguintes dados:
  26. 26. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 26  www.pontodosconcursos.com.br Capital aplicado no Banco BD: D Taxa de juros: 3% ao mês = 0,03 ao mês. Tempo de aplicação: 12 meses. Temos todas as informações necessárias para utilizar a expressão do juro simples! J C i n= ⋅ ⋅ Já que nessa questão temos aplicações em dois bancos, para não confundir colocaremos índices nos dados das fórmulas. BD BD BD BDJ C i n= ⋅ ⋅ Assim, 0,03 12BDJ D= ⋅ ⋅ 0,36BDJ D= ⋅ Aplicação no Banco BM A taxa de juros e o tempo de aplicação devem sempre estar na mesma unidade! Assim, se a taxa de juros no banco BM é de 5% ao mês, então o tempo de aplicação que é de 1 ano será escrita como 12 meses. Temos os seguintes dados: Capital aplicado no Banco BM: M Taxa de juros: 5% ao mês = 0,05 ao mês. Tempo de aplicação: 12 meses. Temos todas as informações necessárias para utilizar a expressão do juro simples! J C i n= ⋅ ⋅ BM BM BM BMJ C i n= ⋅ ⋅ Assim,
  27. 27. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 27  www.pontodosconcursos.com.br 0,05 12BMJ M= ⋅ ⋅ 0,60BMJ M= ⋅ O enunciado também informa que ao final do período, Mário obteve R$ 4.500,00 de juros das duas aplicações. Ou seja, o juro obtido no Banco BD mais o juro obtido no Banco BM totalizam R$ 4.500,00. 4.500BD BMJ J+ = 0,36 0,60 4.500D M⋅ + ⋅ = Para não trabalhar com números decimais, podemos multiplicar ambos os membros da equação por 100! 36 60 450.000D M⋅ + ⋅ = Temos, então, um sistema linear com duas equações e duas incógnitas. A outra equação foi escrita no início da resolução. O capital total aplicado nos dois bancos (BD e BM) é igual a R$ 10.000,00. 10.000D M+ = Eis o sistema: 36 60 450.000 10.000 D M D M ⋅ + ⋅ =⎧ ⎨ + =⎩ Existem diversos métodos para resolver esse sistema linear. Faremos de duas maneiras. Método I – Substituição Nesse método, devemos isolar uma das incógnitas em uma das equações e substituir esse valor na outra equação. Claramente, nesse caso, é mais fácil isolar qualquer uma das incógnitas na segunda equação. Vamos isolar o “D”.
  28. 28. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 28  www.pontodosconcursos.com.br 10.000D M+ = 10.000D M= − Devemos substituir essa expressão na primeira equação! 36 60 450.000D M⋅ + ⋅ = 36 (10.000 ) 60 450.000M M⋅ − + ⋅ = 360.000 36 60 450.000M M− ⋅ + ⋅ = 360.000 24 450.000M+ ⋅ = 24 90.000M⋅ = 3.750M = E como o capital total aplicado é igual a 10.000, o capital aplicado no banco BD é igual a 10.000 – 3.750 = 6.250. 6.250D = Método II – Adição Voltemos ao sistema linear. 36 60 450.000 10.000 ( 36) D M D M ⋅ + ⋅ =⎧ ⎨ + = ⋅ −⎩ Nesse método, devemos multiplicar ambos os membros de uma equação por algum fator, de modo que possamos “somar as equações” para que uma das incógnitas seja cancelada. Podemos, por exemplo, multiplicar ambos os membros da segunda equação por - 36, pois dessa forma, ao somarmos as duas equações, a incógnita D será cancelada.
  29. 29. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 29  www.pontodosconcursos.com.br 36 60 450.000 36 36 360.000 D M D M ⋅ + ⋅ =⎧ ⎨ − ⋅ − ⋅ = −⎩ Ao somarmos as duas equações membro a membro teremos: 36 36 0D D⋅ − ⋅ = , 60 36 24M M M⋅ − ⋅ = ⋅ 450.000 360.000 90.000− = Ou seja, 36 60 450.000 36 36 360.000 24 90.000 D M D M M ⋅ + ⋅ =⎧ ⎨ − ⋅ − ⋅ = −⎩ ⋅ = 3.750M = E como o capital total aplicado é igual a 10.000, o capital aplicado no banco BD é igual a 10.000 – 3.750 = 6.250. 6.250D = Vamos analisar cada um dos itens de per si. 15. A quantia aplicada no banco BM foi superior a R$ 4.000,00. Já que M = 3.750,00, esse item está ERRADO. 16. Os juros obtidos pela aplicação no banco BM superaram em mais de R$ 500,00 os juros obtidos pela aplicação no banco BD. Vamos calcular cada um dos juros. BD BD BD BDJ C i n= ⋅ ⋅ 6.250 0,03 12 2.250BDJ = ⋅ ⋅ =
  30. 30. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 30  www.pontodosconcursos.com.br BM BM BM BMJ C i n= ⋅ ⋅ 3750 0,05 12 2.250BMJ = ⋅ ⋅ = Como os juros obtidos nos dois bancos são iguais, o item está ERRADO. 17. Ao final do ano, o montante obtido pela aplicação no banco BD foi superior a R$ 8.000,00. Basta lembrar que o montante é a soma do capital aplicado com o juro obtido. M C J= + 6.250 2.250M = + 8.500M = Assim, o item está CERTO. 18. (UnB / CESPE – CHESF 2002) Uma pessoa recebeu R$ 6.000,00 de herança, sob a condição de investir todo o dinheiro em dois tipos particulares de ações, X e Y. As ações do tipo X pagam 7% a.a. e as ações do tipo Y pagam 9% a.a. A maior quantia que a pessoa pode investir nas ações X, de modo a obter R$ 500,00 de juros em um ano, é A) inferior a R$ 1.800,00. B) superior a R$ 1.800,00 e inferior a R$ 1.950,00. C) superior a R$ 1.950,00 e inferior a R$ 2.100,00. D) superior a R$ 2.100,00 e inferior a R$ 2.250,00. E) superior a R$ 2.250,00. Resolução Se o capital total é R$ 6.000,00, então a nossa primeira equação é X + Y = 6.000. Aplicação na ação X A taxa de juros e o tempo de aplicação devem sempre estar na mesma unidade! Assim, se a taxa de juros na ação X é de 7% ao ano e o tempo de aplicação é de 1 ano, nada precisamos modificar nesses dados. Temos os seguintes dados: Capital aplicado na ação X: X Taxa de juros: 7% ao ano = 0,07 ao ano.
