Trabalho Individual.

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Trabalho sobre geometria usando o software geogebra.

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Trabalho Individual.

  1. 1. GEOMETRIA POLÍGONOS
  2. 2. <ul><li>Polígono é uma figura geométrica cuja palavra é proveniente do grego que quer dizer: poli(muitos) + gonos (ângulos). Um polígono é uma linha poligonal fechada formada por segmentos consecutivos, não colineares que se fecham. </li></ul>
  3. 3. A região interna a um polígono é a região plana delimitada por um polígono <ul><li>Muitas vezes encontramos na literatura sobre Geometria a palavra polígono identificada com a região localizada dentro da linha poligonal fechada mas é bom deixar claro que polígono representa apenas a linha. Quando não há perigo na informação sobre o que se pretende obter, pode-se usar a palavra num ou no outro sentido. </li></ul>
  4. 4. Considerando a figura anexada, observamos que: <ul><li>Os segmentos AB, BC, CD, DE e EA são os lados do polígono e da região poligonal. </li></ul><ul><li>Os pontos A, B, C, D, E são os vértices da região poligonal e do polígono. </li></ul><ul><li>Os ângulos da linha poligonal, da região poligonal fechada e do polígono são: A, B, C, D e E </li></ul>
  5. 5. Regiões poligonais quanto à convexidade <ul><li>Região poligonal convexa: É uma região poligonal que não apresenta reentrâncias no corpo da mesma. Isto significa que todo segmento de reta cujas extremidades estão nesta região estará totalmente contido na região poligonal. </li></ul>
  6. 6. <ul><li>Região poligonal não convexa: É uma região poligonal que apresenta reentrâncias no corpo da mesma, o que ela possui segmentos de reta cujas extremidades estão na região poligonal mas que não estão totalmente contidos na região poligonal. </li></ul>
  7. 7. Nomes dos polígonos <ul><li>Dependendo do número de lados, um polígono recebe os seguintes nomes de acordo com a tabela: </li></ul>
  8. 8. <ul><li>Polígono Regular: É o polígono que possui todos os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes. No desenho animado ao lado podemos observar os polígonos: triângulo, quadrado, pentágono, hexágono e heptágono. </li></ul>
  9. 9. Triângulos e a sua classificação <ul><li>Triângulo é um polígono de três lados. É o polígono que possui o menor número de lados. Talvez seja o polígono mais importante que existe. Todo triângulo possui alguns elementos e os principais são: vértices, lados, ângulos, alturas, medianas e bissetrizes. </li></ul>
  10. 10. Apresentaremos agora alguns objetos com detalhes sobre os mesmos. <ul><li>Vértices: A,B,C. </li></ul><ul><li>Lados: AB,BC e AC. </li></ul><ul><li>Ângulos internos: a, b e c. </li></ul>
  11. 11. <ul><li>Altura: É um segmento de reta traçado a partir de um vértice de forma a encontrar o lado oposto ao vértice formando um ângulo reto. BH é uma altura do triângulo. </li></ul>
  12. 12. <ul><li>Mediana: É o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. BM é uma mediana. </li></ul>
  13. 13. <ul><li>Bissetriz: É a semi-reta que divide um ângulo em duas partes iguais. O ângulo B está dividido ao meio e neste caso Ê = Ô. </li></ul>
  14. 14. <ul><li>Ângulo Interno: É formado por dois lados do triângulo. Todo triângulo possui três ângulos internos. </li></ul>
  15. 15. Ângulo Externo: É formado por um dos lados do triângulo e pelo prolongamento do lado adjacente(ao lado).
  16. 16. Medidas dos ângulos de um triângulo <ul><li>Ângulos Internos: Consideremos o triângulo ABC. Poderemos identificar com as letras a , b e c as medidas dos ângulos internos desse triângulo. Em alguns locais escrevemos as letras maiúsculas A, B e C para representar os ângulos. </li></ul><ul><li>A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre igual a 180 graus, isto é: </li></ul><ul><li>a + b + c = 180º </li></ul>
  17. 17. <ul><li>Exemplo: Considerando o triângulo abaixo, podemos escrever que: 70º+60º+x=180º e dessa forma, obtemos x=180º-70º-60º=50º. </li></ul>
  18. 18. Ângulos Externos: Consideremos o triângulo ABC. Como observamos no desenho, em anexo, as letras minúsculas representam os ângulos internos e as respectivas letras maiúsculas os ângulos externos.
