Respostas das questões do livro texto

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Respostas das questões do livro texto

  1. 1. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino LivreQuestão 1- Como preparar o Excel?Resposta: Primeiro precisa-se instalar todas as funções financeiras do Excel, abrindo-se umaplanilha com os seguintes passos: clique no ícone: Menu Iniciar; clique no ícone: Todos osProgramas; clique no ícone: Microsoft Office; clique no ícone: Microsoft Excel 2010,assim abrirá uma planilha em branco do Excel.Etapas: Para executar o Excel, tornando apto ao uso, basta selecionar a opção correspondente,depois clicar na opção Iniciar→ Todos os Programas→ Microsoft Office→ Microsoft Excel,conforme apresentado abaixo:Outra opção para executar o Excel pode ser realizada através de um duplo clique sobre íconede atalho, conforme ilustrado abaixo:Microsoft Excel 2010A aparência da planilha Excel pode ser constatada na figura seguinte:FERREIRA, Mário Neto Página 1
  2. 2. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino LivrePara podermos operar com todos os recursos disponíveis do Microsoft Excel é fundamentalque o usuário confira a instalação dos suplementos: Ferramentas de análise, antes de inserirfórmulas ou aplicarmos os recursos próprios para modelagem financeira. É importantedestacar que a verificação da ativação ou não dos suplementos: opção Menu Ferramentasdeve ser realizada antes da inserção de fórmulas.Etapas: Ferramentas podem ser instalados ou desinstalados através do Menu Ferramentas→Suplementos, conforme observamos na figura seguinte:Caso o Excel tenha sido instalado em sua versão completa, diversas opções de Suplementosestarão disponíveis, conforme exibimos na figura seguinte:FERREIRA, Mário Neto Página 2
  3. 3. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino LivreÉ fundamental que no momento de instalação do Excel no computador, seja selecionada aopção completa, que inclua os suplementos. Caso os Suplementos→ Ferramentas de análisee Solver não estejam disponíveis, torna-se necessário a sua instalação completa.Caso os suplementos estejam instalados e suas opções de ativação estejam disponibilizadasatravés da opção Suplementos, é necessário tornar disponível os suplementos Ferramentas deanálise e Solver, ativando a opção Ferramentas de análise (cuidado, existe outra opção desuplemento denominada Ferramentas de Análise – VBA) e a opção Solver. Com osSuplementos Ferramentas de análise e Solver ativados, diversas funções e recursos maiselaborados passam a ser, também disponibilizados pelo Excel.Observação:Suplemento→ Ferramentas de análise: deve ser usado com o objetivo de agilizar as etapasdo desenvolvimento de análises estatísticas ou de engenharia complexas. Fornecidos os dadose os parâmetros para cada análise; a ferramenta utiliza as funções automatizadas de macro 1de estatística ou engenharia adequadas e exibe os resultados em uma tabela de saída. Algumasferramentas geram gráfico: Histograma, além das tabelas de saída. A lista das ferramentas deanálise disponíveis pode ser vista através da opção Análise de dados no Menu Ferramentas.Se o comando Análise de dados não estiver no Menu Ferramentas, é necessário executar oPrograma de Instalação para instalar o Suplemento Ferramentas de Análise. Depois de instalaras Ferramentas de análise, o Suplemento Ferramentas de análise deve ser selecionado noGerenciador de Suplementos.Para inserir uma fórmula que contém uma função basta seguir os seguintes passos:1- Clique na célula na qual deseja inserir a fórmula;2- Para iniciar a fórmula com a função, clique em Editar fórmula (=) na barra de fórmulas;3- Clique na seta abaixo próxima à caixa Funções SOMA;4- Clique na função que deseja adicionar à fórmula. Se a função não aparecer na lista, cliqueem Mais funções para obter uma lista de funções adicionais;5- Insira os argumentos;6- Ao concluir a fórmula, pressione ENTER.Funções financeiras: Outro grupo de funções do Excel facilita as operações básicas damatemática financeira na planilha. De um modo geral, as funções financeiras do Exceloperam no denominado regime dos juros compostos. Dentre as mais usuais funçõesfinanceiras, destacam-se as apropriadas para o cálculo do valor presente, do valor futuro, dataxa e do número de períodos.Veja um dos exemplos que existem no Excel:Função:VP→ esta função retorna o valor presente de um investimento, onde os fluxos de caixa sãohomogêneos (valores nominais iguais). Seu resultado equivale ao retornado pela função [PV]das calculadoras financeiras. Sua sintaxe é representada da seguinte forma: VP (TAXA;NPER; PGTO; VF; TIPO):TAXA→ taxa de juros por período (equivale à tecla [i] das calculadoras financeiras);NPER→ número total de períodos de pagamento. Equivale à tecla [n] das calculadorasfinanceiras;FERREIRA, Mário Neto Página 3
  4. 4. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino LivrePGTO→ pagamento feito a cada período e é assumido como homogêneo (iguais, equivale àtecla [PMT] das calculadoras financeiras);VF→ valor futuro, ou um saldo de caixa, que você deseja obter depois do último pagamento(se VF for omitido, será considerado 0 - o valor futuro de determinado empréstimo, porexemplo, é 0 (zero) - Equivale à tecla [FV] das calculadoras financeiras;TIPO→ representado pelo número 0 ou 1, indica as datas de vencimento dos pagamentos. Sefor igual a 0 ou omitido, o Excel assume como uma série de pagamentos postecipados (nofinal do período). Se for igual a 1, o Excel assume como uma série de pagamentosantecipados (no início do período). Equivale às funções [g] [BEG] e [g] [END] dascalculadoras financeiras: A B C D E F G 1 VP N I PMT VF TIPO 2 ? 5 10% ---- 200 ---- 3 (R$124,18) = VP (D3;C3;F3) ---- ---- ----A planilha anterior mostra a obtenção do valor presente de uma operação de investimentocom valor futuro igual a R$200,00, prazo igual a 5 períodos e taxa igual a 10% ao período. Ovalor foi obtido através do uso da função VP: R$124,18. Note que o Excel, de forma similaràs calculadoras financeiras, também emprega as convenções dos sinais (positivo paraexpressar entradas de caixa e negativo para expressar saídas de caixa).Neste mesmo sentido são as outras funções: VF, NPER, TAXA, PGTO, VPL, TIR, dentremuitas outras.Veja algumas opções de cálculo destas variáveis no Excel: 1PLANILHA - CÁLCULOS DAS VARIÁVEIS DA CAPITALIZAÇÃO COMPOSTAPossibilidade 1 Possibilidade 2 Possibilidade 3 Possibilidade 4Calcular Valor Presente Calcular Valor Futuro Calcular o Período Calcular Taxa de JurosPV ou VP FV ou VF N ou NPER I ou TAXACÁLCULO – FUNÇÕES DO EXCELValor Futuro -R$ 41.917,80 Valor Presente -R$ 20.392,30 Valor Futuro -R$ 22.992,12 Valor Futuro -R$ 54.537,60Período 57 Período 60 Valor Presente R$ 12.419,45 Período 60Taxa de juros 1,0839% Taxa de juros 0,7948% Taxa de juros 1,7250% Valor Presente R$ 28.209,89Valor Presente R$ 22.673,84 Valor Futuro R$ 32.790,94 Período 36 Taxa de juros 1,1048%Prestação Prestação Prestação Prestação(PMT ou PGTO) R$ 735,40 (PMT ou PGTO) R$ 546,51 (PMT ou PGTO) R$ 638,67 (PMT ou PGTO) R$ 908,961 Nomenclatura de acordo com as funções e as teclas da Calculadora Científica HP 12C, cujos cálculosforam realizados no Excel.FERREIRA, Mário Neto Página 4
  5. 5. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino LivreQuestão 2- Comente as dicas – calculadora HP 12C?Resposta:Dicas básicas para uso da HP 12CC2.1- Trocando ponto e vírgula:Nos Estados Unidos, o padrão de utilização do ponto e da vírgula nos números é oposto aoque utilizamos no Brasil. Nos Estados Unidos, os milhares são separados pela vírgula e aparte fracionária é separada com o ponto. Exemplo: A quantia mil e quinhentos dólares esetenta centavos é escrita US$1,500.70.A HP 12C sai da fábrica com esse padrão e mudá-lo para o nosso é bem simples:Com a calculadora desligada, aperte a tecla e depois a tecla ponto(mantendo a tecla ON pressionada). Segure um pouco e solte ambas. Ponto e vírgula sãotrocados. Para reverter, faça o mesmo.Padrão brasileiroPadrão norte-americano2.2- Definição do número de casas decimais:Na Matemática Financeira é normalmente recomendado trabalhar com pelo menos 4 casasdecimais, para que os cálculos, especialmente aqueles que retornam taxas, tenham boaprecisão.FERREIRA, Mário Neto Página 5
  6. 6. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino LivrePara definir o número de casas decimais na HP 12C, pressione a tecla f e depois o número decasas decimais desejadas. Exemplo: para trabalhar com 4 casas, pressione f e depois 4.4 casas decimais6 casas decimais2.3- Trabalhando com datas na HP 12C:A primeira coisa a fazer é definir o formato de data com o qual se deseja trabalhar (configurea calculadora para trabalhar com 6 casas decimais, se não souber como fazer, veja a dicaanterior).O formato mais comum no Brasil é dia/mês/ano, mas nos EUA é mais comum mês/dia/ano.Para trabalhar com a primeira opção, tecle g e D.MY; aparecerá na tela o símbolo D.MY.Neste formato, a data 15/04/2010 é lançada assim: 15.042010 ENTER.Configuração da calculadora para o formato dia/mês/ano (D.MY) em destaque a indicação novisor do formato utilizadoLançamento da data 15/04/2010 no formato D.MYPorém, se você quiser trabalhar com o formato norte-americano, tecle g e M.DY. Como esse éo formato padrão da calculadora, nenhum símbolo aparece na tela. Neste formato, a data15/04/2010 é lançada assim: 4.152010 ENTER.Configuração da calculadora para o formato mês/dia/ano (M.DY)FERREIRA, Mário Neto Página 6