  31. 31. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 31  www.pontodosconcursos.com.br Tempo de aplicação: 1 ano. Temos todas as informações necessárias para utilizar a expressão do juro simples! J C i n= ⋅ ⋅ Já que nessa questão temos aplicações em duas ações, para não confundir colocaremos índices nos dados das fórmulas. X X X XJ C i n= ⋅ ⋅ Assim, 0,07 1XJ X= ⋅ ⋅ 0,07XJ X= ⋅ Aplicação na ação Y A taxa de juros e o tempo de aplicação devem sempre estar na mesma unidade! Assim, se a taxa de juros na ação Y é de 9% ao ano e o tempo de aplicação é de 1 ano, nada precisamos modificar nesses dados. Temos os seguintes dados: Capital aplicado na ação Y : Y Taxa de juros: 9% ao ano = 0,09 ao ano. Tempo de aplicação: 1 ano. Temos todas as informações necessárias para utilizar a expressão do juro simples! J C i n= ⋅ ⋅ Y Y Y YJ C i n= ⋅ ⋅ Assim, 0,09 1YJ Y= ⋅ ⋅
  32. 32. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 32  www.pontodosconcursos.com.br 0,09YJ Y= ⋅ O enunciado também informa que ao final do período, a pessoa obteve R$ 500,00 de juros das duas aplicações. Ou seja, o juro obtido na ação X mais o juro obtido na ação Y totalizam R$ 500,00. 500X YJ J+ = 0,07 0,09 500X Y⋅ + ⋅ = Para não trabalhar com números decimais, podemos multiplicar ambos os membros da equação por 100! 7 9 50.000X Y⋅ + ⋅ = Temos, então, um sistema linear com duas equações e duas incógnitas. A outra equação foi escrita no início da resolução. O capital total aplicado nas duas ações (X e Y) é igual a R$ 6.000,00. 6.000X Y+ = Eis o sistema: 7 9 50.000 6.000 X Y X Y ⋅ + ⋅ =⎧ ⎨ + =⎩ Novamente os dois métodos descritos na questão anterior. Método I – Substituição Nesse método, devemos isolar uma das incógnitas em uma das equações e substituir esse valor na outra equação. Claramente, nesse caso, é mais fácil isolar qualquer uma das incógnitas na segunda equação. Vamos isolar o “Y”, já que estamos querendo calcular o valor de “X”. 6.000X Y+ = 6.000Y X= −
  33. 33. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 33  www.pontodosconcursos.com.br Devemos substituir essa expressão na primeira equação! 7 9 50.000X Y⋅ + ⋅ = 7 9 (6.000 ) 50.000X X⋅ + ⋅ − = 7 54.000 9 50.000X X⋅ + − ⋅ = 2 4.000X− ⋅ = − 2 4.000X⋅ = 2.000X = Letra C Método II – Adição Voltemos ao sistema linear. 7 9 50.000 6.000 ( 9) X Y X Y ⋅ + ⋅ =⎧ ⎨ + = ⋅ −⎩ Nesse método, devemos multiplicar ambos os membros de uma equação por algum fator, de modo que possamos “somar as equações” para que uma das incógnitas seja cancelada. Podemos, por exemplo, multiplicar ambos os membros da segunda equação por - 9, pois dessa forma, ao somarmos as duas equações, a incógnita Y será cancelada (cancelamos o “Y” pois queremos calcular o valor de “X”). 7 9 50.000 9 9 54.000 X Y X Y ⋅ + ⋅ =⎧ ⎨ − ⋅ − ⋅ = −⎩ Ao somarmos as duas equações membro a membro teremos: 7 9 2X X X⋅ − ⋅ = − ⋅ ,
  34. 34. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 34  www.pontodosconcursos.com.br 9 9 0Y Y⋅ − ⋅ = 50.000 54.000 4.000− = − Ou seja, 7 9 50.000 9 9 54.000 2 4.000 2.000 X Y X Y X X ⋅ + ⋅ =⎧ ⎨ − ⋅ − ⋅ = −⎩ − ⋅ = − = Letra C 19. (UnB / CESPE – CHESF 2002) Um capital acrescido dos seus juros simples de 21 meses soma R$ 7.050,00. O mesmo capital, diminuído dos seus juros simples de 13 meses, reduz-se a R$ 5.350,00. O valor desse capital é A) inferior a R$ 5.600,00. B) superior a R$ 5.600,00 e inferior a R$ 5.750,00. C) superior a R$ 5.750,00 e inferior a R$ 5.900,00. D) superior a R$ 5.900,00 e inferior a R$ 6.100,00. E) superior a R$ 6.100,00. Resolução Sabemos que o juro simples é dado por J C i n= ⋅ ⋅ Assim, o juro simples de 21 meses é 21 21J C i J Ci= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ O juro simples de 13 meses é 13 13J C i J Ci= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ “Um capital acrescido dos seus juros simples de 21 meses soma R$ 7.050,00” pode ser escrito algebricamente 21 7.050C Ci+ ⋅ = . “O mesmo capital, diminuído dos seus juros simples de 13 meses, reduz-se a R$ 5.350,00” pode ser escrito algebricamente 13 5.350C Ci− ⋅ = . Temos o seguinte sistema de equações:
  35. 35. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 35  www.pontodosconcursos.com.br 21 7.050 13 5.350 C Ci C Ci + ⋅ =⎧ ⎨ − ⋅ =⎩ Podemos novamente resolver pelo método da adição ou pelo método da substituição. Método da Substituição Da segunda equação, podemos concluir que 5.350 13C Ci= + ⋅ . Substituindo essa expressão na primeira equação do sistema: 21 7.050C Ci+ ⋅ = 5.350 13 21 7.050Ci Ci+ ⋅ + ⋅ = 34 7.050 5.350Ci⋅ = − 34 1.700Ci⋅ = 1.700 50 34 Ci Ci= ⇒ = De posse do valor C.i, podemos substituir em qualquer uma das equações do sistema. Substituindo na primeira equação, obtemos: 21 7.050C Ci+ ⋅ = 21 50 7.050C + ⋅ = 1.050 7.050C + = 6.000C = Letra D 20. (AFTE-RO 2010 FCC) Dois capitais foram aplicados a uma taxa de juros simples de 2% ao mês. O primeiro capital ficou aplicado durante o prazo de um ano e o segundo, durante 8 meses. A soma dos dois capitais e a soma dos correspondentes juros são iguais a R$ 27.000,00 e R$ 5.280,00, respectivamente. O valor do módulo da diferença entre os dois capitais é igual a a) R$ 2.000,00 b) R$ 2.500,00 c) R$ 3.000,00
