Curso online de matemática e raciocínio lógico para o Senado

CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
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Aula 2 – Senado Federal
1. Apresentação ........................................................................................................................ 2
2. Introdução ............................................................................................................................. 2
3. Juros ...................................................................................................................................... 3
4. Formas de Representação da Taxa de Juros ......................................................................... 4
5. Elementos da Operação de Juros .......................................................................................... 5
6. Regimes de Capitalização ...................................................................................................... 6
7. Capitalização Simples ............................................................................................................ 6
8. Capitalização Composta ........................................................................................................ 7
9. Juros Simples ......................................................................................................................... 8
10. Homogeneização entre a taxa e o prazo de capitalização .................................................. 10
11. Taxas Proporcionais ............................................................................................................ 10
12. Juros Simples Ordinários (Comerciais) e Exatos .................................................................. 12
13. Prazo, Taxa e Capital Médios .............................................................................................. 39
14. Juros Compostos ................................................................................................................. 47
Fórmula do Montante Composto ............................................................................................ 48
Comparação entre as Capitalizações Simples e Composta ............................................. 48
Convenção Linear e Convenção Exponencial ..................................................................... 49
15. Relação das questões comentadas ..................................................................................... 55
16. Gabaritos ............................................................................................................................. 62

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1. Apresentação

Olá pessoal!
Bem vindo ao nosso curso de Matemática e Raciocínio Lógico para o Senado
Federal.
Uma pequena modificação será feita em nosso cronograma.
Doravante, seguiremos o seguinte:
Aula 0 (demonstrativa) Sequências numéricas. Progressões aritméticas.
Aula 1 Juros Simples e Compostos
Aula 2 Progressão Geométrica. Números inteiros, racionais
e reais. Sistema legal de medidas. Razões e
proporções. Regras de três simples e compostas.
Aula 3 Porcentagens. Equações e inequações de 1.° e de
2.° graus. Funções e gráficos.
Aula 4 Geometria Básica
Aula 5 Conceitos básicos de probabilidade e estatística.
Aula 6 Estruturas lógicas, lógica da argumentação,
diagramas lógico. (parte 1)
Aula 7 Estruturas lógicas, lógica da argumentação,
diagramas lógico. (parte 2)
2. Introdução

A Matemática Financeira é uma ciência que não se preocupa apenas com o
cálculo dos juros simples e compostos. Esta é a função de um dos capítulos
iniciais da matemática comercial. A Matemática Financeira é o elo entre os
métodos matemáticos e os fenômenos financeiro-econômicos. É uma ciência
que se preocupa com a construção de modelos gerais, representação de
variáveis monetárias na linha do tempo. Matemática Financeira é a disciplina
que estuda o entendimento dos modelos de aplicação, avaliação de
investimentos e captação de recursos.
A operação básica da matemática financeira é a operação de empréstimo.
Alguém dispõe de certo capital, empresta-o por certo período de tempo. Após
esse período, recebe o seu capital acrescido de uma remuneração pelo
empréstimo. A essa remuneração denominamos juro.

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Existem diversas razões que justificam o pagamento dos juros na operação de
empréstimo. O primeiro deles é o custo de oportunidade. Obviamente, quando
alguém disponibiliza certa quantia para ser emprestada, deixará de investir o
capital em outros projetos. Portanto, o não-uso deste capital deverá ser
remunerado.
Deve-se levar em consideração a perda do poder de compra na linha do
tempo. Com o aumento generalizado de preços causado pela inflação, quem
empresta o dinheiro quer preservar o poder de compra. O elemento que será
responsável por preservar o valor do dinheiro no tempo é o juro.
Os bancos em geral têm despesas administrativas e obviamente têm o
interesse de repassar essas despesas para os devedores.
Um aspecto de destaque é o de considerar os valores em seu momento no
tempo. A valoração que fazemos de algo está diretamente associada ao
momento em que ocorre.
3. Juros

O juro é o dinheiro pago pelo dinheiro emprestado. É o custo do capital de
terceiros colocado à nossa disposição.
Alguém que dispõe de um capital C (denominado principal, capital inicial, valor
atual), empresta-o a outrem por certo período de tempo, e após esse período
recebe o seu capital de volta. Esse capital ao ser devolvido deverá ser
remunerado. Essa remuneração é chamada de juro.
Ao emprestarmos uma quantia em dinheiro, por determinado período de tempo,
costumamos cobrar o juro, de tal modo que, no fim do prazo estipulado,
disponhamos não só da quantia emprestada, como também de um acréscimo
que compense a não-utilização do capital financeiro, por nossa parte, durante o
período em que foi emprestado.
A soma capital + juros é chamada de montante e será representada por M.
Os juros são fixados através de uma taxa percentual que sempre se refere a
uma unidade de tempo: dia, mês, bimestre, trimestre, semestre, ano,... .
Utilizamos, usualmente, a letra i para denotar a taxa de juros. A letra i é a
inicial da palavra inglesa interest, que significa juros.
O elemento que faz a equivalência dos valores ao longo do tempo é o juro, que
representa a remuneração do capital.

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Exemplo:
24% 24% . .
6% 6% . .
3,5% 3,5% . .
Veremos ao longo deste curso, que não é permitido em Matemática Financeira
operar com quantias em épocas diferentes.
O objetivo da Matemática Financeira é permitir a comparação de valores em
diversas datas de pagamento ou recebimento e o elemento chave para a
comparação destes valores é a taxa de juros.
Imagine que o Banco X cobra uma taxa de 6% ao mês no uso do cheque
especial. E em determinado mês, João precisou pegar emprestado do banco
R$ 2.000,00. Que valor João deve depositar na sua conta daqui a um mês para
saldar a dívida?
Vimos anteriormente que ao pegar alguma quantia emprestada, além de
devolver o principal, deve-se remunerar o capital.
E quanto será a remuneração? Quem responderá essa pergunta é a taxa de
juros.
Se a taxa de juros é de 6% ao mês e a quantia emprestada é de R$ 2.000,00,
então para saldar a dívida deve-se pagar os R$ 2.000,00 e mais os juros
cobrados pelo banco. O juro que deverá ser pago daqui a um mês será 6% de
R$ 2.000,00.
Ou seja,
6% 2.000
6
100
· 2.000 120
O valor total que João deve depositar na sua conta para saldar a dívida é igual
a 2.000+120=2.120.
4. Formas de Representação da Taxa de Juros

É importante observar que no cálculo anterior, a taxa de juros 6% foi
transformada em fração decimal para permitir a operação. Assim, as taxas de
juros terão duas representações:
i) Sob a forma de porcentagem (taxa percentual): 6% ao ano = 6% a.a.

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ii) Sob a forma de fração decimal (taxa unitária): 0,06
A representação em percentagem é a comumente utilizada; entretanto,
todos os cálculos e desenvolvimentos de fórmulas serão feitos através da
notação em fração decimal.
5. Elementos da Operação de Juros

Na situação descrita acima, podemos perceber os principais elementos de uma
operação de juros.
Imagine que o Banco X cobra uma taxa de 6% ao mês no uso do cheque
especial. E em determinado mês, João precisou pegar emprestado do
banco R$ 2.000,00. Que valor João deve depositar na sua conta daqui a
um mês para saldar a dívida?
Capital (C) → Pode ser chamado de principal, capital inicial, valor presente,
valor atual, montante inicial, valor de aquisição, valor à vista. No nosso
exemplo, é o dinheiro que João pegou emprestado do banco. Temos então, no
nosso problema, que o capital é igual a R$ 2.000,00.
Juros (J) → Também chamado de rendimento. Quando uma pessoa
empresta a outra um valor monetário, durante certo tempo, é cobrado um valor
pelo uso do dinheiro. Esse valor é denominado juro.
Taxa de juros (i) → A taxa de juros representa os juros numa certa unidade de
tempo. A taxa obrigatoriamente deverá explicitar a unidade de tempo. Por
exemplo, se João vai ao banco tomar um empréstimo e o gerente diz:
- Ok! O seu empréstimo foi liberado! E a taxa de juros que nós cobramos é de
apenas 8%.
Ora, a informação desse gerente está incompleta. Pois se os juros forem de
8% ao ano... Ótimo! E se essa taxa de juros for ao dia? PÉSSIMO! Portanto,
perceba que a indicação da unidade da taxa de juros é FUNDAMENTAL.
Tempo (n) → Quando falamos em tempo, leia-se NÚMERO DE PERÍODOS.
No nosso exemplo, se João ficasse devendo ao banco por 3 meses, o número
de períodos seria igual a 3. Agora, imagine a seguinte situação. Toma-se um
empréstimo com a taxa de 7,5% a.b. (ao bimestre). Se João demorar 6 meses
para efetuar o pagamento da dívida, o seu “n”, ou seja, o seu tempo não será
igual a 6. O seu tempo será igual a 3!!! Pois a taxa é bimestral, e em um

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período de 6 meses temos 3 bimestres. No nosso exemplo, a taxa era mensal
e João usou o cheque especial durante apenas um mês.
Montante (M) → Pode ser chamado de montante, montante final, valor
futuro. É o valor de resgate. Obviamente o montante é maior do que o capital
inicial. O montante é, em suma, o capital mais os juros.
Podemos então escrever que M = C + J.
As operações de empréstimo são feitas geralmente por intermédio de um
banco que, de um lado, capta dinheiro de interessados em aplicar seus
recursos e, de outro, empresta esse dinheiro aos tomadores interessados no
empréstimo.
6. Regimes de Capitalização

Denominamos regimes de capitalização aos diferentes processos como os
juros são gerados e agregados ao capital aplicado.
Os juros são normalmente classificados em simples ou compostos,
dependendo do processo de cálculo utilizado. Ou seja, se um capital for
aplicado a certa taxa por período, por vários intervalos ou períodos de tempo, o
valor do montante pode ser calculado segundo duas convenções de cálculo,
chamadas de regimes de capitalização: capitalização simples (juros
simples) e capitalização composta (juros compostos). Vejamos dois
exemplos para entender os esses dois tipos de capitalização.
7. Capitalização Simples

De acordo com esse regime, os juros gerados em cada período são sempre
os mesmos.
Nessa hipótese, os juros pagos de cada período são calculados sempre em
função do capital inicial empregado. Vejamos um exemplo numérico visando a
fixação desse conceito.
Guilherme aplicou R$ 10.000,00 a juros simples durante 5 anos à taxa de 20%
a.a. Vamos calcular os juros gerados em cada período e o montante após o
período de aplicação.
Como a própria leitura da taxa indica: 20% ao ano (vinte por cento ao ano).
Cada ano, de juros, receberei 20%. 20% de quem? Do capital aplicado – R$

