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AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM EM PROCESSO


COMENTÁRIOS E
RECOMENDAÇÕES
 PEDAGÓGICAS
            Subsídios para o
        Professor de Matemática




     1ª série do Ensino Médio

       Prova de Matemática




               São Paulo
          1° Semestre de 2013
Avaliação da Aprendizagem em Processo

                       APRESENTAÇÃO

                       A Avaliação da Aprendizagem em Processo se caracteriza como ação desenvolvida
                       de modo colaborativo entre a  Coordenadoria de Informação, Monitoramento
                       e Avaliação Educacional e a Coordenadoria de Gestão da Educação Básica, que
                       também contou com a  contribuição de um grupo de Professores do Núcleo
                       Pedagógico de diferentes Diretorias de Ensino.

                       Iniciada no segundo semestre de 2011, a aplicação foi voltada para o 6°ano do
                       Ensino Fundamental e 1ª série do Ensino Médio. No primeiro e segundo semes-
                       tres de 2012, as provas abrangeram os 6° e 7° anos do EF e as 1ª e 2ª séries do EM.
                       Para o primeiro semestre de 2013, envolverá todos os anos e séries dos Ensinos
                       Fundamental e Médio.
                       Essa ação, fundamentada no Currículo Oficial da SEE, dialoga com as habilidades
                       contidas nas Matrizes de Referência para a Avaliação (SARESP, SAEB, ENEM) e tem
                       se mostrado bem avaliada pelos educadores da rede estadual. Propõe o acom-
                       panhamento coletivo e individualizado ao aluno, por meio de um instrumento
                       de caráter diagnóstico e se localiza no bojo das ações voltadas para os proces-
                       sos de recuperação, a fim de apoiar e subsidiar os professores de Língua Portu-
                       guesa e de Matemática que atuam no Ciclo II do Ensino Fundamental e no Ensino
                       Médio da Rede Estadual de São Paulo.

                       Além da formulação dos instrumentos de avaliação – na forma de cadernos de
                       provas para os alunos – também foram elaborados documentos específicos de
                       orientação para os professores – Comentários e Recomendações Pedagógicas –
                       contendo o  quadro de habilidades, gabaritos, itens, interpretação pedagógica
                       das alternativas, sugestões de atividades subsequentes às análises dos resulta-
                       dos e  orientação para aplicação e  correção das provas de redação. Espera-se
                       que, agregados aos registros que o professor já possui, sejam instrumentos para
                       a definição de pautas individuais e coletivas, que, organizadas em um plano de
                       ação, mobilizem procedimentos, atitudes e conceitos necessários para as ativida-
                       des de sala de aula, sobretudo, aquelas relacionadas aos processos de recupera-
                       ção da aprendizagem.

                                   Coordenadoria de                                  Coordenadoria de Gestão
                              Informação, Monitoramento                                da Educação Básica
                                e Avaliação Educacional




2    Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio
Avaliação da Aprendizagem em Processo – Matemática
As provas e orientações referentes aos 6º e 7º anos do Ensino Fundamen-
tal e 1ª e 2ª séries do Ensino Médio foram reproduzidas com base nas do ano
anterior, tendo em vista que o grupo de alunos avaliados no ano/série em
2013 não será o mesmo que o de 2012. Consideramos uma opção válida, pois
o instrumento foi bem aceito pela rede e as questões bem avaliadas.

Entendemos que as questões apresentadas podem retratar uma parte significa-
tiva do que foi previsto no conteúdo curricular de Matemática e poderão per-
mitir a verificação de algumas habilidades que foram ou não desenvolvidas no
processo de ensino e aprendizagem.

Ressaltamos que, quando alguma questão apresentou problemas tanto de
ordem técnica como pedagógica, ela foi substituída ou modificada.
Para o ano de 2013, a 4ª edição da Avaliação da Aprendizagem em Processo tam-
bém contemplará os anos/séries 8º e 9º anos do Ensino Fundamental e 3ª série
do Ensino Médio.

Para a elaboração dos instrumentos que atenderão os anos/séries incluídos em
2013, mantiveram-se os mesmos critérios estabelecidos anteriormente.

Composição:

1. Anos/séries participantes:
    6º ao 9º anos do Ensino Fundamental;
    1ª a 3ª séries do Ensino Médio.

2. 
   Composição das provas de Matemática:
   10 questões, sendo a maioria objetiva e algumas dissertativas.

3. Matrizes de referência (habilidades/descritores) para a constituição de itens das
    provas objetivas:
    - SARESP;
    
    - SAEB;
    - Caderno do Aluno.

4. 
   Banco de itens:
    - itens constantes de provas já aplicadas (Saresp, Saeb, Prova Brasil, Enem) que
       se refiram a habilidades contempladas no Currículo oficial;
    - tens selecionados a partir da avaliação da rede, após aplicação das provas
       i
       da Avaliação em Processo;
    - tens adaptados/modificados a partir da avaliação da rede, após aplicação
       i
       das provas da Avaliação em Processo.

                                                                       Equipe de Matemática




         Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio     3
AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM EM PROCESSO

                       Matriz de Habilidades

                          Nº do
                                                                          Habilidades
                          item

                             1       Localizar números reais na reta numérica.
                             2       Reconhecer situações que envolvam proporcionalidade.
                             3       Identificar as coordenadas de pontos no plano cartesiano.
                             4       Resolver problemas que envolvam equações com coeficientes racionais.
                                     Identificar a expressão algébrica que expressa uma regularidade observada em
                             5
                                     sequências de números ou figuras.
                                     Resolver problemas em diferentes contextos que envolvam as relações métricas
                             6
                                     dos triângulos retângulos (Teorema de Pitágoras).
                             7       Expressar problemas por meio de equações.
                             8       Ler e interpretar um gráfico cartesiano que indica a variação de duas grandezas.
                                     Resolver problemas que envolvam as operações com números inteiros do campo
                             9
                                     aditivo.
                            10       Identificar as coordenadas de pontos no plano cartesiano.




4    Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio
Habilidade
Localizar números reais na reta numérica.



Questão 1
                Disponha os seguintes números na reta numérica:

                		     √2          11   3,1    -  1 
                                                                          -  3
                                   4              5                          2




-4         -3           -2           -1             0              1             2              3             4


                Resposta correta:




                        Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio     5
Comentários e recomendações pedagógicas
                       Espera-se, nesta etapa de escolarização, que o aluno já tenha ampliado seus
                       conhecimentos a respeito dos conjuntos numéricos e identifique a localização
                       aproximada de números reais na reta numérica. Assim, é esperado que os alu-
                       nos localizem corretamente todos os números que lhes foram solicitados.

                       No entanto, os não acertos não significam, necessariamente, falta de domínio
                       da habilidade avaliada, podendo indicar compreensão parcial da localização
                       dos números reais certamente ainda em construção pelos alunos.

                       Neste sentido, é importante a identificação dos conhecimentos de cada aluno
                       com relação à localização de números reais. A grade a seguir pode auxiliar o
                       professor nessa tarefa, uma vez que ela aponta as possíveis dificuldades do
                       aluno a esse respeito.
                       Grade de correção:

                           Categorias para análise                                  Observação

                        O aluno localiza corretamente
                                                      O professor pode aproveitar para discutir a forma geomé-
                        todos os números reais soli-
                                                      trica da localização do número √2 na reta numérica.
                        citados.
                        O aluno localiza corretamente O professor pode ampliar a noção de números negativos e
                        apenas os números positivos. sua localização na reta numérica.
                                                      O aluno compreende a localização de números represen-
                        O aluno localiza corretamente tados na forma fracionária solicitados. Todavia, é preciso
                        apenas as frações.            ampliar a ideia de localização dos números decimais e raí-
                                                      zes.
                                                      O aluno compreende a localização de números solicitados
                        O aluno localiza corretamente
                                                      representados na forma decimal e de √2, possivelmente
                        apenas o número √2 e o
                                                      pensando na sua aproximação decimal. Todavia, é preciso
                        número 3,1.
                                                      ampliar a ideia de localização de frações.
                                                     O aluno compreende a localização de números racionais.
                                                     Entretanto, encontra dificuldades em identificar números
                        O aluno não acerta somente o
                                                     irracionais. O professor pode aproveitar para ampliar o
                        número √2.
                                                     conceito de números irracionais e o conceito de números
                                                     reais.
                                                      O aluno compreende a localização de números decimais.
                        O aluno localiza corretamente Entretanto, encontra dificuldades para localizar frações e
                        apenas 3,1.                   irracionais. É preciso ampliar o conceito de tais números e
                                                      trabalhar sua localização.
                        O aluno troca a posição dos
                        números negativos (troca a         O aluno pode estar lendo a fração “um quinto negativo”
                                              1            como “um e meio negativo: -1,5”.
                        posição do número        com
                                              5            O professor pode trabalhar mais situações nas quais esse
                                       3
                        a do número      ).                fato possa ser compreendido.
                                       2

                        O aluno errou todas as locali-     O professor pode retomar situações que envolvam a locali-
                        zações ou deixou em branco.        zação de números reais.



6    Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio
Algumas referências

O estudo da temática em questão pode ser complementado ou retomado
observando as propostas apresentadas nos seguintes materiais:

1.	Caderno do Professor: Matemática – Ensino Fundamental – 8ª série (9º ano)
    – Volume 1
	 •  ituação de Aprendizagem 1 – Conjuntos e números (p. 10);
     S
	 •  ituação de Aprendizagem 3 – Aritmética, álgebra e geometria com a reta
     S
     real (p. 31);

2.	Caderno do Professor: Matemática – Ensino Fundamental – 8ª série (9º ano)
    – Volume 4
	 •  ituação de Aprendizagem 1 – A natureza do número Pi (π) (p. 11);
     S
3.	 Matemática – Material do professor – Volume 3
   +
	 •  tividade 3 – Representação e ordenação (p. 16);
    A
	 •  tividade 4 – Oposição e simplificação (p. 23);
    A
	 •  tividade 6 – Números racionais (p. 30);
    A

4.	 xperiências Matemáticas – 6ª série
   E
	 •  tividade 5 – Representação e ordenação (p.63);
     A

5.	 xperiências Matemáticas – 8ª série
   E
	 •  tividade 2 – Ampliando a noção de número (p.29);
     A

6.	 xperiências Matemáticas – 8ª série
   E
	 •  tividade 3 – Conhecendo os radicais (p.43);
     A

7.	 evista Nova Escola
   R
	 •  omo localizar números irracionais em uma reta numérica.
     C
  http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/como-localizar-numeros-
  -irracionais-reta-numerica-494389.shtml. Acesso em 9 fev. 2012.




        Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio     7
Habilidade
     Reconhecer situações que envolvam proporcionalidade.



     Questão 2
                       Uma empresa resolveu dar um aumento de R$ 200,00 para os funcionários. O sa-
                       lário de João passou de R$ 400,00 para R$ 600,00, enquanto o salário de Antônio
                       passou de R$ 1.000,00 para R$ 1.200,00. Houve proporcionalidade no aumento
                       salarial dado aos dois funcionários? Justifique sua resposta.




       Comentários e recomendações pedagógicas
                       Reconhecer proporcionalidade é uma habilidade que permite ao aluno perce-
                       ber variações nas quais as razões permanecem constantes. Isso permite tam-
                       bém que o aluno possa verificar se essas relações são diretas ou inversamente
                       proporcionais. O aluno que domina a habilidade de reconhecer as noções de
                       variação direta e inversamente proporcionais tem maior capacidade de resol-
                       ver problemas e fazer previsões em situações nas quais esse conceito esteja
                       envolvido. Além de ser intuitiva, a noção de proporcionalidade é importante
                       para que o aluno saiba operar e relacionar os valores das grandezas envolvidos.

                       Dependendo de como o aluno foi orientado na resolução de problemas de
                       proporcionalidade, assim como do seu estilo pessoal para interpretar e desen-
                       volver a resolução, diversos modos podem ser observados. É possível que
                       alguns alunos procurem um termo desconhecido, como nos problemas de
                       regra de três, e comparem-no com o valor apresentado na questão. Também
                       pode ser que o aluno faça a comparação das razões entre o valor original e o
                       valor aumentado. De qualquer forma, as anotações dos alunos servirão como
                       uma boa forma de diagnosticar seu conhecimento e sua forma de raciocínio.

                       É importante ressaltar que o raciocínio proporcional ocupa lugar de destaque
                       na aprendizagem de conceitos e procedimentos matemáticos, em especial,
                       quando é introduzida a ideia de funções (tema que será discutido amplamente
                       nesse nível de ensino).

                       Caso o aluno demonstre não dominar a habilidade em questão, sugerimos que
                       o professor recorra a situações-problema que permitam ao aluno refletir sobre
                       a variação de grandezas, como apresentamos exemplarmente nas referências
                       indicadas a seguir.


8    Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio
Grade de correção:

      Categorias para análise                                 Observação

O aluno responde corretamente.
                            400 = 2
Encontra as razões entre
                            600 3     O aluno compreende bem que uma proporção
   1000 = 5            2
e            . Como       é diferente equivale à igualdade entre razões. O professor pode
   1200 6              3
                                      aproveitar para mostrar também outras formas de o
de  5 , conclui que não houve pro-
    6                                 aluno perceber esse fato.
porcionalidade, ou resolve por outras
formas de encontrar as razões.

O aluno responde corretamente. Faz
                                         O aluno compreende a proporcionalidade, indi-
uma relação direta, indicando que, se
                                         cando dominar a habilidade solicitada. O professor
400 está para 600, então 1 000 deve-
                                         pode aproveitar para ampliar outras formas de o
ria estar para 1 500 e conclui que não
                                         aluno perceber esse fato.
houve proporcionalidade.

O aluno responde corretamente. Uti-
liza a noção de porcentagem, veri-       O aluno compreende a proporcionalidade, corres-
ficando que, de R$ 400,00 para R$        pondendo-a à porcentagem, indicando dominar a
600,00 houve um aumento de 50%.          habilidade solicitada. O professor pode aproveitar
Já de R$ 1.000,00 para R$ 1.200,00       para mostrar também outras formas de o aluno per-
houve um aumento de 20%. Logo,           ceber esse fato.
não houve proporcionalidade.

                                         O aluno não compreende proporcionalidade ou não
                                         esteve atento ao enunciado do problema.
O aluno respondeu de forma incor-        A fim de possibilitar tal apropriação, sugerimos que
reta, indicando que houve propor-        o professor proponha situações que solicitem ao
cionalidade, pois houve um aumento       estudante que expresse a variação das grandezas
de R$ 200,00 para os dois funcioná-      envolvidas. Tais proposições podem se utilizar de
rios.                                    diferentes representações: tabelas, gráficos e sen-
                                         tenças algébricas, encontradas nas bibliografias
                                         apresentadas.

