Este documento descreve o cálculo da região de atração de um sistema não linear, especificamente de um pêndulo. Primeiro, apresenta os conceitos-chave de estabilidade assintótica global e região de atração. Em seguida, descreve como usar funções de Lyapunov para estimar a região de atração, mostrando exemplos de funções de Lyapunov e suas curvas de nível. Finalmente, aplica este método ao caso específico de um pêndulo, calculando sua região de atração estimada.

1. ESTIMATIVA DA REGIÃO DA ATRAÇÃO DE UM SISTEMA NÃO LINEAR
(PÊNDULO)
Manuel Ricardo Vargas Ávila
Manuel06_20@hotmail.com
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica
ELE222- Sistemas Não Lineares
RESUMO: O presente documento consiste em um Para fazer o estudo dos pontos de equilíbrio nos
relato das atividades desenvolvidas durante os capítulos sistemas não lineares, se presentam diferentes métodos
3,4 do libro NONLINEAR SYSTEM de Hassan K. Khalil de Lyapunov para o analises de estabilidade.
da disciplina do Programa de Pós-Graduação em
Engenharia Elétrica -sistemas não lineares, o qual 2 BASE TEÓRICA
consiste na determinação da região real e sua estimativa
de atração de um sistema não linear. Será feita uma
breve introdução dos principais conceitos envolvidos 2.1 ESTABILIDADE ASINTOTICA GLOBAL
sobre a região de atração de um sistema não linear e a DOS PONTOS DE EQUILIBRIO
obtenção de seu estimativa a partir de uma função de
Lyapunov definida. Em seguida, será feito um Considerando um sistema autônomo3:
desenvolvimento teórico da estabilidade assintótica
global, a determinação de uma função de lyapunov e, ̇ ( ) (1)
consequentemente, uma vez definido a estabilidade
assintótica global no sentido Lyapunov, é mostrado a Definido para todo no domínio
determinação da estimativa da região da atração a partir
das diferentes equações de lyapunov propostas e Um ponto no espaço de estados é chamado
comparadas com a região de atração real. Finalmente, ponto de equilíbrio da equação (1) se tem a propriedade
serão mostrados e discutidos os resultados a traves de de que quando o estado inicial do sistema é o estado
gráficos e simulações com simulink. permanece em em todo tempo futuro.
PALAVRAS-CHAVE: Região de atração, matriz
Um ponto de equilíbrio de (1) é assintoticamente
jacobiana, função de Lyapunov, Matlab.
estável se todas as soluções que se iniciam nas
cercanias dele tende a 0 quando o tempo tende a infinito.
O que a gente quer dizer é:
1 INTRODUÇÃO
 É assintoticamente estável si para todo
No relatório anterior chamado Analisis de estabilidade no , existe um ( ) tal que
sentido lyapunov de uma gerador síncrono conectado a
uma barra infinita , a gente podem definir a estabilidade ‖ ( )‖ ( )
dos pontos de equilíbrio a partir dos métodos de
lyapunov1. Agora tendo definido os diferentes tipos de
estabilidade a gente deve centrar-se no caso quando o
ponto de equilíbrio é assintoticamente estável2 para
poder falar da região de atração. A região de atração
também chamada região de estabilidade assintótica, está
definida como o conjunto de todos os pontos tal que
( ) . Encontrar uma região de atração
analiticamente exata poderia ser difícil mais não
impossível. Neste relatório a gente vai poder olhar que as
funções de lyapunov que satisfazem as condições de
estabilidade assintótica sobre um domínio D podem ser
Figura 1. Ponto de equilíbrio em com trajetória solução para
usadas para estimar a região de atração, que é encontrar o caso: assintóticamente estável.
um conjunto contendo na região de atração real.
1
Método direto e indireto de Lyapunov
2
Um PE é assintoticamente estável si para todo ,
3
existe um ( ) tal que ‖ ( )‖ e ( ) tende a 0 Um modelo é chamado autônomo quando não
quando . depende de
1