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10.000,00. A taxa de juros, no regime simples, sempre incide sobre o capital
inicial.
Os juros gerados no primeiro ano são · 10.000 2.000.
Os juros gerados no segundo ano são · 10.000 2.000.
Os juros gerados no terceiro ano são · 10.000 2.000.
Os juros gerados no quarto ano são · 10.000 2.000.
Os juros gerados no quinto ano são · 10.000 2.000.
Na CAPITALIZAÇÃO SIMPLES os juros gerados em cada período são
sempre os mesmos, ou seja, a taxa incide apenas sobre o capital inicial.
Dessa forma, o montante após os 5 anos vale R$ 10.000,00 (capital aplicado)
mais 5 vezes R$ 2.000,00 (juros). Conclusão: o montante é igual a R$
20.000,00 (lembre-se que o montante é o capital inicial mais o juro).
8. Capitalização Composta

No regime de capitalização composta, o juro gerado em cada período
agrega-se ao capital, e essa soma passa a render juros para o próximo
período. Daí que surge a expressão “juros sobre juros”.
Imagine a seguinte situação: Guilherme aplicou R$ 10.000,00 a juros
compostos durante 5 anos à taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados
em cada período e o montante após o período de cada aplicação.
Os juros gerados no primeiro ano são · 10.000 2.000 e o montante após
o primeiro ano é 10.000 + 2.000 = 12.000.
Os juros gerados no segundo ano são · 12.000 2.400 e o montante
após o segundo ano é 12.000+2.400=14.400.
Os juros gerados no terceiro ano são · 14.400 2.880 e o montante após
o terceiro ano é 14.400 + 2.880 = 17.280.
Os juros gerados no quarto ano são · 17.280 3.456 e o montante após o
quarto ano é 17.280 + 3.456 = 20.736.

8
Os juros gerados no quinto ano são · 20.736 4.147,20 e o montante
após o quinto ano é 20.736 + 4.147,20 = 24.883,20.
Observação: Se a operação de juros for efetuada em apenas um período, o
montante será igual nos dois regimes. No nosso exemplo, se parássemos a
aplicação no primeiro mês, teríamos um montante de R$ 12.000,00 nos dois
regimes de capitalização.
Observe ainda que o dinheiro cresce mais rapidamente a juros compostos do
que a juros simples.
9. Juros Simples

Como vimos anteriormente, juros simples são aqueles calculados sempre
sobre o capital inicial, sem incorporar à sua base de cálculo os juros auferidos
nos períodos anteriores. Ou seja, os juros não são capitalizados.
Vejamos outro exemplo para entendermos bem a fórmula de juros simples.
Imagine que você aplique R$ 5.000,00 à taxa de juros simples de 3% ao mês.
Então, ao final do primeiro mês de aplicação, o juro produzido será:
3% 5.000
3
100
· 5.000 150
Ou seja, para calcular o juro produzido no primeiro mês, basta multiplicar
a taxa de juros pelo capital inicial. Como, sob o regime de capitalização
simples, os juros produzidos em cada período são sempre iguais, podemos
concluir que, se esse capital fosse aplicado por 10 meses, produziria juros de:
150 x 10 = 1.500.
A partir desse exemplo, é fácil compreender a fórmula para o cálculo do juro
simples.
Adotaremos as seguintes notações:
O juro produzido no primeiro período de aplicação é igual ao produto do
C → Capital inicial
i → taxa de juros simples
n → tempo de aplicação
J → juro simples produzido durante o período de aplicação.
M → montante ao final da aplicação

9
capital inicial (C) pela taxa de juros (i), como foi feito no nosso exemplo. E,
consequentemente, o juro produzido em n períodos de aplicação será:
J C i n= ⋅ ⋅ (1)
E, lembrando também que o montante é a soma do capital com os juros
produzidos, temos a seguinte fórmula abaixo:
M C J= + (2)
Substituindo a fórmula (1) na fórmula (2), temos então a seguinte expressão:
M C C i n= + ⋅ ⋅
Em álgebra, C significa 1 C⋅ , portanto,
1M C C i n= ⋅ + ⋅ ⋅
Colocando o C em evidência,
(1 )M C i n= ⋅ + ⋅ (3)
É de suma importância memorizar as três fórmulas abaixo.
J C i n= ⋅ ⋅ (1)
M C J= + (2)
(1 )M C i n= ⋅ + ⋅ (3)
E devemos estar atentos ao seguinte fato:
Deve-se utilizar a taxa na forma unitária. Assim, por exemplo, se a taxa for de
30% , utilizamos 0,30.
J

10
10. Homogeneização entre a taxa e o prazo de capitalização

A taxa de juros deverá estar explicitada na mesma unidade de tempo
apresentada pelo prazo de capitalização. Ou seja, deve existir concordância
entre as unidades da taxa de juros e do tempo.
Assim, se a taxa for mensal, o tempo deverá ser expresso em meses;
Se a taxa for bimestral, o tempo deverá ser expresso em bimestres;
E assim sucessivamente.
Exemplos
i=3% a.m.
n=150 dias.
A taxa está expressa em meses e o tempo em dias. Para que haja
concordância entre as unidades, deveremos escolher uma unidade comum e
transformar um dos objetos.
O mês comercial é de 30 dias. Portanto, para transformar o tempo de 150 dias
para meses, basta dividir por 30.
i=3% a.m.
n= 5 meses
Para efetuar a transformação da taxa, no regime de juros simples, utilizaremos
o conceito de taxas proporcionais.
Transformar a taxa significa encontrar uma taxa equivalente, ou seja, que para
um mesmo período, os juros gerados sejam o mesmo. No regime de
capitalização simples, taxas proporcionais são equivalentes.
11. Taxas Proporcionais

Duas taxas são proporcionais quando a razão entre elas é igual à razão entre
os respectivos períodos expressos na mesma unidade de tempo.
A definição de taxas proporcionais não está condicionada ao regime de
capitalização. Portanto, teremos taxas proporcionais tanto no regime de
capitalização simples quanto no regime de capitalização composta. O fato
importante é que no regime de capitalização simples as taxas
proporcionais são equivalentes.

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Simbolicamente, dizemos que a taxa referente ao período é proporcional à
taxa referente ao período se
Para exemplificar, no regime de juros simples, um capital aplicado por 1 ano
(12 meses) a uma taxa de 36% ao ano produz o mesmo montante quando o
mesmo capital é aplicado a uma taxa de 3% ao mês por 12 meses.
Neste exemplo,dizemos que 3% ao mês é proporcional a 36% ao ano, pois
como 1 ano é o mesmo que 12 meses, tem-se:
2%
24%
1 ê
12
Poderíamos ter adotado a seguinte linha de raciocínio. Como 1 ano é 12 vezes
maior do que o período de 1 mês, então a taxa anual proporcional é 12 vezes
maior do que a taxa mensal.
Exemplo: Determinar a taxa diária proporcional a 3% ao mês.
Aplicando a definição de taxas proporcionais (lembre-se que o mês comercial
possui 30 dias).
30
1
3% 30
1
Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
· 30 3% · 1
3%
30
0,1%
Poderíamos ter adotado a seguinte linha de raciocínio. Como 1 dia é 30 vezes
menor do que o período de 1 mês, então a taxa diária proporcional é 30 vezes
menor.
30
3%
30
0,1%

12
12. Juros Simples Ordinários (Comerciais) e Exatos

Na prática, usualmente, é adotado o juro simples ordinário (utiliza o ano
comercial com 360 dias e meses com 30 dias). O juro simples exato (utiliza o
ano civil com 365 dias) somente é usado quando para isso for expresso
explicitamente na operação.
Os juros são considerados ordinários ou comerciais quando utilizam o ano
comercial para estabelecer a homogeneidade entre a taxa e o tempo. Logo,
em juros ordinários, consideramos que todos os meses têm 30 dias e o ano
tem 360 dias.
Juros exatos são aqueles em que se utiliza o calendário civil para
verificarmos a quantidade de dias entre duas datas. Logo, quando o mês tem
31 dias deveremos considerar o total e não 30 dias.
Para facilitar o cálculo de juros nestas modalidades, é fundamental efetuarmos
o cálculo com taxa anual e o tempo expresso em dias. Para calcular a taxa
equivalente diária devemos dividir a taxa anual pelo número total de dias do
ano comercial (360 dias) ou ano exato (365 ou 366 dias).
Devemos ficar atentos ao fato de o ano ser ou não bissexto no caso de juros
exatos.
Podemos “criar” dois processos mnemônicos para saber quais anos são
bissextos ou não.
Para começar, os anos bissextos obrigatoriamente são pares.
Um ano é dito bissexto se for múltiplo de 4, exceto os que são múltiplos de 100,
a não ser que sejam múltiplos de 400.
Dica: Para verificar se um número é divisível por 4 basta dividir os últimos dois
dígitos do número por 4.
Assim, 1998 não é divisível por 4 e, portanto, não é bissexto.
Uma maneira mais “lúdica” de memorizar é o seguinte:
Os anos pares ou são anos de Olimpíada ou são anos de Copa do Mundo.
Os anos bissextos são os anos de Olimpíadas!!!
Como em 1998 houve a Copa do Mundo da França, o ano não foi bissexto.

