Este documento descreve o cálculo da região de atração de um sistema não linear, especificamente de um pêndulo. Primeiro, apresenta os conceitos-chave de estabilidade assintótica global e região de atração. Em seguida, descreve como usar funções de Lyapunov para estimar a região de atração, mostrando exemplos de funções de Lyapunov e suas curvas de nível. Finalmente, aplica este método ao caso específico de um pêndulo, calculando sua região de atração estimada.
1) O documento apresenta exercícios sobre inequações matriciais lineares (LMI) para síntese de realimentação de estados.
2) É mostrada a teoria para projetar LMIs que garantam o posicionamento dos polos em diferentes regiões do plano complexo, como semiplanos esquerdo e direito e faixa.
3) Também é mostrado como projetar uma LMI para posicionar os polos dentro de um setor cônico no semiplano esquerdo, definido por um fator de amortecimento mínimo.
Este documento apresenta dois exercícios sobre sistemas lineares de controle multivariável resolvidos usando a LMI Control Toolbox do Matlab. No primeiro exercício, um ganho estabilizante é calculado usando uma condição LMI. No segundo exercício, o ganho é calculado para minimizar a norma do sistema em malha fechada, também usando LMIs. Os exercícios são resolvidos declarando as variáveis da LMI e especificando seus termos no Matlab.
1) O documento discute a transformada de Laplace, que mapeia funções do tempo para funções complexas. A transformada de Laplace é usada para resolver problemas envolvendo equações diferenciais.
2) Exemplos mostram como calcular a transformada de Laplace de diferentes funções do tempo, como exponenciais, decaimento exponencial, impulsos de Dirac e funções trigonométricas.
3) Um teorema estabelece condições suficientes para a existência da transformada de Laplace, requerendo que a função seja seccionalmente contínua e de
Analisis da estabilidade na forma de LURE’S.pdfManuel Vargas
O documento apresenta o critério do círculo para análise da estabilidade absoluta de sistemas não lineares na forma de Lure. É feita uma análise detalhada de um sistema não linear representado por um pendulo, incluindo sua linearização e definição de um elemento não linear. O critério do círculo é aplicado ao sistema do pendulo para diferentes condições do setor não linear, determinando em quais casos o sistema é absolutamente estável.
1. O documento discute a Transformada de Laplace, um método para resolver equações diferenciais.
2. A Transformada de Laplace transforma um problema diferencial em um problema algébrico mais simples de se resolver.
3. A Transformada de Laplace é amplamente usada em engenharia para modelar e simular sistemas dinâmicos.
Este documento apresenta o conceito de linearização de entrada-estado para sistemas não lineares. A técnica envolve encontrar um difeomorfismo que transforma o sistema não linear em um sistema linear nas novas variáveis. Isso elimina a não linearidade e permite o uso de técnicas de controle linear. Exemplos são fornecidos para ilustrar o processo de linearização.
O documento discute sistemas recursivos descritos por equações de diferença de coeficientes constantes e lineares. Explica que a saída de um sistema recursivo depende de valores passados de entrada e saída e pode ser expressa como a soma da resposta natural e da resposta no estado zero. Também define propriedades como linearidade para sistemas recursivos descritos por tais equações.
1) O documento discute técnicas de frequência e duração para sistemas que alternam entre estados de funcionamento e falha.
2) A frequência é definida como o número de vezes que um ciclo de sucesso e falha ocorre por unidade de tempo. Isso pode ser interpretado como a frequência média de ocorrência dos estados.
3) A duração média de um estado é calculada como a probabilidade estacionária do estado dividida pela frequência.
1) O documento apresenta exercícios sobre inequações matriciais lineares (LMI) para síntese de realimentação de estados.
2) É mostrada a teoria para projetar LMIs que garantam o posicionamento dos polos em diferentes regiões do plano complexo, como semiplanos esquerdo e direito e faixa.
3) Também é mostrado como projetar uma LMI para posicionar os polos dentro de um setor cônico no semiplano esquerdo, definido por um fator de amortecimento mínimo.
Este documento apresenta dois exercícios sobre sistemas lineares de controle multivariável resolvidos usando a LMI Control Toolbox do Matlab. No primeiro exercício, um ganho estabilizante é calculado usando uma condição LMI. No segundo exercício, o ganho é calculado para minimizar a norma do sistema em malha fechada, também usando LMIs. Os exercícios são resolvidos declarando as variáveis da LMI e especificando seus termos no Matlab.
1) O documento discute a transformada de Laplace, que mapeia funções do tempo para funções complexas. A transformada de Laplace é usada para resolver problemas envolvendo equações diferenciais.
2) Exemplos mostram como calcular a transformada de Laplace de diferentes funções do tempo, como exponenciais, decaimento exponencial, impulsos de Dirac e funções trigonométricas.
