1. TEORIA DE C´OPULAS APLICADA AO
C´ALCULO DO VALOR EM RISCO
Rog´erio de Almeida Domingues
Orientador: Prof. Dr. Vladimir Belitsky
IME-USP
Agosto, 2014

2. GEST˜AO DE RISCOS
Risco ´e definido como a possibilidade de ocorrer algum acontecimento
desfavor´avel. Mais especificamente, ´e a possibilidade de perda financeira.
Tipos de Riscos
Cr´edito:
Perdas com devedores;
Operacional:
Perdas com sistemas inadequados, falha da gerˆencia, controles
defeituosos, fraude;
Financeiro:
Perdas decorrentes de mudan¸cas nos pre¸cos e nas taxas do mercado
financeiro;
Outros

3. CARTEIRA DE ATIVOS E RETORNO
Em finan¸cas uma carteira ´e a composi¸c˜ao de N ativos (A1, .., AN ) de
investimentos (a¸c˜oes).
Onde Pi,t ´e o
pre¸co do ativo i no dia t, Qi,t a quantidade do ativo do ativo Ai no dia t
e Tc,t o total da carteira no dia t.
O retorno da carteira c no dia t ser´a: Rc,t =
N
i=1 wi,tRi,t

4. EXEMPLO DE UMA CARTEIRA
Exemplo de uma carteira hipot´etica composto por 2 ativos:
Ativo (Ai ) Quantidade (Qi ) Pre¸co (Pi ) Valor (Vi ) Peso (wi )
A1 2500 24,00 60.000,00 60%
A2 2000 20,00 40.000,00 40%
Total Tc R$ 100.000,00
Simula¸c˜ao de um dia de mercado para a carteira:
Data Dia (t) Pre¸co de A1 Pre¸co de A2
01/01/2000 t − 1 24,00 20,00
02/01/2000 t 23,60 20,15
Retorno -1,67% 0,75%
Rc,t = w1R1,t + w2R2,t = 60%(−1, 67%) + 40%(0, 75%) = −0, 70%
Em valor monet´ario ser´a:
Tc,t ∗ Rc,t = 100.000, 00(−0, 70%) = −700, 00

5. RISCO FINANCEIRO - VaR
O VaR ou Value-at-Risk (Valor em Risco) ´e uma medida de risco e pode
ser definida como o valor da perda m´axima prov´avel do valor de uma
carteira de ativos.
Defini¸c˜ao Formal:
Dado um n´ıvel de confian¸ca p ∈ (0, 1), VaRp(X) ´e o limiar tal que a
vari´avel aleat´oria X assume valor menor ou igual que VaRp(X) com a
probabilidade 1 − p.
Supondo por exemplo p = 0.95, podemos dizer que:
Temos 95% de certeza de que n˜ao perderemos mais que 0,7% do total
da carteira no pr´oximo 1 dia.

6. M´ETODOS PARA C´ALCULO DO VaR
Existem diversos m´etodos para c´alcular o VaR, os m´etodos abordados
nesse trabalho ser˜ao:
VaR Delta-normal
No modelo Delta-normal assume-se que os retornos financeiros (R)
s˜ao normalmente distribu´ıdos, o valor do retorno de perda m´axima
R∗
, ser´a: Prob(R ≤ R∗
) = 1 − p = Prob(Z ≤ z)
Pode-se obter a normaliza¸c˜ao de R∗
, fazendo z = R∗
−µ
σ .
R∗
= zσ + µ = VaRp(R)
VaR por Simula¸c˜ao Hist´orica
No modelo por simula¸c˜ao hist´orica o VaRp(R) ser´a o 1 − p quantil
da distribui¸c˜ao real de retornos.
VaR com Fun¸c˜ao C´opula