  19. 19. <ul><li>Todo ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a esse ângulo externo. Assim: </li></ul><ul><li>A = b+c,   B = a+c,   C = a+b </li></ul><ul><li>Exemplo: No triângulo desenhado ao lado: x=50º+80º=130º. </li></ul>
  20. 20. Congruência de Triângulos <ul><li>A idéia de congruência : Duas figuras planas são congruentes quando têm a mesma forma e as mesmas dimensões, isto é, o mesmo tamanho. </li></ul>
  21. 21. Para escrever que dois triângulos ABC e DEF são congruentes, usaremos a notação: ABC ~ DEF Para os triângulos das figuras abaixo:
  22. 22. <ul><li>existe a congruência entre os lados, tal que: </li></ul><ul><li>AB ~ RS, BC ~ ST, CA ~ TR </li></ul><ul><li>e entre os ângulos: </li></ul><ul><li>A ~ R , B ~ S , C ~ T </li></ul><ul><li>Se o triângulo ABC é congruente ao triângulo RST, escrevemos: </li></ul><ul><li>ABC ~ RST </li></ul>
  23. 23. <ul><li>Dois triângulos são congruentes, se os seus elementos correspondentes são ordenadamente congruentes, isto é, os três lados e os três ângulos de cada triângulo têm respectivamente as mesmas medidas. </li></ul><ul><li>Para verificar se um triângulo é congruente a outro, não é necessário saber a medida de todos os seis elementos, basta conhecer três elementos, entre os quais esteja presente pelo menos um lado. Para facilitar o estudo, indicaremos os lados correspondentes congruentes marcados com símbolos gráficos iguais. </li></ul>
  24. 24. Casos de Congruência de Triângulos <ul><li>LLL (Lado, Lado, Lado): Os três lados são conhecidos. </li></ul><ul><li>Dois triângulos são congruentes quando têm, respectivamente, os três lados congruentes. Observe que os elementos congruentes têm a mesma marca. </li></ul>
  25. 25. <ul><li>LAL (Lado, Ângulo, Lado): Dados dois lados e um ângulo </li></ul><ul><li>Dois triângulos são congruentes quando têm dois lados congruentes e os ângulos formados por eles também são congruentes. </li></ul>
  26. 26. <ul><li>ALA (Ângulo, Lado, Ângulo): Dados dois ângulos e um lado </li></ul><ul><li>Dois triângulos são congruentes quando têm um lado e dois ângulos adjacentes a esse lado, respectivamente, congruentes. </li></ul>
  27. 27. <ul><li>LAAo (Lado, Ângulo, Ângulo oposto): Conhecido um lado, um ângulo e um ângulo oposto ao lado. </li></ul><ul><li>Dois triângulos são congruentes quando têm um lado, um ângulo, um ângulo adjacente e um ângulo oposto a esse lado respectivamente congruentes. </li></ul>
  28. 28. GEOGEBRA <ul><li>Exercícios para resolver com o geogebra, orientação passo a passo. </li></ul>
  29. 29. <ul><li>1-) Soma dos ângulos internos de um triângulo: </li></ul><ul><li>1. Esconda o sistema de eixos Fig. 1 ; </li></ul><ul><li>2. Defina um triângulo traçando três segmentos de reta Fig. 2 ; </li></ul><ul><li>3. Peça as medidas dos ângulos internos do triângulo Fig. 3 . O Geogebra atribui automaticamente uma letra grega a cada um dos ângulos. </li></ul><ul><li>4. Calcule a soma dos três ângulos Fig. 4 . Pode ver agora a variável soma na barra de álgebra Fig. 5 . </li></ul><ul><li>5. Represente no ecrã, junto ao triângulo a soma dos ângulos internos Fig. 6 . </li></ul><ul><li>6. Arraste os pontos, alterando o triângulo. Verifique que a soma dos ângulos internos se mantém. </li></ul>
  30. 30. Figura 1: Esconder Eixos de coordenadas – desative a opção realçada na figura. Neste menu pode ainda definir se pretende ver ou um fundo quadriculado, a janela de álgebra.