  36. 36. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 36  www.pontodosconcursos.com.br d) R$ 4.000,00 e) R$ 5.000,00 Resolução Chamemos o primeiro capital de C1 e o segundo capital de C2. Já que a soma dos dois capitais é igual a R$ 27.000,00, podemos escrever que 1 2 27.000C C+ = Lembre-se que o juro simples é calculado de acordo com a fórmula J C i n= ⋅ ⋅ , em que C é o capital aplicado, i é a taxa de juros e n é o número de períodos. Assim, o juro do primeiro capital será 1 1 1 10,02 12 0,24J C J C= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ E o juro do segundo capital será 2 2 2 20,02 8 0,16J C J C= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ A segunda equação pode ser escrita da seguinte forma: 1 2 5.280J J+ = 1 20,24 0,16 5.280C C⋅ + ⋅ = Para não trabalhar com números decimais (e facilitar um pouco nossas contas), podemos multiplicar ambos os membros dessa equação por 100. 1 224 16 528.000C C⋅ + ⋅ = Acabamos de formar o seguinte sistema linear: 1 2 1 2 27.000 24 16 528.000 C C C C + =⎧ ⎨ ⋅ + ⋅ =⎩ Faremos, por exemplo, pelo método da substituição. Basta isolar na primeira equação o termo C2. 2 127.000C C= − Substitui-se essa expressão na segunda equação: 1 124 16 (27.000 ) 528.000C C⋅ + ⋅ − = 1 124 432.000 16 528.000C C⋅ + − ⋅ =
  37. 37. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 37  www.pontodosconcursos.com.br 18 528.000 432.000C⋅ = − 18 96.000C⋅ = 1 12.000C = E como a soma dos dois capitais é igual a 27.000, o segundo capital será: 2 27.000 12.000C = − 2 15.000C = O valor do módulo da diferença entre os dois capitais é igual a 15.000 – 12.000 = 3.000. Letra C 21. (Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Um investidor aplica um capital a juros simples, durante 10 meses, apresentando montante no valor de R$ 30.000,00 no final do período. Caso este capital tivesse sido aplicado durante 16 meses a juros simples, e com a mesma taxa de juros anterior, o valor do montante no final deste período teria sido de R$ 33.600,00. O valor do capital aplicado pelo investidor é igual a (A) R$ 21.000,00. (B) R$ 22.500,00. (C) R$ 23.600,00. (D) R$ 24.000,00. (E) R$ 25.000,00. Resolução Sabemos que o montante é a soma do capital com os juros. Logo, No regime simples, o juro é calculado da seguinte maneira: · · Vejamos a primeira aplicação: 1ª aplicação: 30.000 · · 30.000 · · 30.000
  38. 38. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 38  www.pontodosconcursos.com.br Como n = 10 meses, · · 10 30.000 Lembre-se que em álgebra C significa C vezes 1. · 1 · · 10 30.000 Podemos colocar o C em evidência. · 1 10 · 30.000 30.000 1 10 · Vamos guardar esta equação. 2ª aplicação: 33.600 · · 33.600 · · 33.600 Como n = 16 meses, · · 16 33.600 Lembre-se que em álgebra C significa C vezes 1. · 1 · · 16 33.600 Podemos colocar o C em evidência. · 1 16 · 33.600 33.600 1 16 · Na primeira aplicação, descobrimos que 30.000 1 10 · Podemos igualar as expressões: 33.600 1 16 · 30.000 1 10 · O produto dos meios é igual ao produto dos extremos: 30.000 · 1 16 · 33.600 · 1 10 ·
  39. 39. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 39  www.pontodosconcursos.com.br Vamos dividir ambos os membros por 100 para simplificar. 300 · 1 16 · 336 · 1 10 · 300 4.800 · 336 3.360 · 1.440 · 36 36 1.440 · 100% 2,5% 0,025 Voltando à equação descrita acima: 30.000 1 10 · 30.000 1 10 · 0,025 24.000 Letra D 13. Prazo, Taxa e Capital Médios    Apesar de este tópico não estar presente explicitamente no edital da FGV, esta banca já colocou este assunto em provas mesmo sem explicitá-lo no edital (como aconteceu no concurso SEFAZ-RJ 2008). Vejamos alguns exemplos numéricos para um bom entendimento dos conceitos deste tópico para em seguida apresentarmos as fórmulas de prazo, taxa e capital médio. Prazo Médio  Imagine a seguinte situação: João fez 2 empréstimos, a juros simples, de um mesmo credor. O primeiro foi de R$ 4.000,00 a uma taxa de 10% ao mês durante 4 meses. O segundo foi de R$ 2.000,00 a uma taxa de 5% ao mês durante 8 meses. O credor e João decidem substituir os prazos de vencimento dos dois empréstimos por um único prazo, de forma que não haja prejuízo para o credor nem para o devedor João. Qual é esse prazo? A condição de não haver prejuízo para o credor nem para o devedor se deve ao fato de os juros pagos nas duas situações serem os mesmos. Vejamos os juros pagos nos dois empréstimos: 1º empréstimo  
  40. 40. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 40  www.pontodosconcursos.com.br 4.000 · 10 100 · 4 1.600  2º empréstimo 2.000 · 5 100 · 8 800 Dessa forma, João pagará R$ 1.600,00 referentes ao primeiro empréstimo e R$ 800,00 referentes ao segundo empréstimo, totalizando R$ 2.400,00 de juros. Nosso objetivo é trocar o prazo de 4 meses do primeiro empréstimo e o prazo de 8 meses do segundo empréstimo de forma que o juro total permaneça o mesmo (R$ 2.400,00). O prazo que substituirá todos os outros sem alterar o juro total é denominado prazo médio. 4.000 · 10 100 · 2.000 · 5 100 · 2.400 400 · 100 · 2.400 500 · 2.400 24 5 Devemos dividir 24 meses por 5. Ora, 24 meses dividido por 5 é igual a 4 meses e resto igual a 4 meses. Como o mês comercial possui 30 dias, os 4 meses de resto equivalem a 4 · 30 120 . Devemos dividir 120 dias por 5 que é igual a 24 dias. 24 5 4 4 120 5 0 24 Assim, o prazo médio é igual a 4 meses e 24 dias. Taxa Média   Imagine a seguinte situação: João fez 2 empréstimos, a juros simples, de um mesmo credor. O primeiro foi de R$ 4.000,00 a uma taxa de 10% ao mês durante 4 meses. O segundo foi de R$ 2.000,00 a uma taxa de 5% ao mês durante 8 meses. O credor e João decidem substituir as taxas de
