Aula 03 mecância - vetores

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Aula 03 mecância - vetores

  1. 1. AULA 3 MECÂNICA VETORES 1- INTRODUÇÃO Na Física usamos dois grupos de grandezas: as grandezas escalares e asgrandezas vetoriais. São escalares as grandezas que ficam caracterizadas comos seus valores numéricos e suas respectivas unidades. São vetoriais asgrandezas que se caracterizam com a indicação de seus valores numéricos, suasunidades e suas orientações (direção e sentido). Algumas grandezas serão estudadas em dois momentos: num primeiromomento, não devemos nos preocupar com suas orientações, portanto, nestemomento elas farão parte do grupo das grandezas escalares. Já num segundomomento, onde as orientações serão relevantes, elas farão parte do grupo dasgrandezas vetoriais. Podemos citar como exemplo de grandezas que serãoestudadas nos dois aspectos, a velocidade e a aceleração Estudaremos a seguir as grandezas vetoriais 2- ORIENTAÇÃO. A orientação de uma grandeza consiste na indicação de sua direção e seusentido. Para que você não confunda direção e sentido, observe o exemplo abaixo. s r As retas r e s são paralelas indicando então que elas têm a mesma direção(direção horizontal). Observe que os sentidos são indicados sobre a direção (direitaou esquerda) indicando então que r e s têm sentidos opostos. 3- VETOR. O vetor reúne três características: módulo, direção e sentido.A grandeza vetorial será representada geometricamente por um vetor. O vetor éum segmento de reta orientado (direção e sentido). A orientação de tal segmentoserá a mesma orientação da grandeza que ele representa e a sua dimensão seráproporcional ao módulo da grandeza vetorial.
  2. 2. V m m m m A B este vetor pode ser representado assim: V = AB = (B - A) origem extremidadeo módulo deste vetor pode ser representado,assim: V = V = 4 m 4- ADIÇÃO DE VETORES Para somar vetores, podemos utilizar dois métodos: o método doparalelogramo (para a soma de dois vetores) e o método polígono (para a soma devários vetores). 4.1- MÉTODO DO PARALELOGRAMO. r r Vamos somar as grandezas vetoriais a e b , usando o método doparalelogramo. Observe que o vetor resultante terá seu módulo determinado pelalei dos co-senos. a R q b 2 2 2 R = a + b + 2. a.b . cos q 2 2 R = a + b + 2. a.b . cos q
  3. 3. RESULTANTE MÁXIMA. - A resultante será máxima se o cosq for máximo (cosq = 1). q = 0° fi cos 0° = 1 : a 2 2 R máx = a + b + 2. a . b b b a 2 R máx = Êa + bˆ fi Á Ë ˜ ¯ R máx = a + b R q = 180º fi cos 180° = -1 : b a 2 2 R mín = a + b - 2.a.b b a R mín = (a - b ) fi 2 R = a- b mín R è = 90° fi cos 90° = 0 2 2 R = a +b b R 2 2 2 R = a + b (Pitágoras) a 4.2- MÉTODO DO POLÍGONO O método do polígono é usado para somar mais de dois vetores. O métodoconsiste em ligar a extremidade do primeiro vetor na origem do segundo aextremidade do segundo na origem do terceiro e este procedimento segue até oúltimo vetor. O vetor resultante é um vetor que deverá ser construído por nós,ligando a origem do primeiro com a extremidade do último vetor. Veja oexemplo a seguir.
  4. 4. b b a a c e d e R c R = a+b+e+c 5- VETOR OPOSTO. Imagine dois vetores com a mesma direção, sentidos opostos e com as mesmasdimensões. Neste caso podemos dizer que um é o oposto do outro. Observe oexemplo: Y Z Observe que o vetor Z é oposto ao vetor YO que na verdade significa dizer .que: Z = (-1).Y 6- DIFERENÇA DE VETORES. A diferença entre dois vetores (a e b), é na verdade a soma do vetor a com o oposto do vetor b.
  5. 5. D = a - b, mas D = a + (-b) a a b fi D ou q D b a b 2 2 D = a + b - 2. a.b . cos q 7- COMPONENTES PERPENDICULARES DE UM VETOR. As componentes perpendiculares de um vetor, são projeções deste vetor em duasdireções perpendiculares não coincidentes com a direção dele. Y a ay = a. cos b ou ay = a.senq ay b q X ax = a. cos q ou ax = a.senb ax 8- VERSOR. O versor é um vetor unitário (módulo 1) que nós usamos para indicar direção e sentido. b Expressões : a a = 1x + 2y c b = 3x c = -2y e d d = -2x - 2y y e = 2x - 3y x