  7. 7. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino LivreLançamento da data 15/04/2010 no formato M.DYQuando a calculadora retorna a data requerida, informa também o dia da semana, através deum código no canto direito da tela, que é de 1 a 7, sendo 1 (segunda-feira), 2 (terça-feira) eassim por diante, até 7, que representa domingo.Dois tipos de cálculos com datas podem ser realizados (usaremos nos exemplos o formatoD.MY):2.4- Partindo de uma data, calcular uma nova data dado um intervalo:Exemplo: A data é 20/03/2010, se fizermos uma compra para pagar daqui a 90 dias. Qual odia do vencimento?1- Lance a data de partida: 20.032010 ENTER;2- Lance o intervalo e execute a operação DATE (na mesma tecla do CHS): 90 g DATE.Isso significa que o vencimento cairá na data 18/06/2010, uma sexta-feira (código 5 no cantodireito da tela).É possível calcular datas anteriores à data de partida, para isso basta lançar o intervalo comsinal negativo, usando a função CHS.Exemplo: Pagarei na data de 10/05/2010 uma conta que tem um prazo de 100 dias. Qual adata de referência dessa conta?1- Lance a data de partida: 10.052010 ENTER;2- Lance o intervalo e execute a operação DATE (na mesma tecla doCHS): 100 CHS g DATE (a tecla CHS depois do 100 indica para a calculadora que se queruma data passada e não futura).FERREIRA, Mário Neto Página 7
  8. 8. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino LivreIsso significa que a data de referência dessa conta é 30/01/2010, um sábado (código 6 nocanto direito da tela).2.5- Calcular o intervalo entre duas datas conhecidas:Exemplo: A data é 10/02/2010, se fizermos uma compra para pagar na data de 05/04/2010.Qual é o prazo de pagamento?1- Lance a data de compra: 10.022010 ENTER;2- Lance a data de pagamento e execute a operação ΔDYS (na mesma tecla doEEX): 5.042010 g ΔDYS.Portanto, o prazo de pagamento é de 54 dias.Exemplo: Uma pessoa nasceu na data de 25/11/1979 e na data de 08/03/2010. Quantos diasessa pessoa viveu?1- Lance a data de nascimento: 25.111979 ENTER;2- Lance a data atual e execute a operação ΔDYS: 8.032010 g ΔDYS.FERREIRA, Mário Neto Página 8
  9. 9. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino LivrePortanto, essa pessoa viveu 11.061 dias.2.6- As funções percentuais:1- Valor percentualEssa função é usada para calcular o percentual sobre um valor. Por exemplo, quanto é 18% deR$720,00?Para fazer o cálculo deve-se lançar o valor base, depois digitar o percentual desejado epressionar a tecla da função, como mostrado abaixo.2- Percentual sobre o totalEsta função é como uma função inversa da anterior. Ela calcula o percentual que um valorrepresenta sobre outro. Por exemplo, se meu salário é R$2.200,00 e gastamos comalimentação R$820,00 por mês, em média, qual o percentual de gastos com alimentação sobreo salário?Para calcular, lançamos o valor total (no caso, o salário), depois digitamos o valor parcial(gastos com alimentação) e pressionamos a tecla da função, como mostrado abaixo:FERREIRA, Mário Neto Página 9
  10. 10. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino LivreAs situações que utilizam essa função são muito comuns, pois muitas vezes temos valores quesão somas de diversos componentes, e pode ser necessário analisar a participação de cadacomponente sobre o total, bem com sua evolução ao longo do tempo.Suponhamos que uma confecção divida seus produtos em 3 grandes linhas (infantil,masculina e feminina). Vemos abaixo uma tabela que mostra o faturamento de cada linha emdado ano e a participação de cada linha sobre o faturamento total (são os valores em destaque,que para serem calculados utilizam a função "percentual sobre o total"). Faça os cálculos nacalculadora usando a função %T para verificar os valores em destaque.3- Variação percentualQuando queremos saber a variação percentual entre dois valores, fazemos o seguinte cálculo:Por exemplo, uma empresa faturou R$ 12.000.000,00 em um ano e R$ 8.500.000,00 no anoseguinte. Qual foi a variação percentual do faturamento?De acordo com a fórmula acima, fazemos:Portanto, o faturamento caiu 29,17% de um ano para outro.FERREIRA, Mário Neto Página 10
  11. 11. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre4- Cálculos básicos de matemática financeira: (as teclas PV, FV, n e i):Toda operação financeira pode ser classificada, conceitualmente, como uma aplicaçãofinanceira ou como um empréstimo.Na aplicação financeira a pessoa tem um excedente financeiro (dinheiro sobrando) e aplicaesse excedente no mercado financeiro (poupança, CDBs, ações, fundos de investimento, entreoutras possibilidades). No caso do empréstimo, a pessoa não tem dinheiro suficiente parasatisfazer uma necessidade qualquer e recorre ao mercado financeiro para tomar emprestado ovalor necessário.Quem faz aplicação financeira é normalmente chamado de poupador ou aplicador derecursos e quem contrai empréstimos é chamado de tomador de recursos.A forma mais simples de operação, em ambos os casos, acontece quando o dinheiro éaplicado ou emprestado de uma só vez e, após um tempo, é resgatado ou devolvido tambémde uma só vez depois de certo tempo decorrido. Isso gera um fluxo de caixa muito simplesque pode ser ilustrado da seguinte forma, utilizando os famosos diagramas de fluxo de caixa.Esquematização das operações financeiras básicasPara quem não está acostumado ao diagrama, à linha horizontal representa o tempo e asflechas representam as movimentações de valores, sendo que, pela convenção mais utilizada,entradas de caixa são representadas por flechas orientadas para cima e saídas de caixa porflechas para baixo.Na esquerda vemos a operação de empréstimo, que se inicia com uma entrada de caixa, poisquem faz um empréstimo recebe o valor para devolvê-lo depois. Portanto, a operação seencerra com uma saída de caixa. Na operação de aplicação o raciocínio é análogo, poréminverso.Em ambos os casos, o valor que inicia a operação é chamado de principal e o valor queencerra a operação é chamado de montante. Vale lembrar que toda operação financeira temuma taxa de juros ou rendimento atrelada.FERREIRA, Mário Neto Página 11
  12. 12. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino LivreTemos quatro variáveis envolvidas: principal, montante, prazo decorrido e taxa de jurosou rendimento. Para cada uma delas há uma tecla correspondente na calculadora financeira.Correspondência entre as variáveis básicas e as teclas da HP 12CUma das grandes vantagens das calculadoras financeiras é que dispensam os cálculos atravésde fórmulas, pois já vêm programadas para isso. O mais importante é a compreensão dosconceitos básicos e saber extrair as informações de cada problema ou situação para sabercomo inseri-las na calculadora e obter os resultados desejados.Importante: O tipo de cálculo ilustrado aqui é válido para regime de juros compostos. Veja aseção seguinte para cálculos em juros simples.Os problemas mais simples se resumem a encontrar uma dessas variáveis básicas, conhecendoas outras. Por exemplo, se for aplicado o principal de R$2.750,00 durante 1 ano e meio a umataxa de 1,5% ao mês, qual será o montante ao final desse prazo?Fazendo o fluxo de caixa pelo diagrama:Conhecemos três variáveis (principal, taxa de juros e prazo) e queremos calcular o montante.Para obtermos esse valor com a calculadora financeira, basta informar o valor dessas trêsFERREIRA, Mário Neto Página 12
  13. 13. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livrevariáveis e pedir o cálculo da variável que queremos calcular. Segue abaixo a sequência decomandos para o cálculo na HP 12C.Na primeira linha de comandos foi feita a limpeza das memórias financeiras, algo que deveser sempre feito ao se iniciar a resolução de um problema de cálculo financeiro (não precisaser feito se você for fazer uma multiplicação, um cálculo de porcentagem ou com datas). Nasegunda linha informamos a calculadora o valor do principal. Na terceira informamos o valorda taxa de juros. Na quarta linha informamos o prazo da operação. Finalmente, na quinta linhaé solicitado o cálculo, simplesmente pressionando a tecla que corresponde à variável quequeremos calcular. O visor mostrará o resultado.É importante notar que a taxa de juros e o prazo da operação devem ter a mesma unidade detempo, no caso meses (taxa ao mês e prazo em meses). Vemos que o montante é mostradocom um sinal negativo no visor. Isso reflete a oposição com relação ao principal, pois se oprincipal é uma entrada de caixa, o montante será uma saída de caixa, e vice-versa.Nesse exemplo, a variável desconhecida era o montante, mas os cálculos podem ser feitospara qualquer outra, e a lógica é a mesma: lançamos os valores das variáveis conhecidas echamamos o cálculo da que desconhecemos, tendo o cuidado de limpar as memóriasfinanceiras, como realizado, acima.5- Cálculos em regime de juros simples:Fazer os cálculos em regime de juros simples é fácil, mas é preciso estar ciente de algunsdetalhes. Primeiro, o prazo (tecla n) deve ser lançado em dias e a taxa (tecla i) deve serlançada em termos anuais. Os juros podem ser calculados numa base de 360 dias/ano ou numabase de 365 dias/ano. É mais comum usar a base 360 dias/ano, que gera um valor de jurosmais alto.Para ilustrar, suponha que você fará uma aplicação de R$ 3.800,00 por 8 meses a uma taxa de14% ao ano.FERREIRA, Mário Neto Página 13