  41. 41. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 41  www.pontodosconcursos.com.br juros dos dois empréstimos por uma única taxa, de forma que não haja prejuízo para o credor nem para o devedor João. Qual é essa taxa? A condição de não haver prejuízo para o credor nem para o devedor se deve ao fato de os juros pagos nas duas situações serem os mesmos. Vejamos os juros pagos nos dois empréstimos: 1º empréstimo   4.000 · 10 100 · 4 1.600  2º empréstimo 2.000 · 5 100 · 8 800 Dessa forma, João pagará R$ 1.600,00 referentes ao primeiro empréstimo e R$ 800,00 referentes ao segundo empréstimo, totalizando R$ 2.400,00 de juros. A taxa que substituirá todas as outras sem alterar o juro total é denominado taxa média. 4.000 · · 4 2.000 · · 8 2.400 16.000 · 16.000 · 2.400 32.000 · 2.400 2.400 32.000 · 100% 7,5% Assim, a taxa média é de 7,5% ao mês. Capital Médio   Imagine a seguinte situação: João fez 2 empréstimos, a juros simples, de um mesmo credor. O primeiro foi de R$ 4.000,00 a uma taxa de 10% ao mês durante 4 meses. O segundo foi de R$ 2.000,00 a uma taxa de 5% ao mês durante 8 meses. O credor e João decidem substituir os capitais dos dois empréstimos por um único capital, de forma que não haja prejuízo para o credor nem para o devedor João. Qual é esse capital?
  42. 42. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 42  www.pontodosconcursos.com.br A condição de não haver prejuízo para o credor nem para o devedor se deve ao fato de os juros pagos nas duas situações serem os mesmos. Vejamos os juros pagos nos dois empréstimos: 1º empréstimo   4.000 · 10 100 · 4 1.600  2º empréstimo 2.000 · 5 100 · 8 800 Dessa forma, João pagará R$ 1.600,00 referentes ao primeiro empréstimo e R$ 800,00 referentes ao segundo empréstimo, totalizando R$ 2.400,00 de juros. O capital que substituirá todos os outros sem alterar o juro total é denominado capital médio. · 10 100 · 4 · 5 100 · 8 2.400 0,4 · 0,4 · 2.400 0,8 · 2.400 3.000 Assim, o capital médio é de R$ 3.000,00. Fórmulas do Prazo Médio, Taxa Média e Capital Médio   Neste tópico demonstraremos as fórmulas de Prazo Médio, Taxa Média e Capital Médio e em seguida resolveremos diversas questões de concursos. A demonstração será feita para um caso particular de três aplicações, mas pode ser generalizada para um número qualquer de aplicações. Fórmula do Prazo Médio Considere três capitais , ,, aplicados às taxas simples , ,, pelos prazos , ,. O juro total obtidos com essas três aplicações é de:
  43. 43. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 43  www.pontodosconcursos.com.br · · · · · · Nosso objetivo é substituir os três prazos por um único prazo denominado prazo médio de forma que o juro total permaneça constante. · · · · · · Dessa forma: · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · A partir desta fórmula, podemos concluir que o prazo médio é a média ponderada dos prazos com fatores de ponderação os capitais e as taxas. Fórmula da Taxa Média   Procedendo da mesma maneira que o item 3.5.4.1 (Fórmula do Prazo Médio), conclui‐ se que a taxa média é a média aritmética das taxas, tendo como fatores de  ponderação os capitais e os prazos.  · · ·   Fórmula do Capital Médio   Analogamente aos casos anteriores. O capital  médio é a média aritmética dos capitais,  tendo como fatores de ponderação os as taxas e os prazos.  · · ·   Exemplo João fez 2 empréstimos, a juros simples, de um mesmo credor. O primeiro foi de R$ 4.000,00 a uma taxa de 10% ao mês durante 4 meses. O segundo foi de R$ 2.000,00 a uma taxa de 5% ao mês durante 8 meses. Determine o prazo médio, a taxa média e o capital médio. Resolução 
  44. 44. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 44  www.pontodosconcursos.com.br Vejamos os juros pagos nos dois empréstimos: 1º empréstimo   4.000 · 10 100 · 4 1.600  2º empréstimo 2.000 · 5 100 · 8 800 Prazo médio · ·   1.600 800 4.000 · 0,10 2.000 · 0,05 2.400 500 24 5 4 24     Taxa Média  · ·   1.600 800 4.000 · 4 2.000 · 8 2.400 32.000 · 100% 7,5% ê     Capital Médio  · ·   1.600 800 0,10 · 4 0,05 · 8 2.400 0,8 3.000   22. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Os valores de R$ 50.000,00 e R$ 100.000,00 foram aplicados à mesma taxa de juros simples durante 12 e 6 meses, respectivamente. O prazo médio da aplicação conjunta desses capitais, em meses é: a) 12 b) 8 c) 10
  45. 45. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 45  www.pontodosconcursos.com.br d) 9,2 e) 7,5 Resolução Já que as taxas das quatro aplicações são iguais, podemos dizer que todas as taxas são iguais a . Vamos calcular os juros obtidos em cada uma das aplicações. 50.000 · · 12 600.000 · 100.000 · 6 · 600.000 · Apliquemos a fórmula do prazo médio. · · 600.000 · 600.000 · 50.000 · 100.000 · 1.200.000 · 150.000 · 8 Letra B 23. (AFRF 2003/ESAF) Os capitais de R$ 2.500,00, R$ 3.500,00, R$ 4.000,00 e R$ 3.000,00 são aplicados a juros simples durante o mesmo prazo às taxas mensais de 6%, 4%, 3% e 1,5%, respectivamente. Obtenha a taxa média mensal de aplicação destes capitais. a) 2,9% b) 3% c) 3,138% d) 3,25% e) 3,5% Resolução Já que os prazos das quatro aplicações são iguais, podemos dizer que todos os prazos são iguais a . Vamos calcular os juros obtidos em cada uma das aplicações. 2.500 · 0,06 · 150 · 3.500 · 0,04 · 140 · 4.000 · 0,03 · 120 ·
  46. 46. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 46  www.pontodosconcursos.com.br 3.000 · 0,015 · 45 · Apliquemos a fórmula da taxa média. · · · · 150 · 140 · 120 · 45 · 2.500 · 3.500 · 4.000 · 3.000 · 455 · 13.000 · 455 13.000 · 100% 3,5% ê . Letra E 24. (AFRF 2002.2/ESAF) Os capitais de R$ 7.000,00, R$ 6.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 4.000,00 são aplicados respectivamente às taxas de 6%, 3%, 4% e 2% ao mês, no regime de juros simples durante o mesmo prazo. Calcule a taxa média proporcional anual de aplicação destes capitais. a) 4% b) 8% c) 12% d) 24% e) 48% Resolução Digamos que os prazos das aplicações sejam todos iguais a meses. Vamos calcular o juro simples de cada aplicação. 7.000 · 0,06 · 420 · 6.000 · 0,03 · 180 · 3.000 · 0,04 · 120 · 4.000 · 0,02 · 80 · Apliquemos a fórmula da taxa média. · · · · 420 · 180 · 120 · 80 · 7.000 · 6.000 · 3.000 · 4.000 ·