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01. (SEFAZ-RJ 2009/FGV) O valor a ser pago por um empréstimo de R$
4.500,00, a uma taxa de juros simples de 0,5% ao dia, ao final de 78 dias é de:
a) R$ 6.255,00
b) R$ 5.500,00
c) R$ 6.500,00
d) R$ 4.855,00
e) R$ 4.675,00
Resolução
Temos todas as informações necessárias para o cálculo dos juros simples: o
capital, a taxa e o tempo. Além disso, a taxa e o tempo já conformidade em
relação à unidade.
Lembremos a fórmula de juros simples:
· ·
Temos que o capital é igual a R$ 4.500,00, a taxa é igual a
0,5% 0,5/100 0,005 ao dia e o tempo é igual a 78 dias.
4.500 · 0,005 · 78
1.755
O valor a ser pago é o montante (capital + juros).
4.500 1.755
6.255
Letra A
02. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Um capital é aplicado durante 120 dias a uma taxa
de juros simples ordinários de 15% ao ano, produzindo um montante de R$
8.400,00. Nestas condições, o capital aplicado, desprezando os centavos é:
a) R$ 6.500,00
b) R$ 7.850,00
c) R$ 8.017,00
d) R$ 8.820,00
e) R$ 8.000,00
Resolução
As unidades de tempo de referência do período de aplicação e da taxa devem
ser iguais, porém a taxa de juros e o período de aplicação não estão expressos

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na mesma unidade. Devemos traçar a nossa estratégia: escolher uma unidade
comum para a taxa e para o período de capitalização.
Lembre-se que juro ordinário é um sinônimo de juro comercial. Desta forma,
consideramos que cada mês tem 30 dias e o ano possui 360 (12 x 30) dias.
Ora, se o ano comercial possui 360 dias, então os 120 dias do problema
representam:
120
360
1
3
Agora temos homogeneidade entre as unidades. A taxa de juros é igual a 15%
= 0,15 ao ano e o tempo de aplicação é igual a 1/3 do ano. Lembremos a
fórmula do montante simples:
· 1 ·
O montante fornecido é igual a R$ 8.400,00.
8.400 · 1 0,15 ·
1
3
8.400 · 1 0,05
8.400 · 1,05
8.400
1,05
8.000
Desta forma, o capital aplicado é igual a R$ 8.000,00.
Letra E
03. (Vestibular FGV 2002) Um capital aplicado a juros simples, à taxa de 2,5%
ao mês, triplica em:
a) 75 meses
b) 80 meses
c) 85 meses
d) 90 meses
e) 95 meses
Resolução
Dizer que um capital triplica é o mesmo que dizer que o montante final é igual
ao triplo do capital inicial.
3 ·

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Lembrando que o montante é a soma do juro com o capital:
3 ·
2 ·
Vamos substituir na expressão acima a fórmula de juros simples.
· · 2 ·
· 2
A taxa fornecida pelo enunciado é igual a 2,5% ao mês.
2,5
100
· 2
0,025 · 2
2
0,025
Como efetuar esta divisão? Ora, o denominador possui 3 casas decimais.
Vamos então igualar a quantidade de casas decimais e, em seguida, apagar as
vírgulas.
2,000
0,025
2.000
25
80
Letra B
04. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) A taxa de juros simples de 0,05% ao dia equivale à
taxa semestral de:
a) 15,00%
b) 1,50%
c) 18,00%
d) 9,00%
e) 12,00%
Resolução
No regime de capitalização simples as taxas proporcionais são
equivalentes.

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Duas taxas são proporcionais quando a razão entre elas é igual à razão entre
os respectivos períodos expressos na mesma unidade de tempo.
Simbolicamente, dizemos que a taxa referente ao período é proporcional à
taxa referente ao período se
Queremos comparar a taxa diária com a taxa semestral. Lembre-se que um
semestre é a metade de um ano. Como o ano comercial tem 360 dias, um
semestre tem 180 dias.
1
180
0,05% 1
180
O produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
1 · 180 · 0,05%
9%
Poderíamos ter resolvido utilizando o raciocínio seguinte: como um semestre
tem 180 dias, então a taxa semestral será igual a taxa diária multiplicada por
180.
180 · 0,05%
9%
Letra D
05. (SEFAZ-RJ 2009/FGV) Um montante inicial foi aplicado a uma taxa de juros
simples de 5% ao mês durante 2 meses e depois reaplicado a uma taxa de
juros simples de 10% ao mês durante 2 meses, resultando em R$ 13.200,00. O
valor do montante inicial era de:
a) R$ 18.500,00
b) R$ 13.000,00
c) R$ 12.330,00
d) R$ 11.000,00
e) R$ 10.000,00
Resolução

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Têm-se duas aplicações a juros simples sucessivas. Digamos que o capital
inicial aplicado seja igual a C. Desta forma, aplicando C reais durante 2 meses
a uma taxa de 5% ao mês, o montante será igual a:
· 1 ·
· 1 0,05 · 2
· 1,1
Este montante M1 será o capital de uma nova aplicação. Aplicaremos M1 reais
durante dois meses a uma taxa de 10% ao mês. O novo montante será igual a:
· 1 ·
· 1,1 · 1 0,10 · 2
· 1,1 · 1,2
1,32 ·
O montante final é igual a R$ 13.200,00. Portanto:
1,32 · 13.200
13.200
1,32
10.000
O capital inicial é de R$ 10.000,00.
Letra E
06. (Vestibular FGV 2001) Um vidro de perfume é vendido à vista por R$48,00
ou a prazo, em dois pagamentos de R$25,00 cada um, o primeiro no ato da
compra e o outro um mês depois. A taxa mensal de juros do financiamento é
aproximadamente igual a:
A) 6,7%
B) 7,7%
C) 8,7%
D) 9,7%
E) 10,7%
Resolução
O valor à vista é de R$ 48,00. Se o indivíduo dá uma entrada de R$ 25,00,
então ficou devendo R$ 23,00. Mas o pagamento feito um mês depois foi de R$
25,00. Assim, o juro cobrado foi de R$ 2,00. Observe que a taxa de juros só
incide no valor devido e não sobre o valor já pago.

18
· ·
2 23 · · 1
2
23
0,0869 8,7%
Letra C
07. (BESC 2004/FGV) Um artigo é vendido, à vista, por R$ 150,00 ou em dois
pagamentos de R$ 80,00 cada um: o primeiro, no ato da compra e o segundo,
um mês após a compra. Os que optam pelo pagamento parcelado pagam juros
mensais de taxa aproximadamente igual a:
a) 14,29%
b) 13,33%
c) 9,86%
d) 7,14%
e) 6,67%
Resolução
então ficou devendo R$ 70,00. Mas o pagamento feito um mês depois foi de R$
80,00. Assim, o juro cobrado foi de R$ 10,00.
· ·
10 70 · · 1
10
70
0,142857 14,29%
Letra A
08. (SEFAZ-MS 2006/FGV) Um artigo custa, à vista, R$ 200,00 e pode ser
comprado a prazo com uma entrada de R$ 100,00 e um pagamento de R$
120,00 um mês após a compra. Os que compram a prazo pagam juros mensais
de taxa:
a) 5%
b) 10%
c) 20%
d) 25%
e) 30%

19
Resolução
então ficou devendo R$ 100,00. Mas o pagamento feito um mês depois foi de
R$ 120,00. Assim, o juro cobrado foi de R$ 20,00.
· ·
20 100 · · 1
20
100
20%
Letra C
09. (Prefeitura de Ituporanga – 2009 – FEPESE) Quais são os juros simples de
R$ 12.600,00, à taxa de 7,5% ao ano, em 4 anos e 9 meses?
a) R$ 4.488,75
b) R$ 1.023,75
c) R$ 3.780,00
d) R$ 1.496,25
e) R$ 5.386,50
Resolução
As unidades de tempo de referência do período de aplicação e da taxa
devem ser iguais.
Temos todas as informações necessárias para o cálculo dos juros
simples: o capital, a taxa e o tempo. O único problema é que a taxa de juros e o
período de aplicação não estão expressos na mesma unidade. Devemos traçar
a nossa estratégia: escolher uma unidade comum para a taxa e para o período
de capitalização.
Sabemos que um ano é o mesmo que 12 meses. Logo, 4 anos são o
mesmo que 4 x 12 = 48 meses. Portanto, o período de capitalização é
igual a 48 + 9 = 57 meses. Já a taxa é igual a 7,5% ao ano ou 0,075 ao ano.
Para calcular a taxa equivalente ao mês, basta-nos dividir essa taxa por 12
(taxas proporcionais). Portanto a taxa de juros mensal será igual a 0,075/12.
Agora estamos prontos para aplicar a fórmula de juros simples.
· ·
Temos que o capital é igual a R$ 12.600,00, a taxa é igual a
0, 075
12 ao mês e o tempo é igual a 57 meses.

20
12.600 ·
0,075
12
· 57
Como 12.600 dividido por 12 é igual a 1.050,
1.050 · 0,075 · 57
4.488,75
Letra A
10. (AFRE-PB 2006 FCC) Certas operações podem ocorrer por um período de
apenas alguns dias, tornando conveniente utilizar a taxa diária e obtendo os
juros segundo a convenção do ano civil ou do ano comercial. Então, se um
capital de R$ 15.000,00 foi aplicado por 5 dias à taxa de juros simples de 9,3%
ao mês, em um mês de 31 dias, o módulo da diferença entre os valores dos
juros comerciais e dos juros exatos é
a) R$ 37,50
b) R$ 30,00
c) R$ 22,50
d) R$ 15,00
e) R$ 7,50
Resolução
Juros Comerciais
O capital de R$ 15.000,00 foi aplicado durante 5 dias à taxa de juros simples
de 9,3% ao mês. Para calcularmos a taxa equivalente diária, neste caso,
devemos dividir por 30.
9,3%
30
0,31% 0,0031
O juro comercial é dado por:
· · 15.000 · 0,0031 · 5 232,50
Juros Exatos
O capital de R$ 15.000,00 foi aplicado durante 5 dias à taxa de juros simples
de 9,3% ao mês. Para calcularmos a taxa equivalente diária, neste caso,
devemos dividir por 31.
9,3%
31
0,3% 0,003
O juro exato é dado por:

21
· · 15.000 · 0,003 · 5 225,00
A questão pede o módulo da diferença entre os juros comerciais e os juros
exatos.
232,50 225,00 7,50
Letra E
11. (BACEN 2010 CESGRANRIO) Um aplicador vai obter de resgate em um
título o valor de R$ 30.000,00. Sabendo-se que a operação rendeu juros
simples de 5% ao mês, por um período de 6 meses, o valor original da
aplicação foi, em reais, de
a) 21.066,67
b) 21.500,00
c) 22.222,66
d) 23.076,93
e) 23.599,99
Resolução
Observe que o período de aplicação e taxa de juros já estão em conformidade
em termos de unidade.
Sabemos que o montante no regime de capitalização simples é dado por
· 1 ·
O montante é igual a R$ 30.000,00, a taxa de juros é de 5% = 0,05 ao mês e o
tempo de aplicação é de 6 meses.
30.000 · 1 0,05 · 6
30.000 · 1,3
23.076,93
Letra D
12. (AFRE-CE 2006 ESAF) Qual o capital que aplicado a juros simples à taxa
de 2,4% ao mês rende R$ 1 608,00 em 100 dias?
a) R$ 20 000,00.
b) R$ 20 100,00.
c) R$ 20 420,00.
d) R$ 22 000,00.
e) R$ 21 400,00.