3) Um teorema estabelece condições suficientes para a existência da transformada de Laplace, requerendo que a função seja seccionalmente contínua e de
Analisis da estabilidade na forma de LURE’S.pdfManuel Vargas
O documento apresenta o critério do círculo para análise da estabilidade absoluta de sistemas não lineares na forma de Lure. É feita uma análise detalhada de um sistema não linear representado por um pendulo, incluindo sua linearização e definição de um elemento não linear. O critério do círculo é aplicado ao sistema do pendulo para diferentes condições do setor não linear, determinando em quais casos o sistema é absolutamente estável.
1. O documento discute a Transformada de Laplace, um método para resolver equações diferenciais.
2. A Transformada de Laplace transforma um problema diferencial em um problema algébrico mais simples de se resolver.
3. A Transformada de Laplace é amplamente usada em engenharia para modelar e simular sistemas dinâmicos.
Este documento apresenta o conceito de linearização de entrada-estado para sistemas não lineares. A técnica envolve encontrar um difeomorfismo que transforma o sistema não linear em um sistema linear nas novas variáveis. Isso elimina a não linearidade e permite o uso de técnicas de controle linear. Exemplos são fornecidos para ilustrar o processo de linearização.
O documento discute sistemas recursivos descritos por equações de diferença de coeficientes constantes e lineares. Explica que a saída de um sistema recursivo depende de valores passados de entrada e saída e pode ser expressa como a soma da resposta natural e da resposta no estado zero. Também define propriedades como linearidade para sistemas recursivos descritos por tais equações.
1) O documento discute técnicas de frequência e duração para sistemas que alternam entre estados de funcionamento e falha.
2) A frequência é definida como o número de vezes que um ciclo de sucesso e falha ocorre por unidade de tempo. Isso pode ser interpretado como a frequência média de ocorrência dos estados.
3) A duração média de um estado é calculada como a probabilidade estacionária do estado dividida pela frequência.
O documento discute métodos para resolver equações de diferenças, incluindo encontrar as soluções homogênea, particular e total. A solução homogênea assume a forma de uma exponencial e depende das raízes do polinômio característico, enquanto a solução particular é uma constante multiplicada pela entrada. A solução total é a soma da solução homogênea e particular.
Este documento apresenta um modelo matemático para calcular as probabilidades de funcionamento e falha de componentes reparáveis em função do tempo. O modelo representa o componente como uma cadeia de Markov de dois estados, funcionamento e falha, e calcula numericamente as probabilidades desses estados ao longo do tempo usando as taxas de falha e reparo. As probabilidades apresentam uma fase transitória dependente das condições iniciais e uma fase estacionária onde se estabilizam em valores independentes do tempo.
Este documento apresenta o modelo matemático para componentes não reparáveis, como aqueles que não podem ser consertados após uma falha. O modelo descreve o componente como podendo estar em um de dois estados - funcionando ou avariado - e transita instantaneamente de um estado para o outro. A taxa de falha instantânea é a probabilidade de falha por unidade de tempo e é a grandeza fundamental do modelo. O documento fornece as equações que relacionam a taxa de falha com outras probabilidades do modelo e descreve como estimar experimentalmente a taxa de falha.
O documento discute modelagem matemática da dinâmica de sistemas de controle no espaço de estado. Apresenta conceitos-chave como variáveis de estado, equações de estado e representação matricial. Também mostra como obter a função de transferência a partir das equações de estado e ilustra o conceito com um exemplo de sistema massa-mola-amortecedor.
O documento apresenta uma introdução à Transformada de Laplace, incluindo sua definição, propriedades e aplicações para resolução de equações diferenciais e análise de sistemas dinâmicos. Ele fornece tabelas com pares de funções e suas respectivas transformadas de Laplace, bem como propriedades da transformada. Além disso, explica a expansão em frações parciais, usada para decompor funções complexas na transformada inversa.
O documento discute sistemas de tempo discreto, classificando-os como estáticos ou dinâmicos com base em sua memória e linearidade. Também aborda propriedades como causalidade, estabilidade e formas de interligar sistemas discretos em série ou paralelo.
1) A transformada de Laplace permite resolver equações diferenciais de coeficientes constantes transformando-as em equações algébricas. 2) A transformada de Laplace de uma função é definida como uma integral imprópria e seu núcleo é e-st. 3) Para que uma função tenha uma transformada de Laplace bem definida, ela deve ser contínua por partes e de ordem exponencial.
1. A Transformada de Laplace foi desenvolvida por Pierre Simon Laplace em 1812 para resolver equações diferenciais lineares que surgem em problemas aplicados como circuitos elétricos e condução de calor.
2. A Transformada de Laplace converte uma função do tempo em uma função complexa, permitindo que a equação diferencial seja resolvida algebraicamente.
3. A Transformada de Laplace tem propriedades como linearidade que permitem calcular transformadas de funções somadas ou multiplicadas por constantes a partir de suas transformadas individuais.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre aplicações da transformada de Laplace e sua inversa para resolver problemas de valor inicial envolvendo equações diferenciais.
2) São propostos problemas sobre circuitos elétricos, oscilações mecânicas e deflexão de vigas sob cargas distribuídas.