  47. 47. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 47  www.pontodosconcursos.com.br 800 · 20.000 · 800 20.000 800 20.000 · 100% 4% ê . Como um ano é o mesmo que 12 meses, então para calcular a taxa proporcional anual basta multiplicar a taxa mensal por 12. 4% · 12 48% Letra E 14. Juros Compostos    No regime de capitalização composta, o juro gerado em cada período agrega-se ao capital, e essa soma passa a render juros para o próximo período. Daí que surge a expressão “juros sobre juros”. Imagine a seguinte situação: Guilherme aplicou R$ 10.000,00 a juros compostos durante 5 anos à taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados em cada período e o montante após o período de cada aplicação. Os juros gerados no primeiro ano são · 10.000 2.000 e o montante após o primeiro ano é 10.000 + 2.000 = 12.000. Os juros gerados no segundo ano são · 12.000 2.400 e o montante após o segundo ano é 12.000+2.400=14.400. Os juros gerados no terceiro ano são · 14.400 2.880 e o montante após o terceiro ano é 14.400 + 2.880 = 17.280. Os juros gerados no quarto ano são · 17.280 3.456 e o montante após o quarto ano é 17.280 + 3.456 = 20.736. Os juros gerados no quinto ano são · 20.736 4.147,20 e o montante após o quinto ano é 20.736 + 4.147,20 = 24.883,20. Período de Capitalização O intervalo de tempo em que os juros são incorporados ao capital é chamado de período de capitalização.
  48. 48. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 48  www.pontodosconcursos.com.br Dessa forma, se o problema nos diz que a capitalização é mensal, então os juros são calculados todo mês e imediatamente incorporados ao capital. Capitalização trimestral: os juros são calculados e incorporados ao capital uma vez por trimestre. E assim por diante. Caso a periodicidade da taxa e do número de períodos não estiverem na mesma unidade de tempo, deverá ser efetuado um “ajuste prévio” para a mesma unidade antes de efetuarmos qualquer cálculo. Abordaremos este assunto em seções posteriores (taxas de juros). Fórmula do Montante Composto Para calcular o montante de uma capitalização composta utilizaremos a seguinte fórmula básica: · 1 M → montante (capital + juros). C → Capital inicial aplicado. i → taxa de juros n → número de períodos. Observe que se a capitalização é bimestral e aplicação será feita durante 8 meses, então o número de períodos é igual a 4 bimestres. Não utilizaremos uma fórmula específica para o cálculo dos juros compostos. Se por acaso em alguma questão precisarmos calcular o juro composto, utilizaremos a relação: Comparação entre as Capitalizações Simples e Composta Considere a seguinte situação: João aplicará a quantia de R$ 1.000,00 a uma taxa de 10% ao mês. Calcule os montantes simples e compostos para os seguintes períodos de capitalização: a) 1 mês b) 15 dias (meio mês) c) 2 meses Resolução a) Capitalização Simples
  49. 49. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 49  www.pontodosconcursos.com.br · 1 · 1.000 · 1 0,1 · 1 1.100 Capitalização Composta · 1 1.000 · 1 0,1 1.100 Observe que, para 1, o montante simples é igual ao montante composto. b) Capitalização Simples · 1 · 1.000 · 1 0,1 · 0,5 1.050 Capitalização Composta · 1 1.000 · 1 0,1 , 1.048,81 Observe que, para 0,5, o montante simples é maior do que o montante composto. c) Capitalização Simples · 1 · 1.000 · 1 0,1 · 2 1.200 Capitalização Composta · 1 1.000 · 1 0,1 1.210 Observe que, para 2, o montante simples é menor do que o montante composto. Em resumo, temos as seguintes relações 1 O montante simples é igual ao montante composto. 0 1 O montante simples é maior do que o montante composto. 1 O montante simples é menor do que o montante composto. Convenção Linear e Convenção Exponencial Vimos que se o número de períodos for menor do que 1, é mais vantajoso para o credor cobrar juros simples.
  50. 50. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 50  www.pontodosconcursos.com.br Utilizaremos esse fato a favor do credor quando, na capitalização composta, o número de períodos for fracionário. Por exemplo, estamos fazendo uma aplicação a juros compostos durante 3 meses e meio. Podemos dizer que o tempo 3,5 meses é igual a 3 meses + 0,5 meses. Assim, poderíamos calcular o montante no período fracionário sob o regime simples (para ganhar mais dinheiro obviamente). Em Matemática Financeira, quando o número de períodos é fracionário, podemos calcular o montante de duas maneiras: - Convenção Exponencial - Convenção Linear Um capital de R$ 10.000,00 será aplicado por 3 meses e meio à taxa de 10% ao mês, juros compostos, em que se deseja saber o montante gerado. - Convenção Exponencial A convenção exponencial diz que o período, mesmo fracionário, será utilizado no expoente da expressão do montante. Assim, (1 )n M C i= ⋅ + 3,5 10.000 (1 0,10)M = ⋅ + 3,5 10.000 1,10M = ⋅ O valor 1,103,5 = 1,395964 deverá ser fornecido pela questão. 10.000 1,395964M = ⋅ 13.959,64M = - Convenção Linear A convenção linear considera juros compostos na parte inteira do período e, sobre o montante assim gerado, aplica juros simples no período fracionário. Podemos resumir a seguinte fórmula para a convenção linear: (1 ) (1 )Int fracM C i i n= ⋅ + ⋅ + ⋅ Nessa formula “Int” significa a parte inteira do período e nfrac a parte fracionária do período.