                                         O aluno não compreende proporcionalidade ou não
                                         esteve atento ao enunciado do problema.

O aluno respondeu de forma incor-        A fim de possibilitar tal apropriação, sugerimos que
reta, indicando que houve propor-        o professor proponha situações que solicitem ao
cionalidade e justificando de outra      estudante que expresse a variação das grandezas
forma.                                   envolvidas. Tais proposições podem se utilizar de
                                         diferentes representações: tabelas, gráficos e sen-
                                         tenças algébricas, encontradas nas bibliografias
                                         apresentadas.
                                         A fim de possibilitar tal apropriação, sugerimos que
                                         o professor proponha situações que solicitem ao
                                         estudante que expresse a variação das grandezas
O aluno deixa a questão em branco.       envolvidas. Tais proposições podem se utilizar de
                                         diferentes representações: tabelas, gráficos e sen-
                                         tenças algébricas, encontradas nas bibliografias
                                         apresentadas.



           Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio     9
Algumas referências

                         O estudo da temática em questão pode ser complementado ou retomado
                         observando as propostas apresentadas nos seguintes materiais:

                         1.	 aderno do Professor: Matemática Ensino Fundamental – 6ª série (7º ano)
                            C
                            – Volume 3
                         	 •  ituação de Aprendizagem 1 – A noção de proporcionalidade (p. 12);
                              S
                         	 •  ituação de Aprendizagem 2 – Razão e proporção (p. 22);
                              S

                         2.	Caderno do Professor: Matemática – Ensino Fundamental – 6ª série (7º ano)
                             – Volume 4
                         	 •  ituação de Aprendizagem 4 – Proporcionalidade, equações e a regra de
                              S
                              três (p.39);
                         3.	 xperiências Matemáticas – 5ª série
                            E
                         	 •  tividade 36 – Porcentagem / Gráficos (p. 367);
                              A

                         4.	 xperiências Matemáticas – 7ª série
                            E
                         	 •  tividade 8 – Interdependência de grandezas (p. 97);
                              A
                         	 •  tividade 9 – Grandezas proporcionais (p. 113);
                              A
                         	 •  tividade 10 – Regra de três (p. 127);
                              A
                         	 •  tividade 28 – Aplicando a ideia de proporcionalidade (p. 311);
                              A

                         5.	 ovo Telecurso – Matemática – Ensino Fundamental – DVD 5
                            N
                         	 •  ula 46 – Números proporcionais;
                              A
                         	 •  ula 50 – Regras de três;
                              A

                         6.	Vídeo IMPA
                         	 •  rof. Elon Lages Lima – Proporcionalidade
                              P
                            http://video.impa.br/index.php?page=julho-de-2011. Acesso em 09 jan. 2012.

                         7.	 Matemática – Material do professor – Volume 3
                            +
                         	 •  tividade 18 – Interdependência de grandezas (p. 86)
                             A
                         	 •  tividade 19 – Grandezas proporcionais (p. 92)
                             A
                         	 •  tividade 20 – Regra de três (p. 99)
                             A




10    Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio
Habilidade
Identificar as coordenadas de pontos no plano cartesiano.



Questão 3
              Localize os pontos A (-2; 0), B (-6; 2), C (4; -2) e D (0; 4).




                       Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio     11
Resposta:




       Comentários e recomendações pedagógicas
                       A identificação de coordenadas num plano é uma prática que deve ser desen-
                       volvida desde os anos iniciais com o uso de malhas quadriculadas como nos
                       jogos de batalha naval ou nos mapas de identificação de ruas. Nos anos seguin-
                       tes, esses conceitos vão-se ampliando, trabalhando-se as coordenadas a partir
                       de eixos orientados e, com mais aprofundamento, a representação de variação
                       nesse eixo de coordenadas.

                       Nessa questão, o aluno deve marcar no plano cartesiano os pontos indicados.
                       Deve reconhecer que a abscissa do ponto é o primeiro elemento do par e a
                       ordenada é o segundo elemento. Deve ainda trabalhar com números inteiros
                       e reconhecer que abscissa ou ordenada nula implica pontos sobre os eixos
                       ordenados.

                       O professor pode propor aos alunos atividades lúdicas, que podem favorecer
                       a compreensão da necessidade de haver dois eixos para localizar um ponto
                       ou uma região no plano. Reiteramos que o jogo de batalha naval pode ser um
                       exemplo desse tipo de atividade, já que auxilia na compreensão de informações
                       que determinam regiões no plano cartesiano. Todavia, é fundamental assinalar
                       a diferença entre o sistema de eixos cartesianos do sistema utilizado na batalha

12    Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio
naval: no plano cartesiano, as coordenadas indicam pontos ao passo que, na
batalha naval, indicam regiões. Além disso, para não confundir, na batalha, uti-
lizam-se letras para um dos eixos e números para o outro, assim a questão da
ordem fica minimizada. As mesmas considerações devem ser observadas para
os guias de ruas das cidades ou bairros, pois as coordenadas são representadas
por letras e números, referentes à informação horizontal e à vertical.

Grade de correção:

        Categorias para análise                                  Observação

                                               O professor pode aproveitar para discutir a
O aluno posiciona corretamente todos os        construção de figuras geométricas a partir
pontos no plano cartesiano.                    das coordenadas de seus vértices e algumas
                                               propriedades.
                                          O professor pode propor situações nas quais
O aluno troca todos os pontos, invertendo o aluno tenha de localizar pontos no plano
abscissas e ordenadas.                    cartesiano, orientando-o no sentido de
                                          observar essa ordem.
                                          Este é um erro recorrente. Alguns alunos
                                          inclusive apontam todos esses tipos de pon-
O aluno localiza corretamente os pontos tos no centro do plano cartesiano.
cujos pares têm elementos diferentes de O professor pode propor situações nas quais
zero. No entanto, erra os que têm um ele- o aluno tenha de localizar esse tipo de pon-
mento nulo.                               tos no plano cartesiano, orientando-o no sen-
                                          tido de observar que, nesses casos, os pontos
                                          ficam sobre os eixos ordenados.
                                               O professor pode propor situações nas quais
O aluno deixa a questão em branco.             o aluno tenha de localizar pontos no plano
                                               cartesiano.


 Algumas referências

 O estudo da temática em questão pode ser complementado ou retomado
 observando as propostas apresentadas nos seguintes materiais:

 1.	 aderno do Professor: Matemática – Ensino Fundamental - 7ª série (8º ano)
    C
    – Volume 3
 	 •  ituação de Aprendizagem 2 – Coordenadas cartesianas e transformações
      S
      no plano (p.25);

 2.	 xperiências Matemáticas – 7ª série
    E
 	 •  tividade 7 – Coordenadas cartesianas (p.85);
      A

 3.	+ Matemática – Material do professor – Volume 3
 	 •  tividade 17 – Coordenadas cartesianas (Caderno do Professor – p.62);
     A

 4.	 ovo Telecurso – Matemática – Ensino Fundamental – DVD 4
    N
 	 •  ula 36 – Localizando ponto no mapa;
      A


        Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio     13
5.	 ovo Telecurso – Matemática – Ensino Médio – DVD 1
                            N
                         	 •  ula 08 – Plano cartesiano;
                              A

                         6.	 evista Nova Escola
                            R
                         	 •  ocalização de um ponto no plano;
                              L
                         	  bjetivo: Identificar a localização de objetos numa malha quadriculada,
                             O
                             coordenando as informações de dois eixos (linhas e colunas) para determi-
                             nar a localização de um ponto.
                            http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/localizacao-ponto-pla-
                            no-511493.shtml. Acesso em 9 fev. 2012.




      Habilidade
      Resolver problemas que envolvam equações com coeficientes racionais.



      Questão 4
                       Três amigos, Rui, Cláudia e Gustavo foram ao restaurante e gastaram o equivalen-
                       te a R$ 72,00. Ao pagar a conta estabeleceram o seguinte:
                       • Rui pagaria a metade da conta.
                       • Cláudia pagaria a terça parte do que Gustavo pagou.
                       Que valor da conta coube a cada um dos três amigos?



       Comentários e recomendações pedagógicas
                       Uma das grandes necessidades de conhecimentos que os alunos devem
                       demonstrar ao chegar ao ensino médio é o raciocínio algébrico, incluindo
                       reconhecimento de variáveis, cálculo algébrico como soma e multiplicações de
                       polinômios e resolução de alguns tipos de equações.

                       Todos esses conhecimentos, juntamente com as ideias de conjuntos e de varia-
                       ções, são importantes para a construção da noção de funções, ampliando o
                       conhecimento dos alunos.

                       Inclui-se também a compreensão das operações com frações e sua aplicação
                       em contextos algébricos, porque o estudo de funções exponenciais e loga-
                       rítmicas recai, inevitavelmente, em expressões algébricas com coeficientes
                       racionais.

14    Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio
Dessa forma, consideramos que se torna importante diagnosticar o nível de
conhecimento dos alunos em relação a essa habilidade.

Grade de correção:

     Categorias para análise                                 Observação

O aluno responde corretamente.
Escreve a expressão algébrica para
o cálculo dos resultados e encon-       O aluno demonstra compreensão dos cálculos com
tra corretamente o valor que cada       frações e sabe aplicá-los em contextos algébricos.
amigo pagou:                            Ao efetuar corretamente os cálculos algébricos,
                                        o aluno também demonstra raciocínio algébrico.
Cabe a Rui pagar 72 = 36
                   2                    Todavia, há necessidade de discutir a resposta. O
          x                             professor pode solicitar que o aluno crie outras
36 + x +    = 72
          3                             situações-problema relacionadas às mesmas habi-
Rui R$ 36,00                            lidades.
Gustavo R$ 27,00
Cláudia R$ 9,00
O aluno escreveu a expressão algé- O aluno demonstra o conhecimento de frações e
brica para o cálculo dos resultados: sabe aplicá-las em contextos algébricos. Ao efetuar
         x                           corretamente os cálculos algébricos, o aluno tam-
36 + x +    = 72                     bém demonstra raciocínio algébrico.
         3
Calcula corretamente o valor de x, O professor pode retomar a situação-problema,
mas não define o valor dos demais chamando a atenção para o enunciado, de forma
amigos.                              que o aluno possa complementar sua questão.
                                        O aluno demonstra o conhecimento de frações e
                                        sabe aplicá-las em contextos algébricos.
O aluno escreveu a expressão algé-
brica para o cálculo dos resultados: O fato de não resolver tal equação pode estar asso-
                                     ciado aos coeficientes fracionários. É interessante
         x
36 + x +    = 72                     verificar se o aluno resolve equações sem o uso de
         3
                                     frações.
mas resolve incorretamente o valor
de x na equação.                     O professor pode propor outras situações-pro-
                                     blema, inicialmente envolvendo coeficientes intei-
                                     ros e posteriormente com coeficientes fracionários.
O aluno respondeu corretamente o
valor pago por cada um:
                                        O aluno possivelmente utilizou estratégias corretas
Gustavo: R$ 27,00
                                        para chegar ao seu resultado.
Rui: R$ 36,00
                                        É interessante questionar o aluno a respeito de seu
Cláudia: R$ 9,00
                                        raciocínio.
Mas não apresentou os cálculos na
folha de resposta.
O aluno expressou de maneira algé- O aluno compreende a linguagem de frações e a
brica as parcelas referentes a cada aplica na forma algébrica. Porém, ainda não está
amigo:                              seguro quanto à organização de raciocínio algé-
                                    brico.
Rui: 72 = 36 .
     2                              É importante retomar as estratégias de resolução de
Gustavo: x .                        equações do primeiro grau e posteriormente traba-
         x                          lhar com outras situações-problema dessa natureza.
Cláudia:     .
         3
No entanto, não somou as parcelas.



        Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio     15
O aluno expressou de maneira algé-
                        brica as parcelas referentes a cada
                        amigo:                               O aluno compreende a linguagem de frações e a
                        Rui: 72 = 36 .                       aplica na forma algébrica. Porém, ainda não está
                              2                              seguro quanto a organização de raciocínio algé-
                        Gustavo: x .                         brico.
                                  x                          O professor pode retomar a situação em questão,
                        Cláudia:     .
                                  3
                                                             observando a associação entre cada parcela com
                        No entanto, ao somar as parcelas,
                                                             cada um dos amigos e posteriormente trabalhar
                        igualando-as a 72, não inclui o Rui.
                                                             com outras situações-problema dessa natureza.
                             x
                        x+      =72
                             3

                        O aluno não consegue aplicar as fra-       O aluno demonstra não ter domínio no raciocínio
                        ções num contexto algébrico. Escreve       algébrico.
                                   1    1
                        as frações   e , mas de maneira            O professor pode retomar o trabalho de resolução
                                   2    3
                        incompreensível, não relacionada à         de problemas do primeiro grau, utilizando algumas
                        equação que resolveria o problema.         das referências indicadas.
                                                           O aluno demonstra não ter domínio no raciocínio
                                                           algébrico que envolve frações.
                        O aluno coloca números desconecta- É necessário verificar se problemas algébricos que
                        dos, sem demonstrar conhecimento não se utilizam de frações são resolvidos pelo aluno.
                        sobre frações.                     De qualquer maneira, o professor pode retomar o
                                                           trabalho de resolução de problemas do primeiro
                                                           grau, utilizando algumas das referências indicadas.
                                                                   O professor pode retomar o trabalho de resolução
                        O aluno não responde a questão.            de problemas do primeiro grau, utilizando algumas
                                                                   das referências indicadas.