3) As respostas utilizam a transformada de Laplace e sua inversa para encontrar soluções analíticas para as equações diferenciais nos diferentes exemplos apresentados.
1. A transformada de Laplace é usada para resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, transformando a equação diferencial inicial em uma equação algébrica.
2. A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida como a integral de f(t) multiplicada por e^-st de 0 a infinito. Isso mapeia funções do domínio temporal para o domínio complexo.
3. Exemplos mostram como calcular a transformada de Laplace de funções comuns como exponenciais, seno, cosseno, polinomiais e combinações
Este documento discute a motivação e aplicações da Transformada Laplace para resolver equações diferenciais que modelam movimentos amortecidos como o de um carro passando por uma lombada ou um pêndulo oscilando. A Transformada Laplace converte equações diferenciais em equações algébricas simplificadas que podem ser resolvidas mais facilmente. Exemplos demonstram como usar a Transformada Laplace para analisar a estabilidade de sistemas e calcular soluções de equações diferenciais.
O documento discute operadores na mecânica quântica. Apresenta operadores como expressões que atuam sobre funções e define propriedades como linearidade. Discute operadores hermitianos, cujos autovalores são reais e autofunções podem ser escolhidas ortogonais. Define álgebra de operadores e comutadores.
Método de Newton-Raphson - @professorenanRenan Gustavo
O documento descreve o método de Newton-Raphson para encontrar raízes de funções. Ele explica que o método é mais rápido que a bisseção, mas requer o cálculo da derivada e nem sempre converge. Um exemplo é fornecido para ilustrar o processo iterativo do método para encontrar a raiz quadrada de 6.
O documento discute sistemas de controle e fornece exemplos de diferentes tipos de sistemas, incluindo mecânicos, elétricos, fluídicos e térmicos. Apresenta conceitos-chave como modelo matemático, sistema linear, função de transferência e transformada de Laplace. Fornece exemplos de resolução de exercícios envolvendo sistemas mecânicos e elétricos.
Trabalho de Equações Diferenciais ParciaisPaulo Cambinda
1) O documento discute equações diferenciais parciais do tipo hiperbólico e métodos para resolvê-las, incluindo séries de Fourier.
2) É apresentada a definição de equações diferenciais do tipo hiperbólico e exemplos. Métodos como integração direta, mudança de variáveis e separação de variáveis são explicados.
3) O conceito de séries de Fourier é introduzido e aplicado para resolver a equação da oscilação de uma corda. Propriedades de funções pares e ímpares também são
4 alternativas-para-resolver-a-equacao-de-schrodingerMarcelo de Souza
Quatro métodos numéricos são descritos para resolver a equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio: (1) revisão da solução analítica, (2) uso de transformadas integrais para representar orbitais atômicos, (3) uso de números aleatórios no método de Monte Carlo Quântico. A motivação é explorar novos aspectos deste sistema bem conhecido usando técnicas numéricas.
O documento resolve a equação de Schrödinger para diversos tipos de potenciais atuando sobre uma partícula, incluindo poços de potencial infinito e finito. A solução para um poço infinito mostra que a energia da partícula é quantizada em valores discretos. A solução para um poço finito é similar, mas com funções de onda não nulas fora do poço devido ao potencial finito.
Este documento discute a modelagem matemática de sistemas dinâmicos. Apresenta conceitos como função de transferência e resposta ao impulso para sistemas lineares invariantes no tempo. Explica como representar modelos de sistemas físicos usando diagramas de blocos.
O documento discute a reatividade de compostos aromáticos na substituição eletrofílica aromática. Grupos ativantes aumentam a densidade eletrônica do anel benzênico e tornam as posições orto e para mais reativas. Grupos desativantes diminuem a densidade eletrônica e tornam a posição meta mais reativa. A orientação da reação depende se o substituinte for ativante ou desativante. Estratégias de síntese envolvem escolher reagentes e condições para controlar a reg
Este documento apresenta uma série de exercícios sobre mecânica quântica. O objetivo da aula é consolidar os conhecimentos adquiridos no módulo anterior aplicando-os à resolução dos exercícios. São abordados tópicos como partícula livre e em caixa de potencial tridimensional, operador momento angular e relações de comutação entre operadores.
Este documento describe los beneficios de los abrazos, afirmando que son buenos para la salud, no contienen colesterol u otros ingredientes artificiales, y son efectivos para tratar problemas como la soledad o la depresión. También dice que los abrazos son gratuitos, renovables y se sienten mejor cuanto más se usan. Finalmente, anima a las personas a abrazarse más a menudo.
O poema descreve velhas árvores como mais belas do que as árvores jovens por terem vencido o tempo e as tempestades, oferecendo abrigo e sustento para animais e cantos de pássaros em seus galhos, incentivando os leitores a envelhecerem com alegria e bondade como as árvores, dando conforto aos necessitados.
O documento discute métodos para resolver equações de diferenças, incluindo encontrar as soluções homogênea, particular e total. A solução homogênea assume a forma de uma exponencial e depende das raízes do polinômio característico, enquanto a solução particular é uma constante multiplicada pela entrada. A solução total é a soma da solução homogênea e particular.