  51. 51. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 51  www.pontodosconcursos.com.br 3 10.000 (1 0,10) (1 0,10 0,5)M = ⋅ + ⋅ + ⋅ 3 10.000 1,10 1,05M = ⋅ ⋅ 13.975,50M = Como era de se esperar, o montante da convenção linear foi maior do que o montante da convenção exponencial. 25. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) O valor de um investimento de R$ 20 000,00, a uma taxa de juros compostos de 50% ao ano, ao final de dois anos é a) R$ 45.000,00 b) R$ 47.500,00 c) R$ 60.000,00 d) R$ 90.000,00 e) R$ 50.000,00 Resolução · 1 20.000 · 1 0,50 45.000,00 Letra A 26. (BACEN 2010/CESGRANRIO) Um investidor aplicou R$ 20.000,00 num CDB com vencimento para 3 meses depois, a uma taxa composta de 4% ao mês. O valor de resgate dessa operação foi, em reais, de (Nota: efetue as operações com 4 casas decimais) a) 20.999,66 b) 21.985,34 c) 22.111,33 d) 22.400,00 e) 22.498,00 Resolução · 1 20.000 · 1,04 O enunciado mandou efetuar as operações com 4 casas decimais. 1,04 1,04 1,0816 1,0816 1,04 1,124864 1,1249 20.000 · 1,04 20.000 · 1,1249 22.498,00
  52. 52. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 52  www.pontodosconcursos.com.br Letra E 27. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Os juros auferidos pela aplicação de um capital no valor de R$ 12.500,00, durante dois anos, a uma taxa de juros compostos de 8% ao ano, são iguais aos da aplicação de um outro capital no valor R$ 10.400,00, a juros simples, à taxa de 15% ao ano. O tempo em que o segundo capital ficou aplicado foi igual a a) 22 meses b) 20 meses c) 18 meses d) 16 meses e) 15 meses Resolução Aplicação a juros compostos: · 1 12.500 · 1 0,08 14.580 Assim, o juro composto é a diferença entre o montante e o capital aplicado 14.580 – 12.500 = 2.080. Esse juro é igual ao da aplicação à taxa simples. A resposta do tempo de aplicação será dada em meses. Como a taxa é de 15% ao ano, a taxa equivalente mensal é 15%/12 = 1,25%=0,0125 ao mês. · · 2.080 10.400 · 0,0125 · 2.080 130 · 16 Letra D 28. (CEF 2008 CESGRANRIO) O gráfico a seguir representa as evoluções no tempo do Montante a Juros Simples e do Montante a Juros Compostos, ambos à mesma taxa de juros. M é dado em unidades monetárias e t, na mesma unidade de tempo a que se refere à taxa de juros utilizada.
  53. 53. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 53  www.pontodosconcursos.com.br Analisando-se o gráfico, conclui-se que para o credor é mais vantajoso emprestar a juros a) compostos, sempre. b) compostos, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo. c) simples, sempre. d) simples, se o período do empréstimo for maior do que a unidade de tempo. e) simples, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo. Resolução O gráfico acima descreve bem o exemplo que fizemos anteriormente (aquele em que o montante simples foi maior do que o montante composto). Quando o número de períodos da capitalização for menor do que 1 o juro simples será maior do que o juro composto. Letra E 29. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) A fração de período pela convenção linear produz uma renda a e pela convenção exponencial produz uma renda b. Pode-se afirmar que: a) log b) c) d) √ e) Resolução Vimos que: 1 O montante simples é igual ao montante composto. 0 1 O montante simples é maior do que o montante composto. 1 O montante simples é menor do que o montante composto. Assim, a fração de período pela convenção linear produz uma renda maior do que a convenção exponencial. Letra E 30. (BESC 2004/FGV) O montante de um principal de R$ 300,00 em 2 meses e 10 dias, a juros de 10% ao mês pela convenção linear, é igual a: a) R$ 370,00 b) R$ 372,00 c) R$ 373,00 d) R$ 375,10 e) R$ 377,10
  54. 54. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 54  www.pontodosconcursos.com.br Resolução De acordo com a convenção linear, a parte inteira do período será aplicada a juros compostos enquanto que a parte fracionária será aplicada a juros simples. O período de 10 dias equivale a 1/3 do mês. · 1 · 1 · 300 · 1 0,10 · 1 0,10 · 1 3 300 · 1,21 · 1 1 30 363 · 1 1 30 363 363 30 363 12,1 375,10 Letra D 31. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) José dispõe de R$ 10.000,00 para aplicar durante seis meses. Consultando determinado banco, recebeu as seguintes propostas de investimento: I – Juros simples de 2% ao mês. II – Juros compostos de 1% ao mês. III – Resgate de R$ 12.000,00, ao final de um período de seis meses. Assinale: a) se todas apresentarem o mesmo retorno. b) se a proposta I for a melhor alternativa de investimento. c) se a proposta II for a melhor alternativa de investimento. d) se a proposta III for a melhor alternativa de investimento. e) se as propostas I e III apresentarem o mesmo retorno. Resolução I – Juros simples de 2% ao mês durante 6 meses. · 1 · 10.000 · 1 0,02 · 6 11.200 II - Juros compostos de 1% ao mês durante 6 meses. · 1 10.000 · 1 0,01 10.615,20 Portanto, a proposta III é a melhor alternativa de investimento. Letra D