  14. 14. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre1- Pressione f e FIN para zerar as memórias financeiras;2- Digite o número de dias (no caso, 8 x 30 = 240) e a tecla n;3- Digite a taxa anual e pressione a tecla i;4- Digite o principal da operação e a tecla PV;5- Chame o valor dos juros pressionando f INT.Vemos que o valor dos juros será de R$354,67. É importante saber que esse cálculo é feito nabase 360 dias/ano e o valor aparece negativo porque o principal foi lançado como positivo. Seo principal fosse lançado como negativo, os juros apareceriam positivos. Essa oposição desinais reflete a oposição entrada/saída de caixa.O montante é obtido ao pressionarmos a tecla + com o resultado anterior ainda no visor.Para obter o valor dos juros na base 365 dias/ano, basta pressionar a tecla .FERREIRA, Mário Neto Página 14
  15. 15. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino LivreEsse é o valor dos juros na base 365 dias/ano. Vemos que é menor que o valor na outra base,como comentado anteriormente. O montante é calculado da seguinte forma:A primeira tecla chama o principal de volta, a segunda inverte o sinal e a terceira soma aosjuros, para calcular o montante.6- Cálculo da prestação no Sistema Price:O sistema da Tabela Price é utilizado em financiamentos pagos com prestações constantes. Éo caso dos financiamentos de compra de automóveis, em que o comprador paga o valor doveículo em um determinado número de prestações iguais.Trata-se de um problema de série de pagamentos, calcular o valor da prestação com a HP 12Cé muito simples.Para ilustrar, suponha que uma pessoa queira comprar um automóvel de R$35.000,00 em 48prestações iguais, sendo a taxa de juros de 1,5% ao mês. Qual o valor da prestação mensal?Dados do problema:  Valor financiado: R$ 35.000,00 (é o PV);  Número de prestações: 48 (é o n);  Taxa de juros: 1,5 (é o i)Para lançarmos os dados na calculadora a ordem não importa:1- Primeiramente, pressione f e depois FIN para zerar a memória das funções financeiras;2- Lance os valores (a ordem não importa): 35.000 PV 48 n 1,5 i;3- Pressione PMT para obter o valor da prestação (o valor será negativo porque o PMTsempre tem sinal oposto ao do PV).FERREIRA, Mário Neto Página 15
  16. 16. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino LivrePortanto, o comprador pagará prestação mensal de R$1.028,12 durante 4 anos.Observação: É importante saber que normalmente as concessionárias e os financiadores decompras de automóveis anunciam o que eles chamam de taxa líquida. Porém, é o CustoEfetivo Total (CET) que realmente reflete o custo do financiamento para o comprador. O CETnormalmente não aparece nos anúncios comerciais (anuncia-se a taxa líquida porque é menorque o CET), mas aparece no contrato por exigência legal. É o CET que deve ser lançado comotaxa da operação na entrada i. É uma prática que faz o comprador pensar que contrata umataxa de juros menor do que a realmente aplicada na operação.7- Séries antecipadas e postecipadas - funções BEG e END:Séries uniformes são sequências de entradas ou saídas de caixa de valores iguais e espaçadospelo mesmo intervalo de tempo. Por exemplo, se uma pessoa decide aplicar em previdênciaprivada R$400,00 por mês de seu salário todo mês, temos um caso de série uniforme. Sealguém faz uma compra de um televisor em 10 prestações mensais de R$350,00, tambémtemos outro exemplo de série uniforme. Em ambos os casos temos uma sequência de valoresiguais (saídas de caixa) separados por um mesmo intervalo de tempo (mensal nos 2 casos).Basicamente, nas séries antecipadas os fluxos ocorrem no início de cada período, enquantonas séries postecipadas os fluxos ocorrem no final de cada período. Vamos usar o segundoexemplo dado acima (compra de televisor) para entender a diferença. Se a primeira parcela épaga no ato da compra, trata-se de série antecipada, mas se a primeira parcela for paga no mêsseguinte à compra, se trata de série postecipada.É preciso informar à calculadora se a série com a qual se quer trabalhar é antecipada oupostecipada, através das funções BEG (para séries antecipadas) e END (para sériespostecipadas).As funções BEG e END estão nas teclas 7 e 8, respectivamente, devem ser acionadaspressionando g, pois são funções azuis. Quando a calculadora está configurada para sérieantecipada, exibe BEGIN no visor. Quando está configurada para série postecipada, não exibenada, como pode ser visto na figura abaixo.FERREIRA, Mário Neto Página 16
  17. 17. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino LivrePara ver como isso afeta os cálculos, suponhamos que as lojas americanas oferece umtelevisor que custa R$3.150,00 à vista para ser pago em 10 prestações, sendo a taxa de jurosde 3% ao mês. Quais seriam os valores das parcelas, para série antecipada ou postecipada?Caso 1: Série antecipada - primeira prestação no ato da compra (1 + 9):1- Limpe as memórias financeiras: f FIN;2- Informe à calculadora que se trata de série antecipada: g BEG;3- Lance o valor do bem à vista: 3.150 PV;4- Lance a taxa de juros: 3 i;5- Lance o número de prestações: 10 n;6- Chame o valor da parcela pressionando PMT.Caso 2: Série postecipada - nenhum pagamento no ato da compra (0 + 10):1- Limpe as memórias financeiras: f FIN;2- Informe à calculadora que se trata de série postecipada: g END;3- Lance o valor do bem à vista: 3.150 PV;4- Lance a taxa de juros: 3 i;5- Lance o número de prestações: 10 n;6- Chame o valor da parcela pressionando PMT.FERREIRA, Mário Neto Página 17
  18. 18. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino LivreO valor da parcela da série postecipada é um pouco maior, já que os pagamentos têm 1 mês dedefasagem em relação à série antecipada. A calculadora devolve os valores das parcelas comonegativos porque o valor à vista (PV) foi lançado como positivo. O PMT e o PV têm sempresinais opostos, porque um representa saída de caixa, outro a entrada de caixa ou vice-versa.8- Cálculo da taxa de juros em vendas parceladas:Vi em um anúncio de jornal (04/01/2009) de uma dessas grandes lojas varejistas a oferta:Fogão em 0 + 20 mensais de R$119,00 ou R$1.299,00 à vista. Qual a taxa de juros embutidanessa oferta?1- Limpe as memórias financeiras: f FIN;2- Informe à calculadora que se trata de série postecipada (se já estiver configurada não hánecessidade de fazer este passo): g END;3- Lance o valor à vista: 1.299 CHS PV;4- Lance o número de prestações: 20 n;5- Lance o valor das parcelas: 119 PMT;6- Pressione i para saber a taxa.FERREIRA, Mário Neto Página 18
  19. 19. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino LivrePortanto, a taxa de juros cobrada é 6,62% ao mês.Observações:a) Os passos 3 a 5 podem ser feitos em qualquer ordem;b) A tecla CHS inverte o sinal do valor à vista, tornando-o negativo. Isso precisa ser feitoporque o sinal do PV deve ser sempre oposto ao sinal do PMT. O CHS poderia ser aplicadoao PMT e o resultado não se alteraria.9- Taxas equivalentes (pela fórmula e com programação):Calculando pela fórmula:Quando se conhece a taxa de juros em certo período, mas interessa saber a taxa em períododistinto, usa-se o conceito de taxas equivalentes para resolver o problema.Por exemplo, se sei que a taxa de juros ao mês é de 1%, qual é a taxa anual equivalente?Em juros simples, bastaria multiplicar a taxa mensal por 12, já que 1 ano tem 12 meses,resultando em uma taxa anual de 12%.Porém, com juros compostos, o cálculo é diferente.Exemplo: Tenho a taxa de 1% ao mês e quero a taxa anual equivalente.1- Façamos 1 + taxa que tenho (usa-se a taxa como número absoluto, portanto o valorpercentual é dividido por 100): 1 ENTER 0,01 +;2- Elevamos esse número a 12: ENTER 12 yx;3- Tiramos 1 desse resultado: ENTER 1 -.FERREIRA, Mário Neto Página 19
  20. 20. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino LivrePortanto, a taxa anual equivalente é 0,1268 ou 12,68%.Exemplo: Caso tenha uma taxa anual de 12% e queira saber a taxa mensal equivalente, adiferença está no passo 2 (quando se quer passar do maior período para o menor, invertemos onúmero antes de elevar):1- Façamos 1 + taxa que tenho: 1 ENTER 0,12 +;2- Elevamos esse número ao inverso de 12: ENTER 1 ENTER 12 ÷ yx;3- Tiramos 1 desse resultado: ENTER 1 -.Portanto, a taxa mensal equivalente é 0,0095 ou 0,95%.FERREIRA, Mário Neto Página 20
  21. 21. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino LivreEmbora a calculadora não tenha uma função específica para conversão de taxas equivalentes épossível utilizar sua capacidade de programação e programá-la para fazer esse cálculo. Hádiversas formas de realizar essa programação. Apresentamos abaixo um desses modos:Sequência para programa de conversão de taxasTendo digitado a sequência acima, para usar esse programa você deve lançar os dados daseguinte forma:1- Taxa que tenho ENTER;2- Período relativo à taxa que tenho ENTER;3- Período relativo à taxa que quero R/S.A taxa que se quer encontrar é mostrada na tela.Exemplo 1: Qual é a taxa anual equivalente a 2% ao mês?A taxa que tenho é 2; o período que tenho é 1 mês; o período que quero é 12 meses:1- Lançamos a taxa que tenho: 2 ENTER;2- Lançamos o período que tenho: 1 ENTER;3- Lançamos o período que quero e executo o programa: 12 R/S.A taxa equivalente é 26,82% ao ano.Exemplo 2: Qual é a taxa trimestral equivalente a 2,5% ao bimestre?A taxa que tenho é 2,5; o período que tenho é 2 meses; o período que quero é 3 meses:1- Lançamos a taxa que tenho: 2,5 ENTER;2- Lançamos o período que tenho: 2 ENTER;3- Lançamos o período que quero e executo o programa: 3 R/S.FERREIRA, Mário Neto Página 21
