1) O documento discute a transformada Z, que é uma ferramenta matemática amplamente utilizada no estudo de sistemas de tempo discreto. 2) A transformada Z pode ser entendida como o equivalente discreto da transformada de Laplace para sistemas contínuos, e está relacionada também às transformadas de Fourier e Laplace. 3) O documento apresenta brevemente a história e definição formal da transformada Z, além de técnicas para discretização de sistemas contínuos como a transformação de Tustin.

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Decifrando a transformada Z
Conference Paper · September 2010
DOI: 10.13140/2.1.4236.6088
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Danny Augusto Vieira Tonidandel
Universidade Federal de Ouro Preto
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2. DECIFRANDO A TRANSFORMADA Z
Danny Augusto Vieira Tonidandel∗
∗
Programa de Pós-graduação em Engenharia Elétrica - PPGEE
Universidade Federal de Minas Gerais - UFMG
Belo Horizonte, Minas Gerais, Brasil
Email: tonidandel@ufmg.br
Abstract— A widely used mathematical tool in the study of discrete-time systems is the Z-transform. It can
be understood as the discrete-equivalent to the Laplace transform, although an intimate connection between Z,
Laplace and Fourier transforms exists. Among its advantages, a large class of functions that does not have Fourier
transform, for example, have Z-transform. An attempt to make easy the integration of topics concerned with
the transform techniques, a historic approach combined with a mathematical view of Z-transform is presented.
In addition, techniques of system discretization are described, such as the Tustin transform, and an example is
presented.
Keywords— Z-transform, Bilinear transform, System Discretization, Residues, Laurent Series, Tustin trans-
form.
Resumo— Uma ferramenta matemática largamente utilizada no estudo de sistemas de tempo discreto é a
transformada Z. Ela pode ser entendida como o equivalente discreto à transformada de Laplace no caso contı́nuo,
mas pode-se mostrar uma ı́ntima relação entre ela e as transformadas de Laplace e Fourier. Entre suas vantagens
está o fato de que uma grande classe de funções que não possuem transformada de Fourier por exemplo, possuem
a transformada Z. Na tentativa de auxiliar a integração de conhecimentos com relação às diversas técnicas de
transformação, são apresentados alguns traços históricos juntamente com uma definição matemática rigorosa da
transformada Z. Em seguida, são mostradas algumas técnicas para discretização de sistemas contı́nuos, como a
transformação de Tustin, além de exemplos de aplicação.
Palavras-chave— Transformada Z, transformação Bilinear, Discretização de Sistemas, Resı́duos, Séries de
Laurent, transformação de Tustin.
1 Introdução
1.1 O conceito de transformada
Em engenharia, a ideia por trás do nome
“transformada”consiste basicamente em uma ope-
ração matemática que tem por finalidade promo-
ver algum tipo de simplificação. Dessa forma, o
logaritmo consiste, provavelmente, na ferramenta
mais antiga de que se tem notı́cia cujo conceito
se aproxima da ideia de transformada, uma vez
que transforma multiplicações e divisões em so-
mas e subtrações, além de ser útil na resolução
de equações cujos expoentes são desconhecidos
(Boyer, 1974). Em verdade, o conceito das trans-
formadas vai muito além dos logaritmos no con-
texto da engenharia, em que desempenham papel
importante. Entre as mais conhecidas (e com cer-
teza mais utilizadas) figura a transformada Z.
1.2 Por que Z?
A transformada Z é um método operacio-
nal muito útil no tratamento de sistemas (de
tempo) discretos. Seu nome já é em si incomum,
por se tratar de uma letra do alfabeto e não o
nome de algum cientista famoso. Sabe-se que
a transformada de Laplace (Pierre-Simon de La-
place (?1749 † 1827)) tem sido usada desde longa
data na solução de equações diferenciais contı́nuas
e invariantes no tempo. Entretanto, métodos para
o tratamento de problemas de tempo discreto são
relativamente recentes. De acordo com (Strum
and Kirk, 1994), um método para a resolução de
equações de diferenças lineares e invariantes no
tempo foi apresentado por Gardner e Barnes, aos
seus alunos de engenharia no ı́nicio da década de
1940. Eles aplicaram tal procedimento, que era
baseado principalmente em “jump functions”1
, na
resolução de linhas de transmissão e aplicações en-
volvendo funções de Bessel. Tal abordagem era
bastante complexa, e, na tentativa de“dividir para
simplificar”, uma transformação de um sinal amos-
trado foi proposta em 1947 por Witold Hurewicz
(?1904 † 1956) (Kuperberg, 1996). Tal transfor-
mação era escrita como função da sequência amos-
trada f (no domı́nio do tempo) ao invés do número
complexo z da notação moderna (definição 1.1):
T {f[kT]} ,
∞
X
k=0
f(kT)ζ−k
. (1)
Em 1952, cinco anos após a tentativa de Hu-
rewicz, a transformação foi batizada de “transfor-
mada Z” pelo “Sampled-data control group”, lide-
rada por John Ralph Raggazini (?1912 † 1988),
com Eliahu Ibrahim Jury (que, na época, era
aluno de doutorado de Raggazini, mas que acabou
sendo um dos principais desenvolvedores da teo-
ria), Lotfi Zadeh (famoso pela criação da lógica
Fuzzy) e colaboradores da Columbia University,
1funções usadas para representar uma sequência de da-
dos amostrados.
663