                         Algumas referências

                         O estudo da temática em questão pode ser complementado ou retomado,
                         observando as propostas apresentadas nos seguintes materiais:

                         1.	 aderno do Professor: Matemática – Ensino Fundamental - 5ª série (6º ano)
                            C
                            – Volume 1
                         	 •  ituação de Aprendizagem 4 – Equivalência e operações com frações
                              S
                              (p. 39);

                         2.	 aderno do Professor: Matemática – Ensino Fundamental - 6ª série (7º ano)
                            C
                            – Volume 4
                         	 •  ituação de Aprendizagem 2 – Equações e fórmulas (p. 21);
                              S
                         	 •  ituação de Aprendizagem 3 – Equações, perguntas e balanças (p. 29).
                              S

                         3.	 aderno do Professor: Matemática – Ensino Fundamental - 7ª série (8º ano)
                            C
                            – Volume 2
                         	 •  ituação de Aprendizagem 1 – Aritmética com álgebra: as letras como
                              S
                              números (p. 11);
                         	 •  ituação de Aprendizagem 3 – Álgebra: fatoração e equações (p. 33);
                              S

16    Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio
4.	 aderno do Professor: Matemática – Ensino Fundamental - 7ª série (8º ano)
   C
   – Volume 3
	 •  ituação de Aprendizagem 1 – Expandindo a linguagem das equações
     S
     (p. 11);

5.	 Matemática – Material do professor – Volume 3
   +
	 •  tividade 10 – Representações algébricas (p. 32);
    A
	 •  tividade 11 – Expressões algébricas (p. 36);
    A
	 •  tividade 15 – Resolução de equações de 1º grau com uma incógnita
    A
    (p. 53);

6.	 xperiências Matemáticas – 5ª série
   E
	 •  tividade 27 – Adição e subtração com frações (p. 293);
     A

7.	 xperiências Matemáticas – 6 série
   E
	 •  tividade 28 – Cálculo literal (p. 319);
     A

8.	 xperiências Matemáticas – 7 série
   E
	 •  tividade 3 – Resolução de equações de 1º grau com uma incógnita
     A
     (p. 37);

9.	Nova Escola
	 •  eitura de problemas com frações e anotações
     L
   http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/leitura-problemas-fracoes-
   -anotacoes-526547.shtml. Acesso em 17 jan. 2012;

10. Novo Telecurso – Matemática – Ensino Fundamental - DVD 7
    
	 •  ula 61 – Expressões algébricas;
     A
	 •  ula 62 – Equações do 1º grau;
     A
	 •  ula 63 – Operações com frações;
     A
	 •  ula 69 – Equacionando problemas;
     A

11.  ídeo IMPA
    V
	 •  rof. Augusto César Morgado – Equações do 1º grau.
     P
   http://video.impa.br/index.php?page=julho-de-2003. Acesso em 9 jan. 2012.




        Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio     17
Habilidade
      Identificar a expressão algébrica que expressa uma regularidade observada em sequências de
      números ou figuras.



      Questão 5
                       Cada figura da sequência a seguir está indicada por um número. Encontre uma
                       fórmula para determinar o total de quadrículas que compõem a figura com sua
                       posição n na sequência.




                       1	                 2                  3      		           4		                 5




       Comentários e recomendações pedagógicas
                       O trabalho com sequências pode favorecer a compreensão da álgebra, uma
                       vez que um dos processos de ensino e aprendizagem de álgebra diz respeito à
                       generalização de regularidades. É a partir da observação de casos particulares
                       que o aluno poderá descobrir regularidades, padrões e, a partir deles, levantar
                       hipóteses, fazer conjecturas etc. Enfim, esse trabalho favorece o desenvolvi-
                       mento do raciocínio dedutivo.

                       Assim sendo, essa poderá ser uma forma de generalizar quantidades indica-
                       das por figuras, mesmo que estas estejam inacessíveis. Essa estratégia permite
                       trabalhar conceitos de variáveis e até de incógnitas, desde que seja solicitado
                       indicar a posição em que determinada figura deve aparecer.

                       O Caderno do Professor, 6ª série (7º ano), volume 4 apresenta essa estratégia,
                       iniciando com padrões geométricos e passando, em seguida, a padrões numé-
                       ricos. A chave dessa situação de aprendizagem é determinar a lei de formação
                       da sequência, assim como a exigida nesta questão.

                       Uma estratégia para resolver a questão apresentada, por exemplo, é verificar
                       que a quantidade de linhas está fixada em duas, não se alterando nas demais
                       figuras. O que se altera em cada uma dessas figuras é somente a quantidade
                       de colunas. Assim, a primeira figura apresenta uma coluna, a segunda figura
                       apresenta 2 colunas e assim sucessivamente. Podemos observar, por exemplo,
                       que a décima figura terá 10 colunas. Portanto, em cada posição a figura será
                       formada pelo número de colunas igual à sua posição, multiplicada por 2, ou
                       seja, Q = 2n.

18    Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio
Grade de correção:

   Categorias para análise                                 Observação

                                   O aluno demonstra possuir a habilidade solicitada.
O aluno apresenta correta-         O professor pode mostrar outras formas de chegar à
mente a fórmula “2n”               mesma fórmula por outras estratégias, ou socializar as
                                   diversas estratégias apresentadas pelos alunos.
                                   O aluno percebe a regularidade nas figuras, encontrando
                                   seu padrão, mas não apresenta domínio no tratamento
                                   algébrico.
O aluno apresenta uma sequ-
ência numérica “2, 4, 6, 8, 10 ...” É importante ressaltar que essa temática será apresentada
mas não explicita a fórmula.        ao longo do primeiro bimestre. Assim sendo, o professor
                                    poderá complementar o trabalho proposto no Caderno
                                    do Professor. Outras fontes de pesquisa para esse trabalho
                                    podem ser as apresentadas nas referências.
                                O aluno percebe a regularidade nas figuras, encontrando
O aluno explica, com suas pala- seu padrão, mas não apresenta domínio no tratamento
vras, que a quantidade de qua- algébrico.
drículas é o dobro do número n É importante ressaltar que essa temática será apresentada
de sua posição.                 ao longo do primeiro bimestre. Assim sendo, o professor
Não mostra uma sequência poderá complementar o trabalho proposto no Caderno
nem a fórmula correspon- do Professor.
dente.                          Outras fontes de pesquisa para esse trabalho podem ser
                                as apresentadas nas referências.
                           O aluno demonstra não possuir a habilidade solicitada.
                           Esse diagnóstico é relevante, visto que essa temática será
O aluno apresenta uma fór-
                           apresentada ao longo do primeiro bimestre. Assim sendo,
mula não condizente com a
                           o professor poderá complementar o trabalho proposto no
sequência.
                           Caderno do Professor. Outras fontes de pesquisa para esse
                           trabalho podem ser as apresentadas nas referências.

                           Esse diagnóstico é relevante, visto que essa temática será
                           apresentada ao longo do primeiro bimestre. Assim sendo,
O aluno deixa a questão em
                           o professor poderá complementar o trabalho proposto no
branco.
                           Caderno do Professor. Outras fontes de pesquisa para esse
                           trabalho podem ser as apresentadas nas referências.


 Algumas referências

 O estudo da temática em questão pode ser complementado ou retomado
 observando as propostas apresentadas nos seguintes materiais:

 1.	 aderno do Professor: Matemática – Ensino Fundamental - 6ª série (7º ano)
    C
    – Volume 4
 	 •  ituação de Aprendizagem 1 – Investigando sequências por aritmética e
      S
      álgebra (p.11);

 2.	 aderno do Professor: Matemática – Ensino Fundamental - 7ª série (8º ano)
    C
    – Volume 2

         Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio     19
•  ituação de Aprendizagem 1 – Aritmética com álgebra: as letras como
                            S
                            números (p.11);

                        3.	 xperiências Matemáticas – 6ª série
                           E
                        	 •  tividade 22 – Relações (p.237);
                             A
                        	 •  tividade 23 – Propriedades (p. 245);
                             A

                        4.	Nova Escola
                        	 • ntrodução à álgebra;
                             I
                           http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/introducao-algebra-429106.
                           shtml?page=all. Acesso em 17 jan. 2012.




      Habilidade
      Resolver problemas em diferentes contextos que envolvam as relações métricas dos triângulos
      retângulos (Teorema de Pitágoras).



      Questão 6 (SAEB 2009)
                       Hélio e Ana partiram da casa dela com destino à escola. Ele foi direto de casa para
                       a escola e ela passou pelo correio e depois seguiu para a escola, como mostra a
                       figura a seguir:




20    Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio
De acordo com os dados apresentados, a distância percorrida por Ana foi maior
        que a percorrida por Hélio em
        (A)  200 m.
        (B)  400 m.
        (C)  600 m.
        (D)  800 m.



Comentários e recomendações pedagógicas
        A questão apresentada tem o objetivo de verificar a aplicação do Teorema
        de Pitágoras na resolução de problemas. Esse conceito é importantíssimo na
        Matemática, tanto para ser aplicado na resolução de diversos problemas con-
        textualizados como conhecimento prévio para o estudo de outros conteúdos
        internos à Matemática, como trigonometria, geometria analítica, estudo da cir-
        cunferência etc.

        Os alunos tomam o primeiro contato com esse conceito no final do 8º ano. Ele
        é introduzido a partir de um contexto histórico e, logo em seguida, é mostrada
        uma verificação da relação da terna pitagórica (3, 4, 5) geometricamente. Daí
        em diante, mostra-se que há outras ternas pitagóricos até que se conclui que a
        área do quadrado sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados
        sobre os catetos.

        Grade de correção:

          Alternativas                                     Observação

                           Resposta errada, o aluno provavelmente efetuou a subtração (800 –
           (A) 200 m.
                           600), ignorando a distância percorrida por Hélio.

                           Resposta correta, o aluno provavelmente fez os cálculos, utilizando o
                           Teorema de Pitágoras, para descobrir a distância percorrida por Hélio.
                           Em seguida, calculou a distância percorrida por Ana e finalmente a dife-
                           rença entre Hélio e Ana.
                           Distância percorrida por Hélio:
                           h² = a² + b²
           (B) 400 m.
                           h² = 600² + 800² = 360 000 + 640 000 = 1 000 000
                           h = √1 000 000 = 1000m
                           Distância percorrida por Ana: 600 + 800 = 1400m
                           A diferença:
                           d = 1400 – 1000 = 400m




                Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio     21
Resposta errada, o aluno provavelmente considera somente a distância
                            (C) 600 m.
                                             da casa da Ana ao correio.

                                             Resposta errada, o aluno provavelmente considera somente a distância
                            (D) 800 m.
                                             percorrida por Ana do correio à escola.


                        Caso o aluno mostre dificuldade no tratamento do Teorema de Pitágoras,
                        pode-se utilizar as referências abaixo.

                        Algumas referências

                        O estudo da temática em questão pode ser complementado ou retomado
                        observando as propostas apresentadas nos seguintes materiais:

                        1.	 aderno do Professor: Matemática – Ensino Fundamental - 7ª série (8º ano)
                           C
                           – Volume 4
                        	 •  ituação de Aprendizagem 3 – O Teorema de Pitágoras: padrões numéri-
                             S
                             cos e geométricos (p.39);

                        2.	 aderno do Professor: Matemática – Ensino Fundamental - 8ª série (9º ano)
                           C
                           – Volume 3
                        	 •  ituação de Aprendizagem 3 – Relações métricas nos triângulos retângu-
                             S
                             los: Teorema de Pitágoras (p.30);

                        3.	 ovo Telecurso – Matemática – Ensino Fundamental – DVD 6
                           N
                        	 • Aula 54 – O teorema de Pitágoras;
                        	 • Aula 55 – Aplicação do teorema de Pitágoras;

                        4.	 ovo Telecurso – Matemática – Ensino Médio – DVD 2
                           N
                        	 •  ula 19 – O teorema de Pitágoras;
                             A

                        5.	 oftware – Tem TOP10;
                           S
                        	 Plataforma em flash que disponibiliza aulas sobre o teorema de Pitágoras e
                            possui um quiz com questões sobre Pitágoras e seu teorema.
                            http://nautilus.fis.uc.pt/mn/pitagoras/pitflash1.html. Acesso em 21 jul. 2011;

                        6.	 xperiências Matemáticas – 7ª série
                           E
                        	 •  tividade 6 – Relação pitagórica: uma verificação experimental (p. 73);
                             A
                        	 •  tividade 20 – Outras vez a relação de Pitágoras (p. 227);
                             A

                        7.	 xperiências Matemáticas – 8ª série
                           E
                        	 •  tividade 19 – O triângulo retângulo e Pitágoras (p. 241);
                             A

                        8.	Vídeo IMPA
                        	 •  rof. Eduardo Wagner – Teorema de Pitágoras;
                             P
                            http://video.impa.br/index.php?page=julho-de-2011. Acesso em 9 jan. 2012.




22    Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio
Habilidade
Expressar problemas por meio de equações.



Questão 7
             Observe o retângulo abaixo, cuja área total é igual a 36cm2.




             								(x-2) cm




             					(x+3) cm


             A equação que relaciona as medidas dos lados do retângulo à sua área é
             (A)  x2 + x - 6= 0
             (B)  x2 + x – 42 = 0
             (C)  x2 + x + 30 = 0
             (D)  x2 – 42 = 0



 Comentários e recomendações pedagógicas
             Essa é uma questão relacionada a conceitos algébricos e cálculo de área. Este
             é um contexto que permite trabalhar o conteúdo matemático, integrando a
             álgebra e a geometria.

             O aluno indica corretamente a equação correspondente ao problema proposto
             e desenvolve a sentença:
             (x – 2 ) . (x + 3) = 36
             x² + 3x – 2x – 6 = 36
             x² + x – 42 = 0
             Caso o aluno não aponte corretamente a alternativa, algumas hipótese podem
             ser levantadas. Uma delas é que o aluno não conhece o conceito de cálculo de
             área de retângulos. Outra pode ser que ele não domine os cálculos algébricos.
             A partir dos resultados apontados pelos alunos, podemos levantar algumas
             hipóteses como as observadas na grade abaixo.

                      Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio     23
A partir de uma entrevista com o aluno é possível perceber se sua dificuldade
                       relaciona-se ao cálculo de área. Nesse caso, pode-se optar por rever alguns
                       conteúdos indicados nas referências 2 e 5.

                       Caso se perceba que o aluno não domina o produto de expressões algébricas,
                       pode-se optar por rever alguns conteúdos nas referências 1, 3 e 6.

                       Este problema está intimamente relacionado a conteúdos da álgebra, que
                       serão aplicados no desenvolvimento da disciplina de Matemática nas séries do
                       Ensino Médio. Espera-se que o aluno saiba modelar um problema matemático,
                       expressando-o numa linguagem algébrica e que demonstre conhecimento no
                       tratamento dessas expressões.

                       Além disso, o problema apresentado utiliza na sua resolução o conhecimento
                       de área. Também esse conceito é exigido em diversos momentos, em situações
                       contextualizadas na própria Matemática, assim como externas a ela.

                       A expressão obtida é uma equação do 2º grau. O aluno pode ficar inclinado a
                       tentar resolvê-la e se sentir incomodado com o fato de não ter sido solicitada
                       a resolução. Caso tenha notado esse fato, pode-se justificar que a intenção da
                       questão é verificar a habilidade de expressar um problema por meio de uma
                       sentença algébrica. Resolver uma equação do 2º grau é, então, outra habili-
                       dade que será exigida em outros momentos.

                       Grade de correção:

                           Alternativas                                       Observação

                                               Resposta incorreta. O aluno expressou o produto (x+3)(x-2), igualando-
                                               -o a zero e desenvolvendo a sentença.
                          (A) x² + x - 6 = 0   Essa temática será ampliada ao longo do segundo bimestre. Para tanto,
                                               o professor pode complementar a proposta do caderno com situações-
                                               -problema relacionadas aos conceitos de área e equações.