2. Teorema 1: Seja um ponto de 2quilíbrio do O problema pode não ser só a pesquisa de uma
sistema não linear dado por (1) e seja um função de Lyapunov sino a pesquisa de aquela que
domínio que contém o origem. Seja uma assegure a maior região de atração.
função continua diferençável tal que:
2.3 FUNÇÃO DE LYAPUNOV
( ) e ( ) em { } (2)
̇( ) em (3)
Lyapunov demostro que algumas funções a parte da
Então é estável. Mas se função de energia podem ser usadas para a
determinação da estabilidade do ponto de equilíbrio de
̇( ) em { } (4) um sistema não linear.
Então é assintoticamente estável Aquela função ( ) que satisfaze (2) e (3) se
chama função de Lyapunov. Onde a derivada de
sobre as trajetórias do sistema (1) é chamada derivada
Agora que já tem definido a estabilidade assintótica, orbital, é definida como:
o seguinte passo é definir a região de atração.
̇( ) ̇ ( ) (6)
2.2 REGIÃO DE ATRAÇÃO
Corolário: Seja um ponto de equilíbrio de (1).
Quando no sistema (1) o origem é assintoticamente Seja uma funcao definida positiva
estável, o seguinte conjunto continuamente diferençável sobre o domínio que
contém o origem e ademais ̇ ( ) em D. Seja
{ | ( ) } { | ̇( ) } Se nenhuma trajetória solução de
(1) que entra na região fica ali indefinidamente, a
Se chama a região de atração. menos que seja a solução trivial, então o origem é um
ponto de equilíbrio assintoticamente estável. [1]
O conjunto está formado por todos os pontos que
verificam que as trajetórias que começam em eles Si a função de Lyapunov cumpre a condições de
convergem ao origem. Encontrar a região de atração não estabilidade assintótica, então a gente pode fazer uma
é fácil, mas existem formas de fazer uma estimação. estimação da região de atração a partir da equação de
Lyapunov.
As funções de Lyapunov que satisfazem o teorema
1 podem ser usadas para estimar a região de atração.
Para que uma região seja uma estimativa da RA4, deve
ser um conjunto invariante positivo, é dizer, toda trajetória 3. DETERMINAÇÃO DA REGIÃO DE
que comece no conjunto deve permanecer dentro dele
em todo tempo futuro. A estimativa mais simples da RA é
ATRAÇÃO ESTIMADA DO PENDULO
o conjunto:
{ | ( ) } (5)
Quando é delimitado e está contendo no
domínio D.
Então uma estimativa da RA é um conjunto
tal que toda trajetória que comece em ele tende ao
origem quando . Figura3. Pendulo
Usando a segunda lei de newton a gente pode
escrever a equação de movimento na direção tangencial:
̈ ̇
Onde é a massa da bola, é a longitude do braço,
é o ângulo entre a vertical e o braço, é a aceleração
da gravidade, e é o coeficiente de fricção.
Figura2. Curvas de nível de uma função de Lyapunov ̇
Pegando como variáveis de estado e
a gente pode escrever as equações de estado
4
Região de atração
2

3. ̇ A gente vai encontrar a matriz (9) e vai definir 2
matriz definidas positivas , e com ela vamos encontrar
2 funções de Lyapunov.
̇ ( )
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ̇] ( )
As constantes são definidas:
 Candidata 1
[ ]
Agora vamos encontrar a solução da equação (11).
Então as equações de estados ficam:
̇ (7)
[ ][ ] [ ][ ] [ ]
̇ ( ) (8)
Fazendo a solução:
Os pontos de equilíbrio do sistema fazendo ( ̇
̇ ) são ( ) A gente pode olhar [ ] (12)
que os pontos de equilíbrio (0,0) e ( ,0) são triviais é os
demais são repetições. Fisicamente a gente pode olhar Agora com (12) a gente pode encontrar a função
que o ponto de equilíbrio de quadrática (10)
[ ] [ ] É estável ( ) (13)
Agora com (6) a gente pode encontrar seu derivada
Enquanto o ponto de equilíbrio
orbital.
[ ] [ ] É instável. ̇( ) (14)
3.1 FUNÇÃO DE LYAPUNOV  Candidata 2
Seja a matriz jacobiana [ ]
( )| (9) Agora vamos encontrar a solução da equação (11).
Se (8) é Hurtwitz5, então sempre podemos
encontrar uma função de Lyapunov quadrática.
[ ][ ] [ ][ ] [ ]
( ) (10)
Fazendo a solução:
Encontrando a solução da equação de Lyapunov
(11) [ ] (15)
para alguma matriz definida positiva . Agora com (15) a gente pode encontrar a função
de quadrática (10)
Por tanto si (9) é Hurtwitz a gente pode sempre
estimar a RA do origem. ( ) (16)
5
Uma matriz é Hurtwitz, si e só si para qualquer
existe que satisfaça a equação de
Lyapunov.
3