Este documento apresenta um modelo matemático para calcular as probabilidades de funcionamento e falha de componentes reparáveis em função do tempo. O modelo representa o componente como uma cadeia de Markov de dois estados, funcionamento e falha, e calcula numericamente as probabilidades desses estados ao longo do tempo usando as taxas de falha e reparo. As probabilidades apresentam uma fase transitória dependente das condições iniciais e uma fase estacionária onde se estabilizam em valores independentes do tempo.
Este documento apresenta o modelo matemático para componentes não reparáveis, como aqueles que não podem ser consertados após uma falha. O modelo descreve o componente como podendo estar em um de dois estados - funcionando ou avariado - e transita instantaneamente de um estado para o outro. A taxa de falha instantânea é a probabilidade de falha por unidade de tempo e é a grandeza fundamental do modelo. O documento fornece as equações que relacionam a taxa de falha com outras probabilidades do modelo e descreve como estimar experimentalmente a taxa de falha.
O documento discute modelagem matemática da dinâmica de sistemas de controle no espaço de estado. Apresenta conceitos-chave como variáveis de estado, equações de estado e representação matricial. Também mostra como obter a função de transferência a partir das equações de estado e ilustra o conceito com um exemplo de sistema massa-mola-amortecedor.
O documento apresenta uma introdução à Transformada de Laplace, incluindo sua definição, propriedades e aplicações para resolução de equações diferenciais e análise de sistemas dinâmicos. Ele fornece tabelas com pares de funções e suas respectivas transformadas de Laplace, bem como propriedades da transformada. Além disso, explica a expansão em frações parciais, usada para decompor funções complexas na transformada inversa.
O documento discute sistemas de tempo discreto, classificando-os como estáticos ou dinâmicos com base em sua memória e linearidade. Também aborda propriedades como causalidade, estabilidade e formas de interligar sistemas discretos em série ou paralelo.
1) A transformada de Laplace permite resolver equações diferenciais de coeficientes constantes transformando-as em equações algébricas. 2) A transformada de Laplace de uma função é definida como uma integral imprópria e seu núcleo é e-st. 3) Para que uma função tenha uma transformada de Laplace bem definida, ela deve ser contínua por partes e de ordem exponencial.
1. A Transformada de Laplace foi desenvolvida por Pierre Simon Laplace em 1812 para resolver equações diferenciais lineares que surgem em problemas aplicados como circuitos elétricos e condução de calor.
2. A Transformada de Laplace converte uma função do tempo em uma função complexa, permitindo que a equação diferencial seja resolvida algebraicamente.
3. A Transformada de Laplace tem propriedades como linearidade que permitem calcular transformadas de funções somadas ou multiplicadas por constantes a partir de suas transformadas individuais.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre aplicações da transformada de Laplace e sua inversa para resolver problemas de valor inicial envolvendo equações diferenciais.
2) São propostos problemas sobre circuitos elétricos, oscilações mecânicas e deflexão de vigas sob cargas distribuídas.
3) As respostas utilizam a transformada de Laplace e sua inversa para encontrar soluções analíticas para as equações diferenciais nos diferentes exemplos apresentados.
1. A transformada de Laplace é usada para resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, transformando a equação diferencial inicial em uma equação algébrica.
2. A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida como a integral de f(t) multiplicada por e^-st de 0 a infinito. Isso mapeia funções do domínio temporal para o domínio complexo.
3. Exemplos mostram como calcular a transformada de Laplace de funções comuns como exponenciais, seno, cosseno, polinomiais e combinações
Este documento discute a motivação e aplicações da Transformada Laplace para resolver equações diferenciais que modelam movimentos amortecidos como o de um carro passando por uma lombada ou um pêndulo oscilando. A Transformada Laplace converte equações diferenciais em equações algébricas simplificadas que podem ser resolvidas mais facilmente. Exemplos demonstram como usar a Transformada Laplace para analisar a estabilidade de sistemas e calcular soluções de equações diferenciais.
O documento discute operadores na mecânica quântica. Apresenta operadores como expressões que atuam sobre funções e define propriedades como linearidade. Discute operadores hermitianos, cujos autovalores são reais e autofunções podem ser escolhidas ortogonais. Define álgebra de operadores e comutadores.
Método de Newton-Raphson - @professorenanRenan Gustavo
O documento descreve o método de Newton-Raphson para encontrar raízes de funções. Ele explica que o método é mais rápido que a bisseção, mas requer o cálculo da derivada e nem sempre converge. Um exemplo é fornecido para ilustrar o processo iterativo do método para encontrar a raiz quadrada de 6.
O documento discute sistemas de controle e fornece exemplos de diferentes tipos de sistemas, incluindo mecânicos, elétricos, fluídicos e térmicos. Apresenta conceitos-chave como modelo matemático, sistema linear, função de transferência e transformada de Laplace. Fornece exemplos de resolução de exercícios envolvendo sistemas mecânicos e elétricos.