                                             Resposta correta. Possivelmente o aluno utilizou a estratégia correta
                                             para chegar à equação.
                        (B) x² + x – 42 = 0. Essa temática será ampliada ao longo do segundo bimestre. Para tanto,
                                             o professor pode complementar a proposta do caderno com situações-
                                             -problema relacionadas aos conceitos de área e equações.
                                               Resposta incorreta. O aluno erra o sinal do número 36 ao resolver a
                                               expressão.
                        (C) x² + x + 30 = 0. Essa temática será ampliada ao longo do segundo bimestre. Para tanto,
                                             o professor pode complementar a proposta do caderno com situações-
                                             -problema relacionadas aos conceitos de área e equações.
                                               Resposta incorreta. O aluno expressou o produto (x + 3)(x - 2) = 36,
                                               porém errou ao aplicar a propriedade distributiva.
                           (D) x²– 42 = 0      Essa temática será ampliada ao longo do segundo bimestre. Para tanto,
                                               o professor pode complementar a proposta do caderno com situações-
                                               -problema relacionadas aos conceitos de área e equações.


24    Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio
Algumas referências

O estudo da temática em questão pode ser complementado ou retomado
observando as propostas apresentadas nos seguintes materiais:

1.	 aderno do Professor: Matemática – Ensino Fundamental - 7ª série (8º ano)
   C
   – Volume 3
	 •  ituação de Aprendizagem 3 – Álgebra: fatoração e equações (p. 33);
     S

2.	 aderno do Professor: Matemática – Ensino Fundamental - 7ª série (8º ano)
   C
   – Volume 4
	 •  ituação de Aprendizagem 1 – Áreas de figuras planas (p. 12);
     S

3.	 aderno do Professor: Matemática – Ensino Fundamental - 8ª série (9º ano)
   C
   – Volume 2
	 •  ituação de Aprendizagem 1 – Alguns métodos para resolver equações de
     S
     2º grau (p. 12);

4.	 xperiências Matemáticas – 8ª série
   E
	 •  tividade 16 – Equações do 2º grau (p. 207);
     A

5.	 ovo Telecurso – Matemática – Ensino Fundamental - DVD 6
   N
	 •  ula 52 – Calculando áreas;
     A

6.	 ovo Telecurso – Matemática – Ensino Fundamental - DVD 8
   N
	 •  ula 73 – Equação do 2º grau;
     A

7.	 ovo Telecurso – Matemática – Ensino Médio - DVD 3
   N
	 •  ula 26 – Problemas do 2º grau.
     A




       Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio     25
Habilidade
      Ler e interpretar um gráfico cartesiano que indica a variação de duas grandezas.



      Questão 8
                       Um depósito, contendo inicialmente 800 litros de água, dispõe de uma válvula
                       na sua parte inferior. Um dispositivo registrou a quantidade de água a cada ins-
                       tante a partir do momento em que a válvula foi aberta (t = 0). Os dados obtidos
                       permitiram construir o gráfico da quantidade V (em litros) em função do tempo t
                       (em minutos).




                       Pode-se afirmar que durante o intervalo de
                       (A)  0 a 10 min o depósito perdeu 500 litros.
                       (B)  10 min a 35 min, o depósito perdeu 300 litros.
                       (C)  10 min a 35 min, o depósito perdeu 500 litros.
                       (D)  0 a 60 min, o depósito perdeu 800 litros.




26    Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio
Comentários e recomendações pedagógicas
        Espera-se que o aluno já saiba interpretar gráficos cartesianos com a indica-
        ção de variação entre duas grandezas, habilidades já trabalhadas no Ensino
        Fundamental.

        As atividades que trabalham essas relações a partir de situações contextuali-
        zadas são ideais para desenvolver esse conceito, tais como progressões arit-
        méticas, sequências e até proporcionalidade direta, fornecendo elementos
        facilitadores para esse raciocínio. Associando as possibilidades relacionadas a
        esses problemas com um plano cartesiano, obtêm-se os gráficos lineares que
        indicam essas variações.

        Grade de correção:

                Alternativas                                      Observação

                                        Resposta incorreta. O aluno não analisa adequadamente
          (A) 0 a 10 min, o depósito
                                        o gráfico e retira informação incorreta, lendo no eixo y
              perdeu 500 litros.
                                        somente a indicação correspondente a 10 minutos.

                                       Resposta incorreta. Possivelmente, ao analisar o gráfico, o
                                       aluno não percebe que, nesse período de tempo, não há
         (B) 10 min, a 35 min. o depó-
                                       perda de água, o que é indicado pela função constante. Ele
             sito perdeu 300 litros.
                                       interpreta que a diferença (800 – 500 = 300) é a vazão de
                                       água nesse intervalo.

                                       Resposta incorreta. Possivelmente, ao analisar o gráfico, o
                                       aluno não percebe que, nesse período de tempo, não há
         (C) 10 min, a 35 min. o depó-
                                       perda de água, o que é indicado pela função constante. Ele
             sito perdeu 500 litros.
                                       interpreta que 500 – valor da ordenada – é a vazão de água
                                       nesse intervalo.

                                        Resposta correta. O aluno resolve corretamente. Analisa o
         (D) 0 a 60 min, o depósito
                                        gráfico e extrai as informações necessárias para a solução do
             perdeu 800 litros.
                                        problema.


         Algumas referências

         O estudo da temática em questão pode ser complementado ou retomado
         observando as propostas apresentadas nos seguintes materiais:

         1.	 aderno do Professor: Matemática – Ensino Fundamental - 8ª série (9º ano)
            C
            – Volume 4
         	 •  ituação de Aprendizagem 4 – Representação gráfica de grandezas pro-
              S
              porcionais e de algumas não proporcionais (p. 49);

         2.	 xperiências Matemáticas: 6ª série
            E
         	 •  tividade 26 – Representações algébricas (p.289);
              A

         3.	 xperiências Matemáticas: 7ª série
            E

                 Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio     27
•  tividade 8 – Interdependência de grandezas (p.97);
                            A

                        4.	 xperiências Matemáticas: 7ª série
                           E
                        	 •  tividade 9 – Grandezas proporcionais (p.113);
                             A

                        5.	 Matemática – Material do Professor – Volume 3
                           +
                        	 •  tividade 18 – Interdependência de grandezas (p.86);
                            A

                        6.	Nova Escola
                        	 •  unção afim
                             F
                           http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/conceito-grafico-funcao-
                           -afim-629412.shtml. Acesso em 09 fev. 2012;

                        	 •  unção Afim na Resolução de Problemas
                            F
                           http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/funcao-afim-resolucao-pro-
                           blemas-626737.shtml. Acesso em 21 jul. 2011;

                        7.	 ovo Telecurso – Matemática – Ensino Médio – DVD 3
                           N
                        	 •  ula 30 – A função y = ax + b.
                             A




      Habilidade
      Resolver problemas que envolvam as operações com números inteiros do campo aditivo.



      Questão 9
                       Uma médica orientou seu paciente a tomar 1 comprimido do mesmo medica-
                       mento a cada 6 horas. Quantos comprimidos desse medicamento o paciente de-
                       verá tomar por dia?
                       (A) 1
                       (B) 4
                       (C) 6
                       (D) 8


28    Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio
Comentários e recomendações pedagógicas
        A habilidade em resolver problemas que envolvem as operações básicas de
        Matemática é inerente a qualquer estudo que se faça, tanto no Ensino Fun-
        damental quanto no Ensino Médio. Quanto antes forem detectadas dificulda-
        des do aluno ao lidar com esse tipo de situação problema, mais tempo e mais
        recursos poderão ser utilizados pelo professor para saná-las.

        	 Caso seja detectada dificuldade em resolver essa questão, sugerimos que o
        professor procure apresentar ao aluno outros problemas envolvendo as opera-
        ções a fim de obter um diagnóstico mais apurado. Se realmente o aluno apre-
        sentar problemas na resolução desse tipo de problema, sugerimos trabalhar
        as situações apresentadas nas referências a seguir. Sugerimos também que o
        professor analise as anotações deixadas nas folhas de resolução para perceber
        se o problema está nas operações de divisão ou multiplicação, se o aluno mos-
        tra conhecer que o dia tem 24 horas etc.

        Grade de correção:

           Alternativas                                     Observação

                              Resposta incorreta. Possivelmente o aluno tomou como parâme-
               (A) 1          tro para responder a questão, a quantidade de comprimidos que o
                              paciente toma a cada 6 horas.

                              Resposta correta. O aluno provavelmente tomou as 24 horas do dia
               (B) 4          e dividiu pelo intervalo de horas em que o paciente deve tomar os
                              comprimidos.
                              Resposta incorreta. Possivelmente, o aluno tomou como parâmetro
               (C) 6          para responder à questão, a quantidade de horas do intervalo entre
                              um e outro comprimido.

                              Resposta incorreta. O aluno pode ter dividido as 24 horas do dia por
               (D) 8
                              3, como também pode ter errado nos cálculos da divisão de 24 por 6.



         Algumas referências

         O estudo da temática em questão pode ser complementado ou retomado
         observando as propostas apresentadas nos seguintes materiais:

         1.	 aderno do Professor: Matemática – Ensino Fundamental - 5ª série (6º ano)
            C
            – Volume 1
         	 •  ituação de Aprendizagem 1 – O sistema de numeração decimal e suas
              S
              operações (p.11);

         2.	 xperiências Matemáticas – 5ª série
            E
         	 •  tividade 5 – Operações com naturais: situações-problema (p.11);
              A

         3.	 Matemática – Material do Professor – Volume Especial
            +

                Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio     29
•  tividade 14 – Organizando enunciados e resolvendo problemas (p.33);
                           A

                       4.	 ovo Telecurso – Matemática – Ensino Fundamental – DVD 1
                          N
                       	 •  ula 8 - Multiplicar e dividir;
                            A

                       5.	Nova Escola
                       	 •  iferentes maneiras de resolver problemas de divisão
                            D
                          http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/diferentes-maneiras-resolver-
                          -problemas-divisao-500781.shtml?page=all. Acesso em 17 jan. 2012.




      Habilidade
      Resolver situações-problema por intermédio de sistemas lineares até a 3ª ordem.



      Questão 10
                       Uma loja de produtos eletrônicos realiza uma promoção para a compra conjunta
                       de dois tipos de equipamentos, de maneira que o consumidor interessado tenha
                       as seguintes opções:
                       •  por um tablet e um celular o valor de R$ 700,00.
                       •  por um tablet e um netbook o valor de R$ 1.200,00.
                       •  por um celular e um netbook o valor de R$ 1.100,00.
                       Quanto a loja cobra em cada tipo de aparelho, se o preço unitário de cada um
                       deles é constante em todos os casos?



       Comentários e recomendações pedagógicas
                       Os sistemas lineares constituem-se em uma ferramenta importante na resolu-
                       ção de situações-problema contextualizadas. A descrição de alguns contextos
                       permite que sejam escritas as equações e que, ao final, após a resolução do
                       sistema, os valores encontrados para as incógnitas sejam avaliados à luz do
                       contexto inicialmente proposto.

                       Para a resolução dos sistemas obtidos a partir de situações-problema contex-
                       tualizadas, sugerimos que o professor estimule seus alunos a utilizar, inicial-
                       mente, os métodos estudados no Ensino Fundamental, isto é, os métodos de
                       adição, substituição ou comparação.

                       Salientamos a importância de o professor trabalhar as diversas formas de reso-
                       lução de Sistemas Lineares de maneira que o aluno possa fazer investigações
                       sobre a opção mais conveniente em cada situação.

30    Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio
Grade de correção:

        Categorias para análise                                 Justificativas

O aluno resolve corretamente.
Indicando por:
T    preço do tablet
C    preço do celular
N    preço do netbook                       O professor pode ampliar tal habilidade, traba-
O sistema é equivalente a:                  lhando com outras situações em que está pre-
                                            sente a habilidade em questão.

 {
     T + C = 700
     T + N = 1200
     C + N = 1100

Resolvendo-o, obtemos os seguintes
valores: T = R$ 400,00; C = R$ 300,00 e
N = R$ 800,00.
O aluno representa corretamente o
                                            O professor pode retomar situações que envol-
sistema a partir das informações dis-
                                            vam a resolução de sistemas de equações do 1º
ponibilizadas no enunciado da ques-
                                            grau pelos métodos da substituição de variáveis
tão, porém erra na sua resolução pelo
                                            e escalonamento.
método da substituição.
O aluno estrutura corretamente o
                                            O professor pode retomar situações que envol-
sistema a partir das informações dis-
                                            vam a resolução de sistemas de equações do 1º
ponibilizadas no enunciado da ques-
                                            grau pelos métodos do escalonamento e substi-
tão, porém erra na sua resolução pelo
                                            tuição de variáveis.
método do escalonamento.

O aluno estrutura corretamente o sis-       O professor pode retomar situações que envol-
tema a partir das informações dispo-        vam a resolução de sistemas de equações do 1º
nibilizadas no enunciado da questão,        grau pelos métodos do escalonamento e substi-
porém apresenta erros na sua resolu-        tuição de variáveis, discutindo com o aluno as des-
ção pelo método de Cramer.                  vantagens de se utilizar o método de Cramer.


                                       O professor pode trabalhar com o aluno a habi-
                                       lidade de traduzir o problema para a linguagem
O aluno não consegue estruturar o sis-
                                       matemática. Para isso, pode desenvolver ativida-
tema baseado nas informações apre-
                                       des de leitura de um problema, que se constituem
sentadas no enunciado da questão.
                                       no primeiro passo no caminho da transposição
                                       para a linguagem algébrica.

O aluno demonstra total falta de domí- O professor pode retomar situações que envol-
nio da habilidade avaliada.            vam a habilidade indicada.
                                            O professor pode retomar situações que envol-
O aluno deixou a questão em branco.
                                            vam a habilidade indicada.


 Algumas referências

 O estudo da temática em questão pode ser complementado ou retomado
 observando as propostas apresentadas nos seguintes materiais:


          Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio     31
1.	Caderno do Professor: Matemática – Ensino Fundamental – 7ª série (8º ano)
                            – Volume 3
                        	 •  ituação de Aprendizagem 3 – Sistemas de equações lineares (p. 38);
                             S

                        2.	 aderno do Professor: Matemática – Ensino Médio – 2ª série – Volume 2
                           C
                        	 •  ituação de Aprendizagem 3 – Sistemas lineares em situações-problemas
                             S
                             (p. 28);
                        	 •  ituação de Aprendizagem 4 - Resolução de sistemas lineares: escalona-
                             S
                             mento x Cramer (p. 35);

                        3.	 ovo Telecurso – Ensino Fundamental – DVD 7
                           N
                        	 •  istema do 1º Grau;
                             S

                        4.	 ovo Telecurso – Ensino Médio – DVD 2
                           N
                        	 •  ula 11 – Sistemas resolvem problemas;
                             A

                        5.	 xperiência Matemáticas – 7ª série
                           E
                        	 •  tividade 27 – Resolvendo algebricamente um sistema de equações do 1º
                             A
                             grau com duas incógnitas (p. 301).