  22. 22. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino LivreA taxa equivalente é 3,77% ao trimestre.Questão 3- Como usar o Excel e a Calculadora HP 12C para fazer cálculos financeiros?Resposta:A planilha do Microsoft Excel também pode ser utilizada com relevante ferramenta paracálculos de matemática financeira, pois possuem em sua longa lista de funções, as funçõesfinanceiras semelhantes à calculadora HP 12C.Exemplo: Suponhamos que uma pessoa tenha um capital de R$5.000,00, queira fazer umaaplicação financeira durante o prazo de 3 anos, mas mensalmente deposita R$200,00. Aaplicação escolhida rende-lhe uma taxa de juros de 8% ao ano. Qual o montante destaaplicação? Utilizando-se o Excel e depois a calculadora HP 12C.Etapas:1- Digite os dados em uma planilha do Microsoft Excel. Clique no Assistente de Funções,escolha Mais Funções, conforme figura abaixo:2- Selecione a categoria: Financeiras, na lista abaixo, localize a função FV (Valor Futuro ouMontante) que no Excel corresponde a FV:FERREIRA, Mário Neto Página 22
  23. 23. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino LivreObservação: O sinal = (igual) deve ser digitado na célula antes de qualquer operação.3- Informe a taxa de juros (TAXA), período (NPER), depósito mensal (PGTO), capital (VP) eo tipo (O, se o vencimento for ao final do período; 1, se for ao início do período), conformefigura abaixo:4- Depois de confirmar os dados, será mostrado o resultado na célula selecionada, conformefigura abaixo:FERREIRA, Mário Neto Página 23
  24. 24. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino LivreNota: O capital de R$5.000,00 e os depósitos de R$200,00 estão com sinal de (-), isso ocorreem função que os valores que se paga são negativos e os valores que se recebe são positivos,no diagrama do fluxo de caixa.Resultado: R$14.512,34.A tradicional calculadora HP 12C é a principal ferramenta para cálculos de matemáticafinanceira, usada no dia a dia daqueles que estão envolvidos com empréstimos,financiamentos, investimentos e demais operações financeiras.Apresentamos, de acordo com os comandos da calculadora HP12C, para determinação do PV(Valor Presente), do FV (Valor Futuro), da i (taxa de juros) e do n (número de períodos).No exemplo apresentado, temos que calcular o Valor Futuro – FV:  Digite o Valor Presente – PV (5000);  Tecle CHS;Observação: A tecla CHS - abreviatura de change signal - muda o sinal para armazenar ovalor de PV (present value) - dinheiro pago, conforme convenção da HP 12C.  Tecle PV;  Digite 200;  Tecle CHS;  Tecle PMT;  Digite a taxa i (em %; exemplo: i = 8%/12, digite 0,67);  Tecle i;  Digite o número de períodos n (36);  Tecle n;  Tecle FV;  Resultado: R$14.470,76.A diferença de R$41,58 refere-se aos parâmetros das operações financeiras no EXCEL e naHP 12C.Notas:a) É sempre conveniente, antes de operar com a HP 12C, teclar f CLX (REG) para limpar osregistradores ou f CLX (FIN) para limpar os registradores financeiros, mas não limpa o visor;b) Para alterar o número de casas decimais, apresentada pela calculadora HP12C, estando ligada, tecle f seguido de um número 1, 2, 3, 4,..., etc., para obter no visor 1, 2,FERREIRA, Mário Neto Página 24
  25. 25. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre3, 4,..., casas decimais. Por exemplo, o comando f 4, colocará a calculadora para exibir novisor 4 casas decimais;c) Na calculadora HP 12C, o termo registradores, significa memórias de armazenamento dedados, enquanto que os termos registradores financeiros referem aos registros especiais, nosquais são armazenados os valores de n, i, PV, PMT e FV.4- Explique como calcular montante, juros simples e compostos, taxa de juros?Resposta:O estudo de Matemática Financeira concentra-se na análise do crescimento do capital emfunção dos juros a ele acrescidos, através de regimes de capitalização. Os regimes decapitalização normalmente utilizados são simples (ou linear) e composto (ou exponencial).Capitalização simples é o regime segundo o qual os juros produzidos no final de cada períodotêm sempre o capital inicial como base de cálculo. Sua aplicação está mais relacionada comperíodos de capitalização inferiores a um mês (taxa de juros do cheque especial cobradadentro de um mês) e a desconto de títulos junto a agentes financeiros (desconto de chequespré-datados nos bancos).Por definição, temos que o Valor Futuro (Montante) é a soma do Valor Presente (Capital,Principal) com os Juros (Rendimentos).FV = PV + J→ Fórmula direta para o cálculo do valor futuro ou montante (jurossimples).Equações auxiliares:Valor Presente: PV = FV – J.Juros: J = FV – PV.Os juros simples caracterizam pelo fato de que os rendimentos (juros) gerados no decurso detodo período do empréstimo, têm uma única data de computação, que é a data do vencimento.Assim, os juros simples são aqueles em que os rendimentos (juros) são agregados ao capitalprincipal na data de vencimento ou resgate do empréstimo.J = PV × i × n → Fórmula para o cálculo dos juros simplesJ→ Juros Simples - Lineares ou Rendimentos a serem pagos;PV→ Capital emprestado (Valor Presente ou Principal);i→ Taxa de juros (expressa em razão centesimal: i ÷ 100);n→ Prazo do empréstimo (número de períodos).Observação: Nesta fórmula, a taxa e o número de períodos devem referir-se a mesma unidadede tempo, isto é, se a taxa for anual, o tempo deverá ser expresso em número de anos; se ataxa for mensal, o tempo deverá ser expresso em número de meses.FERREIRA, Mário Neto Página 25
  26. 26. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino LivreFórmulas auxiliares (desenvolvidas a partir das estruturas algébricas das equações 1 e 2referentes aos juros e ao montante): JValor Presente: PV  in JTaxa: i   100 PV  n JNúmero de períodos: n  PV  iMontante (Valor Futuro) é a soma do Capital com os Juros. Por definição, sabemos que oMontante:FV = PV + J → Fórmula direta para o cálculo do valor futuro simplesFV→ Montante ou Valor Futuro;PV→ Capital emprestado (Principal);J→ Juros Simples ou Rendimentos a serem pagos.Portanto, o Montante nos Juros Simples:FV = PV × (1 + n × i)→ Fórmula para o cálculo do valor futuro (nos juros simples)FV→ Montante ou Valor Futuro;PV→ Capital emprestado (Principal);n→ Prazo do empréstimo (número de períodos);i→ Taxa de juros (expressa em razão centesimal: i ÷ 100).Fórmulas auxiliares em relação ao Valor Futuro (Montante) e Valor Presente (Capital)(desenvolvidas a partir das estruturas algébricas das equações 1 e 2 referentes aos juros e aomontante): FV  i  nJuros: J  1  i  nJuros: J  PV 1  i  n  1 FVValor Presente: PV  1  i  n FV 1Taxa: i  PV  100 nFERREIRA, Mário Neto Página 26
  27. 27. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre FV 1Número de períodos: n  PV iExemplo: Aplica-se um capital de R$20.000,00 e espera-se resgatá-lo daqui a 3 anos, comregime de capitalização simples, cuja taxa de juros é de 15% a.a. Calcular o montante?Fazendo o cálculo dos juros simples e do montante simples, usando o EXCEL:Dados Valores/Fórmulas Memória de cálculoValor Presente R$ 20.000,00 ----Taxa de juros 15% ----Número de períodos 3 ----Juros ao período J = PV * i R$ 3.000,00Valor Futuro FV = PV * (1 + i * n) R$ 29.000,002Fazendo o cálculo dos juros3 e do montante, usando a calculadora HP 12C: Entrada Tecla/Função Saída Explicação f e f CLX 0,00 --- Limpam registradores 20.000 CHS PV - 20.000,00 Valor do Capital 15 I 15 Taxa dos Juros 1080 N 3 Número de períodos f i (INT) f i (INT) 9.000,00 Valor dos Juros + + 29.000,00 Valor Futuro (Montante)Outra maneira de realizar o cálculo com a HP 12C: Entrada Tecla/Função Saída Explicação f e f CLX 0,00 --- Limpam registradores 20.000 ENTER 20.000,00 Valor do Capital 15 % 3.000,00 Valor dos Juros 3 × 9.000,00 Juros multiplicados pelo prazo ---- + 29.000,00 Valor Futuro (Montante)Os juros compostos têm seu fundamento no regime de capitalização composta, na qual ocrescimento do capital se dá exponencialmente (por isso, é chamado de cálculo exponencial).Trata-se de juros compostos toda transação, na qual os juros incidem sempre sobre o capitalinicial e os juros acumulados até a referida data são diferentes em todos os períodos.Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o principal acrescido dosjuros acumulados até o período anterior. Neste regime de capitalização a taxa variaexponencialmente em função do tempo.2 Fórmula no Excel: C6 = B2*(1+B3*B4).3 Observação: É necessário realizar a transformação prévia do período n que deverá ser expresso emdias e da taxa i que deverá ser expressa ao ano.FERREIRA, Mário Neto Página 27
  28. 28. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino LivreJuros compostos, acumulados ou capitalizados, são os que, no fim de cada período, sãosomados ao capital constituído no início, para produzirem novos juros no período seguinte(subsequente).A dedução da fórmula dos juros compostos é feita a partir da fórmula do montante compostoque veremos a seguir, pois o juro do período nada mais é que o valor do montante FV menoso valor do principal PV. Sendo PV o valor do principal, n o período de aplicação, i a taxaunitária e J o juro do período, temos:J = PV [(1 + i)n – 1] → Fórmula para cálculo dos juros compostosFórmulas auxiliares (desenvolvidas a partir da equação dos juros): FVValor Presente em função do Montante: PV  (1  i) n JValor Presente em função dos Juros: PV  (1  i) n  1 FVTaxa em função do Montante: i  n  1 100 PV FV logNúmero de períodos em função do Montante: n  PV log 1  i O conceito de montante é o mesmo definido para capitalização simples, ou seja, é a soma docapital aplicado ou devido mais o valor dos juros correspondentes ao prazo da aplicação ou dadivida.A simbologia é a mesma já conhecida, isto é: FV, o montante; PV, o capital inicial; n, operíodo; i, a taxa.Da capitalização simples, sabemos que o rendimento se dá de forma linear ou proporcional.A base de cálculo é sempre o capital inicial.No regime composto de capitalização, dizemos que o rendimento se dá de forma exponencial.Os juros do período são calculados com base num capital, formando um montante, que será anova base de cálculo para o período seguinte.Chama-se período de capitalização o instante de tempo o qual a aplicação rende juros.A dedução da fórmula do montante para um único pagamento é pouco mais complexa queaquela já vista para a capitalização simples.FERREIRA, Mário Neto Página 28