4. Equação (19)
Agora com (6) a gente pode encontrar seu derivada Z2=-0.1*Y.^2;
orbital.
contour(X,Y,Z1,[1.98,0]);
hold on
̇( ) (17) contour(X,Y,Z2,[0,0]);
grid
 Candidata 3 (equação de energia)
{ ( ) }
( ) ( ) (18) 3.3 DETERMINAÇÃO DA REGIÃO DE
Agora com (6) a gente pode encontrar seu derivada
ATRAÇÃO REAL
orbital.
̇( ) (19)
3.2 DETERMINAÇÃO DA REGIÃO DE
ATRAÇÃO ESTIMADA
 Candidata 1
[X1,Y1] = meshgrid(-1:.1:1, -1:.1:1);
Equação (13) Figura4. Determinação da região real (reta tangencial a
Z11=X1*Y1+(10.05*X1.^2)+10*Y1.^2; trajetória)
Equação (14)
Z22=-(Y1.^2)+(20*X1.*Y1)-(sin(X1).*X1)-
(20*Y1.*sin(X1)); ( )
contour(X1,Y1,Z22,[0,0]);
hold on Onde:
contour(X1,Y1,Z11,[16,0]);
grid
= Ponto de equilíbrio instável
= cada uno dos auto vetores associados a
{ ( ) } cada um dos autovalores com parte real
negativa.
 Candidata 2 = Constate pequena que me define que tanto
se aleja do ponto de equilibro a reta tangencial
[X11,Y11] = meshgrid(-1.5:.1:1.5, -1.5:.1:1.5);
a trajetória.
Equação (16)
Z111=10*X11*Y11+(60.5*X11.^2)+60*Y11.^2;
 [ ]
Equação (17)
Z222=-(2*Y11.^2)+(120*X11.*Y11)-
(10*sin(X11).*X11)-(120*Y11.*sin(X11)); ( )
contour(X11,Y11,Z111,[310,0]);
hold on ( ) [ ] [ ] [ ]
contour(X11,Y11,Z222,[0,0]);
grid
( ) [ ] (20)
{ ( ) }
 Candidata 3 (equação de energia)
( )
[X,Y] = meshgrid(-5:.1:5, -5:.1:5); ( ) [ ] [ ] [ ]
Equação (18)
Z1=(0.5*Y.^2)+(1-cos(X));
4

5. ( ) [ ] (21) 1.5

1
[ ]
0.5
( )
0
( ) [ ] [ ] [ ] -0.5
-1
( ) [ ] (22) -1.5
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
Figura7. Região de atração da candidata 2
( )
( ) [ ] [ ] [ ] 5
4
3
( ) [ ] (23) 2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Figura8. Região de atração da candidata 3
5
4
3
Figura5. Simulação do sistema ̇ ( ) para cada uma das 2
condições iniciais (20,21,22,23). 1
0
-1
4. SIMULAÇÕES -2
-3
-4
1
-5
0.8 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0.6
Figura9. Região de atração real vs cada uma das regiões
0.4
estimadas.
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Figura6. Região de atração da candidata 1
5

6. 5. CONCLUSÕES
 O problema não é encontrar uma função de
Lyapunov qualquer, o problema é encontrar uma
função de Lyapunov que garantisse a maior
região de atração estimada. De acordo a figura
9, a candidata que assegura a maior região de
atração é a função de energia.
 A minudo, não é suficiente determinar que um
sistema tem pontos de equilibro asintoticamente
estável. Por tanto é importante encontrar a
região do ponto ou al menos uma estimativa
dele. Seu conhecimento permite que o trabalho
de um engenheiro de controle se centre em
chegar a este conjunto e logo a propriedade de
estabilidade regulara por se só o sistema.
6. REFERÊNCIAS
[1] H. Khalil, ”Nonlinear Systems”, 2nd. ed., Prentice Hall, NJ, ,
1996.
[2] Métodos Analíticos para a Sínteses de Controladores em
sistemas de potência, tese de Doutorado, Alexandre
Sanfelice Bazanella
6