22
Resolução
O enunciado forneceu a taxa, o juro e o tempo. Está faltando apenas o capital
que foi aplicado.
Para começar, a taxa e o tempo devem ser expressos na mesma unidade!
Já que a taxa é de 2,4% = 0,024 ao mês, devemos dividir a taxa mensal por 30
para calcular a taxa diária (isso porque o mês comercial é composto por 30
dias e em juros simples usamos o conceito de taxas proporcionais).
Logo,
0,024
. .
30
i a d=
O rendimento (juro) é igual a R$1.608,00 e o tempo é igual a 100 dias.
Lembremos a fórmula do juro simples.
J C i n= ⋅ ⋅
De acordo com o enunciado: J = 1.608, i = 0,024/30 e n = 100. Logo,
0,024
1.608 100
30
C= ⋅ ⋅
Observe que 0,024.100 = 2,4.
2,4
1.608
30
C= ⋅
E já que 2,4/30 = 0,08;
1.608 0,08C= ⋅
1.608
0,08
C =
20.100C =
Letra B

23
13. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um capital no valor de R$ 12.500,00 é
aplicado a juros simples, durante 12 meses, apresentando um montante igual a
R$ 15.000,00. Um outro capital é aplicado, durante 15 meses, a juros simples a
uma taxa igual à da aplicação anterior, produzindo juros no total de R$
5.250,00. O valor do segundo capital supera o valor do primeiro em
a) R$ 10.000,00
b) R$ 8.500,00
c) R$ 7.500,00
d) R$ 6.000,00
e) R$ 5.850,00
Resolução
Primeira aplicação:
Um capital de R$ 12.500,00 gera um montante de R$ 15.000,00, logo o juro
do período é de R$ 2.500,00.
Sabemos a relação de juro simples:
· ·
. . · ·
. . ·
. . ·
.
. .
Segunda aplicação:
· ·
. · ·
. ·
.
O segundo capital supera o primeiro em 21.000 – 12.500 = 8.500
Letra B
14. (AFRE-PB 2006 ESAF) Um investidor aplica em um determinado banco R$
10.000,00 a juros simples. Após 6 meses, resgata totalmente o montante de R$
10.900,00 referente a esta operação e o aplica em outro banco, durante 5

24
meses, a uma taxa de juros simples igual ao dobro da correspondente à
primeira aplicação. O montante no final do segundo período é igual a
a) R$ 12.535,00
b) R$ 12.550,00
c) R$ 12.650,00
d) R$ 12.750,00
e) R$ 12.862,00
Resolução
Temos duas aplicações em regime simples. A taxa da segunda aplicação é
igual ao dobro da taxa da primeira aplicação. Portanto, o primeiro passo é
determinar a taxa da primeira aplicação.
1ª aplicação:
O capital é igual a R$ 10.000,00 e o montante é igual a R$ 10.900,00. Portanto
o juro é igual a J = 10.900 – 10.000 = 900.
O tempo de aplicação é de 6 meses. Assim, podemos aplicar a fórmula de
juros simples.
J C i n= ⋅ ⋅
900 10.000 6i= ⋅ ⋅
900 60.000 i= ⋅
900
60.000
i =
0,015i =
2ª aplicação:
Lembrando que a taxa da segunda aplicação é o dobro da taxa da primeira
aplicação, concluímos que a segunda taxa é igual a 0,015 x 2 = 0,03.
O capital aplicado da segunda aplicação é o montante da primeira
aplicação. Portanto, o capital aplicado é igual a R$ 10.900,00. O tempo de
aplicação é igual a 5 meses. Logo, o montante será dado por
(1 )M C i n= ⋅ + ⋅

25
10.900 (1 0,03 5)M = ⋅ + ⋅
10.900 1,15M = ⋅
12.535M =
Letra A
(UnB / CESPE – DOCAS / PA -2004) Mário dispunha de um capital de R$
10.000,00. Parte desse capital ele aplicou no banco BD, por 1 ano, à taxa de
juros simples de 3% ao mês. O restante, Mário aplicou no banco BM, também
pelo período de 1 ano, à taxa de juros simples de 5% ao mês. Considerando
que, ao final do período, Mário obteve R$ 4.500,00 de juros das duas
aplicações, julgue os itens seguintes.
15. A quantia aplicada no banco BM foi superior a R$ 4.000,00.
16. Os juros obtidos pela aplicação no banco BM superaram em mais de R$
500,00 os juros obtidos pela aplicação no banco BD.
17. Ao final do ano, o montante obtido pela aplicação no banco BD foi superior
a R$ 8.000,00.
Resolução
Vamos analisar a situação do enunciado e depois avaliar cada item.
Mário dispunha de um capital de R$ 10.000,00 para aplicar em dois bancos:
BD e BM. Chamemos o capital aplicado no banco BD de “D” e o capital
aplicado no banco BM de “M”.
É importante que você utilize letras que façam referência aos nomes que
foram usados no enunciado da questão. Seria ruim utilizar, por exemplo,
utilizar as letras x e y, pois, no final, teríamos que procurar quem é x e
quem é y!
Se o capital total é R$ 10.000, então a nossa primeira equação é D + M =
10.000.
Aplicação no Banco BD
A taxa de juros e o tempo de aplicação devem sempre estar na mesma
unidade! Assim, se a taxa de juros no banco BD é de 3% ao mês, então o
tempo de aplicação que é de 1 ano será escrito como 12 meses.
Temos os seguintes dados:

26
Capital aplicado no Banco BD: D
Taxa de juros: 3% ao mês = 0,03 ao mês.
Tempo de aplicação: 12 meses.
Temos todas as informações necessárias para utilizar a expressão do juro
simples!
J C i n= ⋅ ⋅
Já que nessa questão temos aplicações em dois bancos, para não confundir
colocaremos índices nos dados das fórmulas.
BD BD BD BDJ C i n= ⋅ ⋅
Assim,
0,03 12BDJ D= ⋅ ⋅
0,36BDJ D= ⋅
Aplicação no Banco BM
unidade! Assim, se a taxa de juros no banco BM é de 5% ao mês, então o
tempo de aplicação que é de 1 ano será escrita como 12 meses.
Capital aplicado no Banco BM: M
Taxa de juros: 5% ao mês = 0,05 ao mês.
Tempo de aplicação: 12 meses.
simples!
J C i n= ⋅ ⋅
BM BM BM BMJ C i n= ⋅ ⋅
Assim,

27
0,05 12BMJ M= ⋅ ⋅
0,60BMJ M= ⋅
O enunciado também informa que ao final do período, Mário obteve R$
4.500,00 de juros das duas aplicações.
Ou seja, o juro obtido no Banco BD mais o juro obtido no Banco BM totalizam
R$ 4.500,00.
4.500BD BMJ J+ =
0,36 0,60 4.500D M⋅ + ⋅ =
Para não trabalhar com números decimais, podemos multiplicar ambos os
membros da equação por 100!
36 60 450.000D M⋅ + ⋅ =
Temos, então, um sistema linear com duas equações e duas incógnitas. A
outra equação foi escrita no início da resolução. O capital total aplicado nos
dois bancos (BD e BM) é igual a R$ 10.000,00.
10.000D M+ =
Eis o sistema:
36 60 450.000
10.000
D M
D M
⋅ + ⋅ =⎧
⎨
+ =⎩
Existem diversos métodos para resolver esse sistema linear. Faremos de duas
maneiras.
Método I – Substituição
Nesse método, devemos isolar uma das incógnitas em uma das equações e
substituir esse valor na outra equação. Claramente, nesse caso, é mais fácil
isolar qualquer uma das incógnitas na segunda equação. Vamos isolar o “D”.

28
10.000D M+ =
10.000D M= −
Devemos substituir essa expressão na primeira equação!
36 60 450.000D M⋅ + ⋅ =
36 (10.000 ) 60 450.000M M⋅ − + ⋅ =
360.000 36 60 450.000M M− ⋅ + ⋅ =
360.000 24 450.000M+ ⋅ =
24 90.000M⋅ =
3.750M =
E como o capital total aplicado é igual a 10.000, o capital aplicado no banco BD
é igual a 10.000 – 3.750 = 6.250.
6.250D =
Método II – Adição
Voltemos ao sistema linear.
36 60 450.000
10.000 ( 36)
D M
D M
⋅ + ⋅ =⎧
⎨
+ = ⋅ −⎩
Nesse método, devemos multiplicar ambos os membros de uma equação por
algum fator, de modo que possamos “somar as equações” para que uma das
incógnitas seja cancelada.
Podemos, por exemplo, multiplicar ambos os membros da segunda equação
por - 36, pois dessa forma, ao somarmos as duas equações, a incógnita D será
cancelada.

29
36 60 450.000
36 36 360.000
D M
D M
⋅ + ⋅ =⎧
⎨
− ⋅ − ⋅ = −⎩
Ao somarmos as duas equações membro a membro teremos:
36 36 0D D⋅ − ⋅ = ,
60 36 24M M M⋅ − ⋅ = ⋅
450.000 360.000 90.000− =
Ou seja,
36 60 450.000
36 36 360.000
24 90.000
D M
D M
M
⋅ + ⋅ =⎧
⎨
− ⋅ − ⋅ = −⎩
⋅ =
3.750M =
E como o capital total aplicado é igual a 10.000, o capital aplicado no banco BD
é igual a 10.000 – 3.750 = 6.250.
6.250D =
Vamos analisar cada um dos itens de per si.
Já que M = 3.750,00, esse item está ERRADO.
16. Os juros obtidos pela aplicação no banco BM superaram em mais de
R$ 500,00 os juros obtidos pela aplicação no banco BD.
Vamos calcular cada um dos juros.
BD BD BD BDJ C i n= ⋅ ⋅
6.250 0,03 12 2.250BDJ = ⋅ ⋅ =

30
BM BM BM BMJ C i n= ⋅ ⋅
3750 0,05 12 2.250BMJ = ⋅ ⋅ =
Como os juros obtidos nos dois bancos são iguais, o item está ERRADO.
17. Ao final do ano, o montante obtido pela aplicação no banco BD foi
superior a R$ 8.000,00.
Basta lembrar que o montante é a soma do capital aplicado com o juro obtido.
M C J= +
6.250 2.250M = +
8.500M =
Assim, o item está CERTO.
18. (UnB / CESPE – CHESF 2002) Uma pessoa recebeu R$ 6.000,00 de
herança, sob a condição de investir todo o dinheiro em dois tipos particulares
de ações, X e Y. As ações do tipo X pagam 7% a.a. e as ações do tipo Y
pagam 9% a.a. A maior quantia que a pessoa pode investir nas ações X, de
modo a obter R$ 500,00 de juros em um ano, é
A) inferior a R$ 1.800,00.
B) superior a R$ 1.800,00 e inferior a R$ 1.950,00.
C) superior a R$ 1.950,00 e inferior a R$ 2.100,00.
D) superior a R$ 2.100,00 e inferior a R$ 2.250,00.
E) superior a R$ 2.250,00.
Resolução
Se o capital total é R$ 6.000,00, então a nossa primeira equação é X + Y =
6.000.
Aplicação na ação X
unidade! Assim, se a taxa de juros na ação X é de 7% ao ano e o tempo de
aplicação é de 1 ano, nada precisamos modificar nesses dados.
Capital aplicado na ação X: X
Taxa de juros: 7% ao ano = 0,07 ao ano.