Trabalho de Equações Diferenciais ParciaisPaulo Cambinda
1) O documento discute equações diferenciais parciais do tipo hiperbólico e métodos para resolvê-las, incluindo séries de Fourier.
2) É apresentada a definição de equações diferenciais do tipo hiperbólico e exemplos. Métodos como integração direta, mudança de variáveis e separação de variáveis são explicados.
3) O conceito de séries de Fourier é introduzido e aplicado para resolver a equação da oscilação de uma corda. Propriedades de funções pares e ímpares também são
4 alternativas-para-resolver-a-equacao-de-schrodingerMarcelo de Souza
Quatro métodos numéricos são descritos para resolver a equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio: (1) revisão da solução analítica, (2) uso de transformadas integrais para representar orbitais atômicos, (3) uso de números aleatórios no método de Monte Carlo Quântico. A motivação é explorar novos aspectos deste sistema bem conhecido usando técnicas numéricas.
O documento resolve a equação de Schrödinger para diversos tipos de potenciais atuando sobre uma partícula, incluindo poços de potencial infinito e finito. A solução para um poço infinito mostra que a energia da partícula é quantizada em valores discretos. A solução para um poço finito é similar, mas com funções de onda não nulas fora do poço devido ao potencial finito.
Este documento discute a modelagem matemática de sistemas dinâmicos. Apresenta conceitos como função de transferência e resposta ao impulso para sistemas lineares invariantes no tempo. Explica como representar modelos de sistemas físicos usando diagramas de blocos.
O documento discute a reatividade de compostos aromáticos na substituição eletrofílica aromática. Grupos ativantes aumentam a densidade eletrônica do anel benzênico e tornam as posições orto e para mais reativas. Grupos desativantes diminuem a densidade eletrônica e tornam a posição meta mais reativa. A orientação da reação depende se o substituinte for ativante ou desativante. Estratégias de síntese envolvem escolher reagentes e condições para controlar a reg
Este documento apresenta uma série de exercícios sobre mecânica quântica. O objetivo da aula é consolidar os conhecimentos adquiridos no módulo anterior aplicando-os à resolução dos exercícios. São abordados tópicos como partícula livre e em caixa de potencial tridimensional, operador momento angular e relações de comutação entre operadores.
Este documento describe los beneficios de los abrazos, afirmando que son buenos para la salud, no contienen colesterol u otros ingredientes artificiales, y son efectivos para tratar problemas como la soledad o la depresión. También dice que los abrazos son gratuitos, renovables y se sienten mejor cuanto más se usan. Finalmente, anima a las personas a abrazarse más a menudo.
O poema descreve velhas árvores como mais belas do que as árvores jovens por terem vencido o tempo e as tempestades, oferecendo abrigo e sustento para animais e cantos de pássaros em seus galhos, incentivando os leitores a envelhecerem com alegria e bondade como as árvores, dando conforto aos necessitados.
Pierre Bourdieu foi um teórico das desigualdades sociais que estudou como o capital cultural, social e econômico influenciam a produção e recepção de bens simbólicos. Ele analisou como os campos de produção erudita e da indústria cultural funcionam de forma diferente e se destinam a públicos distintos. Bourdieu também examinou a história da vida intelectual e artística das sociedades européias e como a função do sistema de produção de bens simbólicos se transformou ao longo do tempo.
1) O documento discute conceitos de programação como criação de processos para gerar resultados para usuários, módulos, compiladores e linguagens de programação. 2) Apresenta conceitos como scripts, client side, server side, interface e banco de dados. 3) Demonstra a estrutura básica de uma página HTML e alguns comandos como tags.
Este capítulo contém uma lista de exercícios e exemplos para serem resolvidos. São indicados dois exercícios (16.5 e 16.21) e oito exemplos (de 16.3 a 16.19) que devem ser estudados.
Este documento lista los precios de varios productos lácteos como quesos, yogur, cuajada, leche condensada y mantequilla, y proporciona información de contacto para el departamento de ventas de naturlácteos, incluyendo un número de teléfono y dirección de correo electrónico. Felicita también a los clientes por su visita y les desea felices fiestas para el 2012.
El documento presenta los calendarios de los meses del año, incluyendo los días de la semana y las fechas. Se destacan algunas fechas especiales como el Día del Medio Ambiente en junio, el Día Mundial del Agua en marzo y el Día de la Tierra en abril.
La epidemiología en salud ocupacional estudia la distribución y determinantes de las enfermedades y lesiones relacionadas con el trabajo, así como su prevención. Se utiliza para identificar los peligros y evaluar los riesgos en el lugar de trabajo con el fin de proteger la salud de los trabajadores y prevenir enfermedades y accidentes laborales. La epidemiología ocupacional proporciona evidencia científica para la legislación en materia de seguridad y salud en el trabajo.