3. com o artigo “The Analysis of sampled-Data Sys-
tems” (Ragazzini and Zadeh, 1952), considerado
por muitos como o trabalho pioneiro sobre a trans-
formada Z. E, segundo o próprio Zadeh, o termo
“Z” foi utilizado simplesmente porque era pouco
usado no contexto da engenharia elétrica. A trans-
formada Z pode ser definida como (Oppenheim
et al., 1997):
Definição 1.1 (Transformada Z) A transfor-
mada Z de um sinal x(t), ou de uma sequência de
valores amostrados x(nT), com perı́odo de amos-
tragem T (ou simplesmente x(n) denotando a n-
ésima amostra), é definida pela equação:
Z[x(n)] ,
∞
X
n=−∞
x(n)z−n
= X(z) . (2)
A transformada Z definida pela equação 2 é cha-
mada de transformada Z bilateral, já que consi-
dera −∞ < t < ∞ (a transformada Z unilateral
considera 0 < t < ∞), e o sı́mbolo “Z” é um ope-
rador linear, que indica “transformada Z de”.
2 Base matemática
2.1 Séries de Laurent
Formalmente, a transformada Z é uma ope-
ração que transita entre um espaço de funções dis-
cretas e um espaço de funções analı́ticas e comple-
xas. O elemento que faz a ligação entre eles é a
série de Laurent, em homenagem ao matemático
francês Pierre Alphonse Laurent (?1813 † 1854):
Teorema 1 (Série de Laurent) Se f(z) é uma
função analı́tica, com r1 < |z − z0| < r2, então
f pode ser expandida em uma série de potências
negativas e não-negativas com centro em torno de
zo:
f(z) =
∞
X
n=−∞
ak(z − zo)
−k
, (3)
em que γ ⊂ Γ (γ é um caminho qualquer) e,
ak =
1
2πi
I
γ
f(ζ)
(ζ − z0)
k+1
dζ . (4)
Ou ainda, escrevendo de maneira expandida:
f(z) =
∞
X
k=0
ak(z − zo)
−k
+
∞
X
k=1
bk
(z − zo)
k
. (5)
O primeiro somatório é a expressão familiar da sé-
rie batizada em homenagem ao matemático Brook
Taylor (?1685†1731); a segunda envolve potências
negativas em z −z0, o que dá a natureza da singu-
laridade (dos polos ou zeros). Esta série converge
em um anel Γ limitado pelos raios r1 e r2 com o
centro em z0, como ilustra a figura 1, chamado de
região de convergência da série de Laurent. Em Γ
a função f(z) é analı́tica, contudo, em pontos fora
de Γ ela pode ter singularidades.
γ
Kr2
r1
Γ
z0
}
~
Figura 1: Região de convergência da série de Lau-
rent.
2.2 Resı́duos
Um consequência importante das séries de
Laurent é o conceito de resı́duos (Ávila, 2000). O
resı́duo de uma função analı́tica f(z) em um ponto
z = z0 é o coeficiente b1 da potência 1/(z − z0) da
sua expansão em série de Laurent, a qual converge
próximo de z0, com exceção de z0. Por exemplo,
se uma função f(z) possui apenas um polo z0 em
um cı́rculo de raio r1 (ou outro caminho qualquer),
o resı́duo de f(z) é dado por:
Res [f(z)]z=z0
=
1
2πj
I
r1
f(z)dz . (6)
O que fornece um método de integração elegante e
poderoso, para o cálculo de uma integral ao longo
de um caminho (neste caso, r1) que envolve curvas
fechadas em C (conjunto dos números complexos).
Entretanto, pode-se estender o conceito para re-
solver integrais reais em um intervalo 0 ≤ θ ≤ 2π,
fazendo-se z = ejθ
(i.e., dentro de um cı́rculo uni-
tário, já que

5. ejθ

7. = 1). Ainda, pode-se usar o
método dos resı́duos para resolver integrais reais
dentro do intervalo −∞ ≤ t ≤ ∞. Para isto, basta
considerar um intervalo −R ≤ t ≤ R, criando-se
um semi-circulo |z| = R. Ao fazer-se R → ∞,
obtém-se a parte real (da integral) de f(z), i.e, a
integral de f(t) para o intervalo considerado. Uma
fórmula comum para o cálculo de resı́duos é:
Res [f(z)]z=z0
=
1
(m−1)! limz→z0
n
dm−1
dzm−1 [(z − z0)
m
f(z)]
o
, (7)
em que m é a ordem do polo de f(z). Da equa-
ção 6 pode-se perceber que toda a integral em um
caminho fechado γ com p polos z0, z1, . . . , zp−1 de
ordem m pode ser resolvida como a simples soma
de resı́duos:
I
γ
f(z)dz = 2πj
p−1
X
k=0
Res [f(z)]z=zk
. (8)
A equação 8 consiste essencialmente no “Teo-
rema do Resı́duo”. A designação “resı́duo” foi
introduzida em 1826 por Augustin Louis Cauchy
(?1789 † 1857), para a diferença dos integrais de
uma função sobre dois caminhos diferentes, com
as mesmas extremidades, delimitando uma região
onde a única singularidade é o polo da função. O
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