31
Tempo de aplicação: 1 ano.
simples!
J C i n= ⋅ ⋅
Já que nessa questão temos aplicações em duas ações, para não confundir
colocaremos índices nos dados das fórmulas.
X X X XJ C i n= ⋅ ⋅
Assim,
0,07 1XJ X= ⋅ ⋅
0,07XJ X= ⋅
Aplicação na ação Y
unidade! Assim, se a taxa de juros na ação Y é de 9% ao ano e o tempo de
aplicação é de 1 ano, nada precisamos modificar nesses dados.
Capital aplicado na ação Y : Y
Taxa de juros: 9% ao ano = 0,09 ao ano.
Tempo de aplicação: 1 ano.
simples!
J C i n= ⋅ ⋅
Y Y Y YJ C i n= ⋅ ⋅
Assim,
0,09 1YJ Y= ⋅ ⋅

32
0,09YJ Y= ⋅
O enunciado também informa que ao final do período, a pessoa obteve R$
500,00 de juros das duas aplicações.
Ou seja, o juro obtido na ação X mais o juro obtido na ação Y totalizam R$
500,00.
500X YJ J+ =
0,07 0,09 500X Y⋅ + ⋅ =
Para não trabalhar com números decimais, podemos multiplicar ambos os
membros da equação por 100!
7 9 50.000X Y⋅ + ⋅ =
Temos, então, um sistema linear com duas equações e duas incógnitas. A
outra equação foi escrita no início da resolução. O capital total aplicado nas
duas ações (X e Y) é igual a R$ 6.000,00.
6.000X Y+ =
Eis o sistema:
7 9 50.000
6.000
X Y
X Y
⋅ + ⋅ =⎧
⎨
+ =⎩
Novamente os dois métodos descritos na questão anterior.
Método I – Substituição
Nesse método, devemos isolar uma das incógnitas em uma das equações e
substituir esse valor na outra equação. Claramente, nesse caso, é mais fácil
isolar qualquer uma das incógnitas na segunda equação. Vamos isolar o “Y”, já
que estamos querendo calcular o valor de “X”.
6.000X Y+ =
6.000Y X= −

33
Devemos substituir essa expressão na primeira equação!
7 9 50.000X Y⋅ + ⋅ =
7 9 (6.000 ) 50.000X X⋅ + ⋅ − =
7 54.000 9 50.000X X⋅ + − ⋅ =
2 4.000X− ⋅ = −
2 4.000X⋅ =
2.000X =
Letra C
Método II – Adição
Voltemos ao sistema linear.
7 9 50.000
6.000 ( 9)
X Y
X Y
⋅ + ⋅ =⎧
⎨
+ = ⋅ −⎩
Nesse método, devemos multiplicar ambos os membros de uma equação por
algum fator, de modo que possamos “somar as equações” para que uma das
incógnitas seja cancelada.
Podemos, por exemplo, multiplicar ambos os membros da segunda equação
por - 9, pois dessa forma, ao somarmos as duas equações, a incógnita Y será
cancelada (cancelamos o “Y” pois queremos calcular o valor de “X”).
7 9 50.000
9 9 54.000
X Y
X Y
⋅ + ⋅ =⎧
⎨
− ⋅ − ⋅ = −⎩
Ao somarmos as duas equações membro a membro teremos:
7 9 2X X X⋅ − ⋅ = − ⋅ ,

34
9 9 0Y Y⋅ − ⋅ =
50.000 54.000 4.000− = −
Ou seja,
7 9 50.000
9 9 54.000
2 4.000
2.000
X Y
X Y
X
X
⋅ + ⋅ =⎧
⎨
− ⋅ − ⋅ = −⎩
− ⋅ = −
=
Letra C
19. (UnB / CESPE – CHESF 2002) Um capital acrescido dos seus juros
simples de 21 meses soma R$ 7.050,00. O mesmo capital, diminuído dos seus
juros simples de 13 meses, reduz-se a R$ 5.350,00. O valor desse capital é
Resolução
Sabemos que o juro simples é dado por J C i n= ⋅ ⋅
Assim, o juro simples de 21 meses é 21 21J C i J Ci= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅
O juro simples de 13 meses é 13 13J C i J Ci= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅
“Um capital acrescido dos seus juros simples de 21 meses soma R$ 7.050,00”
pode ser escrito algebricamente 21 7.050C Ci+ ⋅ = .
“O mesmo capital, diminuído dos seus juros simples de 13 meses, reduz-se a
R$ 5.350,00” pode ser escrito algebricamente 13 5.350C Ci− ⋅ = .
Temos o seguinte sistema de equações:

35
21 7.050
13 5.350
C Ci
C Ci
+ ⋅ =⎧
⎨
− ⋅ =⎩
Podemos novamente resolver pelo método da adição ou pelo método da
substituição.
Método da Substituição
Da segunda equação, podemos concluir que 5.350 13C Ci= + ⋅ .
Substituindo essa expressão na primeira equação do sistema:
21 7.050C Ci+ ⋅ =
5.350 13 21 7.050Ci Ci+ ⋅ + ⋅ =
34 7.050 5.350Ci⋅ = −
34 1.700Ci⋅ =
1.700
50
34
Ci Ci= ⇒ =
De posse do valor C.i, podemos substituir em qualquer uma das equações do
sistema.
Substituindo na primeira equação, obtemos:
21 7.050C Ci+ ⋅ =
21 50 7.050C + ⋅ =
1.050 7.050C + =
6.000C = Letra D
20. (AFTE-RO 2010 FCC) Dois capitais foram aplicados a uma taxa de juros
simples de 2% ao mês. O primeiro capital ficou aplicado durante o prazo de um
ano e o segundo, durante 8 meses. A soma dos dois capitais e a soma dos
correspondentes juros são iguais a R$ 27.000,00 e R$ 5.280,00,
respectivamente. O valor do módulo da diferença entre os dois capitais é igual
a
a) R$ 2.000,00
b) R$ 2.500,00
c) R$ 3.000,00

36
d) R$ 4.000,00
e) R$ 5.000,00
Resolução
Chamemos o primeiro capital de C1 e o segundo capital de C2. Já que a soma
dos dois capitais é igual a R$ 27.000,00, podemos escrever que
1 2 27.000C C+ =
Lembre-se que o juro simples é calculado de acordo com a fórmula
J C i n= ⋅ ⋅ , em que C é o capital aplicado, i é a taxa de juros e n é o
número de períodos.
Assim, o juro do primeiro capital será
1 1 1 10,02 12 0,24J C J C= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅
E o juro do segundo capital será
2 2 2 20,02 8 0,16J C J C= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅
A segunda equação pode ser escrita da seguinte forma:
1 2 5.280J J+ =
1 20,24 0,16 5.280C C⋅ + ⋅ =
Para não trabalhar com números decimais (e facilitar um pouco nossas contas),
podemos multiplicar ambos os membros dessa equação por 100.
1 224 16 528.000C C⋅ + ⋅ =
Acabamos de formar o seguinte sistema linear:
1 2
1 2
27.000
24 16 528.000
C C
C C
+ =⎧
⎨
⋅ + ⋅ =⎩
Faremos, por exemplo, pelo método da substituição. Basta isolar na primeira
equação o termo C2.
2 127.000C C= −
Substitui-se essa expressão na segunda equação:
1 124 16 (27.000 ) 528.000C C⋅ + ⋅ − =
1 124 432.000 16 528.000C C⋅ + − ⋅ =

37
18 528.000 432.000C⋅ = −
18 96.000C⋅ =
1 12.000C =
E como a soma dos dois capitais é igual a 27.000, o segundo capital será:
2 27.000 12.000C = −
2 15.000C =
O valor do módulo da diferença entre os dois capitais é igual a 15.000 – 12.000
= 3.000.
Letra C
21. (Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Um investidor aplica
um capital a juros simples, durante 10 meses, apresentando montante no valor
de R$ 30.000,00 no final do período. Caso este capital tivesse sido aplicado
durante 16 meses a juros simples, e com a mesma taxa de juros anterior, o
valor do montante no final deste período teria sido de R$ 33.600,00. O valor do
capital aplicado pelo investidor é igual a
(A) R$ 21.000,00.
(B) R$ 22.500,00.
(C) R$ 23.600,00.
(D) R$ 24.000,00.
(E) R$ 25.000,00.
Resolução
Sabemos que o montante é a soma do capital com os juros. Logo,
No regime simples, o juro é calculado da seguinte maneira:
· ·
Vejamos a primeira aplicação:
1ª aplicação:
30.000
· · 30.000
· · 30.000

38
Como n = 10 meses,
· · 10 30.000
Lembre-se que em álgebra C significa C vezes 1.
· 1 · · 10 30.000
Podemos colocar o C em evidência.
· 1 10 · 30.000
30.000
1 10 ·
Vamos guardar esta equação.
2ª aplicação:
33.600
· · 33.600
· · 33.600
Como n = 16 meses,
· · 16 33.600
Lembre-se que em álgebra C significa C vezes 1.
· 1 · · 16 33.600
Podemos colocar o C em evidência.
· 1 16 · 33.600
33.600
1 16 ·
Na primeira aplicação, descobrimos que
30.000
1 10 ·
Podemos igualar as expressões:
33.600
1 16 ·
30.000
1 10 ·
O produto dos meios é igual ao produto dos extremos:
30.000 · 1 16 · 33.600 · 1 10 ·

39
Vamos dividir ambos os membros por 100 para simplificar.
300 · 1 16 · 336 · 1 10 ·
300 4.800 · 336 3.360 ·
1.440 · 36
36
1.440
· 100% 2,5% 0,025
Voltando à equação descrita acima:
30.000
1 10 ·
30.000
1 10 · 0,025
24.000
Letra D
13. Prazo, Taxa e Capital Médios