El documento describe las 4 fases del ciclo de vida de un proyecto. La primera fase, Planificar, involucra al Gerente y grupos de proceso que desarrollan un plan de acción para lograr los objetivos. En la segunda fase, Hacer, los Grupos de Proceso implementan el plan de gestión. La tercera fase, Revisar, es cuando el Gerente y la auditoría supervisan el progreso y toman medidas correctivas. Finalmente, en la cuarta fase, Actuar, el Gerente, la auditoría y los grupos de proceso formalizan
IntervencióN Smh Ibm. E AdministracióNmuriel sebas
El documento habla sobre la creciente digitalización de España y la administración pública. Menciona que cada vez más ciudadanos usan Internet y servicios digitales del gobierno como el DNI electrónico. También destaca que la administración pública debe enfocarse en la eficiencia y colaboración a través de la gestión digital de servicios para 2020. El objetivo final es contribuir a que España se convierta en una sociedad digital lo antes posible.
El documento habla sobre el impacto de las tecnologías de la información y la comunicación (TIC) en la economía española. El sector TIC ha experimentado un fuerte crecimiento en facturación e ingresos en los últimos años. Además, las TIC han beneficiado a otros sectores económicos y han contribuido a generar empleo. Cada vez más empresas españolas utilizan las TIC y tienen presencia en Internet.
El documento describe dos sedes olímpicas para los Juegos Olímpicos de Beijing 2008: el Estadio Acuático de Beijing y el Estadio Olímpico de Tianjin. Tianjin, una ciudad industrial con unos 10 millones de habitantes, servirá como subsede junto con la sede principal en Beijing.
[1] A empresa Cursos On oferece cursos, workshops e coaching para auxiliar o desenvolvimento pessoal e profissional de seus clientes. [2] Eles focam em qualidade de vida, bem-estar e equilíbrio por meio de aprendizagem contínua e reflexão. [3] Os serviços são fornecidos por parceiros especializados e certificados para ajudar os clientes a alcançarem seus objetivos.
O documento estima que o Brasil terá pelo menos 1,6 milhão de pessoas deslocadas entre 2009 e 2016, principalmente por obras de infraestrutura, desastres naturais e violência. A inflação no Rio de Janeiro atingiu 10,04% nos últimos 12 meses, a segunda maior taxa entre as regiões metropolitanas brasileiras. Uma investigação da Polícia Federal descobriu um esquema de corrupção na Petrobras que desviou recursos para políticos.
El documento trata sobre el concepto de liderazgo. Examina cómo el liderazgo se ha definido a lo largo de la historia y cómo se ha entendido como una propiedad o un proceso. También explora las últimas teorías sobre el liderazgo transaccional y transformacional.
Estimativa da região de atração de um sistema não linear
1. ESTIMATIVA DA REGIÃO DA ATRAÇÃO DE UM SISTEMA NÃO LINEAR
(PÊNDULO)
Manuel Ricardo Vargas Ávila
Manuel06_20@hotmail.com
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica
ELE222- Sistemas Não Lineares
RESUMO: O presente documento consiste em um Para fazer o estudo dos pontos de equilíbrio nos
relato das atividades desenvolvidas durante os capítulos sistemas não lineares, se presentam diferentes métodos
3,4 do libro NONLINEAR SYSTEM de Hassan K. Khalil de Lyapunov para o analises de estabilidade.
da disciplina do Programa de Pós-Graduação em
Engenharia Elétrica -sistemas não lineares, o qual 2 BASE TEÓRICA
consiste na determinação da região real e sua estimativa
de atração de um sistema não linear. Será feita uma
breve introdução dos principais conceitos envolvidos 2.1 ESTABILIDADE ASINTOTICA GLOBAL
sobre a região de atração de um sistema não linear e a DOS PONTOS DE EQUILIBRIO
obtenção de seu estimativa a partir de uma função de
Lyapunov definida. Em seguida, será feito um Considerando um sistema autônomo3:
desenvolvimento teórico da estabilidade assintótica
global, a determinação de uma função de lyapunov e, ̇ ( ) (1)
consequentemente, uma vez definido a estabilidade
assintótica global no sentido Lyapunov, é mostrado a Definido para todo no domínio
determinação da estimativa da região da atração a partir
das diferentes equações de lyapunov propostas e Um ponto no espaço de estados é chamado
comparadas com a região de atração real. Finalmente, ponto de equilíbrio da equação (1) se tem a propriedade
serão mostrados e discutidos os resultados a traves de de que quando o estado inicial do sistema é o estado
gráficos e simulações com simulink. permanece em em todo tempo futuro.
PALAVRAS-CHAVE: Região de atração, matriz
Um ponto de equilíbrio de (1) é assintoticamente
jacobiana, função de Lyapunov, Matlab.
estável se todas as soluções que se iniciam nas
cercanias dele tende a 0 quando o tempo tende a infinito.