32    Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio
Bibliografia
São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Caderno do Professor: Matemática, ensino fundamental – 5ª a 8ª séries. v.
1 a 4. Coordenação geral: Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Granja, José Luiz Pastori, Nilson José Machado,
Roberto Pérides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo, Walter Spinelli. São Paulo: SEE, 2009.
São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Caderno do Professor: Matemática, ensino médio – 1ª a 3ª séries. v. 1 a 4. Co-
ordenação geral: Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Granja, José Luiz Pastori, Nilson José Machado, Roberto
Pérides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo, Walter Spinelli. São Paulo: SEE, 2009.
São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas. Experiências Matemáticas:
5ª a 8ª séries. São Paulo: SE / CENP, 1997.
Novo Telecurso. Matemática – Ensino Fundamental. Aulas em Vídeo: Fundação Roberto Marinho. Disponível em http://
www.telecurso.org.br. Acesso em 20 jan. 2012.
Novo Telecurso. Matemática – Ensino Médio. Aulas em Vídeo: Fundação Roberto Marinho. Disponível em http://www.
telecurso.org.br. Acesso em 20 jan. 2012.
IMPA, INSTITUTO NACIONAL DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA. Aulas em Vídeo. Disponível em http://www.impa.br.
Acesso em 20 jan. 2012.
São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Revista do Professor: São Paulo Faz Escola: 5ª a 8ª séries do Ensino Funda-
mental. Coordenação: Maria Inês Fini. São Paulo: SEE, 2008.
São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Revista do Professor: São Paulo Faz Escola: 1ª e 2ª séries do Ensino Médio.
Coordenação: Maria Inês Fini. São Paulo: SEE, 2009.
São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. + Matemática, coletânea de atividades. Volumes Especial, 2 e 3: Coordena-
ção: Maria Inês Fini. São Paulo: SEE, 2009.
Nova Escola. Atividades. Disponível em http://revistaescola.abril.com.br. Acesso em 17 jan. 2012.




                             Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio     33
Avaliação da Aprendizagem em Processo
      Comentários e Recomendações Pedagógicas – Matemática

      Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
      Coordenadora: Maria Elizabete da Costa

      Coordenadoria de Informação, Monitoramento e Avaliação Educacional
      Coordenadora: Maria Lucia Barros de Azambuja Guardia

      CIMA – Departamento de Avaliação Educacional
      Diana Yatiyo Mizoguchi
      Maria Julia Figueira Ferreira
      William Massei

      CGEB – Matemática
      João dos Santos, Juvenal de Gouveia, Otavio Yamanaka, Patricia de Barros Monteiro, Sandra
      Maira Zacarias Zen, Vanderlei Aparecido Cornatione

      Elaboração – Professores Coordenadores
      dos Núcleos Pedagógicos das Diretorias de Ensino
      Cristina Aparecida da Silva, Edineide Santos Chinaglia, Edson Basilio Amorim Filho, João Acacio
      Busquini, Norma Kerches de Oliveira Rogeri, Odete Guirro de Paula, Rosana Jorge Monteiro e
      Tatiane Dias Serralheiro.

      Autoria; Leitura e Revisão Crítica.
      Angélica da Fontoura Garcia Silva, Juvenal de Gouveia, Marlene Alves Dias, Patricia Monteiro,
      Raquel Factori Canova, Ruy Cesar Pietropaolo e Sandra Maira Zen Zacarias.

      Revisão de Texto – Professor Coordenador do
      Núcleo Pedagógico da Diretoria de Ensino Norte 2
      Celso Antônio Bacheschi