Apesar de este tópico não estar presente explicitamente no edital da FGV, esta
banca já colocou este assunto em provas mesmo sem explicitá-lo no edital
(como aconteceu no concurso SEFAZ-RJ 2008).
Vejamos alguns exemplos numéricos para um bom entendimento dos
conceitos deste tópico para em seguida apresentarmos as fórmulas de prazo,
taxa e capital médio.
Prazo Médio
Imagine a seguinte situação: João fez 2 empréstimos, a juros simples, de um
mesmo credor. O primeiro foi de R$ 4.000,00 a uma taxa de 10% ao mês
durante 4 meses. O segundo foi de R$ 2.000,00 a uma taxa de 5% ao mês
durante 8 meses. O credor e João decidem substituir os prazos de vencimento
dos dois empréstimos por um único prazo, de forma que não haja prejuízo para
o credor nem para o devedor João. Qual é esse prazo?
A condição de não haver prejuízo para o credor nem para o devedor se deve
ao fato de os juros pagos nas duas situações serem os mesmos.
Vejamos os juros pagos nos dois empréstimos:
1º empréstimo

40
4.000 ·
10
100
· 4 1.600
2º empréstimo
2.000 ·
5
100
· 8 800
Dessa forma, João pagará R$ 1.600,00 referentes ao primeiro empréstimo e
R$ 800,00 referentes ao segundo empréstimo, totalizando R$ 2.400,00 de
juros.
Nosso objetivo é trocar o prazo de 4 meses do primeiro empréstimo e o
prazo de 8 meses do segundo empréstimo de forma que o juro total
permaneça o mesmo (R$ 2.400,00).
O prazo que substituirá todos os outros sem alterar o juro total é
denominado prazo médio.
4.000 ·
10
100
· 2.000 ·
5
100
· 2.400
400 · 100 · 2.400
500 · 2.400
24
5
Devemos dividir 24 meses por 5. Ora, 24 meses dividido por 5 é igual a 4
meses e resto igual a 4 meses. Como o mês comercial possui 30 dias, os 4
meses de resto equivalem a 4 · 30 120 . Devemos dividir 120 dias por 5
que é igual a 24 dias.
24 5
4 4
120 5
0 24
Assim, o prazo médio é igual a 4 meses e 24 dias.
Taxa Média

Imagine a seguinte situação: João fez 2 empréstimos, a juros simples, de
um mesmo credor. O primeiro foi de R$ 4.000,00 a uma taxa de 10% ao
mês durante 4 meses. O segundo foi de R$ 2.000,00 a uma taxa de 5% ao
mês durante 8 meses. O credor e João decidem substituir as taxas de

41
juros dos dois empréstimos por uma única taxa, de forma que não haja
prejuízo para o credor nem para o devedor João. Qual é essa taxa?
A condição de não haver prejuízo para o credor nem para o devedor se
deve ao fato de os juros pagos nas duas situações serem os mesmos.
1º empréstimo

4.000 ·
10
100
· 4 1.600
2º empréstimo
2.000 ·
5
100
· 8 800
juros.
A taxa que substituirá todas as outras sem alterar o juro total é
denominado taxa média.
4.000 · · 4 2.000 · · 8 2.400
16.000 · 16.000 · 2.400
32.000 · 2.400
2.400
32.000
· 100% 7,5%
Assim, a taxa média é de 7,5% ao mês.
Capital Médio

Imagine a seguinte situação: João fez 2 empréstimos, a juros simples, de um
mesmo credor. O primeiro foi de R$ 4.000,00 a uma taxa de 10% ao mês
durante 4 meses. O segundo foi de R$ 2.000,00 a uma taxa de 5% ao mês
durante 8 meses. O credor e João decidem substituir os capitais dos dois
empréstimos por um único capital, de forma que não haja prejuízo para o
credor nem para o devedor João. Qual é esse capital?

42
A condição de não haver prejuízo para o credor nem para o devedor se deve
ao fato de os juros pagos nas duas situações serem os mesmos.
1º empréstimo

4.000 ·
10
100
· 4 1.600
2º empréstimo
2.000 ·
5
100
· 8 800
juros.
O capital que substituirá todos os outros sem alterar o juro total é
denominado capital médio.
·
10
100
· 4 ·
5
100
· 8 2.400
0,4 · 0,4 · 2.400
0,8 · 2.400
3.000
Assim, o capital médio é de R$ 3.000,00.
Fórmulas do Prazo Médio, Taxa Média e Capital Médio

Neste tópico demonstraremos as fórmulas de Prazo Médio, Taxa Média e
Capital Médio e em seguida resolveremos diversas questões de concursos. A
demonstração será feita para um caso particular de três aplicações, mas pode
ser generalizada para um número qualquer de aplicações.
Fórmula do Prazo Médio
Considere três capitais , ,, aplicados às taxas simples , ,,
pelos prazos , ,.
O juro total obtidos com essas três aplicações é de:

43
· · · · · ·
Nosso objetivo é substituir os três prazos por um único prazo denominado
prazo médio de forma que o juro total permaneça constante.
· · · · · ·
Dessa forma:
· · · · · · · · · · · ·
· · · · · · · · · ·
· · · · · ·
· · ·
· · ·
A partir desta fórmula, podemos concluir que o prazo médio é a média
ponderada dos prazos com fatores de ponderação os capitais e as taxas.
Fórmula da Taxa Média

Procedendo da mesma maneira que o item 3.5.4.1 (Fórmula do Prazo Médio), conclui‐
se que a taxa média é a média aritmética das taxas, tendo como fatores de
ponderação os capitais e os prazos.
· · ·

Fórmula do Capital Médio

Analogamente aos casos anteriores. O capital médio é a média aritmética dos capitais,
tendo como fatores de ponderação os as taxas e os prazos.
· · ·

Exemplo
João fez 2 empréstimos, a juros simples, de um mesmo credor. O primeiro foi
de R$ 4.000,00 a uma taxa de 10% ao mês durante 4 meses. O segundo foi de
R$ 2.000,00 a uma taxa de 5% ao mês durante 8 meses. Determine o prazo
médio, a taxa média e o capital médio.
Resolução

44
1º empréstimo

4.000 ·
10
100
· 4 1.600
2º empréstimo
2.000 ·
5
100
· 8 800
Prazo médio
· ·

1.600 800
4.000 · 0,10 2.000 · 0,05
2.400
500
24
5
4 24

Taxa Média
· ·

1.600 800
4.000 · 4 2.000 · 8
2.400
32.000
· 100% 7,5% ê

Capital Médio
· ·

1.600 800
0,10 · 4 0,05 · 8
2.400
0,8
3.000
22. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Os valores de R$ 50.000,00 e R$ 100.000,00 foram
aplicados à mesma taxa de juros simples durante 12 e 6 meses,
respectivamente. O prazo médio da aplicação conjunta desses capitais, em
meses é:
a) 12
b) 8
c) 10

45
d) 9,2
e) 7,5
Resolução
Já que as taxas das quatro aplicações são iguais, podemos dizer que todas as
taxas são iguais a .
Vamos calcular os juros obtidos em cada uma das aplicações.
50.000 · · 12 600.000 ·
100.000 · 6 · 600.000 ·
Apliquemos a fórmula do prazo médio.
· ·
600.000 · 600.000 ·
50.000 · 100.000 ·
1.200.000 ·
150.000 ·
8
Letra B
23. (AFRF 2003/ESAF) Os capitais de R$ 2.500,00, R$ 3.500,00, R$ 4.000,00
e R$ 3.000,00 são aplicados a juros simples durante o mesmo prazo às taxas
mensais de 6%, 4%, 3% e 1,5%, respectivamente. Obtenha a taxa média
mensal de aplicação destes capitais.
a) 2,9%
b) 3%
c) 3,138%
d) 3,25%
e) 3,5%
Resolução
Já que os prazos das quatro aplicações são iguais, podemos dizer que todos
os prazos são iguais a .
Vamos calcular os juros obtidos em cada uma das aplicações.
2.500 · 0,06 · 150 ·
3.500 · 0,04 · 140 ·
4.000 · 0,03 · 120 ·

46
3.000 · 0,015 · 45 ·
Apliquemos a fórmula da taxa média.
· · · ·
150 · 140 · 120 · 45 ·
2.500 · 3.500 · 4.000 · 3.000 ·
455 ·
13.000 ·
455
13.000
· 100% 3,5% ê .
Letra E
24. (AFRF 2002.2/ESAF) Os capitais de R$ 7.000,00, R$ 6.000,00, R$
3.000,00 e R$ 4.000,00 são aplicados respectivamente às taxas de 6%, 3%,
4% e 2% ao mês, no regime de juros simples durante o mesmo prazo. Calcule
a taxa média proporcional anual de aplicação destes capitais.
a) 4%
b) 8%
c) 12%
d) 24%
e) 48%
Resolução
Digamos que os prazos das aplicações sejam todos iguais a meses. Vamos
calcular o juro simples de cada aplicação.
7.000 · 0,06 · 420 ·
6.000 · 0,03 · 180 ·
3.000 · 0,04 · 120 ·
4.000 · 0,02 · 80 ·
Apliquemos a fórmula da taxa média.
· · · ·
420 · 180 · 120 · 80 ·
7.000 · 6.000 · 3.000 · 4.000 ·

47
800 ·
20.000 ·
800
20.000
800
20.000
· 100% 4% ê .
Como um ano é o mesmo que 12 meses, então para calcular a taxa
proporcional anual basta multiplicar a taxa mensal por 12.
4% · 12 48%
Letra E
14. Juros Compostos

No regime de capitalização composta, o juro gerado em cada período agrega-se ao
capital, e essa soma passa a render juros para o próximo período. Daí que surge a
expressão “juros sobre juros”.
Imagine a seguinte situação: Guilherme aplicou R$ 10.000,00 a juros compostos
durante 5 anos à taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados em cada período
e o montante após o período de cada aplicação.
Os juros gerados no primeiro ano são · 10.000 2.000 e o montante após o
primeiro ano é 10.000 + 2.000 = 12.000.
Os juros gerados no segundo ano são · 12.000 2.400 e o montante após o
segundo ano é 12.000+2.400=14.400.
Os juros gerados no terceiro ano são · 14.400 2.880 e o montante após o
terceiro ano é 14.400 + 2.880 = 17.280.
Os juros gerados no quarto ano são · 17.280 3.456 e o montante após o
quarto ano é 17.280 + 3.456 = 20.736.
Os juros gerados no quinto ano são · 20.736 4.147,20 e o montante após o
quinto ano é 20.736 + 4.147,20 = 24.883,20.
Período de Capitalização
O intervalo de tempo em que os juros são incorporados ao capital é chamado de
período de capitalização.