O que a gente quer dizer é:
1 INTRODUÇÃO
É assintoticamente estável si para todo
No relatório anterior chamado Analisis de estabilidade no , existe um ( ) tal que
sentido lyapunov de uma gerador síncrono conectado a
uma barra infinita , a gente podem definir a estabilidade ‖ ( )‖ ( )
dos pontos de equilíbrio a partir dos métodos de
lyapunov1. Agora tendo definido os diferentes tipos de
estabilidade a gente deve centrar-se no caso quando o
ponto de equilíbrio é assintoticamente estável2 para
poder falar da região de atração. A região de atração
também chamada região de estabilidade assintótica, está
definida como o conjunto de todos os pontos tal que
( ) . Encontrar uma região de atração
analiticamente exata poderia ser difícil mais não
impossível. Neste relatório a gente vai poder olhar que as
funções de lyapunov que satisfazem as condições de
estabilidade assintótica sobre um domínio D podem ser
Figura 1. Ponto de equilíbrio em com trajetória solução para
usadas para estimar a região de atração, que é encontrar o caso: assintóticamente estável.
um conjunto contendo na região de atração real.
1
Método direto e indireto de Lyapunov
2
Um PE é assintoticamente estável si para todo ,
3
existe um ( ) tal que ‖ ( )‖ e ( ) tende a 0 Um modelo é chamado autônomo quando não
quando . depende de
1
2. Teorema 1: Seja um ponto de 2quilíbrio do O problema pode não ser só a pesquisa de uma
sistema não linear dado por (1) e seja um função de Lyapunov sino a pesquisa de aquela que
domínio que contém o origem. Seja uma assegure a maior região de atração.
função continua diferençável tal que:
2.3 FUNÇÃO DE LYAPUNOV
( ) e ( ) em { } (2)
̇( ) em (3)
Lyapunov demostro que algumas funções a parte da
Então é estável. Mas se função de energia podem ser usadas para a
determinação da estabilidade do ponto de equilíbrio de
̇( ) em { } (4) um sistema não linear.
Então é assintoticamente estável Aquela função ( ) que satisfaze (2) e (3) se
chama função de Lyapunov. Onde a derivada de
sobre as trajetórias do sistema (1) é chamada derivada
Agora que já tem definido a estabilidade assintótica, orbital, é definida como:
o seguinte passo é definir a região de atração.
̇( ) ̇ ( ) (6)
2.2 REGIÃO DE ATRAÇÃO
Corolário: Seja um ponto de equilíbrio de (1).
Quando no sistema (1) o origem é assintoticamente Seja uma funcao definida positiva
estável, o seguinte conjunto continuamente diferençável sobre o domínio que
contém o origem e ademais ̇ ( ) em D. Seja
{ | ( ) } { | ̇( ) } Se nenhuma trajetória solução de
(1) que entra na região fica ali indefinidamente, a
Se chama a região de atração. menos que seja a solução trivial, então o origem é um
ponto de equilíbrio assintoticamente estável. [1]
O conjunto está formado por todos os pontos que
verificam que as trajetórias que começam em eles Si a função de Lyapunov cumpre a condições de
convergem ao origem. Encontrar a região de atração não estabilidade assintótica, então a gente pode fazer uma
é fácil, mas existem formas de fazer uma estimação. estimação da região de atração a partir da equação de
Lyapunov.
As funções de Lyapunov que satisfazem o teorema
1 podem ser usadas para estimar a região de atração.
Para que uma região seja uma estimativa da RA4, deve
ser um conjunto invariante positivo, é dizer, toda trajetória 3. DETERMINAÇÃO DA REGIÃO DE
que comece no conjunto deve permanecer dentro dele
em todo tempo futuro. A estimativa mais simples da RA é
ATRAÇÃO ESTIMADA DO PENDULO
o conjunto:
{ | ( ) } (5)
Quando é delimitado e está contendo no
domínio D.
Então uma estimativa da RA é um conjunto
tal que toda trajetória que comece em ele tende ao
origem quando . Figura3. Pendulo
Usando a segunda lei de newton a gente pode
escrever a equação de movimento na direção tangencial:
̈ ̇
Onde é a massa da bola, é a longitude do braço,
é o ângulo entre a vertical e o braço, é a aceleração
da gravidade, e é o coeficiente de fricção.
Figura2. Curvas de nível de uma função de Lyapunov ̇
Pegando como variáveis de estado e
a gente pode escrever as equações de estado
4
Região de atração
2
3. ̇ A gente vai encontrar a matriz (9) e vai definir 2
matriz definidas positivas , e com ela vamos encontrar
2 funções de Lyapunov.
̇ ( )
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ̇] ( )
As constantes são definidas:
Candidata 1
[ ]
Agora vamos encontrar a solução da equação (11).
Então as equações de estados ficam:
̇ (7)
[ ][ ] [ ][ ] [ ]
̇ ( ) (8)
Fazendo a solução:
Os pontos de equilíbrio do sistema fazendo ( ̇
̇ ) são ( ) A gente pode olhar [ ] (12)
que os pontos de equilíbrio (0,0) e ( ,0) são triviais é os
demais são repetições. Fisicamente a gente pode olhar Agora com (12) a gente pode encontrar a função
que o ponto de equilíbrio de quadrática (10)
[ ] [ ] É estável ( ) (13)
Agora com (6) a gente pode encontrar seu derivada
Enquanto o ponto de equilíbrio
orbital.