7. VALIDAR UM MODELO DE VaR (Backtesting)
O nome dado ao processo de valida¸c˜ao de um modelo de VaR ´e
Backtesting, seu objetivo ´e verificar se o n´umero de vezes em que o
retorno real da carteira excede o VaR est´a de acordo com o n´ıvel de
confian¸ca adotado.
Seja N o n´umero de observa¸c˜oes da amostra, e Ri o retorno emp´ırico da
carteira referente `a observa¸c˜ao i, pode-se calcular o n´umero de excessos
E da seguinte maneira:
E =
N
i=1
1I {Ri < VaRp(R)} (1)
Onde 1I ´e a fun¸c˜ao indicadora.
Um bom modelo apresenta a seguinte caracter´ıstica:
lim
N→∞
(
E
N
) = 1 − p (2)

8. C´OPULAS
Uma c´opula C ´e uma fun¸c˜ao multivariada com distribui¸c˜oes marginais
uniformemente distribuidas em [0, 1] tal que:
1) C : [0, 1]n
→ [0, 1]
2) C tem fun¸c˜oes marginais Ci , tal que
Ci (u) = C(1, ..., 1, u, 1, ..., 1) = u ∀u ∈ [0, 1]
Teorema de Sklar: F(x1, ..., xn) = C(F1(x1), ..., Fn(xn))
onde F ´e uma fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao n-dimensional com fun¸c˜oes marginais
F1, ..., Fn
Corol´ario do Teorema de Sklar:
C(u1, ..., un) = F(F−1
1 (u1), ..., F−1
n (un)) ∀ u = (u1, ..., un) ∈ [0, 1]n
.

9. FAM´ILIAS DE C´OPULAS
Abordando o caso bivariado teremos:
C uma fun¸c˜ao c´opula e θ parˆametro que quantifica o grau de dependˆencia
(coeficiente de correla¸c˜ao) entre as distribui¸c˜oes marginais.
C(u1, u2, θ)
C´opulas El´ıptica
Derivadas a partir de distribui¸c˜oes el´ıpticas
C´opula Normal (Gaussiana)
C´opula t-Student
C´opulas Arquimedianas
Derivadas de uma fun¸c˜ao geradora ϕ(.) espec´ıfica para cada c´opula.
C´opula Gumbel
C´opula Clayton
C´opula Frank

10. FAM´ILIAS DE C´OPULAS EL´IPTICAS
Resultam diretamente do Teorema de Sklar onde C ´e uma distribui¸c˜ao
el´ıptica e as distribui¸c˜oes marginais podem ou n˜ao ser el´ıpticas.

11. FAM´ILIAS DE C´OPULAS ARQUIMEDIANAS
Obtidas a partir de uma fun¸c˜ao geradora ϕ(.) espec´ıfica para cada c´opula.
C(u, v) = ϕ−1
(ϕ(u) + ϕ(v))

12. ESTIMAC¸ ˜AO DOS PARˆAMETROS DA C´OPULA
A principal metodologia de estima¸c˜ao utilizada ´e o m´etodo da m´axima
verossimilhan¸ca (MV), e esta estima¸c˜ao pode ser feita por meio de trˆes
abordagens distintas:
MVE (M´axima Verossimilhan¸ca Exata):
Faz a estima¸c˜ao dos parˆametros das distribui¸c˜oes marginais e da
c´opula de forma simultˆanea.
IFM(Inferˆencia para as Marginais):
1) Obtemos os estimadores dos parˆametros das marginais;
2) Obtemos os estimadores dos parˆametros da c´opula.
MVC (M´axima Verossimilhan¸ca Canˆonica):
1) Estima¸c˜ao das marginais sem assumir qualquer tipo de forma
param´etrica para elas, utilizando suas distribui¸c˜oes emp´ıricas;
2) Posteriormente, estimamos os parˆametros da c´opula atrav´es do
m´etodo da m´axima verossimilhan¸ca.

13. TESTE DE AJUSTE
Um teste de ajuste, de good-of-fit descreve a qualidade do ajuste de um
modelo estat´ıstico e o qu˜ao bem ele se encaixa um conjunto de
observa¸c˜oes.
H0 : C ∈ C0 (C0 a fam´ılia que se deseja verificar se a c´opula C faz parte.)
Vers˜oes dos testes de Cram´er-von Mises e Kolmogorov-Smirmov.
No software R, dentro do pacote c´opula a fun¸c˜ao gofCopula realiza estes
testes.