  29. 29. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino LivreGeneralizando, o cálculo do montante a juros compostos será dado pela expressão abaixo, naqual FV é o montante, PV o capital, i é a taxa de juros e n é a quantidade de capitalizações.FV = PV (1 + i)n→ Fórmula para cálculo do montante nos juros compostosExistem outras fórmulas especificas para se calcular o valor do Capital (PV) e o valor da taxa(i), mas, para evitar um acumulo desnecessário de fórmulas e macetes, foram de propósitosuprimidas as mesmas, visto que elas são derivadas da fórmula principal.Observamos que ao final do primeiro período de capitalização, os juros compostos e os jurossimples, apresentam valores iguais. Quando tivermos mais de um período de capitalização, orendimento dos juros compostos passa a superar os juros simples.Fazendo o cálculo dos juros e do montante, usando o EXCEL (sem usar nenhum assistentede função):Dados Valores/Fórmulas Memória de cálculoValor Presente R$ 20.000,00 ----Taxa de juros 15% ----Número de períodos 3 ----Juros ao período J = PV * i R$ 3.000,00Valor Futuro FV = PV * (1 + i) ^ n R$ 30.417,504As calculadoras financeiras geralmente usadas, enfatizando aqui a HP 12C fazem os cálculosde qualquer uma das quatro variáveis presentes na fórmula do montante. Apesar de ainda nãotermos falado sobre as outras fórmulas, é importante saber que o cálculo pode ser feito apenasinserindo, na calculadora, três das quatro variáveis dessa fórmula.Observação: É sempre necessário respeitar a convenção de fluxo de caixa presente nascalculadoras financeiras, onde o PV e FV devem ser inseridos com sinais opostos, indicandoas saídas e entradas de caixa. Assim, o cálculo do valor futuro ou montante, dessa operação éfeito da seguinte forma:Fazendo o cálculo dos juros e do montante, usando a calculadora HP 12C: Entrada Tecla/Função Saída Explicação 20.000 CHS PV -20.000,00 Valor do Capital 15 i 15 Taxa dos Juros 3 n 3 Número de períodos ---- FV 30.417,50 Valor Futuro (Montante)Calcular juros não é tarefa fácil. Existem diferentes tipos de juros, cálculos e fórmulasespecíficas para cada um deles. Uma das coisas mais complicadas quando se compra um4 Fórmula no Excel: C6 = B2*(1+B3)^B4.FERREIRA, Mário Neto Página 29
  30. 30. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livrecarro ou se ajusta qualquer outra forma de financiamento é saber como calcular a taxa dejuros do financiamento. Calcularemos as taxas de juros:Exemplo: O valor final de um empréstimo de R$5.000,00 por um período de 7meses é R$ 5.862,72. Qual a taxa de juros dessa aplicação?Taxa de juros simples: FV 5862,72 1 1 PV 5000,00i=  100   100  2,46% ao mês. n 7Calculando a taxa de juros simples (HP 12C):1- Digite f CLX (Limpa a memória);2- Digite 5000,00 e tecle ENTER;3- Digite 862,72 e tecle %T (Valor dos juros);4- Digite 7 e tecle ÷;5- Resultado: 2,46% ao mês.Outra maneira de calcular a taxa de juros simples (HP 12C):1- Digite f CLX (Limpa a memória);2- Digite 5000,00 e tecle ENTER;3- Digite 5862,72 e tecle Δ% (Valor do montante);4- Digite 7 e tecle ÷;5- Resultado: 2,46% ao mês.Taxa de juros compostos: FV 5862,72i n  1  100  7  1  100 PV 5000,00i = 2,30% ao mês.Calculando a taxa de juros compostos (HP 12C):1- Tecle f CLX (Limpa a memória);2- Digite 5000,00 e tecle CHS PV (insere o capital, PV com sinal oposto);3- Digite 7 e tecle n (insere o tempo);4- Digite 5862,72 e tecle FV (insere o valor do montante, FV);5- Tecle i (calcula a taxa de juros);6- Resultado: 2,30% ao mês.Exemplo: Suponhamos que um carro de R$28.000,00, financiado em 60 meses, com parcelasfixas de R$735,00. Qual seria a taxa de juros cobrada ao mês por esse financiamento? Paradescobrir a taxa de juros do financiamento, basta usar a função TAXA do Excel na célulaselecionada que mostrará o resultado do cálculo.FERREIRA, Mário Neto Página 30
  31. 31. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino LivreFazendo o cálculo dos juros e do montante, usando o EXCEL:Dados Valores/Fórmulas Memória de cálculoValor Presente -R$ 28.000,00 ----Taxa de juros ? 1,63%5Número de períodos 60 ----Juros ao período ---- ----Prestação R$ 735,00 ----Observe que o Valor Presente está com sinal de negativo, pois esse valor representa no fluxode caixa, a saída do dinheiro do caixa da financeira.É relevante mencionar que o resultado dessa fórmula apresenta uma taxa de juros de 1,63%ao mês, bem acima das taxas anunciadas frequentemente pelos anúncios das concessionárias.Se multiplicarmos o valor da prestação pelo número de meses, descobrimos que ao final doperíodo, o financiamento custou R$44.100,00. Isso representa uma taxa de 57,50% a mais queo valor do veículo, basta realizar o seguinte cálculo:i = [(FV – PV) ÷ PV] × 100i = [(44.100,00 – 28.000,00) ÷ 28.000,00] × 100 = 57,50%.Se dividirmos essa taxa pelo número de períodos do financiamento: 57,50% ÷ 60 = 0,96% aomês.Outro exemplo semelhante, porém com uma fórmula distinta: O valor financiado deR$19.500,00 para pagamento em 60 meses com prestações fixas de R$522,16. Qual a taxa dejuros?Fazendo o cálculo dos juros e do montante, usando o EXCEL:Dados Valores/Fórmulas Memória de cálculoValor Presente -R$ 19.500,00 ----Taxa de juros ? 1,71%6Número de períodos 60 ----Juros ao período ---- ----Prestação R$ 522,16 ----Demonstração da aplicação da equação (fórmula):PV = {[(1 – (1 + i)^(-n)]/i} * PMT19500 = {[(1 – (1 + i)^(-60)]/i}*522,16i = 0,0171 × 100 = 1,71% ao mês.5 Fórmula no Excel: C3 = TAXA(B4;B6;B2;0;0).6 Fórmula no Excel: C3 = TAXA(B4;B6;B2;0;0).FERREIRA, Mário Neto Página 31
  32. 32. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre5- É possível fazer análise de movimentação monetária com base no fluxo de caixa?Resposta:Sim, é possível, tendo em vista que o sistema de cálculo de juros compostos na calculadorafinanceira HP12C utiliza o diagrama de fluxo de caixa. De acordo com ARAÚJO7, “AMatemática Financeira é um ramo da Matemática Aplicada. Mais precisamente, é aqueleramo da Matemática que estuda o comportamento do dinheiro no tempo”. O diagrama defluxo de caixa apresenta a movimentação financeira em determinada direção (entrada/saída oupositivo/negativo) e tempo. Portanto, o diagrama de fluxo de caixa auxiliará em grande partea compreensão visual desta movimentação.O processo de análise de fluxo de caixa é bastante utilizado para verificação do retorno deinvestimentos.A Matemática Financeira se preocupa com o estudo de várias relações dos movimentosmonetários que se estabelecem em distintos momentos no tempo. Estes movimentosmonetários são identificados temporalmente através de um conjunto de entradas e saídas decaixa definido com fluxo de caixa. O fluxo de caixa é de grande utilidade para as operaçõesde Matemática Financeira, permitindo que se visualize no tempo o que ocorre com o Capital -dinheiro.Na figura abaixo, pode-se verificar um diagrama simples de fluxo de caixa, com seuselementos:Para identificação e melhor visualização dos efeitos financeiros das alternativas deinvestimento, isto é, das entradas e saídas de caixa, pode-se utilizar uma representação gráficadenominada Diagrama dos Fluxos de Caixa. Este diagrama é traçado a partir de um eixohorizontal que indica a escala dos períodos de tempo. O número de períodos considerado nodiagrama é definido como o horizonte de planejamento correspondente à alternativaanalisada.Ressaltamos que é muito importante a identificação do ponto de vista que está sendo traçado odiagrama de fluxo de caixa. Um diagrama sob a ótica de uma instituição financeira queconcede um empréstimo, por exemplo, é diferente do diagrama sob a ótica do indivíduobeneficiado por tal transação financeira.7 ARAÚJO, Carlos Roberto Vieira. Matemática Financeira: uso das minicalculadoras HP 12C eHP 19BII: mais de 500 exercícios propostos e resolvidos. São Paulo: Atlas, 1992; p.15.FERREIRA, Mário Neto Página 32
  33. 33. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre Convencionou-se que os vetores orientados para cima representam os valores positivos de caixa, isto é, os benefícios, recebimentos ou receitas. Os vetores orientados para baixo indicam os valores negativos, isto é, os custos, desembolsos ou despesas. A linha horizontal registra a escala de tempo, ou seja, horizonte financeiro da operação. O ponto zero indica o momento inicial e os demais pontos representam os períodos de tempo (datas). As setas para cima da linha do tempo indicam entradas ou recebimentos de dinheiro e as setas para baixo da linha indicam as saídas ou aplicações de dinheiro. A representação gráfica do fluxo de caixa é feita de acordo com os dados apresentados em cada caso, sendo as setas orientadas em função da interpretação do enunciado do problema, da seguinte forma: a) Escala horizontal representa tempo, dividido em dias, meses, anos, etc. Os pontos 0, 1, 2, 3, 4,..., n, substituem as datas de calendário e são estipulados em função da necessidade de indicarem as posições relativas entre as diversas datas. Assim, o ponto 0 (zero) representa a data inicial (hoje), o ponto 1 (um) indica o final do primeiro período e assim por diante; b) Saídas de caixa correspondem aos pagamentos, têm sinais negativos e são representadas por setas apontadas para baixo; c) Entradas de caixa correspondem aos recebimentos, têm sinais positivos e são representadas por setas apontadas para cima. Exemplo: Um banco concede um empréstimo de R$40.000,00 a um cliente para pagamento em 6 prestações iguais de R$9.000,00. Represente graficamente o fluxo de caixa. Do ponto de vista do banco, a representação gráfica do fluxo de caixa é a seguinte: 9.000 9.000 9.000 9.000 9.000 9.000 0        1 2 3 4 5 640.000 Há uma saída inicial de caixa no valor de R$40.000,00 e a entrada de 6 prestações de R$9.000,00 cada uma nos meses seguintes. Do ponto de vista do cliente, a orientação das setas é feita no sentido inverso, como segue: 40.000  1 2 3 4 5 6       9.000 9.000 9.000 9.000 9.000 9.000 FERREIRA, Mário Neto Página 33