[ ] [ ] É instável. ̇( ) (14)
3.1 FUNÇÃO DE LYAPUNOV Candidata 2
Seja a matriz jacobiana [ ]
( )| (9) Agora vamos encontrar a solução da equação (11).
Se (8) é Hurtwitz5, então sempre podemos
encontrar uma função de Lyapunov quadrática.
[ ][ ] [ ][ ] [ ]
( ) (10)
Fazendo a solução:
Encontrando a solução da equação de Lyapunov
(11) [ ] (15)
para alguma matriz definida positiva . Agora com (15) a gente pode encontrar a função
de quadrática (10)
Por tanto si (9) é Hurtwitz a gente pode sempre
estimar a RA do origem. ( ) (16)
5
Uma matriz é Hurtwitz, si e só si para qualquer
existe que satisfaça a equação de
Lyapunov.
3
4. Equação (19)
Agora com (6) a gente pode encontrar seu derivada Z2=-0.1*Y.^2;
orbital.
contour(X,Y,Z1,[1.98,0]);
hold on
̇( ) (17) contour(X,Y,Z2,[0,0]);
grid
Candidata 3 (equação de energia)
{ ( ) }
( ) ( ) (18) 3.3 DETERMINAÇÃO DA REGIÃO DE
Agora com (6) a gente pode encontrar seu derivada
ATRAÇÃO REAL
orbital.
̇( ) (19)
3.2 DETERMINAÇÃO DA REGIÃO DE
ATRAÇÃO ESTIMADA
Candidata 1
[X1,Y1] = meshgrid(-1:.1:1, -1:.1:1);
Equação (13) Figura4. Determinação da região real (reta tangencial a
Z11=X1*Y1+(10.05*X1.^2)+10*Y1.^2; trajetória)
Equação (14)
Z22=-(Y1.^2)+(20*X1.*Y1)-(sin(X1).*X1)-
(20*Y1.*sin(X1)); ( )
contour(X1,Y1,Z22,[0,0]);
hold on Onde:
contour(X1,Y1,Z11,[16,0]);
grid
= Ponto de equilíbrio instável
= cada uno dos auto vetores associados a
{ ( ) } cada um dos autovalores com parte real
negativa.
Candidata 2 = Constate pequena que me define que tanto
se aleja do ponto de equilibro a reta tangencial
[X11,Y11] = meshgrid(-1.5:.1:1.5, -1.5:.1:1.5);
a trajetória.
Equação (16)
Z111=10*X11*Y11+(60.5*X11.^2)+60*Y11.^2;
[ ]
Equação (17)
Z222=-(2*Y11.^2)+(120*X11.*Y11)-
(10*sin(X11).*X11)-(120*Y11.*sin(X11)); ( )
contour(X11,Y11,Z111,[310,0]);
hold on ( ) [ ] [ ] [ ]
contour(X11,Y11,Z222,[0,0]);
grid
( ) [ ] (20)
{ ( ) }
Candidata 3 (equação de energia)
( )
[X,Y] = meshgrid(-5:.1:5, -5:.1:5); ( ) [ ] [ ] [ ]
Equação (18)
Z1=(0.5*Y.^2)+(1-cos(X));
4
5. ( ) [ ] (21) 1.5
1
[ ]
0.5
( )
0
( ) [ ] [ ] [ ] -0.5
-1
( ) [ ] (22) -1.5
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
Figura7. Região de atração da candidata 2
( )
( ) [ ] [ ] [ ] 5
4
3
( ) [ ] (23) 2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Figura8. Região de atração da candidata 3
5
4
3
Figura5. Simulação do sistema ̇ ( ) para cada uma das 2
condições iniciais (20,21,22,23). 1
0
-1
4. SIMULAÇÕES -2
-3
-4
1
-5
0.8 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0.6
Figura9. Região de atração real vs cada uma das regiões
0.4
estimadas.
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Figura6. Região de atração da candidata 1
5
6. 5. CONCLUSÕES
O problema não é encontrar uma função de
Lyapunov qualquer, o problema é encontrar uma
função de Lyapunov que garantisse a maior
região de atração estimada. De acordo a figura
9, a candidata que assegura a maior região de
atração é a função de energia.
A minudo, não é suficiente determinar que um
sistema tem pontos de equilibro asintoticamente
estável. Por tanto é importante encontrar a
região do ponto ou al menos uma estimativa
dele. Seu conhecimento permite que o trabalho
de um engenheiro de controle se centre em
chegar a este conjunto e logo a propriedade de
estabilidade regulara por se só o sistema.
6. REFERÊNCIAS
[1] H. Khalil, ”Nonlinear Systems”, 2nd. ed., Prentice Hall, NJ, ,
1996.
[2] Métodos Analíticos para a Sínteses de Controladores em
sistemas de potência, tese de Doutorado, Alexandre
Sanfelice Bazanella
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