  31. 31. <ul><li>Figura 2: Para traçar um segmento de reta escolha a ferramenta evidenciada e faça clique no ecrã para definir um ponto, arraste e faça um segundo clique “Tecnologias na aprendizagem da Matemática” </li></ul>
  32. 32. <ul><li>Figura 3: Selecione a ferramenta em destaque e aponte para os 3 pontos que definem o ângulo </li></ul>
  33. 33. <ul><li>Figura 4: Para definir uma variável (soma) que escreva na linha de entrada soma=α + β + γ. Para obter as letras gregas utilize a caixa assinalada na figura. </li></ul>
  34. 34. <ul><li>Figura 5: Em destaque a o resultado da soma </li></ul>
  35. 35. <ul><li>Figura 6: Utilize a ferramenta em destaque para inserir texto na janela do Geogebra. Pode juntar várias cadeias de texto separando-as pelo sinal de “+”. Neste caso “Soma=α + β + γ = ” será texto enquanto que a segunda vez que aparece a palavra soma será substituída pelo valor da variável definida anteriormente, uma vez que não se encontra entre ” . </li></ul>
  36. 36. <ul><li>Figura 7: Para arrastar os pontos deve selecionar a ferramenta em destaque (seta). Caso contrário, continuará a utilizar a última ferramenta que tinha utilizado </li></ul>
  37. 37. <ul><li>Resolução do exercício 1. </li></ul>
  38. 38. <ul><li>2-) Construção de um quadrado utilizando retas paralelas e perpendiculares </li></ul><ul><li>1. Esconda os de eixos Fig. 1 ; </li></ul><ul><li>2. defina um segmento de reta AB Fig. 2 </li></ul><ul><li>3. trace uma reta perpendicular ao segmento de reta que passe pelo ponta A Fig. 8 ; </li></ul><ul><li>4. construa uma circunferência, de centro A, que passe pelo ponto B Fig. 9 ; 5. marque um dos pontos (C) de intersecção da circunferência com a reta Fig. 10 ; </li></ul><ul><li>6. trace uma reta paralela a AB que passe por C e uma perpendicular a AB que passe por B; </li></ul><ul><li>7. marque o ponto de intersecção das retas traçadas no ponto anterior e defina os segmentos BC, CD e DA Fig. 10 ; </li></ul><ul><li>8. esconda a circunferência e as retas auxiliares de que já não precisa Fig. 12 ; </li></ul><ul><li>9. Meça os comprimentos dos lados e as amplitudes dos ângulos do quadrado </li></ul><ul><li>Fig. 13 </li></ul><ul><li>10. verifique que a figura obtida tem a propriedades de um quadrado e que estas se mantêm quando arrasta um dos pontos azuis (A ou B) Fig. 7 . </li></ul>
  39. 39. <ul><li>Figura 8: Traçar uma reta que passa por um ponto dado e é perpendicular a um segmento. Selecione a ferramenta em evidência na figura, depois, faça clique no segmento e no ponto. </li></ul>
  40. 40. <ul><li>Figura 9: Traçar uma circunferência definida pelo centro e um ponto. Selecione a ferramenta em destaque, depois faça clique no Centro, arraste e faça clique no ponto que pertence à circunferência. </li></ul>
  41. 41. <ul><li>Figura 10: Marcar um ponto de intersecção. Selecione a ferramenta destacada, aponte para o ponto de intersecção dos objetos e faça clique quando estiverem ambos selecionados (ficam ligeiramente mais escuros) </li></ul>
  42. 42. <ul><li>Figura 11: Definir uma reta paralela ao segmento AB que passa pelo ponto C. Com a ferramenta em destaque, faça clique sobre o segmento AB e depois sobre o ponto C </li></ul>
  43. 43. <ul><li>Figura 12: Esconder objetos. Para esconder um objeto faça clique,com o botão do lado direito, sobre o objeto e escolha a opção “Exibir objeto” de modo a desativar a sua visibilidade </li></ul>
  44. 44. <ul><li>Figura 13: Ferramentas para obter comprimentos, distâncias e amplitudes de ângulos. Para medir comprimentos basta selecionar a ferramenta e fazer clique sobre um segmento ou circunferência. Pode também obter a distância entre dois pontos fazendo clique num e depois no outro. Para as amplitudes dos ângulos, selecione a ferramenta destacada e, de seguida, três pontos de modo a que o vértice seja o segundo ponto a ser apontado. </li></ul>
  45. 45. <ul><li>Resolução do exercício 2. </li></ul>
  46. 46. BIBLIOGRAFIA <ul><li>http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/geometria/geo-ang.htm </li></ul><ul><li>Centro de Comptência CRIE GEOGEBRA – UM PERCURSO INICIAL </li></ul><ul><li>Formato do arquivo: PDF/Adobe Acrobat - Visualização rápida Escola Superior de Educação de Setúbal. GEOGEBRA – UM PERCURSO INICIAL </li></ul>

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