  34. 34. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre6- Explique como trabalhar com regimes de capitalização e taxas equivalentes?Resposta:Para efetuar cálculos financeiros, é necessário que taxas e prazos estejam em um mesmoperíodo. Caso isto não ocorra é necessário, antes de elaborar o cálculo, fazer uma equivalênciaentre a taxa e o prazo, ambos devem estar em mesmo período, sempre é convenientetransformar-se o prazo, mantendo-se a taxa.No caso da equivalência a Juros Simples basta dividir ou multiplicar pelo período que desejasaber, porém no caso de Juros Compostos não é simples assim.Para o caso de Juros Compostos, existe uma fórmula matemática muito difundida no mercadofinanceiro para encontrar a taxa equivalente desejada para qualquer período.As taxas equivalentes estão relacionadas ao regime de capitalização exponencial (juroscompostos), as quais aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo período de tempoproduzem o mesmo Valor Futuro (Montante).Resumindo, duas taxas são equivalentes quando, aplicadas sobre o mesmo capital, durante omesmo período produzem o mesmo montante.Observação: O Excel não possui uma função para calcular a equivalência de taxas a juroscompostos. Sendo assim, temos que editar a fórmula na célula. Caso queira, poderá utilizar afórmula da taxa equivalente:iq = ((1+it)^(q/t) – 1) × 100iq → Taxa equivalente que quero;q → Período que quero a taxa de juros compostos;t → Período que tenho a taxa de juros compostos;it → Taxa equivalente que tenho.O conceito matemático da fórmula é o seguinte:  nq iq  1  it  nt  1  100  iq→ Taxa que se querer (taxa que desejo encontrar);it→ Taxa que se tem (taxa da qual desejo calcular)nq→ Prazo que se querer (prazo da taxa que quero encontrar)nt→ Prazo que se tem (prazo da taxa que tenho)Quando se trata do regime de capitalização linear (juros simples) para determinar taxasequivalentes, basta fazer uma relação entre multiplicação e divisão, conhecida comoproporcionalidade. Assim, uma taxa de 1,35% ao mês é equivalente a 16,20% ao ano e vice-versa.No caso dos juros compostos, a solução é mais complexa, haja vista que os juros somam-se aocapital principal para o cálculo da capitalização do período seguinte. A calculadora HP 12Cfacilita bastante o processo de conversão de taxa (mensal em anual, anual em mensal), que é adeterminação de taxas equivalentes.FERREIRA, Mário Neto Página 34
  35. 35. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino LivreNa HP 12C para resolver um problema de taxa equivalente, basta realizar as seguintes etapas:1- Qual a taxa anual equivalente a 1,75% ao mês? Tecla/Função Visor Explicação f e f CLX 0,00 Limpam registradores 100 CHS PV -100,00 Regra geral 1,75 i 1,75 Taxa mensal de juros 12 n 12,00 Período pretendido para a taxa FV 123,14 Valor Futuro 100 - 23,14 Taxa anual equivalente2- Qual a taxa mensal equivalente a 29,10% ao ano? Tecla/Função Visor Explicação f e f CLX 0,00 Limpam registradores 100 CHS PV -100,00 Regra geral 29,10 i 29,10 Taxa mensal de juros 12 1/x n 0,08 Período pretendido para a taxa FV 102,43 Valor Futuro 100 - 2,43 Taxa mensal equivalente7- Faça um relato de como trabalhar com juros exatos e comerciais?Resposta:JUROS ORDINÁRIOS ou JUROS COMERCIAIS: São aqueles em que se utiliza o anocomercial para estabelecer homogeneidade entre a taxa e o tempo (prazo). Logo, em jurosordinários todos os meses têm 30 dias e o ano tem 360 dias.JUROS EXATOS: São aqueles em que se usa o prazo (n) na quantidade exata de dias,observando a quantidade de dias que tem cada mês, sendo a taxa expressa ao ano, utiliza-se oano civil com 365 dias para estabelecer a homogeneidade entre a taxa e o tempo (prazo).Observação: Somente usaremos os juros exatos quando expressamente mencionados.JUROS BANCÁRIOS (REGRA DOS BANQUEIROS): É o cálculo em que, paraestabelecer a homogeneidade, é usado o ano comercial, 360 dias, como nos juros ordinários,mas o tempo (prazo), número de dias, segue o princípio dos juros exatos, isto é, segue ocalendário do ano civil, com o número exato de dias de cada mês.Exemplo: Calcular os juros exatos, os juros ordinários e os juros pela regra dos banqueiros deum capital de R$128.790,00, que foi aplicado durante os meses de julho e agosto de 2012 auma taxa de 11,60% ao ano.Observações: juros comerciais, a taxa de juros corresponde a 0,96667% ao mês e a 0,03222%ao dia (11,60%/12; 11,60%/360); meses de julho e agosto de 2012, independentemente cadamês tem 30 dias; juros exatos, a taxa de juros corresponde a 0,96667% ao mês e a 0,03178%ao dia (11,60%/12; 11,60%/365); meses de julho e agosto, cada um tem 31 dias.Juros comerciais = PV × i × n → Jc = 128.790,00 × 0,0003222 × 60 → Jc = R$2.489,77.FERREIRA, Mário Neto Página 35
  36. 36. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino LivreJuros exatos = PV × i × n → Je = 128.790,00 × 0,0003178 × 62 → Je = R$2.537,63.Juros bancários = PV × i × n → Jb = 128.790,00 × 0,0003222 × 62 → Jb = R$2.572,76.O cálculo de taxas equivalentes diárias é muito comum no nosso dia-a-dia. Porém, o cálculodas taxas equivalentes tem como pressuposto o cálculo dos dias corridos da operação. Essaconta, por sua vez, pode ser feita de duas maneiras distintas, aplicáveis de acordo com aoperação.Quando usamos como base o ano civil, com 365 ou 366 dias e meses com números variáveisde dias, os juros calculados são os juros exatos.Quando usamos como base o ano comercial de 360 dias e meses com 30 dias, os juros obtidossão os juros comerciais.A taxa de juros exatos por dia é calculada dividindo-se a taxa nominal anual dada por 365. Ataxa de juros comerciais por dia é calculada dividindo-se a taxa nominal anual por 360. Para ocálculo de ambos os juros, simplesmente multiplique cada uma das taxas diárias equivalentespelo período de aplicação.8- Comente como entender os conceitos utilizados pelos bancos para calcular juros decheque especial e para concessão de empréstimos?Resposta:As modalidades de crédito referentes a cheque especial e empréstimos e/ou financiamentos émuito usada pelos brasileiros, mas apesar de demonstrar uma facilidade e agilidade na hora decompras, pode acabar deixando muitas pessoas endividadas, por isso o melhor a fazer é ficaratento e não se render a todas as eventuais vantagens oferecidas pelos bancos sem fazer osdevidos cálculos no seu orçamento pessoalmente.Assim, como os cartões de crédito, o cheque especial deve ser usado de maneira totalmenteplanejada para evitar problemas futuros com cheques devolvidos e juros que mesmo com adiminuição das taxas ainda estão bastante altos.O grande índice de inadimplência nos cheques especiais está relacionado à falta deconhecimento das pessoas ou em momentos de extrema necessidade, em que acabam pagandosuas contas com cheques, mas não entendem que o dinheiro usado para cobrir a despesa serádescontado do dinheiro em conta na data de vencimento.O mais importante é entender que o dinheiro do cheque especial não faz parte de seusrendimentos e será cobrado futuramente.A cobrança dos juros relacionados ao cheque especial é elevada aqui no Brasil. Por ser umcrédito rotativo atribuído à conta das pessoas, muita gente acaba usando esse dinheiro na horado aperto, porém os juros sempre são cobrados quando os rendimentos entram na conta.A maioria dos bancos estipula um prazo de contrato do dinheiro especial por até 90 dias, esseprazo pode ser renovado, porém sempre é cobrada uma taxa nas renovações.FERREIRA, Mário Neto Página 36
  37. 37. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino LivrePara entender melhor, se a pessoa sacar ou utilizar o dinheiro do limite do cheque especial osjuros serão cobrados a cada dia útil, calculados novamente todos os dias usando os valoresatualizados de seu saldo devedor.O problema é que a pessoa não paga somente os juros, mas também a tarifa de contrato e oIOF - Imposto sobre Operações Financeiras.A média dos juros no cheque especial dos bancos atualmente está em 10%, por isso o melhora se fazer é não dar trégua e ser muito controlado em suas operações financeiras para garantirum bom orçamento e não ter maiores problemas.Modalidade: Pessoa física - Cheque Tipo: Prefixado Período: especial de 28/11/2012 a 04/12/2012Taxas efetivas8 Publicado em: 15/12/2012 Taxa de jurosPosição Instituição % a.m. % a.a.1 BANCO SOFISA 1,86 24,752 BCO ALFA S A 2,64 36,713 BANCOOB 3,11 44,414 BANCO BONSUCESSO S.A. 3,28 47,305 BCO INDUSTRIAL E COMERCIAL S A 3,88 57,906 CAIXA ECONOMICA FEDERAL 4,26 64,977 BCO CAPITAL S A 4,37 67,078 BCO INDUSVAL S A 4,88 77,149 BCO SAFRA S A 5,00 79,5910 BCO DAYCOVAL S.A 5,02 80,0011 BCO DA AMAZONIA S A 5,30 85,8412 BCO DO BRASIL S A 5,34 86,6913 BCO DO EST DO PA S A 5,52 90,5514 BCO LA NACION ARGENTINA 6,13 104,2015 BCO DO NORDESTE DO BRASIL S A 6,24 106,7616 BCO LUSO BRASILEIRO S A 6,38 110,0517 BCO ORIGINAL DO AGRO S/A 6,43 111,248 Fonte: Banco Central do Brasil – Disponível: www.bcb.gov.br, acesso: 15 dez. 2012.FERREIRA, Mário Neto Página 37