  55. 55. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 55  www.pontodosconcursos.com.br 15. Relação das questões comentadas    01. (SEFAZ-RJ 2009/FGV) O valor a ser pago por um empréstimo de R$ 4.500,00, a uma taxa de juros simples de 0,5% ao dia, ao final de 78 dias é de: a) R$ 6.255,00 b) R$ 5.500,00 c) R$ 6.500,00 d) R$ 4.855,00 e) R$ 4.675,00 02. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Um capital é aplicado durante 120 dias a uma taxa de juros simples ordinários de 15% ao ano, produzindo um montante de R$ 8.400,00. Nestas condições, o capital aplicado, desprezando os centavos é: a) R$ 6.500,00 b) R$ 7.850,00 c) R$ 8.017,00 d) R$ 8.820,00 e) R$ 8.000,00 03. (Vestibular FGV 2002) Um capital aplicado a juros simples, à taxa de 2,5% ao mês, triplica em: a) 75 meses b) 80 meses c) 85 meses d) 90 meses e) 95 meses 04. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) A taxa de juros simples de 0,05% ao dia equivale à taxa semestral de: a) 15,00% b) 1,50% c) 18,00% d) 9,00% e) 12,00% 05. (SEFAZ-RJ 2009/FGV) Um montante inicial foi aplicado a uma taxa de juros simples de 5% ao mês durante 2 meses e depois reaplicado a uma taxa de juros simples de 10% ao mês durante 2 meses, resultando em R$ 13.200,00. O valor do montante inicial era de: a) R$ 18.500,00 b) R$ 13.000,00 c) R$ 12.330,00
  56. 56. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 56  www.pontodosconcursos.com.br d) R$ 11.000,00 e) R$ 10.000,00 06. (Vestibular FGV 2001) Um vidro de perfume é vendido à vista por R$48,00 ou a prazo, em dois pagamentos de R$25,00 cada um, o primeiro no ato da compra e o outro um mês depois. A taxa mensal de juros do financiamento é aproximadamente igual a: A) 6,7% B) 7,7% C) 8,7% D) 9,7% E) 10,7% 07. (BESC 2004/FGV) Um artigo é vendido, à vista, por R$ 150,00 ou em dois pagamentos de R$ 80,00 cada um: o primeiro, no ato da compra e o segundo, um mês após a compra. Os que optam pelo pagamento parcelado pagam juros mensais de taxa aproximadamente igual a: a) 14,29% b) 13,33% c) 9,86% d) 7,14% e) 6,67% 08. (SEFAZ-MS 2006/FGV) Um artigo custa, à vista, R$ 200,00 e pode ser comprado a prazo com uma entrada de R$ 100,00 e um pagamento de R$ 120,00 um mês após a compra. Os que compram a prazo pagam juros mensais de taxa: a) 5% b) 10% c) 20% d) 25% e) 30% 09. (Prefeitura de Ituporanga – 2009 – FEPESE) Quais são os juros simples de R$ 12.600,00, à taxa de 7,5% ao ano, em 4 anos e 9 meses? a) R$ 4.488,75 b) R$ 1.023,75 c) R$ 3.780,00 d) R$ 1.496,25 e) R$ 5.386,50
  57. 57. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 57  www.pontodosconcursos.com.br 10. (AFRE-PB 2006 FCC) Certas operações podem ocorrer por um período de apenas alguns dias, tornando conveniente utilizar a taxa diária e obtendo os juros segundo a convenção do ano civil ou do ano comercial. Então, se um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado por 5 dias à taxa de juros simples de 9,3% ao mês, em um mês de 31 dias, o módulo da diferença entre os valores dos juros comerciais e dos juros exatos é a) R$ 37,50 b) R$ 30,00 c) R$ 22,50 d) R$ 15,00 e) R$ 7,50 11. (BACEN 2010 CESGRANRIO) Um aplicador vai obter de resgate em um título o valor de R$ 30.000,00. Sabendo-se que a operação rendeu juros simples de 5% ao mês, por um período de 6 meses, o valor original da aplicação foi, em reais, de a) 21.066,67 b) 21.500,00 c) 22.222,66 d) 23.076,93 e) 23.599,99 12. (AFRE-CE 2006 ESAF) Qual o capital que aplicado a juros simples à taxa de 2,4% ao mês rende R$ 1 608,00 em 100 dias? a) R$ 20 000,00. b) R$ 20 100,00. c) R$ 20 420,00. d) R$ 22 000,00. e) R$ 21 400,00. 13. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um capital no valor de R$ 12.500,00 é aplicado a juros simples, durante 12 meses, apresentando um montante igual a R$ 15.000,00. Um outro capital é aplicado, durante 15 meses, a juros simples a uma taxa igual à da aplicação anterior, produzindo juros no total de R$ 5.250,00. O valor do segundo capital supera o valor do primeiro em a) R$ 10.000,00 b) R$ 8.500,00 c) R$ 7.500,00 d) R$ 6.000,00 e) R$ 5.850,00
  58. 58. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 58  www.pontodosconcursos.com.br 14. (AFRE-PB 2006 ESAF) Um investidor aplica em um determinado banco R$ 10.000,00 a juros simples. Após 6 meses, resgata totalmente o montante de R$ 10.900,00 referente a esta operação e o aplica em outro banco, durante 5 meses, a uma taxa de juros simples igual ao dobro da correspondente à primeira aplicação. O montante no final do segundo período é igual a a) R$ 12.535,00 b) R$ 12.550,00 c) R$ 12.650,00 d) R$ 12.750,00 e) R$ 12.862,00 (UnB / CESPE – DOCAS / PA -2004) Mário dispunha de um capital de R$ 10.000,00. Parte desse capital ele aplicou no banco BD, por 1 ano, à taxa de juros simples de 3% ao mês. O restante, Mário aplicou no banco BM, também pelo período de 1 ano, à taxa de juros simples de 5% ao mês. Considerando que, ao final do período, Mário obteve R$ 4.500,00 de juros das duas aplicações, julgue os itens seguintes. 15. A quantia aplicada no banco BM foi superior a R$ 4.000,00. 16. Os juros obtidos pela aplicação no banco BM superaram em mais de R$ 500,00 os juros obtidos pela aplicação no banco BD. 17. Ao final do ano, o montante obtido pela aplicação no banco BD foi superior a R$ 8.000,00. 18. (UnB / CESPE – CHESF 2002) Uma pessoa recebeu R$ 6.000,00 de herança, sob a condição de investir todo o dinheiro em dois tipos particulares de ações, X e Y. As ações do tipo X pagam 7% a.a. e as ações do tipo Y pagam 9% a.a. A maior quantia que a pessoa pode investir nas ações X, de modo a obter R$ 500,00 de juros em um ano, é A) inferior a R$ 1.800,00. B) superior a R$ 1.800,00 e inferior a R$ 1.950,00. C) superior a R$ 1.950,00 e inferior a R$ 2.100,00. D) superior a R$ 2.100,00 e inferior a R$ 2.250,00. E) superior a R$ 2.250,00. 19. (UnB / CESPE – CHESF 2002) Um capital acrescido dos seus juros simples de 21 meses soma R$ 7.050,00. O mesmo capital, diminuído dos seus juros simples de 13 meses, reduz-se a R$ 5.350,00. O valor desse capital é A) inferior a R$ 5.600,00. B) superior a R$ 5.600,00 e inferior a R$ 5.750,00. C) superior a R$ 5.750,00 e inferior a R$ 5.900,00. D) superior a R$ 5.900,00 e inferior a R$ 6.100,00. E) superior a R$ 6.100,00.