34    Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio
Anotações




            Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio     35
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  • 1. AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM EM PROCESSO COMENTÁRIOS E RECOMENDAÇÕES PEDAGÓGICAS Subsídios para o Professor de Matemática 1ª série do Ensino Médio Prova de Matemática São Paulo 1° Semestre de 2013
  • 2. Avaliação da Aprendizagem em Processo APRESENTAÇÃO A Avaliação da Aprendizagem em Processo se caracteriza como ação desenvolvida de modo colaborativo entre a  Coordenadoria de Informação, Monitoramento e Avaliação Educacional e a Coordenadoria de Gestão da Educação Básica, que também contou com a  contribuição de um grupo de Professores do Núcleo Pedagógico de diferentes Diretorias de Ensino. Iniciada no segundo semestre de 2011, a aplicação foi voltada para o 6°ano do Ensino Fundamental e 1ª série do Ensino Médio. No primeiro e segundo semes- tres de 2012, as provas abrangeram os 6° e 7° anos do EF e as 1ª e 2ª séries do EM. Para o primeiro semestre de 2013, envolverá todos os anos e séries dos Ensinos Fundamental e Médio. Essa ação, fundamentada no Currículo Oficial da SEE, dialoga com as habilidades contidas nas Matrizes de Referência para a Avaliação (SARESP, SAEB, ENEM) e tem se mostrado bem avaliada pelos educadores da rede estadual. Propõe o acom- panhamento coletivo e individualizado ao aluno, por meio de um instrumento de caráter diagnóstico e se localiza no bojo das ações voltadas para os proces- sos de recuperação, a fim de apoiar e subsidiar os professores de Língua Portu- guesa e de Matemática que atuam no Ciclo II do Ensino Fundamental e no Ensino Médio da Rede Estadual de São Paulo. Além da formulação dos instrumentos de avaliação – na forma de cadernos de provas para os alunos – também foram elaborados documentos específicos de orientação para os professores – Comentários e Recomendações Pedagógicas – contendo o  quadro de habilidades, gabaritos, itens, interpretação pedagógica das alternativas, sugestões de atividades subsequentes às análises dos resulta- dos e  orientação para aplicação e  correção das provas de redação. Espera-se que, agregados aos registros que o professor já possui, sejam instrumentos para a definição de pautas individuais e coletivas, que, organizadas em um plano de ação, mobilizem procedimentos, atitudes e conceitos necessários para as ativida- des de sala de aula, sobretudo, aquelas relacionadas aos processos de recupera- ção da aprendizagem. Coordenadoria de Coordenadoria de Gestão Informação, Monitoramento da Educação Básica e Avaliação Educacional 2  Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio
  • 3. Avaliação da Aprendizagem em Processo – Matemática As provas e orientações referentes aos 6º e 7º anos do Ensino Fundamen- tal e 1ª e 2ª séries do Ensino Médio foram reproduzidas com base nas do ano anterior, tendo em vista que o grupo de alunos avaliados no ano/série em 2013 não será o mesmo que o de 2012. Consideramos uma opção válida, pois o instrumento foi bem aceito pela rede e as questões bem avaliadas. Entendemos que as questões apresentadas podem retratar uma parte significa- tiva do que foi previsto no conteúdo curricular de Matemática e poderão per- mitir a verificação de algumas habilidades que foram ou não desenvolvidas no processo de ensino e aprendizagem. Ressaltamos que, quando alguma questão apresentou problemas tanto de ordem técnica como pedagógica, ela foi substituída ou modificada. Para o ano de 2013, a 4ª edição da Avaliação da Aprendizagem em Processo tam- bém contemplará os anos/séries 8º e 9º anos do Ensino Fundamental e 3ª série do Ensino Médio. Para a elaboração dos instrumentos que atenderão os anos/séries incluídos em 2013, mantiveram-se os mesmos critérios estabelecidos anteriormente. Composição: 1. Anos/séries participantes: 6º ao 9º anos do Ensino Fundamental; 1ª a 3ª séries do Ensino Médio. 2.  Composição das provas de Matemática: 10 questões, sendo a maioria objetiva e algumas dissertativas. 3. Matrizes de referência (habilidades/descritores) para a constituição de itens das provas objetivas: - SARESP; - SAEB; - Caderno do Aluno. 4.  Banco de itens: - itens constantes de provas já aplicadas (Saresp, Saeb, Prova Brasil, Enem) que se refiram a habilidades contempladas no Currículo oficial; - tens selecionados a partir da avaliação da rede, após aplicação das provas i da Avaliação em Processo; - tens adaptados/modificados a partir da avaliação da rede, após aplicação i das provas da Avaliação em Processo. Equipe de Matemática Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio   3
  • 4. AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM EM PROCESSO Matriz de Habilidades Nº do Habilidades item 1 Localizar números reais na reta numérica. 2 Reconhecer situações que envolvam proporcionalidade. 3 Identificar as coordenadas de pontos no plano cartesiano. 4 Resolver problemas que envolvam equações com coeficientes racionais. Identificar a expressão algébrica que expressa uma regularidade observada em 5 sequências de números ou figuras. Resolver problemas em diferentes contextos que envolvam as relações métricas 6 dos triângulos retângulos (Teorema de Pitágoras). 7 Expressar problemas por meio de equações. 8 Ler e interpretar um gráfico cartesiano que indica a variação de duas grandezas. Resolver problemas que envolvam as operações com números inteiros do campo 9 aditivo. 10 Identificar as coordenadas de pontos no plano cartesiano. 4  Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio
  • 5. Habilidade Localizar números reais na reta numérica. Questão 1 Disponha os seguintes números na reta numérica: √2       11   3,1    -  1       -  3 4 5 2 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Resposta correta: Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio   5
  • 6. Comentários e recomendações pedagógicas Espera-se, nesta etapa de escolarização, que o aluno já tenha ampliado seus conhecimentos a respeito dos conjuntos numéricos e identifique a localização aproximada de números reais na reta numérica. Assim, é esperado que os alu- nos localizem corretamente todos os números que lhes foram solicitados. No entanto, os não acertos não significam, necessariamente, falta de domínio da habilidade avaliada, podendo indicar compreensão parcial da localização dos números reais certamente ainda em construção pelos alunos. Neste sentido, é importante a identificação dos conhecimentos de cada aluno com relação à localização de números reais. A grade a seguir pode auxiliar o professor nessa tarefa, uma vez que ela aponta as possíveis dificuldades do aluno a esse respeito. Grade de correção: Categorias para análise Observação O aluno localiza corretamente O professor pode aproveitar para discutir a forma geomé- todos os números reais soli- trica da localização do número √2 na reta numérica. citados. O aluno localiza corretamente O professor pode ampliar a noção de números negativos e apenas os números positivos. sua localização na reta numérica. O aluno compreende a localização de números represen- O aluno localiza corretamente tados na forma fracionária solicitados. Todavia, é preciso apenas as frações. ampliar a ideia de localização dos números decimais e raí- zes. O aluno compreende a localização de números solicitados O aluno localiza corretamente representados na forma decimal e de √2, possivelmente apenas o número √2 e o pensando na sua aproximação decimal. Todavia, é preciso número 3,1. ampliar a ideia de localização de frações. O aluno compreende a localização de números racionais. Entretanto, encontra dificuldades em identificar números O aluno não acerta somente o irracionais. O professor pode aproveitar para ampliar o número √2. conceito de números irracionais e o conceito de números reais. O aluno compreende a localização de números decimais. O aluno localiza corretamente Entretanto, encontra dificuldades para localizar frações e apenas 3,1. irracionais. É preciso ampliar o conceito de tais números e trabalhar sua localização. O aluno troca a posição dos números negativos (troca a O aluno pode estar lendo a fração “um quinto negativo” 1 como “um e meio negativo: -1,5”. posição do número com 5 O professor pode trabalhar mais situações nas quais esse 3 a do número ). fato possa ser compreendido. 2 O aluno errou todas as locali- O professor pode retomar situações que envolvam a locali- zações ou deixou em branco. zação de números reais. 6  Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio
  • 7. Algumas referências O estudo da temática em questão pode ser complementado ou retomado observando as propostas apresentadas nos seguintes materiais: 1. Caderno do Professor: Matemática – Ensino Fundamental – 8ª série (9º ano) – Volume 1 • ituação de Aprendizagem 1 – Conjuntos e números (p. 10); S • ituação de Aprendizagem 3 – Aritmética, álgebra e geometria com a reta S real (p. 31); 2. Caderno do Professor: Matemática – Ensino Fundamental – 8ª série (9º ano) – Volume 4 • ituação de Aprendizagem 1 – A natureza do número Pi (π) (p. 11); S 3. Matemática – Material do professor – Volume 3 + • tividade 3 – Representação e ordenação (p. 16); A • tividade 4 – Oposição e simplificação (p. 23); A • tividade 6 – Números racionais (p. 30); A 4. xperiências Matemáticas – 6ª série E • tividade 5 – Representação e ordenação (p.63); A 5. xperiências Matemáticas – 8ª série E • tividade 2 – Ampliando a noção de número (p.29); A 6. xperiências Matemáticas – 8ª série E • tividade 3 – Conhecendo os radicais (p.43); A 7. evista Nova Escola R • omo localizar números irracionais em uma reta numérica. C http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/como-localizar-numeros- -irracionais-reta-numerica-494389.shtml. Acesso em 9 fev. 2012. Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio   7
  • 8. Habilidade Reconhecer situações que envolvam proporcionalidade. Questão 2 Uma empresa resolveu dar um aumento de R$ 200,00 para os funcionários. O sa- lário de João passou de R$ 400,00 para R$ 600,00, enquanto o salário de Antônio passou de R$ 1.000,00 para R$ 1.200,00. Houve proporcionalidade no aumento salarial dado aos dois funcionários? Justifique sua resposta. Comentários e recomendações pedagógicas Reconhecer proporcionalidade é uma habilidade que permite ao aluno perce- ber variações nas quais as razões permanecem constantes. Isso permite tam- bém que o aluno possa verificar se essas relações são diretas ou inversamente proporcionais. O aluno que domina a habilidade de reconhecer as noções de variação direta e inversamente proporcionais tem maior capacidade de resol- ver problemas e fazer previsões em situações nas quais esse conceito esteja envolvido. Além de ser intuitiva, a noção de proporcionalidade é importante para que o aluno saiba operar e relacionar os valores das grandezas envolvidos. Dependendo de como o aluno foi orientado na resolução de problemas de proporcionalidade, assim como do seu estilo pessoal para interpretar e desen- volver a resolução, diversos modos podem ser observados. É possível que alguns alunos procurem um termo desconhecido, como nos problemas de regra de três, e comparem-no com o valor apresentado na questão. Também pode ser que o aluno faça a comparação das razões entre o valor original e o valor aumentado. De qualquer forma, as anotações dos alunos servirão como uma boa forma de diagnosticar seu conhecimento e sua forma de raciocínio. É importante ressaltar que o raciocínio proporcional ocupa lugar de destaque na aprendizagem de conceitos e procedimentos matemáticos, em especial, quando é introduzida a ideia de funções (tema que será discutido amplamente nesse nível de ensino). Caso o aluno demonstre não dominar a habilidade em questão, sugerimos que o professor recorra a situações-problema que permitam ao aluno refletir sobre a variação de grandezas, como apresentamos exemplarmente nas referências indicadas a seguir. 8  Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio
  • 9. Grade de correção: Categorias para análise Observação O aluno responde corretamente. 400 = 2 Encontra as razões entre 600 3 O aluno compreende bem que uma proporção 1000 = 5 2 e . Como é diferente equivale à igualdade entre razões. O professor pode 1200 6 3 aproveitar para mostrar também outras formas de o de 5 , conclui que não houve pro- 6 aluno perceber esse fato. porcionalidade, ou resolve por outras formas de encontrar as razões. O aluno responde corretamente. Faz O aluno compreende a proporcionalidade, indi- uma relação direta, indicando que, se cando dominar a habilidade solicitada. O professor 400 está para 600, então 1 000 deve- pode aproveitar para ampliar outras formas de o ria estar para 1 500 e conclui que não aluno perceber esse fato. houve proporcionalidade. O aluno responde corretamente. Uti- liza a noção de porcentagem, veri- O aluno compreende a proporcionalidade, corres- ficando que, de R$ 400,00 para R$ pondendo-a à porcentagem, indicando dominar a 600,00 houve um aumento de 50%. habilidade solicitada. O professor pode aproveitar Já de R$ 1.000,00 para R$ 1.200,00 para mostrar também outras formas de o aluno per- houve um aumento de 20%. Logo, ceber esse fato. não houve proporcionalidade. O aluno não compreende proporcionalidade ou não esteve atento ao enunciado do problema. O aluno respondeu de forma incor- A fim de possibilitar tal apropriação, sugerimos que reta, indicando que houve propor- o professor proponha situações que solicitem ao cionalidade, pois houve um aumento estudante que expresse a variação das grandezas de R$ 200,00 para os dois funcioná- envolvidas. Tais proposições podem se utilizar de rios. diferentes representações: tabelas, gráficos e sen- tenças algébricas, encontradas nas bibliografias apresentadas. O aluno não compreende proporcionalidade ou não esteve atento ao enunciado do problema. O aluno respondeu de forma incor- A fim de possibilitar tal apropriação, sugerimos que reta, indicando que houve propor- o professor proponha situações que solicitem ao cionalidade e justificando de outra estudante que expresse a variação das grandezas forma. envolvidas. Tais proposições podem se utilizar de diferentes representações: tabelas, gráficos e sen- tenças algébricas, encontradas nas bibliografias apresentadas. A fim de possibilitar tal apropriação, sugerimos que o professor proponha situações que solicitem ao estudante que expresse a variação das grandezas O aluno deixa a questão em branco. envolvidas. Tais proposições podem se utilizar de diferentes representações: tabelas, gráficos e sen- tenças algébricas, encontradas nas bibliografias apresentadas. Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio   9
  • 10. Algumas referências O estudo da temática em questão pode ser complementado ou retomado observando as propostas apresentadas nos seguintes materiais: 1. aderno do Professor: Matemática Ensino Fundamental – 6ª série (7º ano) C – Volume 3 • ituação de Aprendizagem 1 – A noção de proporcionalidade (p. 12); S • ituação de Aprendizagem 2 – Razão e proporção (p. 22); S 2. Caderno do Professor: Matemática – Ensino Fundamental – 6ª série (7º ano) – Volume 4 • ituação de Aprendizagem 4 – Proporcionalidade, equações e a regra de S três (p.39); 3. xperiências Matemáticas – 5ª série E • tividade 36 – Porcentagem / Gráficos (p. 367); A 4. xperiências Matemáticas – 7ª série E • tividade 8 – Interdependência de grandezas (p. 97); A • tividade 9 – Grandezas proporcionais (p. 113); A • tividade 10 – Regra de três (p. 127); A • tividade 28 – Aplicando a ideia de proporcionalidade (p. 311); A 5. ovo Telecurso – Matemática – Ensino Fundamental – DVD 5 N • ula 46 – Números proporcionais; A • ula 50 – Regras de três; A 6. Vídeo IMPA • rof. Elon Lages Lima – Proporcionalidade P http://video.impa.br/index.php?page=julho-de-2011. Acesso em 09 jan. 2012. 7. Matemática – Material do professor – Volume 3 + • tividade 18 – Interdependência de grandezas (p. 86) A • tividade 19 – Grandezas proporcionais (p. 92) A • tividade 20 – Regra de três (p. 99) A 10  Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio
  • 11. Habilidade Identificar as coordenadas de pontos no plano cartesiano. Questão 3 Localize os pontos A (-2; 0), B (-6; 2), C (4; -2) e D (0; 4). Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio   11
  • 12. Resposta: Comentários e recomendações pedagógicas A identificação de coordenadas num plano é uma prática que deve ser desen- volvida desde os anos iniciais com o uso de malhas quadriculadas como nos jogos de batalha naval ou nos mapas de identificação de ruas. Nos anos seguin- tes, esses conceitos vão-se ampliando, trabalhando-se as coordenadas a partir de eixos orientados e, com mais aprofundamento, a representação de variação nesse eixo de coordenadas. Nessa questão, o aluno deve marcar no plano cartesiano os pontos indicados. Deve reconhecer que a abscissa do ponto é o primeiro elemento do par e a ordenada é o segundo elemento. Deve ainda trabalhar com números inteiros e reconhecer que abscissa ou ordenada nula implica pontos sobre os eixos ordenados. O professor pode propor aos alunos atividades lúdicas, que podem favorecer a compreensão da necessidade de haver dois eixos para localizar um ponto ou uma região no plano. Reiteramos que o jogo de batalha naval pode ser um exemplo desse tipo de atividade, já que auxilia na compreensão de informações que determinam regiões no plano cartesiano. Todavia, é fundamental assinalar a diferença entre o sistema de eixos cartesianos do sistema utilizado na batalha 12  Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio
  • 13. naval: no plano cartesiano, as coordenadas indicam pontos ao passo que, na batalha naval, indicam regiões. Além disso, para não confundir, na batalha, uti- lizam-se letras para um dos eixos e números para o outro, assim a questão da ordem fica minimizada. As mesmas considerações devem ser observadas para os guias de ruas das cidades ou bairros, pois as coordenadas são representadas por letras e números, referentes à informação horizontal e à vertical. Grade de correção: Categorias para análise Observação O professor pode aproveitar para discutir a O aluno posiciona corretamente todos os construção de figuras geométricas a partir pontos no plano cartesiano. das coordenadas de seus vértices e algumas propriedades. O professor pode propor situações nas quais O aluno troca todos os pontos, invertendo o aluno tenha de localizar pontos no plano abscissas e ordenadas. cartesiano, orientando-o no sentido de observar essa ordem. Este é um erro recorrente. Alguns alunos inclusive apontam todos esses tipos de pon- O aluno localiza corretamente os pontos tos no centro do plano cartesiano. cujos pares têm elementos diferentes de O professor pode propor situações nas quais zero. No entanto, erra os que têm um ele- o aluno tenha de localizar esse tipo de pon- mento nulo. tos no plano cartesiano, orientando-o no sen- tido de observar que, nesses casos, os pontos ficam sobre os eixos ordenados. O professor pode propor situações nas quais O aluno deixa a questão em branco. o aluno tenha de localizar pontos no plano cartesiano. Algumas referências O estudo da temática em questão pode ser complementado ou retomado observando as propostas apresentadas nos seguintes materiais: 1. aderno do Professor: Matemática – Ensino Fundamental - 7ª série (8º ano) C – Volume 3 • ituação de Aprendizagem 2 – Coordenadas cartesianas e transformações S no plano (p.25); 2. xperiências Matemáticas – 7ª série E • tividade 7 – Coordenadas cartesianas (p.85); A 3. + Matemática – Material do professor – Volume 3 • tividade 17 – Coordenadas cartesianas (Caderno do Professor – p.62); A 4. ovo Telecurso – Matemática – Ensino Fundamental – DVD 4 N • ula 36 – Localizando ponto no mapa; A Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio   13
  • 14. 5. ovo Telecurso – Matemática – Ensino Médio – DVD 1 N • ula 08 – Plano cartesiano; A 6. evista Nova Escola R • ocalização de um ponto no plano; L bjetivo: Identificar a localização de objetos numa malha quadriculada, O coordenando as informações de dois eixos (linhas e colunas) para determi- nar a localização de um ponto. http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/localizacao-ponto-pla- no-511493.shtml. Acesso em 9 fev. 2012. Habilidade Resolver problemas que envolvam equações com coeficientes racionais. Questão 4 Três amigos, Rui, Cláudia e Gustavo foram ao restaurante e gastaram o equivalen- te a R$ 72,00. Ao pagar a conta estabeleceram o seguinte: • Rui pagaria a metade da conta. • Cláudia pagaria a terça parte do que Gustavo pagou. Que valor da conta coube a cada um dos três amigos? Comentários e recomendações pedagógicas Uma das grandes necessidades de conhecimentos que os alunos devem demonstrar ao chegar ao ensino médio é o raciocínio algébrico, incluindo reconhecimento de variáveis, cálculo algébrico como soma e multiplicações de polinômios e resolução de alguns tipos de equações. Todos esses conhecimentos, juntamente com as ideias de conjuntos e de varia- ções, são importantes para a construção da noção de funções, ampliando o conhecimento dos alunos. Inclui-se também a compreensão das operações com frações e sua aplicação em contextos algébricos, porque o estudo de funções exponenciais e loga- rítmicas recai, inevitavelmente, em expressões algébricas com coeficientes racionais. 14  Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio
  • 15. Dessa forma, consideramos que se torna importante diagnosticar o nível de conhecimento dos alunos em relação a essa habilidade. Grade de correção: Categorias para análise Observação O aluno responde corretamente. Escreve a expressão algébrica para o cálculo dos resultados e encon- O aluno demonstra compreensão dos cálculos com tra corretamente o valor que cada frações e sabe aplicá-los em contextos algébricos. amigo pagou: Ao efetuar corretamente os cálculos algébricos, o aluno também demonstra raciocínio algébrico. Cabe a Rui pagar 72 = 36 2 Todavia, há necessidade de discutir a resposta. O x professor pode solicitar que o aluno crie outras 36 + x + = 72 3 situações-problema relacionadas às mesmas habi- Rui R$ 36,00 lidades. Gustavo R$ 27,00 Cláudia R$ 9,00 O aluno escreveu a expressão algé- O aluno demonstra o conhecimento de frações e brica para o cálculo dos resultados: sabe aplicá-las em contextos algébricos. Ao efetuar x corretamente os cálculos algébricos, o aluno tam- 36 + x + = 72 bém demonstra raciocínio algébrico. 3 Calcula corretamente o valor de x, O professor pode retomar a situação-problema, mas não define o valor dos demais chamando a atenção para o enunciado, de forma amigos. que o aluno possa complementar sua questão. O aluno demonstra o conhecimento de frações e sabe aplicá-las em contextos algébricos. O aluno escreveu a expressão algé- brica para o cálculo dos resultados: O fato de não resolver tal equação pode estar asso- ciado aos coeficientes fracionários. É interessante x 36 + x + = 72 verificar se o aluno resolve equações sem o uso de 3 frações. mas resolve incorretamente o valor de x na equação. O professor pode propor outras situações-pro- blema, inicialmente envolvendo coeficientes intei- ros e posteriormente com coeficientes fracionários. O aluno respondeu corretamente o valor pago por cada um: O aluno possivelmente utilizou estratégias corretas Gustavo: R$ 27,00 para chegar ao seu resultado. Rui: R$ 36,00 É interessante questionar o aluno a respeito de seu Cláudia: R$ 9,00 raciocínio. Mas não apresentou os cálculos na folha de resposta. O aluno expressou de maneira algé- O aluno compreende a linguagem de frações e a brica as parcelas referentes a cada aplica na forma algébrica. Porém, ainda não está amigo: seguro quanto à organização de raciocínio algé- brico. Rui: 72 = 36 . 2 É importante retomar as estratégias de resolução de Gustavo: x . equações do primeiro grau e posteriormente traba- x lhar com outras situações-problema dessa natureza. Cláudia: . 3 No entanto, não somou as parcelas. Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio   15
  • 16. O aluno expressou de maneira algé- brica as parcelas referentes a cada amigo: O aluno compreende a linguagem de frações e a Rui: 72 = 36 . aplica na forma algébrica. Porém, ainda não está 2 seguro quanto a organização de raciocínio algé- Gustavo: x . brico. x O professor pode retomar a situação em questão, Cláudia: . 3 observando a associação entre cada parcela com No entanto, ao somar as parcelas, cada um dos amigos e posteriormente trabalhar igualando-as a 72, não inclui o Rui. com outras situações-problema dessa natureza. x x+ =72 3 O aluno não consegue aplicar as fra- O aluno demonstra não ter domínio no raciocínio ções num contexto algébrico. Escreve algébrico. 1 1 as frações e , mas de maneira O professor pode retomar o trabalho de resolução 2 3 incompreensível, não relacionada à de problemas do primeiro grau, utilizando algumas equação que resolveria o problema. das referências indicadas. O aluno demonstra não ter domínio no raciocínio algébrico que envolve frações. O aluno coloca números desconecta- É necessário verificar se problemas algébricos que dos, sem demonstrar conhecimento não se utilizam de frações são resolvidos pelo aluno. sobre frações. De qualquer maneira, o professor pode retomar o trabalho de resolução de problemas do primeiro grau, utilizando algumas das referências indicadas. O professor pode retomar o trabalho de resolução O aluno não responde a questão. de problemas do primeiro grau, utilizando algumas das referências indicadas. Algumas referências O estudo da temática em questão pode ser complementado ou retomado, observando as propostas apresentadas nos seguintes materiais: 1. aderno do Professor: Matemática – Ensino Fundamental - 5ª série (6º ano) C – Volume 1 • ituação de Aprendizagem 4 – Equivalência e operações com frações S (p. 39); 2. aderno do Professor: Matemática – Ensino Fundamental - 6ª série (7º ano) C – Volume 4 • ituação de Aprendizagem 2 – Equações e fórmulas (p. 21); S • ituação de Aprendizagem 3 – Equações, perguntas e balanças (p. 29). S 3. aderno do Professor: Matemática – Ensino Fundamental - 7ª série (8º ano) C – Volume 2 • ituação de Aprendizagem 1 – Aritmética com álgebra: as letras como S números (p. 11); • ituação de Aprendizagem 3 – Álgebra: fatoração e equações (p. 33); S 16  Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio
  • 17. 4. aderno do Professor: Matemática – Ensino Fundamental - 7ª série (8º ano) C – Volume 3 • ituação de Aprendizagem 1 – Expandindo a linguagem das equações S (p. 11); 5. Matemática – Material do professor – Volume 3 + • tividade 10 – Representações algébricas (p. 32); A • tividade 11 – Expressões algébricas (p. 36); A • tividade 15 – Resolução de equações de 1º grau com uma incógnita A (p. 53); 6. xperiências Matemáticas – 5ª série E • tividade 27 – Adição e subtração com frações (p. 293); A 7. xperiências Matemáticas – 6 série E • tividade 28 – Cálculo literal (p. 319); A 8. xperiências Matemáticas – 7 série E • tividade 3 – Resolução de equações de 1º grau com uma incógnita A (p. 37); 9. Nova Escola • eitura de problemas com frações e anotações L http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/leitura-problemas-fracoes- -anotacoes-526547.shtml. Acesso em 17 jan. 2012; 10. Novo Telecurso – Matemática – Ensino Fundamental - DVD 7 • ula 61 – Expressões algébricas; A • ula 62 – Equações do 1º grau; A • ula 63 – Operações com frações; A • ula 69 – Equacionando problemas; A 11. ídeo IMPA V • rof. Augusto César Morgado – Equações do 1º grau. P http://video.impa.br/index.php?page=julho-de-2003. Acesso em 9 jan. 2012. Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio   17
  • 18. Habilidade Identificar a expressão algébrica que expressa uma regularidade observada em sequências de números ou figuras. Questão 5 Cada figura da sequência a seguir está indicada por um número. Encontre uma fórmula para determinar o total de quadrículas que compõem a figura com sua posição n na sequência. 1 2 3 4 5 Comentários e recomendações pedagógicas O trabalho com sequências pode favorecer a compreensão da álgebra, uma vez que um dos processos de ensino e aprendizagem de álgebra diz respeito à generalização de regularidades. É a partir da observação de casos particulares que o aluno poderá descobrir regularidades, padrões e, a partir deles, levantar hipóteses, fazer conjecturas etc. Enfim, esse trabalho favorece o desenvolvi- mento do raciocínio dedutivo. Assim sendo, essa poderá ser uma forma de generalizar quantidades indica- das por figuras, mesmo que estas estejam inacessíveis. Essa estratégia permite trabalhar conceitos de variáveis e até de incógnitas, desde que seja solicitado indicar a posição em que determinada figura deve aparecer. O Caderno do Professor, 6ª série (7º ano), volume 4 apresenta essa estratégia, iniciando com padrões geométricos e passando, em seguida, a padrões numé- ricos. A chave dessa situação de aprendizagem é determinar a lei de formação da sequência, assim como a exigida nesta questão. Uma estratégia para resolver a questão apresentada, por exemplo, é verificar que a quantidade de linhas está fixada em duas, não se alterando nas demais figuras. O que se altera em cada uma dessas figuras é somente a quantidade de colunas. Assim, a primeira figura apresenta uma coluna, a segunda figura apresenta 2 colunas e assim sucessivamente. Podemos observar, por exemplo, que a décima figura terá 10 colunas. Portanto, em cada posição a figura será formada pelo número de colunas igual à sua posição, multiplicada por 2, ou seja, Q = 2n. 18  Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio
  • 19. Grade de correção: Categorias para análise Observação O aluno demonstra possuir a habilidade solicitada. O aluno apresenta correta- O professor pode mostrar outras formas de chegar à mente a fórmula “2n” mesma fórmula por outras estratégias, ou socializar as diversas estratégias apresentadas pelos alunos. O aluno percebe a regularidade nas figuras, encontrando seu padrão, mas não apresenta domínio no tratamento algébrico. O aluno apresenta uma sequ- ência numérica “2, 4, 6, 8, 10 ...” É importante ressaltar que essa temática será apresentada mas não explicita a fórmula. ao longo do primeiro bimestre. Assim sendo, o professor poderá complementar o trabalho proposto no Caderno do Professor. Outras fontes de pesquisa para esse trabalho podem ser as apresentadas nas referências. O aluno percebe a regularidade nas figuras, encontrando O aluno explica, com suas pala- seu padrão, mas não apresenta domínio no tratamento vras, que a quantidade de qua- algébrico. drículas é o dobro do número n É importante ressaltar que essa temática será apresentada de sua posição. ao longo do primeiro bimestre. Assim sendo, o professor Não mostra uma sequência poderá complementar o trabalho proposto no Caderno nem a fórmula correspon- do Professor. dente. Outras fontes de pesquisa para esse trabalho podem ser as apresentadas nas referências. O aluno demonstra não possuir a habilidade solicitada. Esse diagnóstico é relevante, visto que essa temática será O aluno apresenta uma fór- apresentada ao longo do primeiro bimestre. Assim sendo, mula não condizente com a o professor poderá complementar o trabalho proposto no sequência. Caderno do Professor. Outras fontes de pesquisa para esse trabalho podem ser as apresentadas nas referências. Esse diagnóstico é relevante, visto que essa temática será apresentada ao longo do primeiro bimestre. Assim sendo, O aluno deixa a questão em o professor poderá complementar o trabalho proposto no branco. Caderno do Professor. Outras fontes de pesquisa para esse trabalho podem ser as apresentadas nas referências. Algumas referências O estudo da temática em questão pode ser complementado ou retomado observando as propostas apresentadas nos seguintes materiais: 1. aderno do Professor: Matemática – Ensino Fundamental - 6ª série (7º ano) C – Volume 4 • ituação de Aprendizagem 1 – Investigando sequências por aritmética e S álgebra (p.11); 2. aderno do Professor: Matemática – Ensino Fundamental - 7ª série (8º ano) C – Volume 2 Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio   19
  • 20. • ituação de Aprendizagem 1 – Aritmética com álgebra: as letras como S números (p.11); 3. xperiências Matemáticas – 6ª série E • tividade 22 – Relações (p.237); A • tividade 23 – Propriedades (p. 245); A 4. Nova Escola • ntrodução à álgebra; I http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/introducao-algebra-429106. shtml?page=all. Acesso em 17 jan. 2012. Habilidade Resolver problemas em diferentes contextos que envolvam as relações métricas dos triângulos retângulos (Teorema de Pitágoras). Questão 6 (SAEB 2009) Hélio e Ana partiram da casa dela com destino à escola. Ele foi direto de casa para a escola e ela passou pelo correio e depois seguiu para a escola, como mostra a figura a seguir: 20  Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio
  • 21. De acordo com os dados apresentados, a distância percorrida por Ana foi maior que a percorrida por Hélio em (A)  200 m. (B)  400 m. (C)  600 m. (D)  800 m. Comentários e recomendações pedagógicas A questão apresentada tem o objetivo de verificar a aplicação do Teorema de Pitágoras na resolução de problemas. Esse conceito é importantíssimo na Matemática, tanto para ser aplicado na resolução de diversos problemas con- textualizados como conhecimento prévio para o estudo de outros conteúdos internos à Matemática, como trigonometria, geometria analítica, estudo da cir- cunferência etc. Os alunos tomam o primeiro contato com esse conceito no final do 8º ano. Ele é introduzido a partir de um contexto histórico e, logo em seguida, é mostrada uma verificação da relação da terna pitagórica (3, 4, 5) geometricamente. Daí em diante, mostra-se que há outras ternas pitagóricos até que se conclui que a área do quadrado sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados sobre os catetos. Grade de correção: Alternativas Observação Resposta errada, o aluno provavelmente efetuou a subtração (800 – (A) 200 m. 600), ignorando a distância percorrida por Hélio. Resposta correta, o aluno provavelmente fez os cálculos, utilizando o Teorema de Pitágoras, para descobrir a distância percorrida por Hélio. Em seguida, calculou a distância percorrida por Ana e finalmente a dife- rença entre Hélio e Ana. Distância percorrida por Hélio: h² = a² + b² (B) 400 m. h² = 600² + 800² = 360 000 + 640 000 = 1 000 000 h = √1 000 000 = 1000m Distância percorrida por Ana: 600 + 800 = 1400m A diferença: d = 1400 – 1000 = 400m Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio   21
  • 22. Resposta errada, o aluno provavelmente considera somente a distância (C) 600 m. da casa da Ana ao correio. Resposta errada, o aluno provavelmente considera somente a distância (D) 800 m. percorrida por Ana do correio à escola. Caso o aluno mostre dificuldade no tratamento do Teorema de Pitágoras, pode-se utilizar as referências abaixo. Algumas referências O estudo da temática em questão pode ser complementado ou retomado observando as propostas apresentadas nos seguintes materiais: 1. aderno do Professor: Matemática – Ensino Fundamental - 7ª série (8º ano) C – Volume 4 • ituação de Aprendizagem 3 – O Teorema de Pitágoras: padrões numéri- S cos e geométricos (p.39); 2. aderno do Professor: Matemática – Ensino Fundamental - 8ª série (9º ano) C – Volume 3 • ituação de Aprendizagem 3 – Relações métricas nos triângulos retângu- S los: Teorema de Pitágoras (p.30); 3. ovo Telecurso – Matemática – Ensino Fundamental – DVD 6 N • Aula 54 – O teorema de Pitágoras; • Aula 55 – Aplicação do teorema de Pitágoras; 4. ovo Telecurso – Matemática – Ensino Médio – DVD 2 N • ula 19 – O teorema de Pitágoras; A 5. oftware – Tem TOP10; S Plataforma em flash que disponibiliza aulas sobre o teorema de Pitágoras e possui um quiz com questões sobre Pitágoras e seu teorema. http://nautilus.fis.uc.pt/mn/pitagoras/pitflash1.html. Acesso em 21 jul. 2011; 6. xperiências Matemáticas – 7ª série E • tividade 6 – Relação pitagórica: uma verificação experimental (p. 73); A • tividade 20 – Outras vez a relação de Pitágoras (p. 227); A 7. xperiências Matemáticas – 8ª série E • tividade 19 – O triângulo retângulo e Pitágoras (p. 241); A 8. Vídeo IMPA • rof. Eduardo Wagner – Teorema de Pitágoras; P http://video.impa.br/index.php?page=julho-de-2011. Acesso em 9 jan. 2012. 22  Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio
  • 23. Habilidade Expressar problemas por meio de equações. Questão 7 Observe o retângulo abaixo, cuja área total é igual a 36cm2. (x-2) cm (x+3) cm A equação que relaciona as medidas dos lados do retângulo à sua área é (A)  x2 + x - 6= 0 (B)  x2 + x – 42 = 0 (C)  x2 + x + 30 = 0 (D)  x2 – 42 = 0 Comentários e recomendações pedagógicas Essa é uma questão relacionada a conceitos algébricos e cálculo de área. Este é um contexto que permite trabalhar o conteúdo matemático, integrando a álgebra e a geometria. O aluno indica corretamente a equação correspondente ao problema proposto e desenvolve a sentença: (x – 2 ) . (x + 3) = 36 x² + 3x – 2x – 6 = 36 x² + x – 42 = 0 Caso o aluno não aponte corretamente a alternativa, algumas hipótese podem ser levantadas. Uma delas é que o aluno não conhece o conceito de cálculo de área de retângulos. Outra pode ser que ele não domine os cálculos algébricos. A partir dos resultados apontados pelos alunos, podemos levantar algumas hipóteses como as observadas na grade abaixo. Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio   23