  38. 38. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre18 BCO MERCANTIL DO BRASIL S A 8,09 154,3519 ITAÚ UNIBANCO 8,37 162,3720 BCO BRADESCO S A 8,42 163,8221 BCO DO EST DE SE S A 8,49 165,8722 BCO DO EST DO RS S A 8,79 174,8323 BCO BANESTES S A 8,92 178,8024 BCO RENDIMENTO S A 9,05 182,8225 BRB BCO DE BRASILIA S A 9,48 196,5026 HSBC BANK BRASIL SA BCO MULTIP 9,77 206,0627 BCO SANTANDER (BRASIL) S.A. 10,09 216,9428 BCO CITIBANK S A 10,83 243,47Considerações:1- As taxas efetivas mês resultam da capitalização das taxas efetivas-dia pelo número de diasúteis existentes no intervalo de 30 dias corridos, excluindo-se o primeiro dia útil e incluindo oúltimo. Caso a data final seja em dia não útil, será considerado o próximo dia útilsubsequente;2- Caso alguma instituição não apareça no ranking, ou ela não opera na modalidade ou nãoprestou informação para todo o período, estando, neste segundo caso, sujeita às penalidadesprevistas na legislação vigente. Verificar a posição individual da instituição.É relevante ressaltar que cheque especial é um contrato firmado entre o banco e o correntista,em que uma determinada quantia em dinheiro é disponibilizada na conta corrente para queseja utilizada e devolvida com acréscimos e outros encargos financeiros. Uma pessoa quepossui conta corrente em banco e se enquadra nos moldes financeiros do cheque especial podefazer uso do produto, desde que liberado.O cheque especial funciona da seguinte forma, atrelado ao seu saldo fica um valor extra, porexemplo, vamos supor que o saldo da conta corrente de uma pessoa seja de R$2.000,00 e olimite do cheque especial é de R$3.500,00. Portanto, o saldo disponível deste correntista é deR$5.500,00. É preciso ter cuidado ao movimentar uma conta corrente com disponibilidade decheque especial, pois algumas entidades bancárias fornecem nos extratos o saldo da contacorrente somado com o valor do cheque especial, constituindo um único saldo.Diferente dos empréstimos e/ou financiamentos que são cobrados através de prestações, ovalor do cheque especial é cobrado em parcela única na data de vencimento (valor utilizadomais acréscimos). Por ser um dinheiro disponibilizado automaticamente e sem burocracia, aspessoas utilizam em razão da facilidade, mas é bom estar atento às taxas efetivas de juros,alguns bancos abusam na cobrança, chegando a trabalhar com taxas, em média, de 10% aomês mais acréscimos.FERREIRA, Mário Neto Página 38
  39. 39. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino LivrePara ter ideia da cobrança abusiva, basta realizar a comparação da taxa de juros do chequeespecial com a taxa de correção da poupança. Vimos que o cheque especial pode cobrar emtorno de 10% pelo empréstimo, enquanto paga aos poupadores juros em torno de 0,60%9(raramente atinge-se este percentual). Essa diferença entre o preço de compra (poupança) e opreço de venda (cheque especial) é chamada de spread10.Os especialistas em Economia e Matemática Financeira alertam que o cheque especial é odinheiro mais caro do mercado financeiro e orienta as pessoas a usarem somente em situaçõesde extrema urgência. Por isso fique atento ao usar seu cheque especial, procure saber a taxa dejuros e os encargos que incidirão sobre o valor utilizado.Resumindo, cheque especial é um crédito pré-aprovado que os bancos colocam à disposiçãodos clientes, levando em conta o seu cadastro e o relacionamento. Sua disponibilidade éautomática, até o limite estabelecido, sempre que há um débito na conta corrente superior aosaldo disponível. O limite é recomposto de acordo com cobertura do saldo devedor. O limite éperiodicamente ajustado, em função das necessidades, cadastro e relacionamento.Características: Na prática é um "saldo extra", que o cliente pode utilizar quando não possuirsaldo disponível na conta corrente para débitos como cheques, DOC, TED, tarifas, os própriosjuros do cheque especial, etc.A utilização está sujeita ao pagamento de juros proporcionais ao valor utilizado durante omês. Os encargos - juros e IOF - são calculados diariamente e cobrados mensalmente. Ascondições de utilização - taxas, prazos, valor, garantias, vencimento antecipado, multas,renovação automática - são estabelecidas em contrato assinado entre o cliente e o banco. Obanco poderá mudar unilateralmente essas condições, mediante aviso ao cliente.Finalidades: A utilização racional do cheque especial deve restringir-se a necessidadeseventuais e de curtíssimo prazo.Como funciona: Vejamos uma simulação: Limite do Cheque especial (R$) 2.000,00 Taxa de juros ao mês 8,00% Alíquota mensal de IOF 0,125% CONTA CORRENTE CHEQUE ESPECIAL9 Índices mensais da caderneta de poupança – Disponível:http://www.portalbrasil.net/poupanca_mensal.htm - acesso: 15 dez. 2012.10 Spread bancário: o risco precificado através da taxa/expectativa de inadimplência, as despesasestruturais (pessoal, administrativas), os gastos com impostos e o lucro. A taxa de juros pactuada emuma operação de empréstimo e/ou financiamento é: i = i’ + spread, onde; i é a taxa de juros doempréstimo e/ou financiamento e i’ é a taxa da captação de recursos. No caso de uma situação-problema, por exemplo, cujo empréstimo e/ou financiamento contraído a uma taxa de 0,9112% aomês, temos: 0,2506% de spread e 0,6606% correspondentes à rentabilidade paga aos depósitosdos poupadores (excluindo a TR, tanto na i quanto na ‘i’).FERREIRA, Mário Neto Página 39
  40. 40. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre Saldo Limite Referência Débito Crédito Saldo utilizado disponível R$ R$ R$ (R$) (R$) 28-mar QUINTA 100,00 2.000,00 1-abr SEGUNDA 50,00 50,00 0,00 2.000,00 2-abr TERÇA 60,00 (10,00) (10,00) 1.990,00 3-abr QUARTA 100,00 (110,00) (110,00) 1.890,00 4-abr QUINTA 25,00 (135,00) (135,00) 1.865,00 5-abr SEXTA 250,00 (385,00) (385,00) 1.615,00 8-abr SEGUNDA 1.000,00 615,00 0,00 2.000,00 9-abr TERÇA 615,00 0,00 2.000,00 10-abr QUARTA 380,00 235,00 0,00 2.000,00 11-abr QUINTA 235,00 0,00 2.000,00 12-abr SEXTA 235,00 0,00 2.000,00 15-abr SEGUNDA 235,00 0,00 2.000,00 16-abr TERÇA 235,00 0,00 2.000,00 17-abr QUARTA 235,00 0,00 2.000,00 18-abr QUINTA 235,00 0,00 2.000,00 19-abr SEXTA 235,00 0,00 2.000,00 22-abr SEGUNDA 112,00 123,00 0,00 2.000,00 23-abr TERÇA 123,00 0,00 2.000,00 24-abr QUARTA 123,00 0,00 2.000,00 25-abr QUINTA 90,00 33,00 0,00 2.000,00 26-abr SEXTA 33,00 0,00 2.000,00 29-abr SEGUNDA 600,00 (567,00) (567,00) 1.433,00 30-abr TERÇA (567,00) (567,00) 1.433,00 Saldo médio do mês no cheque especial (80,64) Cálculo dos encargos: débito no 1º dia útil do mês seguinte: Valor a ser debitado de juros: R$80,64 × 8% (6,45) Valor a ser debitado de IOF (0,10)Benefícios: A utilização do cheque especial é conveniente quando o "furo de caixa" estiverlimitado em poucos dias - máximo uma semana. Nestes casos, mesmo sendo a alternativamais cara do mercado, pode resultar em juros menores. Há no mercado três tipos de chequeespecial com "vantagens":1- Carência: se o prazo de utilização for menor ou igual ao de carência, não há juros, apenasIOF. Nesta modalidade o cliente precisa saber que, se utilização ultrapassar a da carência,pagará juros sobre o prazo integral, inclusive da carência;2- Juros decrescentes: quanto maior o prazo de utilização, menor a taxa de juros. O cuidadoaqui, é que apesar de decrescentes, são muito altos, além do custo, cuidar par não ultrapassaro limite ou descumprir alguma cláusula do contrato, o que anula o benefício;3- Juros reduzidos: clientes que tem outras operações com o banco - investimentos, seguros,cartão, etc. O cliente deve solicitar este produto ao seu gerente, pois não é oferecido a todos.FERREIRA, Mário Neto Página 40
  41. 41. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino LivreCuidados: Mantenha o saldo de sua conta corrente, rigorosamente em controle; observe osdébitos de tarifas; débitos automáticos; etc. O cheque especial deve ser encarado como aúltima alternativa no caso de necessidade de crédito. No caso de estar fazendo uma compra,pense em alternativas: 1- Resgate seu investimento e pague à vista; 2- Questione sobre o pagamento parcelado sem juros, no cartão de crédito ou cheque pré- datado; 3- Questione sobre o financiamento, mesmo com juros; 4- Adie sua compra.Importante: Quando estiver pensando em entrar numa dívida, pense também em como sairádela. Analise seu orçamento e certifique-se que a dívida cabe nele.A determinação dos encargos financeiros sobre os valores devedores é geralmente processadapor capitalização simples por meio do denominado “método hamburguês”.O exemplo ilustrativo a seguir, permite melhor entendimento do funcionamento das contasgarantidas e do “método hamburguês” para cálculo dos juros incidentes sobre os saldosdevedores.Exemplo: Admita uma conta garantida com limite de R$500.000,00, contratada por 2 meses eaberta no dia 15/janeiro/2012. Os encargos financeiros fixados para a operação são jurosnominais de 3,9% a.m., debitados ao final de cada mês e uma taxa de abertura de crédito(TAC) de 2% cobrada no ato e incidente sobre o limite. Sabe-se que no período da operaçãoforam realizadas as seguintes movimentações na conta garantida:1º MÊS:Dia 15 – saque de R$250.000,00;Dia 20 – saque de R$100.000,00.2º MÊS:Dia 01 – saque de R$ 50.000,00;Dia 10 – depósito de R$40.000,00;Dia 18 – saque de R$35.000,00;Dia 22 – saque de R$50.000,00.1- Construir um quadro com as várias movimentações realizadas nesta conta garantida; 2-Calcular os juros pelo método hamburguês: DATA HISTÓRICO DÉBITO (D) SALDO NÚMERO Nº DE DIAS × CRÉDITO (C) DEVEDOR DE DIAS SALDO DEVEDOR 15-01 TAC 10.000,00 (D) 10.000,00 ------- ------- 15-01 Saque 250.000,00 (D) 260.000,00 5 1.300.000,00 20-01 Saque 100.000,00 (D) 360.000,00 11 3.960.000,00 31-01 Juros 6.838,00 (D) 366.838,00 ------- ------- 31-01 TOTAL – 1º 16 5.260.000,00 01-02 Saque 50.000,00 (D) 416.838,00 9 3.751.542,00FERREIRA, Mário Neto Página 41