  6. 6. EXERCÍCIOS 1. (FATEC) – Duas forças têm intensidades F1 = 10N e F2 = 15N. O modulo da resultante não pode ser: a) 4N b) 10N c) 15N d) 20N e) 25N r r 2. (ESAM-SP) – Duas forças constantes, F1 e F2 , de intensidades F1 = 6,0N e F2 = 8,0N formam, entre si, um angulo de 60º. Qual o valor aproximado da intensidade da r r resultante entre F1 e F2 ? 3 1 Dados: sen60° = e cos60° = 2 2 3. (MACKENZIE – SP) - Com seis vetores de módulos iguais a 8u, construiu-se o hexágono regular abaixo. r V2 r r V3 V1 r r V4 V6 r V5 O módulo do vetor resultante desses seis vetores é igual a: a) 64u b) 32u c) 16u d) 8u e) zero4. (ALFENAS – MG) – Um móvel entra numa curva, em um ponto A, com velocidadede módulo 3,0m/s. Ao sair da curva, em um ponto B, sua velocidade tem módulode 4,0m/s e uma direção que faz um ângulo de 60º com a direção de velocidade noponto A. Calcule o módulo da variação da velocidade vetorial entre os pontos A e B.
  7. 7. r VA A 60° B r VB r r r r5. (UFOP –MG) – Os módulos das forças F1 e F2 são F1 = 3N e F2 = 5N . Então ésempre verdade que: r rI) F1 - F2 = 2N r rII) 2N £ F1 - F2 £ 8N r rIII) F1 + F2 = 8N r rIV) 2N £ F1 + F2 £ 8NMarque a alternativa correta. a) apenas (I) e (III) são verdadeiras. b) apenas (II) e (IV) são verdadeiras. c) apenas (II) e (III) são verdadeiras. d) apenas (I) e (IV) são verdadeiras. e) nenhuma sentença é sempre verdadeira.6. (VUNESP) – No ensino médio, as grandezas físicas costumam ser classificadasem duas categorias. Na primeira categoria, estão as grandezas definidas apenaspor um numero e uma unidade de medida; as grandezas da segunda categoriarequerem, além disso, o conhecimento de sua direção e de seu sentido.a) Como são denominadas as duas categorias, na seqüência apresentada?b) Preencha corretamente as lacunas, indicando uma grandeza física da área demecânica e outra da área de eletricidade, para cada uma dessas categorias.área 1ª categoria 2º categoriamecânica ................... ...................eletricidade ................... ...................7 . (UELON – PR) – São grandezas vetoriais a:a) energia cinética e a corrente elétrica.b) corrente elétrica e o campo elétrico.c) força e o calor.d) aceleração e o trabalho.e) aceleração e o campo elétrico.8. (FUND. CARLOS CHAGAS) – Os quatro vetores, cada um de módulo V,representados na figura, tem soma vetorial de modulo:
  8. 8. r V1a) zero r r V4 V2b) Vc) 3.Vd) 2.V re) 4.V V3 r r r r r9. (MACKENZIE-SP) – A figura mostra os vetores r , s, t, u, v . O resultado da r r roperação v - t + u é o vetor: r r r s r t r r v u r r r r r r r ra) r b) 2u c) r + s d) t + u e) r + u10. (CEFET-PR) – Considere os vetores representados na figura que se segue.Dentre as alternativas fornecidas, é possível afirmar que é correta a expressão: r B r r D r A C 2cm 2cm r ra) A + B = 22cm rb) C = 4cm r rc) B - D = 6cm r r rd) A + B + C = 10cm r re) B - C = 5cm
  9. 9. RESPOSTAS1. ALTERNATIVA AFR min = 15 - 10 = 5N e FR máx = 15 + 10 = 25NA resultante deve estar entre 5N e 25N, então, não pode ser 4N2. FR @ 12N 2 2 1FR = F1 + F2 + 2.F1.F2 . cos q fi FR = 6 2 + 82 + 2.6.8. cos 60° fi FR = 36 + 64 + 96. 2FR = 148 fi FR @ 12N3. ALTERNATIVA B r V2 r r V3 V1 r r r VR = 32u VR1 60° VR1 = 16u 60° 4u 8u 4u r r VR 2 VR 2 = 16u r r V4 V6 r V54. DV = 13 m / s
  10. 10. 1DV = VA + VB - 2.VA .VB . cos q fi DV = 32 + 42 - 2.3.4. cos 60° fi DV = 2 2 9 + 25 - 24. 2DV = 13 m / s5. ALTERNATIVA B6. a) 1ª grandezas escalares e 2ª grandezas vetoriais b) área 1ª categoria 2ª categoria mecânica massa força eletricidade intensidade de corrente eletrica força eletrostática7. ALTERNATIVA E8. ALTERNATIVA A9. ALTERNATIVA B r -t r r r s r r r r r r v v + (- t) = v - t = u fi r r r r v - t + u = 2u r fi t r r v u10. ALTERNATIVA D r B r r r A C R 6 2cm 8 2cmPor Pitagoras, temos :R 2 = 6 2 + 82 fi R 2 = 36 + 64 fi R 2 = 100 fi R = 100 fi R = 10cm

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