14. C´OPULAS PARA ESTIMAR O VAR
Etapas para o c´alculo do VaR de uma carteira utilizando c´opulas:

15. APLICAC¸ ˜AO A DADOS REAIS
O teste emp´ırico deste trabalho foi dividido da seguinte forma:

16. DEFINIC¸ ˜AO DA CARTEIRA DE TESTE
Foram selecionados pre¸cos de fechamento di´arios das a¸c˜oes
PETR4,VALE5 de Jan/2010 at´e jan/2014.

17. DADOS DA CARTEIRA
Estat´ıstica descritiva das s´eries de retorno
VALE PETR
M´edia -0.0003 -0.0008
Erro Padr˜ao 0.0006 0.0006
Mediana 0.0000 0.0000
Desvio Padr˜ao 0.018 0.0201
Variˆancia 0.0003 0.0004
Curtose 4.7095 4.9817
Intervalo 0.168 0.1827
Min -0.0962 -0.0966
Max 0.0718 0.0862
Contagem 1000 1000
Medidas de dependˆencia entre as s´eries de retorno
Coef. Valor
pearson 0.541849
kendall 0.375226
spearman 0.528964

18. DISTRIBUIC¸ ˜OES MARGINAIS
Parˆametros estimados das marginais dos retornos - VALE e PETR

19. DISTRIBUIC¸ ˜OES MARGINAIS - PETR
Gr´aficos e resultados dos testes de Kolmogorov-Smirnov - PETR.

20. DISTRIBUIC¸ ˜OES MARGINAIS - VALE
Gr´aficos e resultados dos testes de Kolmogorov-Smirnov - VALE.

21. DETERMINAC¸ ˜AO DA FUNC¸ ˜AO DE C´OPULA
Os parametros estimados e resultados do m´etodo IFM:
Normal t-Student Clayton Gumbel Frank
parˆametro 0.5460 0.5527 0.8584 1.5230 3.8846
Std. Error 0.0195 0.0219 0.0595 0.0380 0.2156
loglikelihood 177.00 185.60 147.40 161.20 168.80
df 7.9698
Teste de adapta¸c˜ao - goodness-of-fit:
Normal t-Student Clayton Gumbel Frank
statistic 0.0101 0.0104 0.0238 0.0243 0.0193
parameter 0.4990 0.0300 0.1370 1.1860 1.9190
p-value 0.9575 0.9665 0.3581 0.3232 0.3721

22. DETERMINAC¸ ˜AO DA FUNC¸ ˜AO DE C´OPULA
Gr´aficos comparativos entre retornos emp´ıricos e retornos c´opula

23. DETERMINAC¸ ˜AO DA FUNC¸ ˜AO DE C´OPULA
Gr´aficos das curvas de n´ıvel das c´opulas geradas

24. C´ALCULO DO VAR
Definir a carteira com pesos wi constantes, os pesos ser˜ao 50%
PETR e 50% VALE5 , calcularemos o VaR95% e VaR99% da carteira.

25. RESULTADOS
Gr´afico da simula¸c˜ao para o Var99%

26. RESULTADOS
Gr´afico da simula¸c˜ao para o Var95%

27. VALIDAC¸ ˜AO DO MODELO - VaR
Resultado do Backtesting
C´opula t Simula¸c˜ao Hist´orica Delta Normal
Qt % Qt % Qt %
VaR99% 6 0.8% 7 0.9% 9 1.2%
VaR95% 32 4.3% 33 4.4% 26 3.5%

28. OBSERVAC¸ ˜OES E CONCLUS˜AO
O n´umero de janelas e amostras tamb´em podem ser extrapolados.
Testes com outras c´opulas.
Teoria de c´opulas tamb´em se aplica a outros tipos de risco, como o
de cr´edito, o operacional e o integrado.
Adaptar modelos para a Volatividade (ARCH , GARCH).
O modelo de c´opula pode ser utilizado como m´etodo para c´alculo do
VaR de uma carteira de a¸c˜oes.
A teoria de c´opulas ´e uma ferramenta de grande importˆancia para
a gest˜ao de riscos financeiros devido a sua grande flexibilidade de
modelagem