  42. 42. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre 10-02 Depósito 40.000,00 (D) 376.838,00 8 3.014.704,00 18-02 Saque 35.000,00 (D) 411.838,00 4 1.647.352,00 22-02 Saque 50.000,00 (D) 461.838,00 7 3.694.704,00 29-02 TOTAL – 2º 28 12.108.302,00 29-02 TOTAL BIMESTRE 44 17.368.302,00O cálculo dos juros pelo “método hamburguês” envolve o produto da taxa proporcional diária(3,9/30 % a.d.) pelo (SD × nº dias). Assim:Juros 1 = 0,0013 × (1.300.000,00 + 3.960.000,00) = 0,0013 × 5.260.000,00 = R$6.838,00;Juros 2 = 0,0013 × (3.751.542,00 + 3.014.704,00 + 1.647.352,00 + 3.694.704,00) = 0,0013 ×12.108.302,00 = R$15.740,80.Total dos juros = R$6.838 + R$15.740,80 = R$22.578,80.Exemplo: Admita um cliente que mantenha um cheque especial com limite definido de R$200.000,00. Ao final do mês de junho, o banco expede um extrato de movimentação doperíodo conforme ilustrado a seguir. Sabendo-se que esse banco cobra 3,2% a.m., de juros.Determinar os encargos totais do mês que devem ser debitados na conta do cliente: Data Histórico Débito (D) Saldo Crédito (C) (D/C) 01-04 Transporte 36.000,00 (C) 36.000,00 (C) 03-04 Cheque 30.000,00 (D) 6.000,00 (C) 09-04 Cheque 72.000,00 (D) 66.000,00 (D) 15-04 Aviso Débito 14.000,00 (D) 80.000,00 (D) 18-04 Cheque 100.000,00 (D) 180.000,00 (D) 24-04 Depósito 60.000,00 (C) 120.000,00 (D) 29-04 Cheque 30.000,00 (D) 150.000,00 (D) 30-04 Depósito 70.000,00 (C) 80.000,00 (D) Data Histórico Débito (D) Saldo nº Dias nº de dias × Crédito (C) (D/C) Devedor Saldo Devedor 01-04 Transporte 36.000,00 (C) 36.000,00 (C) --- ----- 03-04 Cheque 30.000,00 (D) 6.000,00 (C) --- ----- 09-04 Cheque 72.000,00 (D) 66.000,00 (D) 6 396.000,00 15-04 Aviso Débito 14.000,00 (D) 80.000,00 (D) 3 240.000,00 18-04 Cheque 100.000,00 (D) 180.000,00 (D) 6 1.080.000,00 24-04 Depósito 60.000,00 (C) 120.000,00 (D) 2 240.000,00 29-04 Cheque 30.000,00 (D) 150.000,00 (D) 3 450.000,00 30-04 Depósito 70.000,00 (C) 80.000,00 (D) 1 70.000,00 TOTAL 21 2.476.000,00Juros Totais do Mês: (0,032/30) × 2.476.000,00 = R$ 2.641,07.CÁLCULO DO CUSTO EFETIVONa operação de cheque especial, conforme comentado, é geralmente cobrada uma taxa dejuros, definida em bases mensais e também uma taxa de abertura de crédito (TAC). Esta taxaFERREIRA, Mário Neto Página 42
  43. 43. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livrede crédito, cobrada no momento da liberação dos recursos, eleva o percentual de juroscobrado.O critério básico de se apurar o custo efetivo de uma conta garantida (cheque especial) podeser expresso no seguinte diagrama de fluxo de caixa mensal:Limite da conta: (-) TAC 1 2 3 n (meses) Juros Juros Juros Juros + Limite da contaO custo efetivo final será, evidentemente, a taxa interna de retorno deste fluxo de caixa.Exemplo: Uma conta garantida cobra juros de 2,6% a.m., debitados mensalmente e uma TACde 1,5%. Determinar o custo efetivo admitindo que a conta garantida tenha sido contratadapor: a) 30 dias; b) 60 dias; c) 90 dias:a) Para um prazo de 30 dias, tem-se:Limite da conta: R$100,00TAC: -R$1,50Crédito Liberado: R$98,50Juros: 100 × 2,6% = R$2,60Limite: R$100,00Total: R$102,60 102,60Custo Efetivo: (Total ÷ Crédito Liberado) → i   1 → i = 0,0416 equivale à taxa de 98,504,16% a.m.Observação: A comissão de abertura de crédito eleva o custo da conta garantida por 30 diasde 2,60% para 4,16%.b) Para um prazo de 60 dias, tem-se:Limite da conta: R$100,00TAC: -R$1,50Crédito Liberado: R$ 98,50 → 2 (meses)Juros: R$100 × 2,60% = R$2,60Limite: R$100,00Total: 102,60FERREIRA, Mário Neto Página 43
  44. 44. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino LivreCusto Efetivo: Crédito Liberado = [Juros ÷ (1 + i)] + [Total ÷ (1 + i)2] → 2,60 102,6098,50   1  i  1  i 2Com a utilização da calculadora HP 12C, temos:f e f CLX f298,50 CHS g PV (CF0)2,60 g PMT (CFj)102,60 g PMT (CFj)f FV (IRR)Resultado: i = 3,39% ao mês.c) Para um prazo de 90 dias, tem-se:Limite da conta: R$100,00TAC: -R$1,50Crédito Liberado: 98,50 → 3 (meses)Juros: R$100 × 2,60%= R$2,60Custo Efetivo: Crédito Liberado = (Juros ÷ (1 + i)) + (Total ÷ (1 + i) 2) → 2,60 2,60 102,6098,50    1  i  1  i 2 1  i 3Com a utilização da calculadora HP 12C, temos:f e f CLX f298,50 CHS g PV (CF0)2,60 g PMT (CFj)2,60 g PMT (CFj)102,60 g PMT (CFj)f FV (IRR)Resultado: i = 3,13% ao mês.Conclusão:O custo efetivo final se reduz à medida que se eleva o prazo da conta garantida. Estecomportamento é explicado pela maior diluição da TAC cobrada, uma única vez, no ato deliberação do crédito pelos meses de operação.Os técnicos e especialistas do Banco Central costumam dizer que a taxa de juros do chequeespecial é “proibitiva”, isto é, deve-se evitar a utilização dessa modalidade de crédito. Porisso, correntistas endividados com o cheque especial devem trocar a dívida por uma maismodalidade de crédito que cobre menor taxa de juros, por exemplo, o crédito consignado.O Professor de Finanças da Faculdade IBMEC, Marcos Aguerri Pimenta explica que os jurossão altos porque o “dinheiro está disponível na conta corrente a qualquer momento, sem anecessidade de negociar com o gerente no banco”. Continua a explicar, “O cheque especial éútil apenas para momentos de emergência e, portanto, em casos de curtíssima duração, comoalguns dias”.FERREIRA, Mário Neto Página 44
  45. 45. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino LivrePorém, os brasileiros costumam utilizar o cheque especial por 22 dias, em média, ao longo domês. Pelos cálculos do citado professor, se um correntista usar R$100 de cheque especialnesse período de 22 dias, irá pagar R$5,82. O Professor destaca, “Isso é um valorconsiderável, ainda mais se compararmos à caderneta de poupança, que remunera em tornodisso no período de um ano”. Se em vez de utilizar o cheque especial, o correntista tivesseR$100 para aplicar na poupança, levaria um ano para ter em torno de R$5,82 de remuneração,valor pago ao banco pelo empréstimo em apenas 22 dias.No cálculo do valor do cheque especial, foram considerados a taxa média de juros e o Impostosobre Operações de Crédito, Câmbio e Seguros (IOF). De acordo com a Receita Federal, aalíquota de 0,38% incide sobre cada novo empréstimo. Além dessa alíquota, é cobrado0,0041% ao dia, incidente sobre o somatório dos saldos devedores diários.9- Faça um resumo sucinto sobre as utilizações das fórmulas corretas para aplicações dedescontos simples e compostos?Resposta:A chamada operação de desconto normalmente é realizada quando se conhece o valor futurode um título (valor nominal, valor de face ou valor de resgate) e se quer determinar o seuvalor atual. O desconto deve ser entendido como a diferença entre o valor de resgate de umtítulo e o seu valor presente na data da operação: D = VF – VP, em que D representa o valormonetário do desconto, VF o seu valor futuro (FV), valor assumido pelo título na data do seuvencimento e VP o valor creditado (PV) ou pago ao seu titular. Assim como no caso dosjuros, o valor do desconto também está associado a uma taxa e a determinado período detempo.Embora seja frequente a confusão entre juros e descontos, trata-se de dois critérios distintos,claramente caracterizados. Assim, enquanto no cálculo dos juros a taxa referente ao períododa operação incide sobre o capital inicial ou valor presente, no desconto à taxa do períodoincide sobre o seu montante ou valor futuro.De maneira análoga aos juros, os descontos são também classificados em simples e composto,envolvendo cálculos lineares no caso do desconto simples e exponencial no caso do descontocomposto.O desconto simples é dividido em:1- Desconto Racional (por dentro).2- Desconto Comercial (por fora).1- DESCONTO RACIONAL (por dentro).Desconto racional simples é aquele aplicado no valor atual do título n períodos antes dovencimento, isto é, é o mesmo que juro simples. Não será dada muita importância a menos decomparação, pois raramente tem sido aplicado no Brasil.Dr = VF – VP→ Fórmula direta para o cálculo do desconto racionalFERREIRA, Mário Neto Página 45
  46. 46. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino LivreDr→ Desconto Racional;VF ou FV→ Valor Futuro;VP ou PV→ Valor Presente. VFVP  → Fórmula para o cálculo do valor presente no desconto racional (1  i  n)VP ou PV→ Valor Presente;VF ou FV→ Valor Futuro;i→ Taxa de desconto;n→ Número de períodos (prazo).VF  VP  (1  i  n) → Fórmula para o cálculo do valor futuro no desconto racionalVF ou FV→ Valor Futuro;VP ou PV→ Valor Presente;i→ Taxa de desconto;n→ Número de períodos (prazo). VF  i  nDr  → Fórmula para o cálculo do desconto racional (1  i  n) VF 1i VP → Fórmula para o cálculo da taxa de desconto racional n VF 1n  VP → Fórmula para o cálculo do número de períodos no desconto racional i2- DESCONTO COMERCIAL OU BANCÁRIO (por fora)Desconto comercial simples é aquele em que a taxa de desconto incide sempre sobre omontante ou valor futuro. É utilizado no Brasil de maneira ampla e generalizado,principalmente nas chamadas operações de “desconto de duplicatas” realizadas pelos bancos,sendo, por essa razão, também conhecido por desconto bancário ou comercial. É obtidomultiplicando-se o valor de resgate do título pela taxa de desconto e pelo prazo a decorrer atéo seu vencimento:Db  VF  d  n → Fórmula para o cálculo do desconto bancário ou comercialVF ou FV→ Valor Futuro;d→ Taxa de desconto;n→ Número de períodos (prazo).FERREIRA, Mário Neto Página 46

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