48
Dessa forma, se o problema nos diz que a capitalização é mensal, então os juros são
calculados todo mês e imediatamente incorporados ao capital.
Capitalização trimestral: os juros são calculados e incorporados ao capital uma vez por
trimestre.
E assim por diante.
Caso a periodicidade da taxa e do número de períodos não estiverem na mesma
unidade de tempo, deverá ser efetuado um “ajuste prévio” para a mesma unidade
antes de efetuarmos qualquer cálculo. Abordaremos este assunto em seções
posteriores (taxas de juros).
Fórmula do Montante Composto
Para calcular o montante de uma capitalização composta utilizaremos a seguinte
fórmula básica:
· 1
M → montante (capital + juros).
C → Capital inicial aplicado.
i → taxa de juros
n → número de períodos.
Observe que se a capitalização é bimestral e aplicação será feita durante 8 meses,
então o número de períodos é igual a 4 bimestres.
Não utilizaremos uma fórmula específica para o cálculo dos juros compostos. Se por
acaso em alguma questão precisarmos calcular o juro composto, utilizaremos a
relação:
Comparação entre as Capitalizações Simples e Composta
Considere a seguinte situação: João aplicará a quantia de R$ 1.000,00 a uma taxa de
10% ao mês. Calcule os montantes simples e compostos para os seguintes períodos
de capitalização:
a) 1 mês
b) 15 dias (meio mês)
c) 2 meses
Resolução
a) Capitalização Simples

49
· 1 ·
1.000 · 1 0,1 · 1 1.100
Capitalização Composta
· 1
1.000 · 1 0,1 1.100
Observe que, para 1, o montante simples é igual ao montante composto.
b) Capitalização Simples
· 1 ·
1.000 · 1 0,1 · 0,5 1.050
· 1
1.000 · 1 0,1 ,
1.048,81
Observe que, para 0,5, o montante simples é maior do que o montante composto.
c) Capitalização Simples
· 1 ·
1.000 · 1 0,1 · 2 1.200
· 1
1.000 · 1 0,1 1.210
Observe que, para 2, o montante simples é menor do que o montante composto.
Em resumo, temos as seguintes relações
1 O montante simples é igual ao montante composto.
0 1 O montante simples é maior do que o montante
composto.
1 O montante simples é menor do que o montante
composto.
Convenção Linear e Convenção Exponencial
Vimos que se o número de períodos for menor do que 1, é mais vantajoso para o
credor cobrar juros simples.

50
Utilizaremos esse fato a favor do credor quando, na capitalização composta, o número
de períodos for fracionário.
Por exemplo, estamos fazendo uma aplicação a juros compostos durante 3 meses e
meio. Podemos dizer que o tempo 3,5 meses é igual a 3 meses + 0,5 meses. Assim,
poderíamos calcular o montante no período fracionário sob o regime simples (para
ganhar mais dinheiro obviamente).
Em Matemática Financeira, quando o número de períodos é fracionário, podemos
calcular o montante de duas maneiras:
- Convenção Exponencial
- Convenção Linear
Um capital de R$ 10.000,00 será aplicado por 3 meses e meio à taxa de 10% ao mês,
juros compostos, em que se deseja saber o montante gerado.
- Convenção Exponencial
A convenção exponencial diz que o período, mesmo fracionário, será utilizado no
expoente da expressão do montante.
Assim, (1 )n
M C i= ⋅ +
3,5
10.000 (1 0,10)M = ⋅ +
3,5
10.000 1,10M = ⋅
O valor 1,103,5
= 1,395964 deverá ser fornecido pela questão.
10.000 1,395964M = ⋅
13.959,64M =
- Convenção Linear
A convenção linear considera juros compostos na parte inteira do período e, sobre o
montante assim gerado, aplica juros simples no período fracionário.
Podemos resumir a seguinte fórmula para a convenção linear:
(1 ) (1 )Int
fracM C i i n= ⋅ + ⋅ + ⋅
Nessa formula “Int” significa a parte inteira do período e nfrac a parte fracionária do
período.

51
3
10.000 (1 0,10) (1 0,10 0,5)M = ⋅ + ⋅ + ⋅
3
10.000 1,10 1,05M = ⋅ ⋅
13.975,50M =
Como era de se esperar, o montante da convenção linear foi maior do que o montante
da convenção exponencial.
25. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) O valor de um investimento de R$ 20
000,00, a uma taxa de juros compostos de 50% ao ano, ao final de dois anos é
a) R$ 45.000,00
b) R$ 47.500,00
c) R$ 60.000,00
d) R$ 90.000,00
e) R$ 50.000,00
Resolução
· 1
20.000 · 1 0,50 45.000,00
Letra A
26. (BACEN 2010/CESGRANRIO) Um investidor aplicou R$ 20.000,00 num CDB com
vencimento para 3 meses depois, a uma taxa composta de 4% ao mês. O valor de
resgate dessa operação foi, em reais, de (Nota: efetue as operações com 4 casas
decimais)
a) 20.999,66
b) 21.985,34
c) 22.111,33
d) 22.400,00
e) 22.498,00
Resolução
· 1
20.000 · 1,04
O enunciado mandou efetuar as operações com 4 casas decimais.
1,04 1,04 1,0816
1,0816 1,04 1,124864 1,1249
20.000 · 1,04 20.000 · 1,1249 22.498,00

52
Letra E
27. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Os juros auferidos pela aplicação de um capital no
valor de R$ 12.500,00, durante dois anos, a uma taxa de juros compostos de 8% ao
ano, são iguais aos da aplicação de um outro capital no valor R$ 10.400,00, a juros
simples, à taxa de 15% ao ano. O tempo em que o segundo capital ficou aplicado foi
igual a
a) 22 meses
b) 20 meses
c) 18 meses
d) 16 meses
e) 15 meses
Resolução
Aplicação a juros compostos:
· 1
12.500 · 1 0,08
14.580
Assim, o juro composto é a diferença entre o montante e o capital aplicado
14.580 – 12.500 = 2.080.
Esse juro é igual ao da aplicação à taxa simples. A resposta do tempo de aplicação
será dada em meses. Como a taxa é de 15% ao ano, a taxa equivalente mensal é
15%/12 = 1,25%=0,0125 ao mês.
· ·
2.080 10.400 · 0,0125 ·
2.080 130 ·
16
Letra D
28. (CEF 2008 CESGRANRIO) O gráfico a seguir representa as evoluções no tempo
do Montante a Juros Simples e do Montante a Juros Compostos, ambos à mesma taxa
de juros. M é dado em unidades monetárias e t, na mesma unidade de tempo a que se
refere à taxa de juros utilizada.

53
Analisando-se o gráfico, conclui-se que para o credor é mais vantajoso emprestar a
juros
a) compostos, sempre.
b) compostos, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo.
c) simples, sempre.
d) simples, se o período do empréstimo for maior do que a unidade de tempo.
e) simples, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo.
Resolução
O gráfico acima descreve bem o exemplo que fizemos anteriormente (aquele em que o
montante simples foi maior do que o montante composto).
Quando o número de períodos da capitalização for menor do que 1 o juro simples será
maior do que o juro composto.
Letra E
29. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) A fração de período pela convenção linear produz uma
renda a e pela convenção exponencial produz uma renda b. Pode-se afirmar que:
a) log
b)
c)
d) √
e)
Resolução
Vimos que:
1 O montante simples é igual ao montante composto.
0 1 O montante simples é maior do que o montante
composto.
1 O montante simples é menor do que o montante
composto.
Assim, a fração de período pela convenção linear produz uma renda maior do que a
convenção exponencial.
Letra E
30. (BESC 2004/FGV) O montante de um principal de R$ 300,00 em 2 meses e 10
dias, a juros de 10% ao mês pela convenção linear, é igual a:
a) R$ 370,00
b) R$ 372,00
c) R$ 373,00
d) R$ 375,10
e) R$ 377,10

54
Resolução
De acordo com a convenção linear, a parte inteira do período será aplicada a juros
compostos enquanto que a parte fracionária será aplicada a juros simples. O período
de 10 dias equivale a 1/3 do mês.
· 1 · 1 ·
300 · 1 0,10 · 1 0,10 ·
1
3
300 · 1,21 · 1
1
30
363 · 1
1
30
363
363
30
363 12,1 375,10
Letra D
31. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) José dispõe de R$ 10.000,00 para aplicar durante seis
meses. Consultando determinado banco, recebeu as seguintes propostas de
investimento:
I – Juros simples de 2% ao mês.
II – Juros compostos de 1% ao mês.
III – Resgate de R$ 12.000,00, ao final de um período de seis meses.
Assinale:
a) se todas apresentarem o mesmo retorno.
b) se a proposta I for a melhor alternativa de investimento.
c) se a proposta II for a melhor alternativa de investimento.
d) se a proposta III for a melhor alternativa de investimento.
e) se as propostas I e III apresentarem o mesmo retorno.
Resolução
I – Juros simples de 2% ao mês durante 6 meses.
· 1 · 10.000 · 1 0,02 · 6 11.200
II - Juros compostos de 1% ao mês durante 6 meses.
· 1 10.000 · 1 0,01 10.615,20
Portanto, a proposta III é a melhor alternativa de investimento.
Letra D

55
15. Relação das questões comentadas

01. (SEFAZ-RJ 2009/FGV) O valor a ser pago por um empréstimo de R$
4.500,00, a uma taxa de juros simples de 0,5% ao dia, ao final de 78 dias é de:
a) R$ 6.255,00
b) R$ 5.500,00
c) R$ 6.500,00
d) R$ 4.855,00
e) R$ 4.675,00
02. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Um capital é aplicado durante 120 dias a uma taxa
de juros simples ordinários de 15% ao ano, produzindo um montante de R$
8.400,00. Nestas condições, o capital aplicado, desprezando os centavos é:
a) R$ 6.500,00
b) R$ 7.850,00
c) R$ 8.017,00
d) R$ 8.820,00
e) R$ 8.000,00
03. (Vestibular FGV 2002) Um capital aplicado a juros simples, à taxa de 2,5%
ao mês, triplica em:
a) 75 meses
b) 80 meses
c) 85 meses
d) 90 meses
e) 95 meses
04. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) A taxa de juros simples de 0,05% ao dia equivale à
taxa semestral de:
a) 15,00%
b) 1,50%
c) 18,00%
d) 9,00%
e) 12,00%
05. (SEFAZ-RJ 2009/FGV) Um montante inicial foi aplicado a uma taxa de juros
simples de 5% ao mês durante 2 meses e depois reaplicado a uma taxa de
juros simples de 10% ao mês durante 2 meses, resultando em R$ 13.200,00. O
valor do montante inicial era de:
a) R$ 18.500,00
b) R$ 13.000,00
c) R$ 12.330,00