  • 24. A partir de uma entrevista com o aluno é possível perceber se sua dificuldade relaciona-se ao cálculo de área. Nesse caso, pode-se optar por rever alguns conteúdos indicados nas referências 2 e 5. Caso se perceba que o aluno não domina o produto de expressões algébricas, pode-se optar por rever alguns conteúdos nas referências 1, 3 e 6. Este problema está intimamente relacionado a conteúdos da álgebra, que serão aplicados no desenvolvimento da disciplina de Matemática nas séries do Ensino Médio. Espera-se que o aluno saiba modelar um problema matemático, expressando-o numa linguagem algébrica e que demonstre conhecimento no tratamento dessas expressões. Além disso, o problema apresentado utiliza na sua resolução o conhecimento de área. Também esse conceito é exigido em diversos momentos, em situações contextualizadas na própria Matemática, assim como externas a ela. A expressão obtida é uma equação do 2º grau. O aluno pode ficar inclinado a tentar resolvê-la e se sentir incomodado com o fato de não ter sido solicitada a resolução. Caso tenha notado esse fato, pode-se justificar que a intenção da questão é verificar a habilidade de expressar um problema por meio de uma sentença algébrica. Resolver uma equação do 2º grau é, então, outra habili- dade que será exigida em outros momentos. Grade de correção: Alternativas Observação Resposta incorreta. O aluno expressou o produto (x+3)(x-2), igualando- -o a zero e desenvolvendo a sentença. (A) x² + x - 6 = 0 Essa temática será ampliada ao longo do segundo bimestre. Para tanto, o professor pode complementar a proposta do caderno com situações- -problema relacionadas aos conceitos de área e equações. Resposta correta. Possivelmente o aluno utilizou a estratégia correta para chegar à equação. (B) x² + x – 42 = 0. Essa temática será ampliada ao longo do segundo bimestre. Para tanto, o professor pode complementar a proposta do caderno com situações- -problema relacionadas aos conceitos de área e equações. Resposta incorreta. O aluno erra o sinal do número 36 ao resolver a expressão. (C) x² + x + 30 = 0. Essa temática será ampliada ao longo do segundo bimestre. Para tanto, o professor pode complementar a proposta do caderno com situações- -problema relacionadas aos conceitos de área e equações. Resposta incorreta. O aluno expressou o produto (x + 3)(x - 2) = 36, porém errou ao aplicar a propriedade distributiva. (D) x²– 42 = 0 Essa temática será ampliada ao longo do segundo bimestre. Para tanto, o professor pode complementar a proposta do caderno com situações- -problema relacionadas aos conceitos de área e equações. 24  Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio
  • 25. Algumas referências O estudo da temática em questão pode ser complementado ou retomado observando as propostas apresentadas nos seguintes materiais: 1. aderno do Professor: Matemática – Ensino Fundamental - 7ª série (8º ano) C – Volume 3 • ituação de Aprendizagem 3 – Álgebra: fatoração e equações (p. 33); S 2. aderno do Professor: Matemática – Ensino Fundamental - 7ª série (8º ano) C – Volume 4 • ituação de Aprendizagem 1 – Áreas de figuras planas (p. 12); S 3. aderno do Professor: Matemática – Ensino Fundamental - 8ª série (9º ano) C – Volume 2 • ituação de Aprendizagem 1 – Alguns métodos para resolver equações de S 2º grau (p. 12); 4. xperiências Matemáticas – 8ª série E • tividade 16 – Equações do 2º grau (p. 207); A 5. ovo Telecurso – Matemática – Ensino Fundamental - DVD 6 N • ula 52 – Calculando áreas; A 6. ovo Telecurso – Matemática – Ensino Fundamental - DVD 8 N • ula 73 – Equação do 2º grau; A 7. ovo Telecurso – Matemática – Ensino Médio - DVD 3 N • ula 26 – Problemas do 2º grau. A Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio   25
  • 26. Habilidade Ler e interpretar um gráfico cartesiano que indica a variação de duas grandezas. Questão 8 Um depósito, contendo inicialmente 800 litros de água, dispõe de uma válvula na sua parte inferior. Um dispositivo registrou a quantidade de água a cada ins- tante a partir do momento em que a válvula foi aberta (t = 0). Os dados obtidos permitiram construir o gráfico da quantidade V (em litros) em função do tempo t (em minutos). Pode-se afirmar que durante o intervalo de (A)  0 a 10 min o depósito perdeu 500 litros. (B)  10 min a 35 min, o depósito perdeu 300 litros. (C)  10 min a 35 min, o depósito perdeu 500 litros. (D)  0 a 60 min, o depósito perdeu 800 litros. 26  Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio
  • 27. Comentários e recomendações pedagógicas Espera-se que o aluno já saiba interpretar gráficos cartesianos com a indica- ção de variação entre duas grandezas, habilidades já trabalhadas no Ensino Fundamental. As atividades que trabalham essas relações a partir de situações contextuali- zadas são ideais para desenvolver esse conceito, tais como progressões arit- méticas, sequências e até proporcionalidade direta, fornecendo elementos facilitadores para esse raciocínio. Associando as possibilidades relacionadas a esses problemas com um plano cartesiano, obtêm-se os gráficos lineares que indicam essas variações. Grade de correção: Alternativas Observação Resposta incorreta. O aluno não analisa adequadamente (A) 0 a 10 min, o depósito o gráfico e retira informação incorreta, lendo no eixo y perdeu 500 litros. somente a indicação correspondente a 10 minutos. Resposta incorreta. Possivelmente, ao analisar o gráfico, o aluno não percebe que, nesse período de tempo, não há (B) 10 min, a 35 min. o depó- perda de água, o que é indicado pela função constante. Ele sito perdeu 300 litros. interpreta que a diferença (800 – 500 = 300) é a vazão de água nesse intervalo. Resposta incorreta. Possivelmente, ao analisar o gráfico, o aluno não percebe que, nesse período de tempo, não há (C) 10 min, a 35 min. o depó- perda de água, o que é indicado pela função constante. Ele sito perdeu 500 litros. interpreta que 500 – valor da ordenada – é a vazão de água nesse intervalo. Resposta correta. O aluno resolve corretamente. Analisa o (D) 0 a 60 min, o depósito gráfico e extrai as informações necessárias para a solução do perdeu 800 litros. problema. Algumas referências O estudo da temática em questão pode ser complementado ou retomado observando as propostas apresentadas nos seguintes materiais: 1. aderno do Professor: Matemática – Ensino Fundamental - 8ª série (9º ano) C – Volume 4 • ituação de Aprendizagem 4 – Representação gráfica de grandezas pro- S porcionais e de algumas não proporcionais (p. 49); 2. xperiências Matemáticas: 6ª série E • tividade 26 – Representações algébricas (p.289); A 3. xperiências Matemáticas: 7ª série E Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio   27
  • 28. • tividade 8 – Interdependência de grandezas (p.97); A 4. xperiências Matemáticas: 7ª série E • tividade 9 – Grandezas proporcionais (p.113); A 5. Matemática – Material do Professor – Volume 3 + • tividade 18 – Interdependência de grandezas (p.86); A 6. Nova Escola • unção afim F http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/conceito-grafico-funcao- -afim-629412.shtml. Acesso em 09 fev. 2012; • unção Afim na Resolução de Problemas F http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/funcao-afim-resolucao-pro- blemas-626737.shtml. Acesso em 21 jul. 2011; 7. ovo Telecurso – Matemática – Ensino Médio – DVD 3 N • ula 30 – A função y = ax + b. A Habilidade Resolver problemas que envolvam as operações com números inteiros do campo aditivo. Questão 9 Uma médica orientou seu paciente a tomar 1 comprimido do mesmo medica- mento a cada 6 horas. Quantos comprimidos desse medicamento o paciente de- verá tomar por dia? (A) 1 (B) 4 (C) 6 (D) 8 28  Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio
  • 29. Comentários e recomendações pedagógicas A habilidade em resolver problemas que envolvem as operações básicas de Matemática é inerente a qualquer estudo que se faça, tanto no Ensino Fun- damental quanto no Ensino Médio. Quanto antes forem detectadas dificulda- des do aluno ao lidar com esse tipo de situação problema, mais tempo e mais recursos poderão ser utilizados pelo professor para saná-las. Caso seja detectada dificuldade em resolver essa questão, sugerimos que o professor procure apresentar ao aluno outros problemas envolvendo as opera- ções a fim de obter um diagnóstico mais apurado. Se realmente o aluno apre- sentar problemas na resolução desse tipo de problema, sugerimos trabalhar as situações apresentadas nas referências a seguir. Sugerimos também que o professor analise as anotações deixadas nas folhas de resolução para perceber se o problema está nas operações de divisão ou multiplicação, se o aluno mos- tra conhecer que o dia tem 24 horas etc. Grade de correção: Alternativas Observação Resposta incorreta. Possivelmente o aluno tomou como parâme- (A) 1 tro para responder a questão, a quantidade de comprimidos que o paciente toma a cada 6 horas. Resposta correta. O aluno provavelmente tomou as 24 horas do dia (B) 4 e dividiu pelo intervalo de horas em que o paciente deve tomar os comprimidos. Resposta incorreta. Possivelmente, o aluno tomou como parâmetro (C) 6 para responder à questão, a quantidade de horas do intervalo entre um e outro comprimido. Resposta incorreta. O aluno pode ter dividido as 24 horas do dia por (D) 8 3, como também pode ter errado nos cálculos da divisão de 24 por 6. Algumas referências O estudo da temática em questão pode ser complementado ou retomado observando as propostas apresentadas nos seguintes materiais: 1. aderno do Professor: Matemática – Ensino Fundamental - 5ª série (6º ano) C – Volume 1 • ituação de Aprendizagem 1 – O sistema de numeração decimal e suas S operações (p.11); 2. xperiências Matemáticas – 5ª série E • tividade 5 – Operações com naturais: situações-problema (p.11); A 3. Matemática – Material do Professor – Volume Especial + Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio   29
  • 30. • tividade 14 – Organizando enunciados e resolvendo problemas (p.33); A 4. ovo Telecurso – Matemática – Ensino Fundamental – DVD 1 N • ula 8 - Multiplicar e dividir; A 5. Nova Escola • iferentes maneiras de resolver problemas de divisão D http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/diferentes-maneiras-resolver- -problemas-divisao-500781.shtml?page=all. Acesso em 17 jan. 2012. Habilidade Resolver situações-problema por intermédio de sistemas lineares até a 3ª ordem. Questão 10 Uma loja de produtos eletrônicos realiza uma promoção para a compra conjunta de dois tipos de equipamentos, de maneira que o consumidor interessado tenha as seguintes opções: •  por um tablet e um celular o valor de R$ 700,00. •  por um tablet e um netbook o valor de R$ 1.200,00. •  por um celular e um netbook o valor de R$ 1.100,00. Quanto a loja cobra em cada tipo de aparelho, se o preço unitário de cada um deles é constante em todos os casos? Comentários e recomendações pedagógicas Os sistemas lineares constituem-se em uma ferramenta importante na resolu- ção de situações-problema contextualizadas. A descrição de alguns contextos permite que sejam escritas as equações e que, ao final, após a resolução do sistema, os valores encontrados para as incógnitas sejam avaliados à luz do contexto inicialmente proposto. Para a resolução dos sistemas obtidos a partir de situações-problema contex- tualizadas, sugerimos que o professor estimule seus alunos a utilizar, inicial- mente, os métodos estudados no Ensino Fundamental, isto é, os métodos de adição, substituição ou comparação. Salientamos a importância de o professor trabalhar as diversas formas de reso- lução de Sistemas Lineares de maneira que o aluno possa fazer investigações sobre a opção mais conveniente em cada situação. 30  Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio
  • 31. Grade de correção: Categorias para análise Justificativas O aluno resolve corretamente. Indicando por: T preço do tablet C preço do celular N preço do netbook O professor pode ampliar tal habilidade, traba- O sistema é equivalente a: lhando com outras situações em que está pre- sente a habilidade em questão. { T + C = 700 T + N = 1200 C + N = 1100 Resolvendo-o, obtemos os seguintes valores: T = R$ 400,00; C = R$ 300,00 e N = R$ 800,00. O aluno representa corretamente o O professor pode retomar situações que envol- sistema a partir das informações dis- vam a resolução de sistemas de equações do 1º ponibilizadas no enunciado da ques- grau pelos métodos da substituição de variáveis tão, porém erra na sua resolução pelo e escalonamento. método da substituição. O aluno estrutura corretamente o O professor pode retomar situações que envol- sistema a partir das informações dis- vam a resolução de sistemas de equações do 1º ponibilizadas no enunciado da ques- grau pelos métodos do escalonamento e substi- tão, porém erra na sua resolução pelo tuição de variáveis. método do escalonamento. O aluno estrutura corretamente o sis- O professor pode retomar situações que envol- tema a partir das informações dispo- vam a resolução de sistemas de equações do 1º nibilizadas no enunciado da questão, grau pelos métodos do escalonamento e substi- porém apresenta erros na sua resolu- tuição de variáveis, discutindo com o aluno as des- ção pelo método de Cramer. vantagens de se utilizar o método de Cramer. O professor pode trabalhar com o aluno a habi- lidade de traduzir o problema para a linguagem O aluno não consegue estruturar o sis- matemática. Para isso, pode desenvolver ativida- tema baseado nas informações apre- des de leitura de um problema, que se constituem sentadas no enunciado da questão. no primeiro passo no caminho da transposição para a linguagem algébrica. O aluno demonstra total falta de domí- O professor pode retomar situações que envol- nio da habilidade avaliada. vam a habilidade indicada. O professor pode retomar situações que envol- O aluno deixou a questão em branco. vam a habilidade indicada. Algumas referências O estudo da temática em questão pode ser complementado ou retomado observando as propostas apresentadas nos seguintes materiais: Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio   31
  • 32. 1. Caderno do Professor: Matemática – Ensino Fundamental – 7ª série (8º ano) – Volume 3 • ituação de Aprendizagem 3 – Sistemas de equações lineares (p. 38); S 2. aderno do Professor: Matemática – Ensino Médio – 2ª série – Volume 2 C • ituação de Aprendizagem 3 – Sistemas lineares em situações-problemas S (p. 28); • ituação de Aprendizagem 4 - Resolução de sistemas lineares: escalona- S mento x Cramer (p. 35); 3. ovo Telecurso – Ensino Fundamental – DVD 7 N • istema do 1º Grau; S 4. ovo Telecurso – Ensino Médio – DVD 2 N • ula 11 – Sistemas resolvem problemas; A 5. xperiência Matemáticas – 7ª série E • tividade 27 – Resolvendo algebricamente um sistema de equações do 1º A grau com duas incógnitas (p. 301). 32  Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio
  • 33. Bibliografia São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Caderno do Professor: Matemática, ensino fundamental – 5ª a 8ª séries. v. 1 a 4. Coordenação geral: Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Granja, José Luiz Pastori, Nilson José Machado, Roberto Pérides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo, Walter Spinelli. São Paulo: SEE, 2009. São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Caderno do Professor: Matemática, ensino médio – 1ª a 3ª séries. v. 1 a 4. Co- ordenação geral: Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Granja, José Luiz Pastori, Nilson José Machado, Roberto Pérides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo, Walter Spinelli. São Paulo: SEE, 2009. São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas. Experiências Matemáticas: 5ª a 8ª séries. São Paulo: SE / CENP, 1997. Novo Telecurso. Matemática – Ensino Fundamental. Aulas em Vídeo: Fundação Roberto Marinho. Disponível em http:// www.telecurso.org.br. Acesso em 20 jan. 2012. Novo Telecurso. Matemática – Ensino Médio. Aulas em Vídeo: Fundação Roberto Marinho. Disponível em http://www. telecurso.org.br. Acesso em 20 jan. 2012. IMPA, INSTITUTO NACIONAL DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA. Aulas em Vídeo. Disponível em http://www.impa.br. Acesso em 20 jan. 2012. São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Revista do Professor: São Paulo Faz Escola: 5ª a 8ª séries do Ensino Funda- mental. Coordenação: Maria Inês Fini. São Paulo: SEE, 2008. São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Revista do Professor: São Paulo Faz Escola: 1ª e 2ª séries do Ensino Médio. Coordenação: Maria Inês Fini. São Paulo: SEE, 2009. São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. + Matemática, coletânea de atividades. Volumes Especial, 2 e 3: Coordena- ção: Maria Inês Fini. São Paulo: SEE, 2009. Nova Escola. Atividades. Disponível em http://revistaescola.abril.com.br. Acesso em 17 jan. 2012. Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio   33
  • 34. Avaliação da Aprendizagem em Processo Comentários e Recomendações Pedagógicas – Matemática Coordenadoria de Gestão da Educação Básica Coordenadora: Maria Elizabete da Costa Coordenadoria de Informação, Monitoramento e Avaliação Educacional Coordenadora: Maria Lucia Barros de Azambuja Guardia CIMA – Departamento de Avaliação Educacional Diana Yatiyo Mizoguchi Maria Julia Figueira Ferreira William Massei CGEB – Matemática João dos Santos, Juvenal de Gouveia, Otavio Yamanaka, Patricia de Barros Monteiro, Sandra Maira Zacarias Zen, Vanderlei Aparecido Cornatione Elaboração – Professores Coordenadores dos Núcleos Pedagógicos das Diretorias de Ensino Cristina Aparecida da Silva, Edineide Santos Chinaglia, Edson Basilio Amorim Filho, João Acacio Busquini, Norma Kerches de Oliveira Rogeri, Odete Guirro de Paula, Rosana Jorge Monteiro e Tatiane Dias Serralheiro. Autoria; Leitura e Revisão Crítica. Angélica da Fontoura Garcia Silva, Juvenal de Gouveia, Marlene Alves Dias, Patricia Monteiro, Raquel Factori Canova, Ruy Cesar Pietropaolo e Sandra Maira Zen Zacarias. Revisão de Texto – Professor Coordenador do Núcleo Pedagógico da Diretoria de Ensino Norte 2 Celso Antônio Bacheschi 34  Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio
  • 35. Anotações Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 1ª série do Ensino Médio   35