  59. 59. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 59  www.pontodosconcursos.com.br 20. (AFTE-RO 2010 FCC) Dois capitais foram aplicados a uma taxa de juros simples de 2% ao mês. O primeiro capital ficou aplicado durante o prazo de um ano e o segundo, durante 8 meses. A soma dos dois capitais e a soma dos correspondentes juros são iguais a R$ 27.000,00 e R$ 5.280,00, respectivamente. O valor do módulo da diferença entre os dois capitais é igual a a) R$ 2.000,00 b) R$ 2.500,00 c) R$ 3.000,00 d) R$ 4.000,00 e) R$ 5.000,00 21. (Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Um investidor aplica um capital a juros simples, durante 10 meses, apresentando montante no valor de R$ 30.000,00 no final do período. Caso este capital tivesse sido aplicado durante 16 meses a juros simples, e com a mesma taxa de juros anterior, o valor do montante no final deste período teria sido de R$ 33.600,00. O valor do capital aplicado pelo investidor é igual a (A) R$ 21.000,00. (B) R$ 22.500,00. (C) R$ 23.600,00. (D) R$ 24.000,00. (E) R$ 25.000,00. 22. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Os valores de R$ 50.000,00 e R$ 100.000,00 foram aplicados à mesma taxa de juros simples durante 12 e 6 meses, respectivamente. O prazo médio da aplicação conjunta desses capitais, em meses é: a) 12 b) 8 c) 10 d) 9,2 e) 7,5 23. (AFRF 2003/ESAF) Os capitais de R$ 2.500,00, R$ 3.500,00, R$ 4.000,00 e R$ 3.000,00 são aplicados a juros simples durante o mesmo prazo às taxas mensais de 6%, 4%, 3% e 1,5%, respectivamente. Obtenha a taxa média mensal de aplicação destes capitais. a) 2,9% b) 3% c) 3,138% d) 3,25% e) 3,5%
  60. 60. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 60  www.pontodosconcursos.com.br 24. (AFRF 2002.2/ESAF) Os capitais de R$ 7.000,00, R$ 6.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 4.000,00 são aplicados respectivamente às taxas de 6%, 3%, 4% e 2% ao mês, no regime de juros simples durante o mesmo prazo. Calcule a taxa média proporcional anual de aplicação destes capitais. a) 4% b) 8% c) 12% d) 24% e) 48% 25. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) O valor de um investimento de R$ 20 000,00, a uma taxa de juros compostos de 50% ao ano, ao final de dois anos é a) R$ 45.000,00 b) R$ 47.500,00 c) R$ 60.000,00 d) R$ 90.000,00 e) R$ 50.000,00 26. (BACEN 2010/CESGRANRIO) Um investidor aplicou R$ 20.000,00 num CDB com vencimento para 3 meses depois, a uma taxa composta de 4% ao mês. O valor de resgate dessa operação foi, em reais, de (Nota: efetue as operações com 4 casas decimais) a) 20.999,66 b) 21.985,34 c) 22.111,33 d) 22.400,00 e) 22.498,00 27. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Os juros auferidos pela aplicação de um capital no valor de R$ 12.500,00, durante dois anos, a uma taxa de juros compostos de 8% ao ano, são iguais aos da aplicação de um outro capital no valor R$ 10.400,00, a juros simples, à taxa de 15% ao ano. O tempo em que o segundo capital ficou aplicado foi igual a a) 22 meses b) 20 meses c) 18 meses d) 16 meses e) 15 meses
  61. 61. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 61  www.pontodosconcursos.com.br 28. (CEF 2008 CESGRANRIO) O gráfico a seguir representa as evoluções no tempo do Montante a Juros Simples e do Montante a Juros Compostos, ambos à mesma taxa de juros. M é dado em unidades monetárias e t, na mesma unidade de tempo a que se refere à taxa de juros utilizada. Analisando-se o gráfico, conclui-se que para o credor é mais vantajoso emprestar a juros a) compostos, sempre. b) compostos, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo. c) simples, sempre. d) simples, se o período do empréstimo for maior do que a unidade de tempo. e) simples, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo. 29. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) A fração de período pela convenção linear produz uma renda a e pela convenção exponencial produz uma renda b. Pode-se afirmar que: a) log b) c) d) √ e) 30. (BESC 2004/FGV) O montante de um principal de R$ 300,00 em 2 meses e 10 dias, a juros de 10% ao mês pela convenção linear, é igual a: a) R$ 370,00 b) R$ 372,00 c) R$ 373,00 d) R$ 375,10 e) R$ 377,10 31. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) José dispõe de R$ 10.000,00 para aplicar durante seis meses. Consultando determinado banco, recebeu as seguintes propostas de investimento: I – Juros simples de 2% ao mês. II – Juros compostos de 1% ao mês. III – Resgate de R$ 12.000,00, ao final de um período de seis meses. Assinale:
  62. 62. CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 62  www.pontodosconcursos.com.br a) se todas apresentarem o mesmo retorno. b) se a proposta I for a melhor alternativa de investimento. c) se a proposta II for a melhor alternativa de investimento. d) se a proposta III for a melhor alternativa de investimento. e) se as propostas I e III apresentarem o mesmo retorno. 16. Gabaritos    01. A  02. E  03. B  04. D  05. E  06. C  07. A  08. C  09. A  10. E  11. D  12. B  13. B  14. A  15. Errado  16. Errado  17. Certo  18. C  19. D  20. C  21. D  22. B  23. E  24. E  25. A  26. E  27. D  28. E  29. E  30. D  31. D   

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