56
d) R$ 11.000,00
e) R$ 10.000,00
06. (Vestibular FGV 2001) Um vidro de perfume é vendido à vista por R$48,00
ou a prazo, em dois pagamentos de R$25,00 cada um, o primeiro no ato da
compra e o outro um mês depois. A taxa mensal de juros do financiamento é
aproximadamente igual a:
A) 6,7%
B) 7,7%
C) 8,7%
D) 9,7%
E) 10,7%
07. (BESC 2004/FGV) Um artigo é vendido, à vista, por R$ 150,00 ou em dois
pagamentos de R$ 80,00 cada um: o primeiro, no ato da compra e o segundo,
um mês após a compra. Os que optam pelo pagamento parcelado pagam juros
mensais de taxa aproximadamente igual a:
a) 14,29%
b) 13,33%
c) 9,86%
d) 7,14%
e) 6,67%
08. (SEFAZ-MS 2006/FGV) Um artigo custa, à vista, R$ 200,00 e pode ser
comprado a prazo com uma entrada de R$ 100,00 e um pagamento de R$
120,00 um mês após a compra. Os que compram a prazo pagam juros mensais
de taxa:
a) 5%
b) 10%
c) 20%
d) 25%
e) 30%
09. (Prefeitura de Ituporanga – 2009 – FEPESE) Quais são os juros simples de
R$ 12.600,00, à taxa de 7,5% ao ano, em 4 anos e 9 meses?
a) R$ 4.488,75
b) R$ 1.023,75
c) R$ 3.780,00
d) R$ 1.496,25
e) R$ 5.386,50

57
10. (AFRE-PB 2006 FCC) Certas operações podem ocorrer por um período de
apenas alguns dias, tornando conveniente utilizar a taxa diária e obtendo os
juros segundo a convenção do ano civil ou do ano comercial. Então, se um
capital de R$ 15.000,00 foi aplicado por 5 dias à taxa de juros simples de 9,3%
ao mês, em um mês de 31 dias, o módulo da diferença entre os valores dos
juros comerciais e dos juros exatos é
a) R$ 37,50
b) R$ 30,00
c) R$ 22,50
d) R$ 15,00
e) R$ 7,50
11. (BACEN 2010 CESGRANRIO) Um aplicador vai obter de resgate em um
título o valor de R$ 30.000,00. Sabendo-se que a operação rendeu juros
simples de 5% ao mês, por um período de 6 meses, o valor original da
aplicação foi, em reais, de
a) 21.066,67
b) 21.500,00
c) 22.222,66
d) 23.076,93
e) 23.599,99
12. (AFRE-CE 2006 ESAF) Qual o capital que aplicado a juros simples à taxa
de 2,4% ao mês rende R$ 1 608,00 em 100 dias?
a) R$ 20 000,00.
b) R$ 20 100,00.
c) R$ 20 420,00.
d) R$ 22 000,00.
e) R$ 21 400,00.
13. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um capital no valor de R$ 12.500,00 é
aplicado a juros simples, durante 12 meses, apresentando um montante igual a
R$ 15.000,00. Um outro capital é aplicado, durante 15 meses, a juros simples a
uma taxa igual à da aplicação anterior, produzindo juros no total de R$
5.250,00. O valor do segundo capital supera o valor do primeiro em
a) R$ 10.000,00
b) R$ 8.500,00
c) R$ 7.500,00
d) R$ 6.000,00
e) R$ 5.850,00

58
14. (AFRE-PB 2006 ESAF) Um investidor aplica em um determinado banco R$
10.000,00 a juros simples. Após 6 meses, resgata totalmente o montante de R$
10.900,00 referente a esta operação e o aplica em outro banco, durante 5
meses, a uma taxa de juros simples igual ao dobro da correspondente à
primeira aplicação. O montante no final do segundo período é igual a
a) R$ 12.535,00
b) R$ 12.550,00
c) R$ 12.650,00
d) R$ 12.750,00
e) R$ 12.862,00
(UnB / CESPE – DOCAS / PA -2004) Mário dispunha de um capital de R$
10.000,00. Parte desse capital ele aplicou no banco BD, por 1 ano, à taxa de
juros simples de 3% ao mês. O restante, Mário aplicou no banco BM, também
pelo período de 1 ano, à taxa de juros simples de 5% ao mês. Considerando
que, ao final do período, Mário obteve R$ 4.500,00 de juros das duas
aplicações, julgue os itens seguintes.
16. Os juros obtidos pela aplicação no banco BM superaram em mais de R$
500,00 os juros obtidos pela aplicação no banco BD.
17. Ao final do ano, o montante obtido pela aplicação no banco BD foi superior
a R$ 8.000,00.
18. (UnB / CESPE – CHESF 2002) Uma pessoa recebeu R$ 6.000,00 de
herança, sob a condição de investir todo o dinheiro em dois tipos particulares
de ações, X e Y. As ações do tipo X pagam 7% a.a. e as ações do tipo Y
pagam 9% a.a. A maior quantia que a pessoa pode investir nas ações X, de
modo a obter R$ 500,00 de juros em um ano, é
19. (UnB / CESPE – CHESF 2002) Um capital acrescido dos seus juros
simples de 21 meses soma R$ 7.050,00. O mesmo capital, diminuído dos seus
juros simples de 13 meses, reduz-se a R$ 5.350,00. O valor desse capital é

59
20. (AFTE-RO 2010 FCC) Dois capitais foram aplicados a uma taxa de juros
simples de 2% ao mês. O primeiro capital ficou aplicado durante o prazo de um
ano e o segundo, durante 8 meses. A soma dos dois capitais e a soma dos
correspondentes juros são iguais a R$ 27.000,00 e R$ 5.280,00,
respectivamente. O valor do módulo da diferença entre os dois capitais é igual
a
a) R$ 2.000,00
b) R$ 2.500,00
c) R$ 3.000,00
d) R$ 4.000,00
e) R$ 5.000,00
21. (Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Um investidor aplica
um capital a juros simples, durante 10 meses, apresentando montante no valor
de R$ 30.000,00 no final do período. Caso este capital tivesse sido aplicado
durante 16 meses a juros simples, e com a mesma taxa de juros anterior, o
valor do montante no final deste período teria sido de R$ 33.600,00. O valor do
capital aplicado pelo investidor é igual a
(A) R$ 21.000,00.
(B) R$ 22.500,00.
(C) R$ 23.600,00.
(D) R$ 24.000,00.
(E) R$ 25.000,00.
22. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Os valores de R$ 50.000,00 e R$ 100.000,00 foram
aplicados à mesma taxa de juros simples durante 12 e 6 meses,
respectivamente. O prazo médio da aplicação conjunta desses capitais, em
meses é:
a) 12
b) 8
c) 10
d) 9,2
e) 7,5
23. (AFRF 2003/ESAF) Os capitais de R$ 2.500,00, R$ 3.500,00, R$ 4.000,00
e R$ 3.000,00 são aplicados a juros simples durante o mesmo prazo às taxas
mensais de 6%, 4%, 3% e 1,5%, respectivamente. Obtenha a taxa média
mensal de aplicação destes capitais.
a) 2,9%
b) 3%
c) 3,138%
d) 3,25%
e) 3,5%

60
24. (AFRF 2002.2/ESAF) Os capitais de R$ 7.000,00, R$ 6.000,00, R$
3.000,00 e R$ 4.000,00 são aplicados respectivamente às taxas de 6%, 3%,
4% e 2% ao mês, no regime de juros simples durante o mesmo prazo. Calcule
a taxa média proporcional anual de aplicação destes capitais.
a) 4%
b) 8%
c) 12%
d) 24%
e) 48%
25. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) O valor de um investimento de R$ 20
000,00, a uma taxa de juros compostos de 50% ao ano, ao final de dois anos é
a) R$ 45.000,00
b) R$ 47.500,00
c) R$ 60.000,00
d) R$ 90.000,00
e) R$ 50.000,00
26. (BACEN 2010/CESGRANRIO) Um investidor aplicou R$ 20.000,00 num CDB com
vencimento para 3 meses depois, a uma taxa composta de 4% ao mês. O valor de
resgate dessa operação foi, em reais, de (Nota: efetue as operações com 4 casas
decimais)
a) 20.999,66
b) 21.985,34
c) 22.111,33
d) 22.400,00
e) 22.498,00
27. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Os juros auferidos pela aplicação de um capital no
valor de R$ 12.500,00, durante dois anos, a uma taxa de juros compostos de 8% ao
ano, são iguais aos da aplicação de um outro capital no valor R$ 10.400,00, a juros
simples, à taxa de 15% ao ano. O tempo em que o segundo capital ficou aplicado foi
igual a
a) 22 meses
b) 20 meses
c) 18 meses
d) 16 meses
e) 15 meses

61
28. (CEF 2008 CESGRANRIO) O gráfico a seguir representa as evoluções no tempo
do Montante a Juros Simples e do Montante a Juros Compostos, ambos à mesma taxa
de juros. M é dado em unidades monetárias e t, na mesma unidade de tempo a que se
refere à taxa de juros utilizada.
Analisando-se o gráfico, conclui-se que para o credor é mais vantajoso emprestar a
juros
a) compostos, sempre.
b) compostos, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo.
c) simples, sempre.
d) simples, se o período do empréstimo for maior do que a unidade de tempo.
e) simples, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo.
29. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) A fração de período pela convenção linear produz uma
renda a e pela convenção exponencial produz uma renda b. Pode-se afirmar que:
a) log
b)
c)
d) √
e)
30. (BESC 2004/FGV) O montante de um principal de R$ 300,00 em 2 meses e 10
dias, a juros de 10% ao mês pela convenção linear, é igual a:
a) R$ 370,00
b) R$ 372,00
c) R$ 373,00
d) R$ 375,10
e) R$ 377,10
31. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) José dispõe de R$ 10.000,00 para aplicar durante seis
meses. Consultando determinado banco, recebeu as seguintes propostas de
investimento:
I – Juros simples de 2% ao mês.
II – Juros compostos de 1% ao mês.
III – Resgate de R$ 12.000,00, ao final de um período de seis meses.
Assinale:

62
a) se todas apresentarem o mesmo retorno.
b) se a proposta I for a melhor alternativa de investimento.
c) se a proposta II for a melhor alternativa de investimento.
d) se a proposta III for a melhor alternativa de investimento.
e) se as propostas I e III apresentarem o mesmo retorno.
16. Gabaritos

01. A
02. E
03. B
04. D
05. E
06. C
07. A
08. C
09. A
10. E
11. D
12. B
13. B
14. A
15. Errado
16. Errado
17. Certo
18. C
19. D
20. C
21. D
22. B
23. E
24. E
25. A
26. E
27. D
28. E
29. E
30. D
31. D

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